Buscando poliedros

Hoy toca problema. El enunciado es el siguiente:

Indicar todos los poliedros (regulares o no) convexos sin agujeros que verifican que cualquier par de caras comparten una arista.

Ánimo, que es sencillo.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

8 Comentarios

  1. El tetraedro y… er… el tetraedro.

    Fuera bromas, diria que es el único.

    Demostración (matando moscas a cañonazos):

    Un poliedro sin agujeros puede ser considerado un grafo planar, abriendo una cara para convertirla en cara externa. Entonces, la propiedad que cualquiera dos caras compartan una arista es equivalente a que su grafo dual (que envia caras a vertices, que son adyacentes en el grafo si las caras lo eran en el poliedro) sea un grafo completo.

    Pero por encima de 5 vertices, el grafo completo no es planar. Los de 2 y 3 vertices no dan poliedros. Asi que el único es el grafo completo de 4 vertices que tiene com poliedro (dual) el tetraedro.

    No se si me he explicado muy bien, y sea como fuere faltan algunos detalles que estoy dando por hechos, pero bueno, se entiende?

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  2. Vale, bien visto, cualquier cosa con el mismo grafo dual que un tetraedro, osea cualquier pirámide de base triangular…

    Eso me pasa por ir demasiado rápido…

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  3. Yo sí que he matado moscas a cañonazos, pongo mi demostración, porque ya que he hecho el esfuerzo pues… que no se diga.

    En principio, cada vértice del poliedro puede estar compartido por tres o más caras, pero voy a intentar demostrar que para cumplir las condiciones del enunciado, tienen que ser forzosamente tres.

    Para que dos caras cualquiera, compartan un vértice y una arista (como pide el enunciado), entonces una de tres:

    1- El vértice está en la arista común.

    2- El vértice no está en la arista común, pero sí en la misma recta. Esta opción se rechaza porque el poliedro no sería convexo.

    3- Ambas caras están en el mismo plano (puesto que por una recta y un punto externo a ella, pasa solamente un plano). Esta opción se rechaza también porque dos caras compartiendo una arista y en el mismo plano, no son dos caras, sino una.

    Y de la primera opción se deduce que cada vértice del poliedro que buscamos estará compartido por tres y sólo tres caras (puesto que cada cara tendrá dos aristas conectadas en cada vértice, lo que solo deja ‘sitio’ a otras dos caras).

    Llamando C al número de caras, y sabiendo que debe tener una arista en comun con cada una de las otras, tenemos que cada cara debe tener (C-1) aristas. El número A de aristas en el poliedro, sabiendo que cada una estará compartida por dos caras, será:

    A = C*(C-1)/2

    El número V de vértices en el poliedro, sabiendo que cada uno estará compartido por tres caras, será:

    V = C*(C-1)/3

    Y usando la fórmula de Euler tenemos:

    C – A + V = 2

    C – C*(C-1)/2 + C*(C-1)/3 = 2

    6C – 3*C*(C-1) + 2*C*(C-1) = 12

    6C – C*(C-1) = 12

    7C – C^2 = 12

    Resolviendo se llega a dos soluciones:

    C=4 y C=3

    De las cuales sólo tiene sentido la primera, es decir, poliedros de cuatro caras y tres aristas (C-1) por cara.

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  4. Tetraedro es un poliedro con cuatro caras. Forzosamente sus caras son triángulos, luego las pirámides de base triangular son tetraedros. Particularmente existe el tetraedro regular. No es un error afirmar que la solución es un tetraedro.
    El tema es que éste no recibe ningún nombre en particular. por ejemplo al paralelepípedo regular se le denomina cubo.

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  5. Para (infinitoalae | 19 de Mayo de 2010 | 2:06)
    Y para todo el mundo.
    Puede que yo sea un poco torpe pero a veces, como los comentarios y respuestas están ordenados por orden de llegada, a veces no queda claro a qué comentario corresponde cada respuesta. Sugiero que cuando alguien comente o responda a una entrada concreta se copie y pegue el nombre, fecha y hora del causante de la entrada, como he hecho en este ejemplo, para no tener que buscar la referencia leyendo todo lo anterior, sobre todo cuando hay muchas entradas. Gracias a todos

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  6. infinitoalae (19 de Mayo de 2010 | 2:06), tienes razón. Siempre asocio erróneamente tetraedro, icosaedro, dodecaedro, etc. a sus correspondientes regulares. Disculpas, Yrekthelas.
    Un saludo.

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  7. La verdad no sé si estoy generalizando. Pero la idea es tomar una cara arbitraria y tomar dos aristas que no compartan ningún vértice y darse cuenta que no puede ser, o sea todas las caras son triangulares.
    Más formalmente sería:

    Tomamos una cara cualquiera del poliedro (llamémosla A) como un polígono convexo cualquiera de N aristas. Ahora, si numeramos las aristas de 1 a N cada una compartiendo el vértice con la anterior (o sea fijamos una y contamos hacia el lado).

    Queremos que cada cara comparta una arista con cualquier otra, en particular la cara que “nace” de la arista 1 (la cara adyacente a A que comparte la arista 1), debe compartir una arista con la cara que nace de la arista 3.
    Ahora pensando en la cara que nace de la arista 2: ésta comparte arista con 1 y 3 o con ninguna, sin embargo, queremos que comparta con ambas. Y, además, si compartiera arista con otra cara adicional (ni 1, ni 3, ni A), ésta última no podría compartir arista con A, y como queremos que cada cara comparta una arista, el poliedro debe tener a lo más 4 caras (A, 1,2 y 3), es decir la familia de las pirámides triangulares.

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