Calcula el área

Hoy toca problema. El de esta semana, enviado por Lautaro hace ya un tiempo al mail de Gaussianos, es el siguiente:

Dadas dos circunferencias $c$ y $d$ de radio 1, situadas según la figura adjunta, calcular el área de la zona coloreada de verde, teniendo en cuenta que cada una de las circunferencias es tangente al centro de la otra.

A por él.

41 comentarios

OnyxIonVortex | 8 de November de 2011 | 09:20

El área es el doble de la del segmento circular delimitado por el segmento que une las intersecciones de las circunferencias. Es decir, A= 2 * (1/2 * R^2 (θ – sen θ)) = R^2 (2π/3 – sqrt(3) / 2)
josejuan | 8 de November de 2011 | 09:45

#OnyxIonVortex, no es correcto y basta combinar estas dos fórmulas

$A_{S}=\frac{r^{2}\theta }{2}=\frac{\pi }{6}$
$A_{T}=r^{2}\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}$
Omar-P | 8 de November de 2011 | 10:03

La vesica piscis (vejiga de pez en latín).
AM | 8 de November de 2011 | 10:29

A mí me sale $\frac{4\pi}{3} - 1$
Pero no pongo como llegar todavía, aunque es muy sencillo…
julio | 8 de November de 2011 | 11:16

Decidme si está bien, y os digo cómo lo he hecho. Nada de mates sofisticadas. No sé si me habré equivocado.

(2*pi)/3 – (raiz de 3)/2
Mostrenco | 8 de November de 2011 | 11:29

Si se divide el área en los pedazos adecuados, resulta bastante sencillo:

(AVISO, PISTA GORDA)

Area total = Área de un tercio de circunferencia + 2 * Area de un sexto de circunferencia – 2 * Área de un triángulo equilátero de lado 1

(FIN DE LA PISTA)

Obtengo el mismo resultado que julio, (2*pi)/3 – (raiz de 3)/2.
NaaN | 8 de November de 2011 | 11:36

Me parece que tengo una resolución demasiado larga para ser correcta, pero no consigo ver qué hago mal.

Si calculamos el área de un sector circular delimitado por los puntos de corte y le restamos el área del triángulo que forman dichos puntos con el centro de una de las circunferencias, ya tenemos la mitad del área verde.

Cogiendo una referencia con origen en $A$ y vectores unidad $\vec{AB}$ y su ortogonal, tenemos que $A=(0,0)$ , $B=(1,0)$ , y las ecuaciones de las circunferencias son $x^2+y^2=1$ y $(x-1)^2+y^2=1$ .

Los puntos de corte, pues, son $P=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$ y $Q=(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$ . Sea $\vec{u}=\vec{AP}$ y $\vec{v}=\vec{AQ}$ ; haciendo $\vec{u} \cdot \vec{v}=||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos{\alpha}$ , tenemos que $\cos{\alpha}=-\frac{1}{2}$ y, por lo tanto, $\alpha=\frac{2 \pi}{3}$ .

El área del sector circular de $c$ delimitado por $P$ y $Q$ es, pues, $\frac{2 \pi}{\frac{2 \pi}{3}} \pi 1^2=3 \pi$ .

Sabiendo las coordenadas de los puntos $P$ y $Q$ , sabemos la longitud de $\bar{PQ}$ , que es $\sqrt{3}$ y, por la fórmula de Herón, el área del triángulo $APQ$ es $\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

Por lo tanto, la mitad de la zona verde (el sector circular delimitado por $APQ$ menos el triángulo delimitado por $APQ$ ) vale $3 \pi-\frac{\sqrt{3}}{4}$ .

Multiplicando por dos, el área de la parte verde es $6 \pi-\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Me sale casi como a Julio pero quizás he cometido un error de cálculo…
NaaN | 8 de November de 2011 | 11:42

Eh, se veía bien hasta que he editado una tontería y se me ha comido todas las “” lo siento muchísimo.

EDITADO POR ^DiAmOnD^: Ya se ve todo bien

En resumen, me da $6 \pi-\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
AM | 8 de November de 2011 | 11:56

Ok, si calculo bien el area del triangulo equilátero me da igual que a julio

$\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

La manera sencilla de calcularlo es por construcción. La mitad superior puede verse como el área del sector circular de 60º (pi/6) más otra vez el mismo area de ese sector circular menos el triangulo equilátero. Esto lo multiplicamos por dos para tener la mitad inferior y nos da la solución… (similar a lo que dijo Mostrenco)
julio | 8 de November de 2011 | 12:15

Bueno, vamos en la misma línea.
Me he limitado a inscribir un hexágono regular dentro del círculo, haciendo coincidir dos de sus vértices con los puntos de corte, y ahí se ve todo…..
NaaN | 8 de November de 2011 | 12:23

Ya lo veo. En mi resolución tenía que ser que el área del sector circular es $A=\frac{\frac{2\pi}{3}}{2\pi}\pi1^2=\frac{\pi}{3}$ , y no $3\pi$ como dije antes. por lo tanto mi resultado sí que es igual que el vuesto

Ya empiezo a parecer un troll así que no comento más pero estoy contenta de haberlo hecho bien finalmente.

PD: Siempre que edito un comentario desaparecen todas las “\” del LaTeX
Mostrenco | 8 de November de 2011 | 13:01

En matemáticas los razonamientos más simples suelen ser los más poderosos. Fíjaros, AM y NaaN (en tu primer resultado), que obtenéis un área superior a la de medio círculo de radio 1, siendo ésta una cota más que razonable.
Oier | 8 de November de 2011 | 13:11

Hay dos triángulos equiláteros de lado 1 (en verde). El resto que queda, es decir, entre los lados de los triángulos y la circunferencia es la sexta parte de la diferencia entre el área del círculo y el exágono de lado 1.

Área del triángulo equilátero de lado 1:
$A_triángulo={1 cdot 1 cdot sin(60º)}over{2}={sqrt{3}}over{4}newline A_{trozo}= {A_círculo}over{6}-A_triángulo={%pi cdot 1^2}over{6}-A_triángulo={%pi}over{6}-{sqrt{3}}over{4}newline A_verde=2 cdot A_triángulo+4 cdot A_trozo={sqrt{3}}over{2}+{2 cdot %pi}over{3}-sqrt{3}={2 cdot %pi}over{3}-{sqrt{3}}over{2}$

Por lo tanto:

$A_verde={2 cdot %pi} over {3} - { sqrt{3} } over {2}$
Trackback | 8 Nov, 2011

Bitacoras.com
Alriga | 8 de November de 2011 | 13:55

El área de los 4 segmentos circulares es:
4x(Area sector circular de 60º – Area triángulo equilatero de lado 1)
4x(pi/6 – raiz(3)/4)

El área de los dos triángulos equiláteros de lado 1 es:
2xraiz(3)/4

Total=2xpi/3-raiz(3)/2
Pedro T. | 8 de November de 2011 | 14:27

$4 \times \int_0^\frac{\sqrt{3}}{2} \! \left( \sqrt{1-x^2}-1/2 \right) , \mathrm{d} x = \frac{2 \pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
Manuel Miguel | 8 de November de 2011 | 14:50

Situamos una circunferencia de R=1 en el origen, circunferencia c, y la trasladamos una unidad a la derecha: ya disponemos así de las dos ecuaciones de c y d. Calculamos su eje radical, recta paralela al eje de ordenadas que pasa por el punto (1/2,0) y basta con calcular los puntos de corte de dicha recta con la circunferencia c. Ya podemos calcular el área del segmento circular obtenido y al multiplicarla por 2 el problema está resuelto. Y resuelto con los conocimientos de matemáticas que tienen que tener chavales de 1º de Bachillerato.
OnyxIonVortex | 8 de November de 2011 | 14:51

¡Entonces lo que yo he dicho está bien, R^2 (2π/3 – sqrt(3) / 2) que para radio = 1 es justamente (2π/3 – sqrt(3) / 2) !
Damiancete | 8 de November de 2011 | 15:21

Podemos suponer que la circunferencia C es (x+1/2)^2+y^2=1
y la circunferencia D es (x-1/2)^2+y^2=1.

Entonces el área pedida es, por simetría, 4 veces el área entre 0 y 1/2 de la circunferencia C;
es decir, la integral de la función raíz(1-(x+1/2)^2) entre 0 y 1/2.

Haciendo el cambio x+1/2=sent, dx=costdt, se llega a la integral entre pi/6 y pi/2
de (cost)^2=(1+cos(2t))/2.

Por tanto, el resultado es 4 veces dicha integral: 2*pi/3-raíz(3)/2, como ya se ha dicho anteriormente.
Miguel Sesma | 8 de November de 2011 | 16:47

Me ha recordado otro problema que sería un caso más general que este:

Imaginemos que tengo un campo circular. Ato un burro a un punto de su perímetro. Que longitud le doy de cuerda, para que se coma la mitad de la superficie de mi campo redondo………

En aquel caso presenté una solución que creo correcta y podeis ver aquí:
http://www.todopocketpc.com/showthread.php/122387-Se-me-ha-presentado-un-problema-matem%C3%A1tico?p=827018&viewfull=1#post827018
Y con los gráficos aquí:
http://www.todopocketpc.com/showthread.php/122387-Se-me-ha-presentado-un-problema-matem%C3%A1tico?p=827038&viewfull=1#post827038
josé manuel | 8 de November de 2011 | 17:40

buen día. El área es (2*pi)/3-(raíz3)/2
Canary | 8 de November de 2011 | 18:04

Es sencillo. Si pones el hexágono incrito y calculas el área sobrante y la divides entre 6. Sabes cuanto mide cada fragmento pequeño que llamaremos c, ya que el área a calcular ,A=4c+(3/4)^(1/2)=(2/3)*Pi-(3/4)^(1/2) Esta es la solución.
Moises | 8 de November de 2011 | 18:43

Su solución es fácil en la forma geométrica: A ver, me explico, como A y B son puntos centrales a las circunferencias c y d, respectivamente, y además llamemos P y Q los puntos secantes donde ambas circunferencias se intersecan, entonces trazamos los segmentos AB, AP y BP, los cuales como son radios de longitud 1, se forma el triángulo equilátero ABP. Sacamos el área del triángulo circular APB cuyo ángulo es de 60° lo cual nos da como resultado pi/6, y luego sacamos el área del sector circular PB el cual tendríamos que restar el área del triángulo circular APB con el área del triángulo equilátero APB, cuyo resultado es pi/6 – (raíz cuadrada de 3)/4. Y hemos calculado el área de la región APB, como AQB es simétrico, entonces simplemente duplicamos y obtenemos el área total que es:
2pi/3 – (raíz de 3)/2
Cristhian Camacho | 8 de November de 2011 | 19:47

Sean las circunferencias:

$c: x^{2}+y^{2}=R^{2} \Rightarrow x=\sqrt{R^{2}-y^{2}}$
$d: (x-R)^{2}+y^{2}=R^{2} \Rightarrow x=R-\sqrt{R^{2}-y^{2}}$

Los puntos de interseccion entre $c$ y $d$ son: $\left ( \frac{R}{2} , \pm \frac{\sqrt{3}}{2}R\right )$

Luego la integral para hallar el area es:

$A=\int_{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}R}^{y=\frac{\sqrt{3}}{2}R} \int_{x=R-\sqrt{R^{2}-y^{2}}}^{x=\sqrt{R^{2}-y^{2}}} dxdy$

$A=\int_{-\frac{\sqrt{3}}{2}R}^{\frac{\sqrt{3}}{2}R} \left ( 2\sqrt{R^{2}-y^{2}}-R \right ) dy$

$A=\left [ y\sqrt{R^{2}-y^{2}}+R^{2}\arcsin \left ( \frac{y}{R} \right ) - Ry \right ]\left.\begin{matrix} \\ \\ \end{matrix}\right|_{-\frac{\sqrt{3}}{2}R}^{\frac{\sqrt{3}}{2}R}$

$A=\left [ \frac{\sqrt{3}}{2}R\sqrt{R^{2}-\frac{3}{4}R^{2}}+R^{2}\arcsin \left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right ) - R\frac{\sqrt{3}}{2}R \right ] - \left [ -\frac{\sqrt{3}}{2}R\sqrt{R^{2}-\frac{3}{4}R^{2}}+R^{2}\arcsin \left ( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right ) - R\left (- \frac{\sqrt{3}}{2}R \right ) \right ]$

$A=\left [ \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{R^{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{R^{2}}{2}+R^{2}\frac{\pi }{3}- \left (- R^{2}\frac{\pi }{3} \right ) - \frac{\sqrt{3}}{2}R^{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}R^{2} \right ]$

$A=\left [ \frac{\sqrt{3}}{2}R^{2}-\sqrt{3}R^{2} + \frac{2}{3} \pi R^{2} \right ]$

$A=\frac{2}{3} \pi R^{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}R^{2} = \left ( \frac{2}{3} \pi -\frac{\sqrt{3}}{2} \right )R^{2} = \left ( \frac{4\pi -3\sqrt{3}}{6} \right )R^{2}$
JJGJJG | 8 de November de 2011 | 20:25

¿Son tangentes a los centros o simplemente pasan por ellos?
Jose M | 8 de November de 2011 | 21:32

Yo opté por la integral acotada entre 1/2 y 1 de

y = sqrt(1-x²) , que es la formula de la circunferencia con centro (0,0) y radio 1
Con lo que me da un área bajo la curva entre 1/2 y 1

Luego lo multiplico por 4.

Vamos, una solución ya planteada en otros comentarios
Juanjo Gibaja | 8 de November de 2011 | 23:06

Me quedo con la solución de Pedro T.
josé manuel | 9 de November de 2011 | 00:27

las circunferencias, pueden considerarse también ortogonales a los centros, considerados estos como circunferencias infinitamente pequeñas.
José Abel | 9 de November de 2011 | 05:35

Buenas noches a todos. Se me ocurrió solucionarlo usando integrales en un sistema de coordenadas polares:

$A=\ 2\int^{\frac{\pi }{3}}_0{\int^1_0{rdrd\theta }}+2\int^{\frac{\pi }{2}}_{\frac{\pi }{3}}{\int^{2{\cos \left(\theta \right)\ }}_0{rdrd\theta }}\ \$

$A=\ \int^{\frac{\pi }{3}}_0{d\theta }+\int^{\frac{\pi }{2}}_{\frac{\pi }{3}}{4{{\cos \left(\theta \right)\ }}^2d\theta }\$

$A=\ \frac{\pi }{3}+2\int^{\frac{\pi }{2}}_{\frac{\pi }{3}}{1+{\cos \left(2\theta \right)\ }d\theta }\$

$A=\ \frac{\pi }{3}+2\left[\theta +\frac{{\sin \left(2\theta \right)\ }}{2}\right] \begin{array}{c} \frac{\pi }{2} \\ \frac{\pi }{3} \end{array} \$

$A=\ \frac{\pi }{3}+2\left[\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}-\frac{{\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)\ }}{2}\right]\$

$A=\frac{\pi +3\pi -2\pi }{6}-{\sin \left(\frac{2\pi }{3}\right)\ }\$

$A=\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\$

Felicitaciones Gaussianos por este excelente blog. Lo leo muy seguido. Saludos desde México.
Pedro | 9 de November de 2011 | 06:49

Necesitamos saber el área del sector circular y el área del triangulo equilátero. Del primero restamos el segundo respectivamente para obtener las cuatro partes que junto con las dos áreas de los triángulos nos dan el área deseada.

$frac{2 p_i}{3} - frac sqrt{3}{2}$
biuler | 9 de November de 2011 | 11:34

A mí me sale (2xPi)/3 – (raíz3)/2. Calculo el área del sector de ángulo 60º y le resto el área del triángulo rectángulo de lados contiguos R, R/2 con ángulo 60º. A esa diferencia la multiplico por 4 y listo.

Felicidades por el blog. Aunque es la primera vez que comento, lo leo desde hace meses.
Rubén Salinas | 9 de November de 2011 | 13:12

Hola Gaussianos:
El primer área a determinar es el de un segmento circular.Esto lo hacemos restando al área de un sector cicular, el área del triángulo equilátero.Tendremos cuatro de estos segmentos circulares.Además tenemos dos triángulos equiláteros(o un rombo). Sumamos estas áreas parciales, con lo cual el área pedida es:
A=2/3 Pi.r
Sm4o | 10 de November de 2011 | 00:11

Es posible que tenga algo que ver con los radianes? Si cogemos una cuerda que mida igual que el radio y la ponemos encima de la circunferencia nos podría dar el ángulo de la mitad del área, que es igual a un radián. Al ser la mitad, hay que multiplicar por 2 el ángulo del radián y nos debería dar el ángulo total. A partir de allí no he continuado por falta de tiempo.
Salva | 10 de November de 2011 | 12:08

Dendro del área a calcular, se ven claramente dos triángulo equiláteros de lado 1.
Este triángulo tiene tres ángulos de 60º.
Vamos a calcular el área de un sector circular, para ello tenemos que saber el ángulo del sector circular, que mirando los dos triángulos equiláteros, nos damos cuenta que es un ángulo de 120º.
Como el radio es 1, entonces $A=\frac{\pi\cdot 1^2\cdot 120}{360}=\frac{\pi}{3}$
El área a calcular, pintada en verde, es igual a los dos sectores circulares menos el rombo formado por los dos triángulos equiláteros.
Para calcular el área del rombo, necesito la diagonal mayor que es 2 veces la altura del triángulo equilatero (que es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ). Por lo tanto la diagonal mayor del rombo es $2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.$ .
El área del rombo es igual $=\frac{D\cdot d}{2}=\frac{\sqrt{3}\cdot 1}{2}$
$A=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}\cdot 1}{2}=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
Víctor Sánchez | 10 de November de 2011 | 14:48

Bueno, ya ha quedado bastante claro, pero para que no queden dudas, he hecho trampas para comprobar el área y según el AutoCAD es 1.2284 para circunferencias de radio 1

por lo que las soluciones 2*pi/3 – raiz(3)/2 y equivalentes son las correctas.

Un saludo a todos!
N. Freeman | 11 de November de 2011 | 21:57

A mi me ha salido que la solucion es 2*(PI)/3
Y si se prefiere poner en forma de funcion dependiente del radio:
2(pi)R/3
jesús | 12 de November de 2011 | 01:57

Yo lo planteo como el area resultante de la intersección de la recta x=0.5 y la circunferencia con centro (0,0) integrando y multiplicando el resultado por 2.
Kmpos | 12 de November de 2011 | 23:53

Podré estar equivocado pero la respuesta de $\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt[]{3}}{2}$ es solo la suma de los sectores circulares sin incluir el rombo. He llegado a la respuesta de $\frac{2\pi }{3}$ pero lo hice mientras viajaba en el bus, así que puedo estar equivocado.
José Cordero | 16 de November de 2011 | 04:34

Gracioso, propuse el mismo problema de matemáticas en clase y pensé que yo lo había inventado, ahora vi que no u.u aqui les va la solución, y no usa nada de integrales ni de seno ni de matrices, etc. es bastante simple:
trazamos un segmento en los dos vertices donde se cortan los círculos
vamos a llamar el vertice de arriba de E y el de abajo de F
vemos que hay dos triangulos equiláteros (EAB y ABF) porque sus lados son radios de la circunferencia.
vemos uno de los dos círculos y vemos el segmento EF, vemos que su arco ocupa 120º (dos triángulos equiláteros)
para ver la área entre el segmentto EF y el arco tenemos que dividir el área del circulo en tres (360/120) restándole la mitad izquierda del rombo AEBF. Al calcular el área, la multiplicamos por dos (son dos círculos) y tendremos el area verde. A los que no me entendieron si quieren me piden y les mando un correo:
jose.m.cordero.c@gmail.com
saludos, suerte
roberprof | 9 de December de 2011 | 16:50

Coincido con la mayoría:
$\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
José María | 26 de February de 2012 | 22:29

Hola
La solución es la del comentario anterior.
Descomponemos el área a calcular en un área circular y dos segmentos circulares,y el resultado es inmediato.
Saludos