Calculando el producto de las longitudes

Os dejo el problema de la semana:

En un polígono regular de $n$ lados inscrito en una circunferencia de radio 1 se fija un vértice $V_1$ y se trazan los segmentos $V_1V_2, V_1V_3, \ldots ,V_1V_n$ . Calcular el valor del producto de las longitudes de dichos segmentos.

A por él.

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 17 de June de 2008
Categorías: Juegos | Imprime este post

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vengoroso | 17 de June de 2008 | 10:19

Algunos llaman al resultado de este problema The Coolest Math Fact Ever. Yo diría que es más bien el segundo, pero mola en cualquier caso
No pongo la solución porque nosotros ya hicimos los deberes hace un par de años
Domingo H.A. | 17 de June de 2008 | 14:41

Vaya, vengoroso, no conocía que este ejercicio estuviera así etiquetado Aunque este tipo de rankings son subjetivos, me gustaría que nos dijeras cuál es el primero.
Maria José | 17 de June de 2008 | 23:09

Olá,

É só para dizer que visito com alguma frequência este site e que gosto muito do vosso trabalho.

Maria José, Prof. de Matemática (PORTUGAL)
dargor | 17 de June de 2008 | 23:27

Pues yo llegué a la solución calculando cada segmento calculando cada norma $|V_1V_k|$ , y usando coordenadas polares llegué a
$|V_1V_k| = 2 \sin \left(\dfrac{\pi}{n}(k-1) \right)$
Y el producto final:
$\displaystyle P = 2^{n-1} \prod_{k=1}^{n-1} \sin \frac{\pi k}{n}$
Viendo el resultado de vengoroso me parece muy curiosa esta igualdad
$\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1} \sin \frac{\pi k}{n} = \frac{n}{2^{n-1}}$
A ver si alguien logra demostrarla. Hasta luego
Domingo H.A. | 17 de June de 2008 | 23:46

muy buena, dargor, esa es otra forma de demostrarlo. Aunque en esencia es la misma prueba que indica vengoroso. La igualdad que comentas ya la hemos visto en un post sobre el producto de senos http://gaussianos.com/producto-de-senos/
Cristian | 28 de June de 2008 | 16:05

Pues utilizando el teorema del seno tambien se puede resolver muy fácil, fijándose para cada segmento en el triangulo isosceles con un vertice en el centro de la circunferencia que es el opuesto a dicho segmento y que tiene los lados iguales al radio(de longitud unidad). Partiendo el isósceles en dos triángulos rectángulos y aplicando el teorema del seno se puede obtener la longitud de cada segmento V1Vk. No pongo el desrrollo con formulas porke no se latex