Calcula el valor de A

Un problema sobre números naturales:

Sean x, \; y números naturales, x,y > 1, tales que mcd(x,y)=1. Hallar justificadamente el valor de:

A=\left ( \left \lfloor\cfrac{x}{y} \right \rfloor + \left \lfloor \cfrac{2x}{y} \right \rfloor + \ldots + \left \lfloor \cfrac{(y-1)x}{y} \right \rfloor \right ) - \left ( \left \lfloor \cfrac{y}{x} \right \rfloor + \left \lfloor \cfrac{2y}{x} \right \rfloor+ \ldots + \left \lfloor \cfrac{(x-1)y}{x} \right \rfloor \right )

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

8 Comentarios

  1. No controlo el Latex pero usando la suma de la proresion aritmetica obtengo que A=(y-x)/2.

    El primer termino es (x/y)*(y-1)*(y-1+1)/2= x*(y-1)/2
    El segundo termino es (y/x)*(x-1)*(x-1+1)/2= y*(x-1)/2

    Restandolos obtengo (y-x)/2

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  2. Jechira, ese sería el resultado si obviamos las barras que denotan la parte entera de un número.

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  3. Sí, un par de ejemplos en excel, y el vago recuerdo de la demostración gráfica de la integración por partes definida (Rey Pastor!) me llevan a verlo así:
    Dibujar (en papel cuadriculado, claro está) un triángulo rectángulo con catetos de largo x e y. Contar los cuadraditos (o su area, como quieran) contenidos estrictamente dentro del triángulo (la condición de que los números sean coprimos elimina la pequeña complicación de que la hipotenusa pase justo por un punto de la grilla; todo cuadradito interno no toca pues la hipotenusa).
    Mostrar luego que ambos términos entre paréntesis equivalen a dos formas distintas de contar estos cuadraditos, uno agrupando por filas y otro por columnas (hay que graficarlo para verlo).
    Entonces, los dos términos entre paréntesis son iguales y el valor buscado es cero.

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  4. Creo que la suma de cada paréntesis puede calcularse usando el teorema chino del resto: los restos de dividir ix por y, donde i=1,\ldots, y-1, son todos diferentes, por lo tanto
    \displaystyle{y\, \sum_{i=1}^{y-1}\left\lfloor \frac{ix}{y}\right\rfloor +\sum_{i=1}^{y-1}i= \sum_{i=1}^{y-1}ix}, de donde se despeja el valor \frac{(x-1)(y-1)}{2}.

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  5. La de Mariano es parecida a la mía. Yo lo que hago es tratar cada paréntesis como una sucesión aritmética normal, tal como hizo Jechira en el primer mensaje, y después calculo el error cometido y se lo resto a cada paréntesis.

    El error es 1/y + 2/y + \ldots + (y-1)/y en el caso del primer paréntesis, y si se desarrolla y se resta al valor del paréntesis calculado por Jechira vuelve a salir (x-1)(y-1)/2.

    En el caso del segundo paréntesis, un razonamiento similar lleva al mismo resultado.

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  6. Por si alguno no entendió la demostración gráfica, y por si le interesa, acá armé una imagen (no se puede embeber en el comentario, no?) http://hjg.com.ar/varios/floorpick.gif
    Corresponde al caso x=5  \; y=8
    Lo primero es entender que, por ejemplo, la barra azul representa \displaystyle  \frac{5}{8}=\frac{x}{y} (obvio, por semejanza de triangulos), y, de la misma manera la verde es \displaystyle 2 \frac{5}{8}= 2 \frac{x}{y}, etc…
    Y que tomar la parte entera corresponde a acortar el segmento al punto de la grilla.
    Entonces, tenemos que las y-1=7 barras verdes (una de las cuales se reduce a un punto) son los términos de la sumatoria del primer paréntesis.
    Y, simétricamente, las x -1 = 4 barras rojas son los términos del segundo paréntesis.
    Después, vemos que los segmentos unitarios verdes se corresponden uno a uno a los cuadraditos interiores del triángulo, los grises (también podríamos considerar los vértices internos de la grilla, es lo mismo). O sea que esa sumatoria equivale a la cuenta de esos cuadraditos. Y lo mismo con los rojos. QED.

    Como corolario, puede verse también el resultado más completo que apuntaron otros: que la suma da \displaystyle \frac{(x-1)(y-1)}{2} = \frac{xy - (x+y -1)}{2}, contando los cuadraditos “pisados” por la hipotenusa y restándolos del total…

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