Calcula la razón entre las áreas

Aprovechando que es fiesta os traigo hoy el problema semanal, para que así tengáis tiempo de echarle un vistazo. Ahí va:

Sea el cuadrado ABCD de lado m, con AB y DA lados consecutivos. Se ubica en el lado AB un punto “móvil” P y luego el punto Q en el lado AD tal que AP+AQ=m. Si se desplaza el punto P desde A hasta B, el punto Q se moverá en consecuencia. El segmento PQ, entonces, “barrerá” una cierta región del cuadrado. Determine la razón entre el área del cuadrado y el área de la región “barrida” por este segmento PQ.

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

20 Comentarios

  1. Pedro Angel, no veo el astroide.
    Yo he obtenido 1/6, a partir de la observación de que los rangos de puntos recorridos por P y Q son proyectivos

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  2. Creo que el área que no barre es la integral entre 0 y m de

    f(x) = -x + 2 raiz(mx)

    que me da (5/6)m^2, si no me he equivocado.

    Así que el área barrida es 1/6 de m^2, y la razón que se pide es 6.

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  3. La razón me sale también 1/6, usando la integral mencionada antes.

    He usado, eso sí, un cuadrado de lado 1 para simplificar ya que, al pedir la razón entre ambas áreas está claro que el lado del cuadrado no es relevante (la razón seguirá siendo la misma si se amplía el dibujo.

    Una extensión del problema (si se me permite la osadía): Poner 4 puntos móviles P, Q, R y S en cada uno de los segmentos de forma que la suma de las distancias de cada pareja de ellos al vértice que queda entre ellos sea m. Trazar un cuadrilátero de vértices PQRS y hallar la razón entre el área del cuadrado y el área cubierta por dicho cuadrilátero móvil.

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  4. Usando propiedades básicas de las cónicas sale una bonita solución:

    La serie de puntos P es congruente, y por tanto proyectiva, con la serie de puntos Q.
    Las rectas que unen puntos correspondientes de dos series proyectivas son las tangentes de una cónica.

    Si P se mueve al infinito, Q también, y por tanto la recta del infinito es tangente a la cónica, es decir la cónica es una parábola.

    B y D están en la parábola, porque AB y AD son las únicas tangentes que pasan por B y D.

    Según Arquímedes el área del segmento parabólico es 2/3 del triángulo ABD, y por tanto el área restante, que es el área barrida, es 1/3 de ese triángulo, es decir 1/6 del cuadrado.

    ( AC es el eje de la parábola. Como las tangentes AB y AD se cortan en A en ángulo recto, A está en la directriz, que será entonces la perpendicular a AC por A.
    Como el punto medio del segmento que une los puntos medios de AB y AD es el vértice de la parábola, el foco es el centro del cuadrado.)

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  5. La envolvente del segmento PQ es una parábola tangente al lado AB en B y al lado DA en D. El área del segmento parabólico comprendido delimitado por una cuerda es igual a 2/3 del área del triángulo formado por la cuerda y las tangentes a la parábola en los extremos (Arquímedes). Por tanto, el área limitada por las tangentes y la parábola es 1/3 de la de dicho triángulo y 1/6 de la del cuadrado.

    Al ser perpendiculares las tangentes en B y D, el punto A en que se cortan está en la directriz y como por simetría la recta AC es el eje, y la cuerda BD debe pasar por el foco, este es el centro del cuadrado.

    http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Area_barrida_segmento.html

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  6. Es bastante sencillo, como podemos ver el segmento describen los haces de tangentes a 1/4 de circunferencia .Por lo tanto, la razón será de 4/(4-Pi).

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  7. Es broma, se ve claramente que no es una circunferencia. Están bastante bien estos problemas, entretenidos.

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  8. Considerando el cuadrado de lado una unidad y vertice A en el origen de coordenadas, las distintas rectas que contienen el segmento son del tipo x/a+y/(1-a)=1.
    Para un punto de accisa k para que la ordenada sea máxima (punto de la curva generada), a debará se =k^(1/2).
    Entonces la curva es y=1-2*k^(1/2)+k, que su área entre 0 y 1 por integrales es 1/6

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  9. Pedro Angel tiene toda la razon. En efecto, es el astroide con ecuacion

    y = \left( { m^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}} \right) ^{\frac{3}{2}}

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  10. Perdon, el astroide se da cuando la distancia entre los puntos moviles es m.

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  11. Pedro T.: Tu tocayo Pedor Ángel no tiene razón, se trata de una parábola. Deriva la ecuación de las rectas que contienen los segmentos respecto al parámetro a:

    x/a+y/(1-a)=1

    -x/a^2 + y/(1 – a)^2 = 0

    y elimina el parámetro a entre ambas. Te queda

    y = x – 2rq(x) + 1

    que despejando la raíz, y elevando al cuadrado, da

    x² – 2xy + y² – 2x – 2y + 1 = 0

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  12. Imanpas,

    lo del cuadrilátero, puede ser (1/6) * 4 – 4 * A

    con A = (10-7raiz2)/2

    si no me he equivocado en los cálculos, claro.

    Como yo tenía los ejes es A=(0,1), B=(1,1), C=(1,0) y D=(0,0).

    Y las funciones (parábolas) con las que hay que calcular las áreas..

    f(x) = -x + 2 raiz(x)

    g(x) = x + 1 – 2 raiz(x)

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  13. Pedro Angel, no tienes razón, deja de fumarla en Lewis que ves muchos astroides.

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  14. Tengo 15 años y me atrevo a decir que Pedro Ángel tiene toda la razón. He dibujado la curva y, efectivamente, es la 1/4 parte de una astroide.

    Teniendo en cuenta que el área total de una astroide es: 3\piR^2/8, el área de esa curva, sin ir mas lejos, debería ser:

    3\pim^2/8 todo sobre 4.

    Ya que, al ser un cuadrado, “m” coincide con el radio de la circunferencia exterior inmóvil que envuelve la astroide. Todo se debe dividir por 4 ya que, como he dicho, es solo una cuarta parte de una astroide completa.

    La primera parte del problema está resuelta, queda lo mas sencillo: ¿Cuánto mide el área restante del cuadrado?

    Como se ha formulado en la pregunta, es simplemente una resta del área del cuadrado a la parte de la astroide, o lo que es lo mismo:

    m^2 – 3\pim^2/8 todo sobre 4.

    Saludos.

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  15. Iván, una astroide se obtiene cuando un segmento de longitud fija se desliza con un extremo en cada una de dos rectas perpendiculares. Pero aquí la longitud del segmento no es fija; lo es la suma de los dos segmentos sobre cada lado del cuadrado. En un caso sería fija la suma de los catetos, y en el otro la longitud de la hipotenusa.

    otra forma de ver la ecuación de la envolvente de los segmentos, la curva a la que son tangentes todos ellos, es localizar los puntos por los que solo pasa uno. Las ecuaciones de las trectas que los contienen son:

    x/a+y/(1-a)=1

    Para cada valor de a hay una de estas rectas. veamos entonces que valor(es) de a corresponden a un punto (x, y) del plano. Quitando denominadores y agrupando como un polinomio en a, queda:

    a^2 – (x – y + 1)a + x = 0

    Esta ecuación tiene dos soluciones una o ninguna. Los puntos 8x, y9 para los que hay una sola solución son los de la envolvente. Resolviendo para a,

    a = ((x – y + 1) +/- rq((x – y + 1)^2 – 4x))/2

    Para que la solución sea única, el radicando debe ser cero:

    (x – y + 1)^2 – 4x = 0

    x^2 – 2xy + y^2 – 2x – 2y + 1 = 0

    que es la ecuación de una parábola, cuyo eje es la recta y = x, puesto que la ecuación no cambia al intercambiar x con y.

    O resolviendo para y,

    y = x +/- 2rq(x) + 1

    donde en este caso, nos interesa el signo ‘-‘, correspondiente a la parte inferior de la parábola.

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  16. Ignacio cuando puedas revisa el correo que te envie un mail! Gracias!

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  17. “una astroide se obtiene cuando un segmento de longitud fija se desliza con un extremo en cada una de dos rectas perpendiculares. Pero aquí la longitud del segmento no es fija; lo es la suma de los dos segmentos sobre cada lado del cuadrado.”

    He ahí mi error jaja (entendí erróneamente que la longitud del segmento era fija, y no la suma de los segmentos sobre los lados del cuadrado). Tienes razón Ignacio, me equivocaba. Menos mal que no me gano la vida dando pistas 🙂

    Un saludo

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  18. Tienes razón Ignacio, los segmentos formados no son equivalentes y la astroide exige esa propiedad. Un intento fallido, jaja.

    Un saludo y gracias por la explicación.

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