Calculando la integral

El problema de esta semana consiste en calcular una integral que ha enviado José Guillermo al correo del blog gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Al parecer es una integral que apareció en un maratón de integrales de México. Ahí va:

Calcula la siguiente integral:

$\displaystyle{\int \cfrac{e^x}{x} \left [ \int_1^{x^2} \cfrac{e^t}{t} dt \right ] dx}$

Que se os dé bien.

22 comentarios

Trackback | 6 Apr, 2010

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josejuan | 6 de April de 2010 | 11:55

Lo más que han podido hacer mis oxidados engranajes es
$\func{Ei}\left( -x\right) (\func{Ei}\left( 1\right) -\frac{1}{2}-\frac{e^{x}}{2x})$
aunque supongo que se está pidiendo eliminar el término integral (i.e. Ei(-x)).
No obstante, si mi expresión está bien (cosa rara), sirve pa’funcionar (es evaluable).
josejuan | 6 de April de 2010 | 11:55

Por cierto, aunque no se indica, la x es real ¿no?.
Pastrana | 9 de April de 2010 | 14:26

M, Dani, Américo Tavares, Ty=Tobar, etc, etc… Por favor, ¿dónde estáis cuándo se os necesita? Llevamos una semana comprobando nuestro escaso nivel matemático… ¡Socorroooo!
Pastrana | 9 de April de 2010 | 14:31

Por cierto, no hemos incluido a josejuan porque él ya ha dado una ¿respuesta? de la que no hemos entendido absolutamente nada.
josejuan | 9 de April de 2010 | 15:27

Lo que he hecho ha sido reducir esa integral a una que utiliza la Integral Exponencial

http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_exponencial

como digo, no creo que sea la solución buscada, pero al menos es evaluable (al menos, en la medida de lo que es Ei).

Para dicha función (Ei) más detalles (e.g. gráfica en el eje negativo) en

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/ExpIntegralEi/
olax | 9 de April de 2010 | 21:30

hmm josejuan y no podrias explicar todo paso por paso(para aprender pues )
Zenobia | 9 de April de 2010 | 22:05

Primero resolvemos la integral $\int {e^x \over x} \, dx$

usando el desarrollo en serie de Taylor de $e^x$ .

$e^x= \sum_{n=1}^\infty {x^n \over n!}=1+x+{x^2 \over 2!}+{x^3 \over 3!}+\dots$

${e^x \over x}={1 \over x}+1+{x\over 2!}+{x^2 \over 3!}+{x^3 \over 4!}+\dots$

$\int {e^x \over x} \, dx=ln\left|x\right|+\sum_{n=1}^\infty {x^n \over nn!}\quad \longrightarrow \quad$

$\int_{1}^{x^2} {e^t \over t} \, dt=2lnx + \sum_{n=1}^\infty {x^{2n} \over nn!}-\sum_{n=1}^\infty {1 \over nn!}$

Entonces, $\int {e^x \over x} \big [\int_{1}^{x^2} {e^t \over t} \, dt\big ] dx=2\int {e^x \over x}lnx \, dx+\int\sum_{n=1}^\infty {x^{2n} \over nn!}{e^x \over x}\, dx-\int\sum_{n=1}^\infty {1 \over nn!}{e^x \over x}$

Sean $I_1=\int {e^x \over x}lnx \, dx , I_2=\int\sum_{n=1}^\infty {x^{2n} \over nn!}{e^x \over x}\,dx , I_3=\int\sum_{n=1}^\infty {1 \over nn!}{e^x \over x}dx$

Se resuelve por partes $I_1=\int {e^x \over x}lnx \, dx$ siendo u=lnx y dv= $\int {e^x \over x} \, dx$ , de donde du= ${1 \over x}dx$ y v= $ln\left|x\right|+\sum_{n=1}^\infty {x^n \over nn!}$

$I_1=\int {e^x \over x}lnx \, dx=ln^2x+lnx\sum_{n=1}^\infty {x^n \over nn!}-\int {1 \over x}\big (lnx+\sum_{n=1}^\infty {x^n \over nn!}\big ) dx=ln^2x+lnx\sum_{n=1}^\infty {x^n \over nn!}-\int {1 \over x}lnx\,dx -\int \sum_{n=1}^\infty {x^{n-1} \over nn!}\ dx=ln^2x+lnx\sum_{n=1}^\infty {x^n \over nn!}-{ln^2x \over 2}\-\sum_{n=1}^\infty {x^n \over n^2n!}\ dx$

$I_1=\int {e^x \over x}lnx \, dx=ln^2x+lnx\sum_{n=1}^\infty {x^n \over nn!}-\int {1 \over x}\big (lnx+\sum_{n=1}^\infty {x^n \over nn!}\big ) dx=ln^2x+lnx\sum_{n=1}^\infty {x^n \over nn!}-\int {1 \over x}lnx\,dx -\int \sum_{n=1}^\infty {x^{n-1} \over nn!}\ dx=ln^2x+lnx\sum_{n=1}^\infty {x^n \over nn!}-{ln^2x \over 2}\-\sum_{n=1}^\infty {x^n \over n^2n!}\ dx$

$I_2=\int\sum_{n=1}^\infty {x^{2n} \over nn!}{e^x \over x}\,dx=\int\sum_{n=1}^\infty {x^{2n-1} \over nn!}{e^x}\,dx$

Las integrales de la forma $\int x^n e^x \, dx$ se pueden resolver por recurrencia. Integrando por partes se obtiene:

$\int x^n e^x \, dx=x^n e^x -n\int x^{n-1}e^x\, dx$

Llamando $A_n=\int x^n e^x \, dx$ y repitiendo la integración por partes:

$A_n=x^n e^x -nA_{n-1}=x^n e^x -n\big (x^{n-1} e^x -\big({n-1}\big )A_{n-2}\big )=x^ne^x-nx^{n-1}e^x+n\big(n-1\big)x^{n-2}e^x-n\big(n-1\big)\big(n-2\big)x^{n-3}e^x+\dots+\big(-1\big)^{n-1}n!A_1$

donde $A_1=\int x e^x \, dx=e^x\big(x-1\big)$

Para obtener $\int x^{2n-1} e^x \, dx$ se sustituye 2n-1 por n en el anterior resultado.

Para calcular $I_3=\int\sum_{n=1}^\infty {1 \over nn!}{e^x \over x}dx$ se usa que
$\int {e^x \over x} \, dx=ln\left|x\right|+\sum_{n=1}^\infty {x^n \over nn!}$

Por último, se sustituyen $I_1, I_2, I_3$ en la integral.
olax | 9 de April de 2010 | 22:49

LOL, pense que se podria hacer si usar series de taylor, se puede hacer si usarlas??, de hecho es mucha mas genial hacerla si usar aproximaciones.
Dani | 9 de April de 2010 | 23:28

la verdad es que he intentado varias cosas y no me ha salido nada :S
olax | 10 de April de 2010 | 02:01

Dani, pero cierto que lo has intentado si usar series de taylor?, sera que sale sin usar este metodo?
olax | 10 de April de 2010 | 02:01

Dani, pero cierto que lo has intentado sin usar series de taylor?, sera que sale sin usar este metodo?
cooperback | 10 de April de 2010 | 14:17

Para Zenobia, no es cierto en general que la integral de una serie sea la serie de las integrales (estás cambiando el orden de dos límites), hace falta usar un teorema de paso al límite bajo el signo de la integral.
Quizás se podría solventar usando integrales de Lebesgue y el teorema de la convergencia dominada http://en.wikipedia.org/wiki/Dominated_convergence_theorem
y después el hecho de que si la integral de Riemann y la de Lebesgue existen, entonces coinciden.
leon | 10 de April de 2010 | 20:23

Hola a todos,
hemos estado castilla y yo pegándonos con la integral. Después de bastantes intentos hemos pensado que podría estar mal escrita, y efectivamente, en la página web
http://www.ccm.itesm.mx/dia2007/archivos/5.ejemplosdeintegrales.pdf
de las maratones de integrales de México aparece la integral
$F(x)=\int dx \frac{e^{x^2}}{x}\left[\int_1^{x^2}dt\frac{e^t}{t}\right]$ .
Después de darle unas cuantas vueltas, hemos concluido que sólo se puede escribir esta integral en términos de la integral exponencial $Ei(x)$ . Lo podéis ver integrando por partes o bien como una integral doble si convertimos la integral indefinida en definida fijando la constante de integración,
$G(x)\equiv F(x)-F(1)=\int_1^x ds \frac{e^{s^2}}{s}\left[\int_1^{s^2}dt\frac{e^t}{t}\right]$ .
Hacemos el cambio $t=r^2$ y queda
$G(x)=2\int_1^x ds \int_1^s dr \frac{e^{r^2+s^2}}{rs}$ .
Esta es la integral en el triángulo $r \in [1,s]$ y $s \in [1,x]$ . Además, el integrando es simétrico con respecto a la bisectriz del primer cuadrante con lo cual podemos reducir la integral al cuadrado $[1,x]\times[1,x]$ ,
$G(x)=\int_1^x ds \int_1^x dr \frac{e^{r^2+s^2}}{rs}=\left(\int_1^x ds\frac{e^{s^2}}{s}\right)^2$ .
Usando que
$Ei(x)=P.V.\int_{-\infty}^x ds\frac{e^s}{s}$
llegamos a
$G(x)=\frac{1}{4}[Ei(x^2)-Ei(1)]^2$ .
Además, $G(x)$ no puede expresarse en términos de funciones elementales porque, de ser así, también se podría expresar así $Ei(x)$ . Así que probablemente la solución de josejuan sea correcta para la integral del enunciado (aunque no lo hemos comprobado) dado que la expresa en términos de $Ei(x)$ .
Zenobia | 11 de April de 2010 | 19:54

Es cierto que en general no se cumple que la integral de una serie sea la serie de las integrales, pero para una función definida por una serie de potencias con radio de convergencia R>0, ésta funcion es continua, derivable e integrable en el intervalo (c-R, C+R), y tanto su derivada como su primitiva pueden calcularse derivando e integrando cada término de la serie. En este sentido se comportaría como si fuese un polinomio. Además, el radio de convergencia de la serie obtenida es el mismo que el de la serie original. La serie de potencias definida para la exponencial converge para todos los reales, por eso se puede integrar término a término.
Cristobal | 12 de April de 2010 | 10:48

Mmmm… estoy intentando calcular la integral definida (la de dentro) por el Teorema de los Residuos, ya que sólo tiene un polo simple en z=0. Me falta encontrar la región de integración.
Supongo que la integral exterior es indefinida y no definida en toda la recta real.
hernan | 12 de April de 2010 | 14:13

Cristóbal: no creo que valga la pena invertir más tiempo en eso, la integral de adentro es simplemente $Ei(x^2)$ (integral exponencial) y no se puede esperar simplificarla mucho más. El planteo del problema hacía pensar que, a pesar de eso, la integral doble pudiera expresarse de una manera más simple (con sólo funciones elementales) – pero no parece posible. Creo que el comentario de leon es terminante.
hernan | 12 de April de 2010 | 14:14

Corrijo: la integral de adentro es $Ei(x^2)-Ei(1)$
Cristobal | 12 de April de 2010 | 14:19

@hernan->Pero si eso es así entonces que alguien cambie el enunciado. De todas formas he hecho los cálculos de Zenobia y son correctos, aunque sale una buena “longaniza” de solución. Además habría que calcular las series de su solución. Definitivamente así es muy difícil incluso para una olimpiada.
Gracias
hernan | 13 de April de 2010 | 01:40

Si todo está bien, ese desarrollo en series sería simplemente equivalente a expresar la solución de leon reemplazando la función Ei por su <a href=”http://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_integral#Convergent_series“>serie de Taylor</a>. Me temo que eso no aporta demasiado.
Trackback | 13 Apr, 2010

Función constante « InstaCiencia
Pedro | 20 de April de 2010 | 09:37

Si la integral es como la plantea leon, entonces se llega a su resultado pero sin necesidad de hacer cambio de variables: basta observar que, salvo por un factor 1/2, el cociente $e^(x^2)/x$ es la derivada de $Ei(x^2)-Ei(1)$, la integral entre corchetes.