Calcula el valor de la suma

Os dejo el problema de esta semana. Ahí va:

Sean a,b,c números naturales verificando 1 \leq a \leq b \leq c. Hallar el valor de la suma

\displaystyle{\sum_{i=0}^c} \cfrac{(-1)^i}{a+c+i} \cdot \cfrac{(b+c+i)!}{i!(c-i)!(b+i)!}

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

11 Comentarios

  1. Todos los terminos del sumatorio se cancelan entre si, asi que el resultado es cero patatero ( 0 ) … XD

    Saludos.

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  2. Un problema con un resultado interesante pero que no puedo demostrar es que
    \displaystyle \sum\limits_{k = 0}^m {{{\left( { - 1} \right)}^k} {m\choose k}\frac{1}{{n + k + 1}}}  = \sum\limits_{k = 0}^n {{{\left( { - 1} \right)}^k} {n\choose k}\frac{1}{{m + k + 1}}}

    En realidad, el hecho de que S(m,n) = S(n,m) ya da una pista sobre hacia donde apuntar.

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  3. Muy buena pista Pedro T. es cierto sale 0 hasta cierto punto usando un programa, luego la maquina se raya con los decimales.

      \displaystyle \sum_{i=0}^{c} \frac{(-1)^{i}}{a+c+i} \cdot  \frac{(b+c+i)!}{i! (c-i)! (b+i)!} = \sum_{i=0}^{c} \frac{(-1)^{i}}{a+c+i} \binom{c}{i}\binom{b+c+i}{c}

    Nota: Que bueno el comando \displaystyle de latex para que la formula no salga asi   \sum_{i=0}^{c} \frac{(-1)^{i}}{a+c+i} \binom{c}{i}\binom{b+c+i}{c} Saludos desde Bolivia hasta nuestra amada Madre Patria España

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  4. Saludos después de tanto tiempo. Otra forma: dado que 1\leq a\leq b\leq c, entonces p(x):=\dfrac{(x+b+c)\cdot (x+b+c-1)\cdot \ldots\cdot (x+b+1)}{x+a+c} es un polinomio de grado c-1.

    Luego, su diferencia (progresiva) de orden c es nula:

    0\equiv \Delta^c p(x)=\displaystyle{\sum_{i=0}^c}(-1)^{c-i}{c \choose i}p(x+i).

    Evaluando en x=0 se deduce que la suma es efectivamente 0.

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  5. como si no tubiera mas nada que hacer!! ademas, aun no me enseñan sumatorias en la uni 🙁

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  6. Me parece que es el resultado de multiplicar dos sumatorias una cuyo resultado sea 0
    algo así.

      \displaystyle  0 = \left ( 1-1 \right )^{c} = \sum_{i=0}^{c} \binom{c}{i} (-1)^{i} \; ; \;  c\geqslant 1

      \displaystyle  \left [ \sum_{i=0}^{c} \binom{c}{i} (-1)^{i} \right ]\cdot \left [ \sum  \texttt{algo } \right ] = \sum_{i=0}^{c} \frac{(-1)^{i}}{a+c+i} \binom{c}{i} \binom{b+c+i}{c}

    Es posible que este yendo por mal camino, muy bueno el problema, jejeje yo tampoco se mucho de sumatorias aunque si me las enseñaron en la U

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  7. Fan desde ya del señor o señora M. Desde que leo gaussianos y veo tus aportaciones, tus métodos se me antojan siempre, aparte de sublimes, originales. Siempre tienes un arsenal de algoritmos que, aunque a veces parecen alejados de lo propuesto, llegan a meta y de manera casi maravillosa. Si fede es el geómetra de gaussianos, tú eres una especie de algorista a lo Euler.

    Perdón por el panegírico.

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