Buscando las parejas de enteros

Os dejo hoy martes el problema de esta semana. El enunciado es el siguiente:

Encuentra todas las parejas de enteros (p,q) para las cuales todas las raíces de los polinomios x^2+px+q y x^2+qx+p son números enteros.

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

26 Comentarios

  1. Hay infinitas soluciones del tipo (n,-n-1).

    Sea (x+a)(x+b)=x^2+px+q, p=a+b y q=a*b.
    Sea (x+c)(x+d)=x^2+qx+p, q=c+d y p=c*d.

    Dado n hacemos a=n+1, b=-1, c=-n y d=-1. p=a+b=n+1-1=n, p=c*d=(-n)(-1)=n. q=a*b=(n+1)(-1)=-n-1, q=c+d=-n-1.

    Existen más soluciones, por ejemplo (2,2), que no pertenecen a dicho grupo.

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  2. Encuentro las soluciones siuientes: (4,4), (-4,0), (0,0) y (0,-4).

    (2,2) no era una solución, eran los valores de a y b.

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  3. Creo que la lista completa de parejas es:

    0, -k^2 y k, -k-1 para k entero (incluido el 0) y la especial 4,4.

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  4. Parece que la cosa queda entonces entonces en los pares (p, q) tales que:

    1) p + q = -1
    2) (0, -k^2) y (-k^2, 0) con k entero cualquiera.
    3) El triángulo esporádico (4, 4), (5, 6) y (6, 5).

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  5. Quiero resaltar mi sorpresa ante un hecho aparentemente llamativo:

    x^2+px+q y x^2+qx+p tienen siempre raíces reales cuando p y q son ambos negativos.
    ¿No es raro que estas parejas no den nunca raíces enteras?

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  6. Dan muchas, pero no simultaneamente. Simultaneamente, dado que las raíces varian con continuidad respecto de los parámetros, también, pero no para valores enteros de los parámetros. Supongo … Yo al menos no he demostrado que no haya otras, sino simplemente he hecho una búsqueda exhasutiva con |p|, |q| < 1000 y enteros.

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  7. Mi método es intersecar las dos ecuaciones de las cuales se reduce a:
    2x^{2}+(p+q)x+(p+q)

    Luego mediante la fórmula cuadrática:
    x={-(p+q)_-^+\sqrt{(p+q)^2-8(p+q)} \over 4}

    Como la expresión debe ser mayor o igual a cero, puede escribirse como:
    (p+q)^2-8(p+q)\geq0

    (p+q)^2\geq8(p+q)

    Hallamos su raíz cuadrada:
    \sqrt{(p+q)^2}\geq2\sqrt{2(p+q)}
    (Aunque no creo que haga falta la desigualdad)

    Luego, para que x\in\mathbb{Z} tiene que suceder que el numerador sea múltiplo de 4 y la raíz sea un entero:
    4k=-(p+q)_-^+\sqrt{(p+q)^2-8(p+q)}
    Donde p+q=0 o bien p+q=8, para hacer desaparecer la raíz.

    De allí las parejas:
    (4,4) \longrightarrow(4+4)=16=(p+q)
    (0,0) \longrightarrow(0+0)=0=(p+q)
    (4,0) \longrightarrow(4+0)=4=(p+q)
    (-4,-4) \longrightarrow(-4-4)=-8=(p+q)
    (0,-4) \longrightarrow(0-4)=-4=(p+q)

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    • 4+4 no es igual a 16…. aunque he de admitir que teoría es pura y duramente cierta

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  8. Daniel Davalos

    y multiples valores con p+q < 0 que pueden hacer entera la ecuación

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  9. Daniel, las soluciones de las dos ecuaciones deben ser enteras pero no necesariamente las mismas, de ahí que no las puedas igualar.

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  10. Ignacio,
    (5,6) no es solución, ni tampoco (6,5), claro.
    En todo caso sería (5,-6) pero esa ya está incluida en (p, -p-1)
    así como (-6, 5)

    Quedaría demostrar que no hay más soluciones que las citadas:

    (4,4)
    (0, -k^2) y (-k^2, 0)
    p+q = 1

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  11. Acido,

    Claro que (5, 6) es solución. Utilizando rq para indicar la raíz cuadrada,

    x^2 + 5x + 6 = 0 ==> x = (-5 +/- rq(25 – 24))/2 = (-5 +/- 1)/2 = -2, -3

    x^2 + 6x + 5 = 0 ==> x = (-6 +/- rq(36 – 20))/2 = (-6 +/- 4)/2 = -1, -5

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  12. Me descuidé y mencioné algunas parejas que no cumplen.
    Generalizando las parejas son (p, -p) y (p, 8-p).

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  13. Daniel,

    Tu lo que has hecho es sumar los dos polinomios. Y las raíces de la suma incluiran las que sean *simultaneámente* raíces de ambos, si es que las hay, y otras que no serán raíces ni de uno ni del otro.

    Por otra parte, (p, – p) no es solución a menos que p = 0, pues deberia ser un cuadrado
    perfecto p^2+4p = p(p+4) lo que solo se cumple para p = 0.

    Igualmente, (p, 8 – p) solo es solución para p = 4.

    Como comente antes, soluciones conocidas son:

    1) p + q = -1
    2) (0, -k^2) y (-k^2, 0) con k entero cualquiera.
    3) El triángulo esporádico (4, 4), (5, 6) y (6, 5).

    Queda por ver que no hay otras.

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  14. \boldsymbol{Ignacio Larrosa},
    tienes toda la razón, no debí sumar las ecuaciones.

    \boldsymbol{Acido},
    la metida de pata fue mía.

    Antes debí haber demostrado, solo Fermat fue capaz de asegurar algo sin previa demostración. Sin embargo, además de las soluciones de Ignacio, pueden también ser (p, p-1) y (q, q-1).

    DEMOSTRACIÓN
    Sea la ecuación x^2+px+q; \forall p,q\in{\mathbb{Z}}. Podemos usar la fórmula para hallar sus raíces:
    x=\frac{-p_-^+\sqrt{p^2 - 4q}}{2}

    Podemos considerar q=p-1 para que la raíz resulte entera; tenemos que:
    x=\frac{-p_-^+\sqrt{p^2 - 4(p-1)}}{2}=\frac{-p_-^+\sqrt{p^2 - 4p+4}}{2}=\frac{-p_-^+\sqrt{(p-2)^2}}{2}=\frac{-p_-^+p-2}{2}

    Luego nos quedan las soluciones:
    x_1=\frac{-p+p-2}{2}  y  x_2=\frac{-p-p-2}{2}

    Resolviendo obtenemos los valores:
    x_1=\frac{-2}{2}=-1 y x_2=\frac{-2p-2}{2}=\frac{-2(p+1)}{2}=-(p+1)

    Por lo tanto (-1,-(p+1))\in{\mathbb{Z}}

    De forma análoga se llegan a los resultados enteros para la ecuación x^2+qx+p.//

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  15. Por el mismo método de Daniel Dávalos, también son solución del problema las parejas de la forma (p, q) = (p, (2^k)*p – (2^2k)), y análogamente en función de q.

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  16. Pues no, Daniel, jaja, creo que has errado y me has inducido a cometer el mismo error de concepto. Por ejemplo, las parejas (p, p-1) son solución de la primera ecuación x^2 + px + q pero no de la segunda con la p y q permutadas. Y han de ser solución de las dos simultáneamente.

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  17. ¡Cierto Maelstrom!, ahora me doy cuenta que el par (p,p-1) no sirve para ambas ecuaciones, a excepción de (-1,0), (0,-1).

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  18. El problema es equivalente a encontrar valores enteros a, b y d que cumplan:

    a + b – dab = d²

    Con los siguientes pares a,b se obtienen los valores para p y q ya conocidos:

    0,n²
    n,-n
    1,n
    1,-n-1
    -2,-2
    -1,-5
    -2,-3

    Lo que queda es demostrar que no puede haber más soluciones.

    Para  \left|a\right|, \left|b\right|, \left|d\right| \geq 4 se tiene que

    \left|d\right| = \left|ab-\frac{a+b}{d}\right| \geq \left|ab\right|-\left|\frac{a+b}{d}\right| > \left|ab\right|-\left|a+b\right| \geq \left|a+b\right|

    Es decir, \left|d\right| > \left|a+b\right|

    Como además, a+b tiene que ser múltiplo de d, la única posibilidad es a+b=0, que es una de las soluciones ya encontradas.

    El resto de casos se pueden explorar fácilmente y se ve que no hay más soluciones que las que ya se han dicho.

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  19. ¿Son los valores de la suma y producto de las raíces de una ecuación en segundo grado:

    d^2 + dp + q =0 y d^2 + dq + p=0, es decir:

    -p=a+b y -p=ab
    q=ab y q=-(a+b)

    Coges los valores para esas sumas y productos de raíces de la segunda ecuación cuadrática, y los “metes” en la primera ecuación cuadrática: d^2 - dab-(a+b)=0 ?

    Luego a+b + dab=d^2 ??

    ¿Es eso, no?

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  20. Sí. Creo que se te ha colado un signo, pero sí. Las ecuaciones para p y q serían:

    p = – a – b

    q = ab

    d sería una de las raíces de la otra ecuación. La otra raíz (c) no hace falta porque en realidad, de ahí salen dos valores para d.

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  21. Encuentra todas las parejas de enteros (p,q) para las cuales todas las raíces de los polinomios x^2+px+q y x^2+qx+p son números enteros.

    R: Las parejas de enteros son infinitas ya que queda un sistema de ecuación y se resuelve por las Ecuaciones Diofánticas:

    q= -1 -p
    p= -1-q ===> (p,q) = (-1-q, -1-p) Estas son las parejas de enteros para que las raíces de los polinomios son números enteros.
    Éxito a todos y saludo desde Venezuela

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