Calcula el valor de la integral

El problema de la semana consiste en calcular el valor de una integral. Es el siguiente:

Calcular, en función de $a,b>0$ , la integral siguiente:

$\displaystyle{\int_0^1 ( (1-x^a)^{\frac{1}{b}} - (1-x^b)^{\frac{1}{a}}) )dx}$

A por él.

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 7 de October de 2008
Categorías: Juegos | Imprime este post

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Trackback | 7 Oct, 2008

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juantxorena | 7 de October de 2008 | 09:55

¿Se pueden usar integrales conocidas raras o hay que hacerlo a pelo? Porque tengo por aquí una tabla de integrales que me ayuda bastante.
Tito Eliatron | 7 de October de 2008 | 10:30

A mi me da que va a estar relacionada con las funciones $\Gamma$ (gamma) y $B$ (beta) de Euler
juantxorena | 7 de October de 2008 | 10:41

Bueno, empiezo:
Tengo por aquí en un Schaum de fórmulas y tablas la siguiente integral definida:

$\int_{0}^{r} x^m(r^n-x^n)^p\, dx = {{r^{m+1+np} \Gamma [(m+1)n] \Gamma(p+1)} \over {n \Gamma [(m+1)/n + p+1]}}$

La integral se puede dividir en dos integrase que se restan, así que usando la solución anterior tenemos para la primera:

$\int_{0}^{1} (1-x^a)^{\textstyle \frac{1}{b}}\, dx = {{\Gamma (\frac{1}{b}) \Gamma (1+ \frac{1}{a}) } \over {a \Gamma (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + 1)}}$
Con r=1, m=0, n=a y p=1/b

La otra integral sería igual pero intercambiando a por b. Además, por definición de la función gamma, se sabe que $\Gamma (n+1) = n \Gamma(n)$ , luego se tiene tras hacer algunas cuentas:

$\int_{0}^{1} ((1-x^a)^{\textstyle \frac{1}{b}} - (1-x^b)^{\textstyle \frac{1}{a}})\, dx = { {\Gamma(\frac{1}{a}) \Gamma(\frac{1}{b})} \over {\Gamma(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}) } { {(\textstyle \frac{1}{b} - \textstyle \frac{1}{a})} \over {(a-b) (\textstyle \frac{1}{b} + \textstyle \frac{1}{a})} }$

Por un lado, ${ {(\textstyle \frac{1}{b} - \textstyle \frac{1}{a})} \over {(\textstyle \frac{1}{b} + \textstyle \frac{1}{a})} } = { {(a-b)} \over {(a+b)} }$ , luego

${ {(\textstyle \frac{1}{b} - \textstyle \frac{1}{a})} \over {(a-b) (\textstyle \frac{1}{b} + \textstyle \frac{1}{a})} } = { {(a-b)} \over {(a+b) (a-b) } } = \frac{1}{a+b}$

Por otro lado, por definición, ${ {\Gamma (n) \Gamma (m) } \over {\Gamma (n+m) } } = B (n,m)$ , así que

${ {\Gamma(\frac{1}{a}) \Gamma(\frac{1}{b})} \over {\Gamma(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}) } = B (\frac{1}{a},\frac{1}{b})$

Juntando estas dos cosas se obtiene la solución final, que no se si se puede simplificar más:

$\int_{0}^{1} ((1-x^a)^{\textstyle \frac{1}{b}} - (1-x^b)^{\textstyle \frac{1}{a}})\, dx =B (\textstyle \frac{1}{a},\textstyle \frac{1}{b}) \frac{1}{(a+b)}$

Y yatta. Demasiado fácil con chuleta
juantxorena | 7 de October de 2008 | 12:26

Por si alguien cree que he hecho trampa, tengo otra solución:

La definición de la función beta, aparte de la que he dicho antes de las gammas, es:

$B(m,n)=\int_{0}^{1} t^{m-1}(1-t)^{n-1} \, dt ; m,n>0$

Igual que antes, se separa el problema en dos integrales, y se realiza el cambio de variable $x=t^{1/a}$ en la primera y $x=t^{1/b}$ en la segunda. Por ejemplo, para la primera se tendría $dx=\frac{t^{1/a-1}}{a} dt$ , así que se obtiene

$\int_{0}^{1} (1-x^a)^{\textstyle \frac{1}{b}} \, dx = \frac{1}{a} \int_{0}^{1} t^{\textstyle \frac{1}{a}-1}(1-t)^{\textstyle \frac{1}{b}} \, dt = \frac{1}{a} B (\frac{1}{a},\frac{1}{b}+1 )$

La otra parte de la integral, la que resta, sería igual pero intercambiando a con b. A partir de aquí, sólo hay que poner las betas en función de gammas y hacer lo mismo que he hecho antes.
M | 7 de October de 2008 | 18:09

Hola, juantxorena, efectivamente, una posible idea es usar la función beta (o gamma), pero has cometido algún error de aplicación de la fórmula inicial pues el valor final no es correcto, ni tampoco es correcto el valor

$\int_{0}^{1} (1-x^a)^{\textstyle \frac{1}{b}}\, dx = {{\Gamma (\frac{1}{b}) \Gamma (1+ \frac{1}{a}) } \over {a \Gamma (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + 1)}}$
juantxorena | 7 de October de 2008 | 18:24

M: es cierto, en mi primera solución las gammas del numerador tienen a y b intercambiados. Con la segunda solución salen bien. Pero aparte de eso, el resultado final me sale igual. ¿Qué te sale a ti?
juantxorena | 7 de October de 2008 | 18:40

También está el hecho de que me he dejado un símbolo de fracción, así que la primera gamma del numerador sería Gamma[(m+1)/n]. Mejor fijarse en la segunda solución, que está bien. O eso creo.
M | 7 de October de 2008 | 19:18

OK, juantxorena, lo tenías hecho:

$\int_{0}^{1} (1-x^a)^{\textstyle \frac{1}{b}} \, dx = \frac{1}{a} B (\frac{1}{a},\frac{1}{b}+1 )=\dfrac{\Gamma(1+\frac{1}{a})\Gamma(1+\frac{1}{b})}{\Gamma(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+1)}$ , y, por simetría, la integral pedida vale 0. ¿Intentamos una solución “más elemental” sin usar la beta de Euler?
Pedvi | 7 de October de 2008 | 19:34

¿Puede que la idea sea que como estas integrando la resta de una misma función en dos puntos diferentes (a,b) y (b,a) por un teorema -de cuyo nombre no puedo acordarme- si la función cumple ciertas condiciones se anule?

La verdad es que creo que he dicho una tontería, otra idea es desarrollar lo de dentro de la integral con el teorema del binomio y darte cuenta de que se cancelan los términos; pero es hablar por hablar porque ahora mismo no puedo hacer ninguna cuenta.
M | 8 de October de 2008 | 16:48

Sin necesidad de hacer cálculos complicados, se ve que la integral pedida es 0, notando que la función $(1-x^a)^{1/b}$ es biyectiva (aplicando [0,1] en [0,1]), y que su inversa (respecto a la composición) es precisamente $(1-x^b)^{1/a}$ .
juantxorena | 8 de October de 2008 | 20:34

Vale, ahora lo veo. La verdad es que no se dónde me equivoqué al hacer las cuentas, aparte de en no meter los 1/a y 1/b dentro de las gammas, luego las repaso. Lo último que ha dicho M no lo acabo de ver, tengo que pensar en ello. Soy ingeniero, no matemático
Cristobal | 10 de October de 2008 | 20:32

@juantxorena-> La idea de M es muy sencilla y se da en la ESO al ser una inversa de la otra se cumple que son simétricas, por tanto la porción de área a calcular en [0,1] (en este caso) es la misma, luego al restar ambas porciones iguales nos da cero.
Si las hubiésemos tenido que sumar ya habría sido más dificultoso.
Saludos
hernan | 10 de October de 2008 | 21:55

Ehmmm… me debo estar perdiendo algo obvio, pero…
Que sean inversas implica que los graficos son simétricos respecto de la recta a 45 grados, pero no veo la otra implicancia.
Digamos que con ese mismo criterio también se cumpliría que $\int_0^1 x^3- x^{1/3} dx = 0$ , lo cual, por supuesto, es falso.
hernan | 10 de October de 2008 | 22:19

Ah, pero si la función es decreciente, ahí puede ser…
M | 10 de October de 2008 | 23:10

Efectivamente, hernan, la función $f(x)=(1-x^a)^{1/b}$ no sólo es estrictamente decreciente, sino que además $f(0)=1$ y $f(1)=0$ , y por tanto el área encerrada con OX es la misma que con OY.
Cristobal | 11 de October de 2008 | 20:38

Bueno lo de ser decreciente o creciente no tiene porqué ser una condición necesaria o suficiente, de hecho, si hacemos la $\int_{0}^{\sqrt[8]{27}} x^3-\sqrt[3]{x}\, dx$ nos da cero, una son inversa de la otra, pero ambas son crecientes. Lo que más influye es que la región a integrar nos da una curva totalmente cerrada en la que si la dividimos con el eje de simetría de la biyección nos separa la curva cerrada en dos mitades exactamente iguales. El caso es que en el ejercicio del artículo ha coincidido que sea en el [0,1] pero no tiene porqué ser siempre ese intervalo.
Vamos, esto es lo que deduzco sin hacer demostraciones rigurosas ni nada, sólo tanteando posibilidades
Este ejercicio viene muy bien por si me sale en las oposiciones de secundaria, igual me animo y publico uno en mi blog que tengo por ahí resuelto que no es fácil caer en su resolución cuando estas sometido a tal presión.
IvanKOF | 12 de October de 2008 | 21:58

LA SOLUCION ES CERO.
Si calculamos en función de a,b>0 la integral deberia describir una area bajo la curva positiva. La cual resulta en un valor de cero.
juantxorena | 14 de October de 2008 | 11:23

Bueno, la cosa está que cuando vi que tenían que ver con las funciones de Euler ni se me pasó calcular la inversa de las funciones.
Ricardo | 25 de October de 2008 | 06:22

Hola, tengo un problema de tesis que no puedo resolver si me apoyas en solucionarlo te agradeceria mucho.
La Integral es:
∫0 -> 1 de
∫(1/(Ln(1/(1-x)))^(1/n) dx
tal que n es un numero decimal positivo; pero el hacer la funcion de gamma de euler no permite numeros negativos cuando se introduce dichos numeros (n:0 -> 5)
DIDIER | 14 de January de 2009 | 06:48

hola que tal amigos . estoy haciendo una monografia de la funcion gamma y beta tengo mucHA INFORMACION DESEO SABER SI ALGUIEN ME PUEDE FACILITAR ALGO DE LA HISTORIA DE ESTAS DOS FUNCIONES SE LES AGRADECE SU AYUDA