Calcula el valor de la suma

Os dejo el problema de esta semana. Ahí va:

Sean $a,b,c$ números naturales verificando $1 \leq a \leq b \leq c$ . Hallar el valor de la suma

$\displaystyle{\sum_{i=0}^c} \cfrac{(-1)^i}{a+c+i} \cdot \cfrac{(b+c+i)!}{i!(c-i)!(b+i)!}$

A por él.

12 comentarios

mandanga | 15 de November de 2011 | 12:58

Feliz día de San Alberto Magno, patrón de las ciencias!!
Trackback | 15 Nov, 2011

Bitacoras.com
Ignacio Larrosa Cañestro | 15 de November de 2011 | 15:15

¡Curiosa forma de escribir un número tan sencillo!
Rama Nujan | 15 de November de 2011 | 22:58

Todos los terminos del sumatorio se cancelan entre si, asi que el resultado es cero patatero ( 0 ) … XD

Saludos.
Pedro T. | 16 de November de 2011 | 05:25

Un problema con un resultado interesante pero que no puedo demostrar es que
$\displaystyle \sum\limits_{k = 0}^m {{{\left( { - 1} \right)}^k} {m\choose k}\frac{1}{{n + k + 1}}} = \sum\limits_{k = 0}^n {{{\left( { - 1} \right)}^k} {n\choose k}\frac{1}{{m + k + 1}}}$

En realidad, el hecho de que S(m,n) = S(n,m) ya da una pista sobre hacia donde apuntar.
Cristhian Camacho | 16 de November de 2011 | 09:23

Muy buena pista Pedro T. es cierto sale 0 hasta cierto punto usando un programa, luego la maquina se raya con los decimales.

$\displaystyle \sum_{i=0}^{c} \frac{(-1)^{i}}{a+c+i} \cdot \frac{(b+c+i)!}{i! (c-i)! (b+i)!} = \sum_{i=0}^{c} \frac{(-1)^{i}}{a+c+i} \binom{c}{i}\binom{b+c+i}{c}$

Nota: Que bueno el comando \displaystyle de latex para que la formula no salga asi $\sum_{i=0}^{c} \frac{(-1)^{i}}{a+c+i} \binom{c}{i}\binom{b+c+i}{c}$ Saludos desde Bolivia hasta nuestra amada Madre Patria España
Pedro T. | 16 de November de 2011 | 18:45

Ah, y una ayuda

$\displaystyle \frac{1}{m+k+1} = \int \limits_0^1 t^{m+k}dt$
M | 17 de November de 2011 | 11:07

Saludos después de tanto tiempo. Otra forma: dado que $1\leq a\leq b\leq c$ , entonces $p(x):=\dfrac{(x+b+c)\cdot (x+b+c-1)\cdot \ldots\cdot (x+b+1)}{x+a+c}$ es un polinomio de grado $c-1$ .

Luego, su diferencia (progresiva) de orden $c$ es nula:

$0\equiv \Delta^c p(x)=\displaystyle{\sum_{i=0}^c}(-1)^{c-i}{c \choose i}p(x+i)$ .

Evaluando en $x=0$ se deduce que la suma es efectivamente 0.
Jose N | 17 de November de 2011 | 20:34

como si no tubiera mas nada que hacer!! ademas, aun no me enseñan sumatorias en la uni
Cristhian Camacho | 18 de November de 2011 | 00:38

Me parece que es el resultado de multiplicar dos sumatorias una cuyo resultado sea 0
algo así.

$\displaystyle 0 = \left ( 1-1 \right )^{c} = \sum_{i=0}^{c} \binom{c}{i} (-1)^{i} \; ; \; c\geqslant 1$

$\displaystyle \left [ \sum_{i=0}^{c} \binom{c}{i} (-1)^{i} \right ]\cdot \left [ \sum \texttt{algo } \right ] = \sum_{i=0}^{c} \frac{(-1)^{i}}{a+c+i} \binom{c}{i} \binom{b+c+i}{c}$

Es posible que este yendo por mal camino, muy bueno el problema, jejeje yo tampoco se mucho de sumatorias aunque si me las enseñaron en la U
Maelstrom | 18 de November de 2011 | 06:33

Fan desde ya del señor o señora M. Desde que leo gaussianos y veo tus aportaciones, tus métodos se me antojan siempre, aparte de sublimes, originales. Siempre tienes un arsenal de algoritmos que, aunque a veces parecen alejados de lo propuesto, llegan a meta y de manera casi maravillosa. Si fede es el geómetra de gaussianos, tú eres una especie de algorista a lo Euler.

Perdón por el panegírico.
Costrillejo | 24 de November de 2011 | 19:11

Rama Nujan eres un iluminado.