Calculando el área

Comenzamos la semana con un problema que nos ha sugerido nuestro amigo omalaled, de Historias de la Ciencia. Ahí va:

Dadas dos circunferencias concéntricas y un segmento tangente a la circunferencia interior, como se muestra en la figura siguiente

calcula el área de la parte sombreada si la longitud de dicho segmento es 5 metros.

Que se os dé bien.


Aprovecho para recordaros que podéis mandar vuestras sugerencias en forma de problema, artículo, etc, a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

28 Comentarios

  1. ¿No faltaría algún dato referido a la relación de radios? Lo digo porque para rinterior = 0 es trivial (2,5^2*pi) y para rinterior tendente a infinito la superficie también es trivial (0).
    Entre ambos valores estará el número que se solicita.

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    • La mitad de la cuerda del círculo mayor forma un triángulo rectángulo con el radio del círculo menor que lo intercepta. El radio del círculo menor, que es uno de los catetos del triángulo, está representado por r y su área sería pi*r^2. La mitad del segmento que es tangente al círculo menor es el otro cateto y mide 2.5 metros. Utilizando el teorema de Pitágoras obtenemos el radio del círculo mayor que es la raíz cuadrada de (r^2+6.25). Entonces el área del círculo mayor es pi*(r^2 + 6.25) ó (pi*r^2 + pi*6.25). Restando las dos áreas obtenemos
      pi*r^2 + 6.25*pi – pi*r^2 = 6.25pi. Esta es el área de la parte sombreada.

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  2. Precisamente es independiente de los radios S=6,25*(PI).
    Este problema es similar a otro muy conocido:
    Si le ponemos a La Tierra un cinturón ajustado en el ecuador y después le añadimos al cinturón un metro, ¿cuánto se separará de la superficie?

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  3. No hay mucho más que decir la verdad. Lo único con respecto a la segunda parte del comentario de Nacho:

    Si el radio interior tiende a infinito el exterior también lo hace y para mantener los 5 metros del problema acabas teniendo algo parecido a una corona muy fina, pero muy grande (por así decirlo). En la tendencia infinita que tu supones la superficie sería algo del tipo “infinito menos infinito”, que en este problema vale (2.5^2)*pi por la idea que expusiste en el primer caso degenerado, que es totalmente correcta (dado que más abajo, dos compañeros prueban que es independiente del radio). Incluso puede haber un enfoque por potencias de circunferencia también (si lo encuentro y lo resuelvo, lo subo). Gracias por leer.

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  4. En efecto, lo hay. Si llamamos al punto de tangencia T y a los dos cortes con la circunferencia grande A,B y al centro de las circunferencias O. Sabemos que AT^2=(5/2)^2 , pero por potencias de circunferencia (considerando la recta AO) sabemos entonces que (R+r)(R-r)=R^2-r^2=AT^2=(5/2)^2 y entonces como el area de la corona es pi*(R^2-r^2) queda probado.

    ***La idea es que la potencia del punto A respecto a la circunferencia pequeñas es constante. Calculas dicha potencia (5/2)^2 y luego cambias la direccion de la recta que pasa por A hasta orientarla en dirección radial resultando que la potencia es (R+r)(R-r). La aproximación de Nacho a primera vista es muy buena y da la solución correcta (y nos puede dar una idea de como ir enfocando el problema). En cuanto a la formulación por el triángulo de catetos r,5/2 e hipotenusa R es también impecable y de ahí se puede obtener R^2-r^2 fácilmente.

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  5. Si no recuerdo mal, éste problema fue uno de los últimos planteados en los desafíos matemáticos de El País. La única diferencia es que allí se planteaba como un problema “con enunciado”.

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  6. área corona = área exterior – área interior
    área corona = PI*R² – PI*r²
    área corona = PI * (R²-r²)
    El triángulo que forman:
    — r (perpendicular al segmento)
    — la mitad del segmento (S=2.5 metros)
    — R hasta un extremo del segmento
    Es rectángulo.
    Por Pitágoras R²-r²=S²

    Luego:
    área corona = PI * S²
    aproximadamente = 3,14 * 2,5² = 19,625 metros²

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  7. Problema típico de la unidad de Geometría de 2º de E.S.O… No sé si no lo habré visto incluso en libros de texto de 1º.

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  8. A mí me lo pusieron en un curso de 2º-4º aproximadamente de Bachiller laboral, equivalente a 12-14 años.

    Es una simple aplicación del teorema de Pitágoras como ya se ha indicado

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  9. Iñaki lo dijo casi antes de que tuviéramos tiempo de pensarlo los demás, jaja. En lo que yo leía el enunciado, ya puso la solución en su comentario, qué fresco! Era fácil esta vez, sí. Saludos.

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  10. ¿UNA PARADOJA? Sea un triángulo de vértices A, B, C y dos puntos P y Q distintos de los vértices y respectivamente situados en los lados AB y AC; es claro que la longitud del segmento PQ es menor que la del lado BC. Las transversales partiendo del vértice A y cortando el lado BC determinan un único punto x en PQ que se corresponde unívocamente con un punto y en BC siendo intuitivamente obvio que la función f definida por y = f(x) es biyectiva (la demostración formal de este hecho se deja como un ejercicio útil para el estudiante). Entonces, por ser f una biyección, los segmentos PQ y BC ¡TIENEN EL MISMO NÚMERO DE PUNTOS A PESAR DE SER UNO MÁS GRANDE QUE EL OTRO!. Esperamos comentarios, principalmente de los estudiantes, quienes si no conocen la explicación de esto, deberían notar que PQ puede ser muy pequeño y BC tan grande como se quiera.

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  11. si hacemos que la circunferencia interior se haga cada vez mas chica , hasta cero ,los 5 metros quedaran como el diametro de la circunferencia resultante, por lo tanto podemos hallar con esto la sup.que sera de 19,625 mts 2 .un saludo……

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  12. S=pi*(R^2-r^2);

    R^2=r^2+2,5^2;

    R^2-r^2=6,25;

    sustituyendo:

    S=pi*6,25.

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  13. Respecto a la paradoja de la banda esférica, si pensamos en un planeta cúbico es muy fácil de entender.

    Desde luego, más fácil de entender que un planeta cúbico :-).

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  14. Muy cierto, Ignacio Larrosa Cañestro, aunque no sólo si son paralelos. Muchas gracias. Podemos cambiar a “tal que PQ sea de menor longitud que BC”. O bien, claro está, limitarnos al paralelismo que indicas lo cual bastaría para el real fondo de la cuestión. Ojalá se sorprenda con el tema algún estudiante. Cordial saludo.

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  15. También podría enunciarse diciendo que aunque los segmentos PQ y BC no tengan la misma longitud sí tienen el mismo número de puntos.

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  16. Claro que sí, JJGJJG, y además sería más conciso el discurso del caso. Lo que pasó es que me interesaba decir que el segmento interior al triángulo era más pequeño que el lado BC porque quería agregar la última parte, que en general podría decirse también como que todo par de intervalos acotados, no reducidos a un punto, tiene el mismo número de puntos y enfatizar que por muy grande que sea la diferencia de sus longitudes. Gracias. Nuevamente recalco que sobre todo me gustaría ver comentarios de estudiantes que conozcan poco de matemáticas.

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  17. El área de la corona circular es pi*(R^2 – r^2), siendo R la longitud del radio mayor, y r la del menor.
    Si observamos la figura, vemos que podemos formar un triángulo rectángulo (un vértice en la mediatriz del segmento tangente, otro en el centro de las circunferencias concéntricas y el último en el punto de corte de la tangente con la circunferencia exterior (cualquiera de los dos).
    Si resolvemos por pitágoras, obtenemos que R^2 = r^2 + 2’5^2 —-> 2’5^2 = R^2 – r^2.
    Si multiplicamos ambos miembros por pi, obtenemos que pi* (R^2 – r^2) = 2’5^2 * pi
    Observamos que lo que obtenemos por pitágoras corresponde con el área de la corona circular, que sería 2’5^2 * pi (unos 19’63 cm2 aproximadamente). Un Saludo.

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  18. Yo quería saber, de vosotros depende que lo consiga. envié la solución con un archivo paint, sé poco de manejar todas los adelanto de un pc. así que puse lo más sencillo (tal vez cutre, pero me basta). Para mi el problema de areas se reduce a restar la superficie de los dos círculos y por ello reduje el tamaño del interior para que se viese que salen: un círculo pequeño incrito en un cuadrado que a suvez está inscrito en el circulo mayor.
    Espero, por mi propia autoestima que lo hayan leído, y sino pues se lo mando de nuevo.
    Muchas gracias, por leer hasta aquí, y aún más si han leído lo que mandé o quieren que se lo mande de nuevo.
    (j&A):

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  19. Una pregunta: ¿entonces cual sería el área que encierra la circunferencia de mayor radio, es decir, el área sombreada y el área blanca central?

    Hint: Acuérdense de un resultado geométrico inesperado

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  20. Ricardo

    Es variable.

    Dado el radio de una de las circunferencias la longitud de la cuerda nos determina el radio de la otra

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  21. Tienes razón, había leído mal la ultima parte del teorema de Holditch. Bueno, igual con el teorema sale de forma inmediata la respuesta al problema inicial (no el que dije).
    Disculpa y gracias

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  22. Si el problema no depende de la relación entre los radios de las circunferencias, puedo tomar cualquiera. Entonces el radio interior lo tomo como nulo, el segmento se convierte en el diámetro de la circunferencia exterior y el área buscada es pi D^2/4
    Claro que he deducido que no depende de la relación de radios de vuestros comentarios 😉

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