Busca la terna

Hoy martes os dejo el problema de esta semana. Nos lo envió Alexsander a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Ahí va:

Encuentra la terna (x,y,z) de enteros positivos que satisface la ecuación

x^3=3^y \cdot 7^z+8

Lo interesante no es dar la terna de números sin más (que no es difícil de encontrar simplemente probando números), sino dar un razonamiento que nos lleve a encontrarla.

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

17 Comentarios

  1. La ecuación dada es equivalente a

    (x-2)(x^2+2x+4) = 3^y \cdot 7^z.

    El teorema fundamental de la aritmética nos permite asegurar entonces la existencia de a,b \in \mathbb{Z}^{+} tales que

    x^{2}+2x+(4- 3^{a} \cdot 7^{b})=0.

    El discrimante de la ecuación cuadrática anterior es 4-4(4-3^{a} \cdot 7^{b})=(4)(3)(3^{a-1} \cdot 7^{b}-1). Ese número tiene que ser un cuadrado perfecto: ello nos permite colegir que a=1. Ergo, el problema se ha reducido a determinar todos los números b \in \mathbb{Z}^{+} tales que

    7^{b}-1 = 3s^{2}

    para algún s \in \mathbb{N}.

    Pues que 7^{b}-1 = (7-1)(7^{b-1}+ \cdots + 1) entonces

    2(7^{b-1} + \cdots + 1) = s^{2}. De esto se sigue que b = 2 \ell para algún \ell \in \mathbb{N}. Se tiene entonces que

    (7^{\ell})^{2} - 3s^{2} = 1.

    Puesto que la solución fundamental de la ecuación de Pell X^2-3Y^{2}=1 es 2+\sqrt{3}, 7^{\ell} tiene que ser igual a 7. Así, b=2 y x^{2}+2x+4 = 3 \cdot 7^{2}. De esto se sigue que x=11, y=3, z=2.

    FIN.

    Publica una respuesta
  2. No entiendo este paso:
    Ese número tiene que ser un cuadrado perfecto: ello nos permite colegir que a=1.
    Gracias

    Publica una respuesta
  3. El discriminante es el argumento de la raíz cuadrada en la fórmula que proporciona las soluciones de una ecuación de segundo grado. Como ésta se aplica a ecuación con enteros, su valor debe ser entero, o sea, la raíz cuadrada de un cuadrado.

    Yo lo que no entiendo es lo de la ecuación de Pell.

    Publica una respuesta
    • Porque entiende la solución fundamental en función de la expresión de recurrencia para encontrar otras soluciones:

      Si tenemos la ecuación de Pell x^2 -ny^2=1 y (x_1, y_1) es un par que es solución fundamental de dicha ecuación, entonces podemos encontrar más pares solución con la fórmula:

      x_k + \sqrt{n}y_k = (x_1+\sqrt{n}y_1)^k

      y, alternativamente:
      x_k=x_1x_{k-1}+ny_1y_{k-1}
      y_k=y_1x_{k-1}+x_1y_{k-1}

      La solución fundamental de X^2-3Y^2 = 1 es (2,1), solución que no nos sirve ya que en nuestro caso x = 7^l; la siguiente solución, usando lo anterior es, (7, 4) que sí nos sirve.

      Publica una respuesta
    • Si entiendo que tiene que ser un cuadrado perfecto, pero porque no puede ser un cuadrado perfecto, por ejemplo con a=2 o a 3?

      Publica una respuesta
      • A ver, la clave es la expresión
        4·3·(3^(a-1)·7^b -1), que debe ser un cuadrado perfecto. Todos los factores de ese número deben aparecer un número par de veces. El 2 aparece como 2^2, tenemos el tres una vez sólo pero que multiplica al paréntesis. Por tanto, la expresión entre paréntesis es seguro que tiene un factor tres (multiplica a otro factor que, primo o no, que está dos veces, n)
        O sea 3^(a-1)·7^b – 1 = 3·n^2, que es lo que concluye J.H.S.
        (sigue).

        Publica una respuesta
      • 3^c·7^b con c = 0 es evidentemente múltiplo de 3. Pero cualquier número múltiplo de tres menos uno tiene resto dos al dividirlo por tres. La ecuación que he escrito dice lo contrario, que 3^(a-1)·7^b – 1 es múltiplo de tres (la expresión nos dicen que vale 3·n^2) por tanto 3^(a-1) no puede ser múltiplo de 3, cosa que sólo es posible si el exponente es nulo, es decir, a – 1 = 0.

        Publica una respuesta
        • Debería poner “con c != 0”. Si no, no tiene ningún sentido lo escrito.

          Publica una respuesta
  4. Yo soy el que mandó el problema a Gaussianos. Pero fíjense que yo soy un principiante en las Matemáticas (aunque me gustan mucho), y pues la verdad se me dificulta entender la solución, hecha por J.H.S. Agradecería a J.H.S u otro que pueda, que enviara a mi correo, que es floresalexander989@gmail.com, una solución bien detallada, explicando cada paso que hace y la justificación bien detallada de cada declaración que hace. Por ejemplo: no entiendo cómo es que la declaración de que x^2 + 2x + (4 – 3^a * 7^b) = 0 se deduce del el Teorema Fundamental de la Aritmética, Teorema que dice que todo número natural puede ser expresado como producto de factores primos. Tampoco entiendo por qué debe ser a = 1 para que el discriminante de la ecuación cuadrática sea un cuadrado perfecto. De ahí en adelante, no entiendo la solución. Gracias.

    Publica una respuesta
    • A ver, alexander, el teorema fundamental de la Aritmética nos dice que todo número entero se expresa de forma única como producto de sus factores primos. Esto lo podemos usar en tu problema:

      Pasamos el 8 a la banda izquierda x^3 -8 = 3^y 7^z y factorizamos, quedándonos (x-2)(x^2 + 2x +4)=3^y 7^z , es decir, hemos puesto el número de la derecha en forma de factores primos a la izquierda; en concreto, podemos decir que el polinomio de segundo grado que hemos obtenido divide a la expresión de la derecha (obviamos el factor x-2 porque con x=2 no se satisface la ecuación del problema): x^2 + 2x + 4 | 3^y7^z luego x^2+2x+4=3^{a}7^{b}, a\leqy, b\leqz.

      Sobre lo del discriminante: para tener un x entero raíz del anterior polinomio, el discriminante ha de ser cuadrado perfecto. Para que lo sea, vemos que ya tenemos un cuadrado (el 4), tenemos también un 3 (nos falta otro 3); el factor restante del discriminante es un múltiplo de 3 (el 3·7) menos 1, por tanto, ese 3·7-1 no puede ser jamás múltiplo de 3 y necesitamos que lo sea: es necesario que a=1 para que nos quede 7^{b} -1, el cual sí puede ser múltiplo de 3 (por ejemplo, para b=1 y b=2 ya lo es).

      Por tanto hemos de encontrar las b tales que 7^{b}-1 sea múltiplo de 3 y de un cuadrado perfecto (para seguir teniendo un discriminante que sea cuadrado perfecto): 7^{b}-1=3s^2.

      Ahora, podemos descomponer
      (7-1)(7^{b-1}+···+1)=3s^2 y 2(7^{b-1}+7^{b-2}+ ··· + 1)=s^2.
      Es decir, de nuevo, lo de la izquierda ha de ser cuadrado perfecto; y como ya tenemos un 2 como factor, el otro factor ha de tener un 2 como factor también (es decir, ser par). Para que sea par hemos de tener en cuenta que 7 elevado a la potencia que sea es impar; por tanto, en ese factor ha de haber un número par de sumandos (junto con el 1) para que su suma sea par. Es decir, b=2l.

      En cuanto a lo de la ecuación de Pell, te remito a mi comentario anterior en este mismo hilo de respuestas.

      Publica una respuesta
      • Tengo estas dudas: 1. No entiendo por qué se obvia el factor (x – 2), que es un divisor de (x^2 + 2x + 4).
        2. Por qué para que (x^2 + 2x + 4) sea divisor de 3^y * 7^z, (x^2 + 2x + 4) deber ser 3^a * 7^b
        3. No me quedó claro por qué (7^b – 1) tiene que ser 3*(s^2)
        4. Por qué el 7^(b – 1) + 7^(b – 2) + … + 1 debe tener un factor 2 para que 2*(7^(b – 1) + 7^(b – 2) + … + 1) sea un cuadrado perfecto.
        5. Por qué en la Ecuación de Pell se tiene que escoger la solución (7, 4) y no otra, como la (2, 1).

        Disculpad mi insistencia, pero les repito que soy principiante en las Matemáticas. Por favor explicadme en términos sencillos.

        Publica una respuesta
        • -Para el caso 1: Supongo que sabes que, si a·b|n entonces a|n y b|n. Es decir, La divisibilidad la han de cumplir esos dos factores. En nuesto caso, nuestro primer factor a=(x-2) divide, pues, a n=3^y·7^z, es decir x-2 es de la forma 3^a·7^b para 0<=a,b<=x,y. Por ejemplo, x puede ser 5, 11,…,2+3^a, a natural; puede ser 9, 51,…,2+7^a, o puede ser 23, 443,…,2 +3^a·7^b, a, b naturales. Pero esto, ya lo vemos, no nos acota los valores de x ni puede servir para encontrar, por tanto, una solución exacta: nos quedamos igual, teniendo que tantear. Habrá entonces que estudiar el otro factor.

          Para 2: con la información que acabo de dar en 1, es suficiente para tener aclarada la duda en 2, pues usa los mismos principios.

          Para 3: Lo vuelvo a repetir, el discriminante ha de ser un cuadrado perfecto. Ya tenemos uno, el 4, que es 2^2. Nos queda pues 3*(7^b-1). Para que este factor sea cuadrado, nos falta que 7^b-1 se pueda descomponer en la forma 3s^2 para así tener 3*3s^2 = (3s)^2, que es un cuadrado perfecto.

          Para 4: si cogemos el par (2,1), la ecuación de Pell X^2-3Y^2=1 no puede cumplirse para x=7^l : no puede ser x=2 y ser a la vez x=7, con el par (7,4) ya sí tenemos el x=7 (con l=1).

          Publica una respuesta
  5. Por orden, en las “fórmula does not parse” tiene que poner:

    a \leq y

    b \leq z

    (7-1)(7^{b-1}+7^{b-2}+ \cdots +1) = 3s^2

    2(7^{b-1}+7^{b-2}+ \cdots +1) = s^2

    Publica una respuesta
  6. Los problemillas así son muy fáciles, y por eso, triviales. Sólo hay que razonar aplicando bien las definiciones, axiomas, postulados y teoremas. En éste, los conocimientos que se requieren son los de la Aritmética básica: Divisibilidad, el Teorema Fundametal de la Aritmética, números primos, cuadrados perfectos, múltiplos de 3, suma de números impares, múltiplos de 2… todo es sencillo.

    Donde está lo verdaderamente interesante y lindo, es en las demostraciones de los teoremas, las propiedades, sumergirse en lo más profundo del mar de las matemáticas, e ir explorando cada vez más cosas y más maravillosas, llegar al corazón de las matemáticas. Cito las siguientes frases célebres:

    Las matemáticas son la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos ellos sencillos y fáciles. René Descartes.

    Las matemáticas son una gimnasia del espíritu y una preparación para la filosofía. Platón.

    Los encantos de esta ciencia sublime, las matemáticas, se revelan sólo a aquellos que tienen el valor de profundizar en ella. Karl Friedrich Gauss.

    Publica una respuesta
    • En este problema hay dos pasos no triviales que requieren de cierta “idea feliz” (no muy rebuscada como en otros problemas más difíciles de una Olimpiada): la factorización de (7^b)-1 y analizar los exponentes de la expansión en suma del factor que no es 6 sabiendo que ha de ser un cuadrado y par.

      Una vez resuelto “parece” trivial, pero realizando el ejercicio ves que sí has de buscar ciertas combinaciones y “darte cuenta”, es decir, sacar cierto músculo. Y también te digo una cosa, incluso sin necesidad de mucho aparejo teórico un problema puede ser complicado, un poco de humildad.

      Aunque sí, estoy de acuerdo en lo que dices sobre el estudio y el expandir el bagaje matemático aprendiendo nuevas propiedades, pero esto también se aprende con la praxis, pues resolviendo problemas uno se da cuenta de los “comportamientos” de números, conceptos y otras estructuras matemáticas intuitivamente para poderlos demostrar.

      Publica una respuesta

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *