Calculando la suma

El problema de esta semana es el siguiente:

Calcular razonadamente el valor de la siguiente suma:

\tan^2(1^{\circ})+\tan^2(3^{\circ})+\ldots+\tan^2(89^{\circ})

Repito: razonadamente, con justificación rigurosa.

Suerte.

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40 comentarios

  1. Trackback | 10 ago, 2010

    Bitacoras.com

  2. Marco! | 10 de agosto de 2010 | 12:46

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    Dejame ver..

    Tenemos que calcular (obviando los grados porque no me salen en latex) \displaystyle \Sigma_{x = 1}^{89}{tan^{2}{x}}
    Tenemos una identidad trigonométrica que nos dice que tan(x) = \frac{e^{ix} -\ e^{-ix}}{i ( e^{ix} +\ e^{-ix})}

    elevamos al cuadrado y queda

    \frac{e^{ix2} - 2.e^{ix}.e^{-ix} + e^{-ix2}}{-1.(e^{ix2} + 2.e^{ix}.e^{-ix} + e^{ix2})}

    ordenamos un poco..

    \frac{e^{x2} ( e^{i} - 2 + e^{-i})}{-e^{x2}(e^{i} + 2 + e^{-i})}

    Cancelamos

    \frac{ ( e^{i} - 2 + e^{-i})}{-(e^{i} + 2 + e^{-i})}

    Y ya no dependemos más de x :P Nos queda ahora una constante. Luego:

    \displaystyle \Sigma_{x = 1}^{89}{tan^{2}{x}} = \Sigma_{x = 1}^{89}\frac{ ( e^{i} - 2 + e^{-i})}{-(e^{i} + 2 + e^{-i})}

    y hasta ahí llegué :P

  3. a | 10 de agosto de 2010 | 12:55

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    Uhmmm, oiga Marco, revise su álgebra.

  4. Marco! | 10 de agosto de 2010 | 13:17

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    Uh, si, la flashie de lo lindo! Saqué cualquiera de factor común! jajaja Mil disculpas, la manquié jodido :P

    ¿Me borran el comentario? jaja

  5. lucagali | 10 de agosto de 2010 | 14:08

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    Pues yo he llegado a que es lo mismo que
    44 + 4(tan^2(4) + tan^2(8) + . . .  +tan^2(84) +tan^2(88))
    pero no sé si eso sirve para algo

  6. Bosco | 10 de agosto de 2010 | 16:01

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    Sería calcular:
    \displaystyle\sum_{x=1}^{45} \tan(2x-1).

    Y aplicando la idea de Marco, llego a calcular:

    \displaystyle\sum_{x=1}^{45} \tan(2x-1) = \displaystyle\sum_{x=1}^{45} \frac{e^{2zi}+e^{-2zi}-2}{-e^{2zi}-e^{-2zi}-2},\\[0.25cm] \mbox{donde}\ z=2x-1.

    Aquí ya no sé seguir.

  7. Fabián Pereyra | 10 de agosto de 2010 | 16:12

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    “He encontrado una demostración realmente admirable, pero este margen es demasiado pequeño para contenerla” xD

    \displaystyle\sum_{x=1}^{89}\tan^2(x)=\frac{15931}{3}

    Saludos.

  8. M | 10 de agosto de 2010 | 16:25

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    Fabián Pereyra, puedes comprobar que el valor de la suma es un número natural.

  9. jordix | 10 de agosto de 2010 | 16:38

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    A ver, hay que leer el enunciado con más atención: se trata se sumar tangentes al CUADRADO de los valores IMPARES de grados desde 1 hasta 89.

  10. Bosco | 10 de agosto de 2010 | 17:21

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    D’oh. Se me olvidó poner el cuadrado. Pero el cálculo está bien luego queda:
    que hay que calcular:
    displaystyle{sum_{x=1}^{45} 	tan^2(2x-1)}.

    Y como dije antes, aplicando la idea de Marco, llego a calcular:
    displaystyle{sum_{x=1}^{45} 	tan^2(2x-1)} = displaystyle{sum_{x=1}^{45} frac{e^{2zi}+ e^{-2zi}-2}{-e^{2zi}-e^{-2zi}-2}},[0.25cm] mbox{donde} z=2x-1.

    P.D.: Si pueden borren mi post anterior, gracias.

  11. gaussianos | 10 de agosto de 2010 | 17:38

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    Estoy empezando a cansarme del plugin de edición de comentarios. Es cierto que se carga todo el código \LaTeX. En los próximos días a ver si busco alguna solución o alguna alternativa. Perdón por las molestias.

  12. Fabián Pereyra | 10 de agosto de 2010 | 17:44

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    No habia leído bien el enunciado, ahora si ;)

    \displaystyle\sum_{x=1}^{45}\tan^2(2x-1) = x_{45}(2x_{45}-1) = 4005

    Saludos.

  13. Tanausú | 10 de agosto de 2010 | 19:53

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    Fabián , me gustaría preguntarte por lo de la x que tiene subíndice 45.

  14. Fabián Pereyra | 10 de agosto de 2010 | 20:06

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    No es esa la notación que exactamente quería poner pero para no volverme loco con el \LaTeX use esa nomenclatura. Es decir:

    45(2*45-1)=2*45^2-45=4005

    Saludos.

  15. Tanausú | 10 de agosto de 2010 | 20:26

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    Me podrías dar el desarrollo de la demostración y como llega a la conclusión de esa igualdad. Saludos.

  16. M | 10 de agosto de 2010 | 20:49

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    Muy buena, Fabián. ¿Te importaría desarrollar tu argumento?

  17. Jairo Gonzalez | 11 de agosto de 2010 | 02:36

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    El resultado de Fabian es correcto, se consigue por fuerza bruta en un sencillo programa en excel.

    La demostracion matematica esta por verse.

    Gracias

  18. Omar-P | 11 de agosto de 2010 | 03:00

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    Que “casualidad”, el 4005 es el 45 número hexagonal: H(45) = 4005.

  19. KMPOS | 11 de agosto de 2010 | 03:45

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    Esa es la formula de Fabian pero aun no consigo ver como llego a esa Ya me estoy dando por vencido :’( :(

  20. Alvaro | 11 de agosto de 2010 | 06:46

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    Hola! no se escribir en latex, espero se entienda la idea de fondo, lo dejare “abierto” para que alguien remate al arco y haga el gol… pero en esencia la idea es esta…

    Escribimos Tg^2( x) = sec^2(x) -1 , para todos los angulos citados en dicha suma….

    Luego, obtenemos la suma de los inversos del coseno a cuadrado para los impares entre 1 y 89….

    Ahora, notando que (*) sen(x) = cos (90-x) , (al menos para los angulos que estamos trabajando)

    Podemos agrupar Cos^-2(1) con Cos^-2(89 ), y repitiendo el proceso , juntar “el 3 con el 87″, “el 5 con el 85″ y asi sucesivamente quedando solito el Cos^-2(45) …. que es 2 . (Un truco similar al usado por Gauss para calcular la suma de los primeros n enteros , haciendole un pequeño homenaje al blog).

    Al agrupar cada par del estilo

    Cos^-2(x) + Cos^-2(90-x) = [Cos^-2(x) + Cos^-2(90-x)] / Cos^2(x)Cos^2(90-x)

    De donde el lado derecho queda simplemente (por (*) y la identidad trigonometrica fundamental )

    1/Cos^2(x)Cos^2(90-x) = 4/Sen^2(2x ) (usando formula de angulo doble)

    Luego sumando de 1 a 44, y usando descomposicion con numeros imaginarios , es decir

    senx = (e^ix -e^ix) /2 y calculando la sumatoria se llega a lo de fabian ( se me hace tarde y el sueño abunda!, si tengo time lo subo en una ss a mi pizarra o algo asi)

    Recordar el termino “Central” y el -45 que acarrea el paso a secantes…

    Ojala haya sido de ayuda o de “hint” para alguien, lo que es yo, me caigo de sueño!

    Saludos desde chile!

  21. jones, francisco | 11 de agosto de 2010 | 10:37

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      S = \SUM_{k=0}

  22. jones, francisco | 11 de agosto de 2010 | 11:17

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      S = \sum tg \left ( phi \right )

  23. jones, francisco | 11 de agosto de 2010 | 11:19

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    Por favor, borrad mis comentarios fallidos… incluso éste
    En lugar de pulsar en “vista previa” pulso en “Publicar”…
    claro, como está en negrita (tan atracitvo) se me va el ratón a ese botón.

  24. fede | 11 de agosto de 2010 | 11:32

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    Otra aproximación al problema es aplicar el método que ya ha aparecido en algunos comentarios en el blog:
    A partir de la fórmula para el coseno del ángulo múltiplo se obtiene que los términos tan^2( h) de la suma del problema son las raíces del polinomio:

    0 = 1 - \dbinom{90}{2} x + \dbinom{90}{4} x^2 - \cdots + \dbinom{90}{88} x^{44} - x^{45}

    De donde la suma del problema es \dbinom{90}{88}=\dbinom{90}{2} = 4005.

    Si en lugar de los cuadrados de las tangentes sumamos las cuartas potencias, la suma sería \dbinom{90}{2}^2 - 2\dbinom{90}{4}, y si sumamos las sextas potencias obtendríamos \dbinom{90}{2}^3 - 3\dbinom{90}{2}\dbinom{90}{4} + 3\dbinom{90}{6}.

  25. M | 11 de agosto de 2010 | 13:22

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    Excelente, fede. Como bien indicas, esa idea se consideró también en el problema de las sumas cuadráticas trigonométricas (y en el producto de senos).

  26. Fabián Pereyra | 11 de agosto de 2010 | 15:48

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    Muy bueno, fede. Con ese mismo método se puede calcular lo que yo en mi primer comentario.

    Saludos.

  27. Abraham | 12 de agosto de 2010 | 05:45

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    HOla… me parece muy interesante este tema sobre SUMAS

    y haciendo unos trabajos encontre con este problema…

    quien me puede ayudar a encontrar la SUma para los primeros numeros a la quinta???

    es como la de (la suma de i² = n(n+1)/2 )

    pero yo quiero la de i la quinta potencia

    haber si alguien me puede ayudar porfavor… se los voy a agradecer demasiado

    OK …

  28. Tanausu | 12 de agosto de 2010 | 09:52

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    Al final, ¿cuál es la demostración y la solución del problema de la suma de tangentes?

  29. Vayapordios | 12 de agosto de 2010 | 18:22

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    Tanausu

    El truco para conseguir que te aclaren el tema es poner en duda cualquier paso, da igual cuál sea, tú haces como que lo entiendes y dices que es de otra manera. Si te equivocas en un signo se ponen incluso más contentos.

  30. Vayapordios | 12 de agosto de 2010 | 18:55

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    quien me puede ayudar a encontrar la SUma para los primeros numeros a la quinta???

    Aquí tienes un enlace que he encontrado con el Google.

    http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomios_de_Bernoulli

    Hay una fórmula general para la suma de las distintas potencias de enteros sucesivos. Según la página quedaría así:

    \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {{i^5}}  = \frac{1}{6}{n^6} - \frac{1}{2}{n^5} + \frac{5}{{12}}{n^4} - \frac{1}{{12}}{n^2}

  31. Tanausú | 12 de agosto de 2010 | 19:21

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    Llego hasta aquí 1/Cos^2(x)Cos^2(90-x) = 4/Sen^2(2x ) (usando formula de angulo doble), pero luego ya no sé seguir.

  32. Tanausú | 12 de agosto de 2010 | 20:17

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    ¿Lo podrías poner más claro?

  33. M | 12 de agosto de 2010 | 20:31

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    Tanausú, con el permiso de fede, te detallo algo más de donde sale el polinomio de grado 45:

    si \theta=1^\circ,3^\circ,\ldots,89^\circ se tiene cos \theta \neq 0 y cos(90 \theta)=0. Por la fórmula de De Moivre, se tiene entonces que

    0=Re(cos(90 \theta)+i sen(90 \theta))=Re((cos \theta + i sen \theta)^{90})

    Desarrollando la potencia y tomando la parte real, se obtiene 0=\sum_{k=0}^{45} (-1)^k{90\choose 2k}cos^{90-2k} \theta \cdot sen^{2k} \theta.

    Si divides por cos^{90} \theta y haces el cambio de variable x=tg^2 \theta llegas a la ecuación polinómica de fede, \sum_{k=0}^{45} (-1)^k {90 \choose 2k} x^k=0, cuyas raíces serán x=tg^2 1^\circ,tg^2 3^\circ,\ldots, tg^2 89^\circ. Finalmente la suma de estas raíces se obtiene de las relaciones de Cardano-Vieta. También de aquí puede obtenerse la suma de los cuadrados, cubos, … de las raíces, tal como ha indicado fede.

  34. M | 12 de agosto de 2010 | 20:34

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    Respecto a la sumas de potencias consecutivas que pide Abraham, aparte de con los polinomios de Bernoulli, podemos calcular las sumas de modo inductivo sin más que conocer el desarrollo binomial. Ya que

    (m+1)^{k+1}-m^{k+1}={k+1 \choose 1} m^k+{k+1 \choose 2}m^{k-1}+\ldots+{k+1 \choose k}m+{k+1 \choose k+1}, \forall m \geq 1.

    Sumando todas estas identidades para m=n,n-1,\ldots,2,1, llegamos a

    (n+1)^{k+1}-(n+1)={k+1 \choose 1} \mathcal{S}_k(n)+{k+1 \choose 2} \mathcal{S}_{k-1}(n)+\ldots+{k+1 \choose k}\mathcal{S}_1(n),

    donde \mathcal{S}_j(n):=\sum_{i=1}^n i^j. Para k=1 sigue que \mathcal{S}_1(n)=\frac{n(n+1)}{2}, y luego podemos ir calculando las demás de modo inductivo.

  35. Tanausú | 12 de agosto de 2010 | 21:35

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    Perdón por las molestias. ¿Qué significa Re?

  36. fede | 12 de agosto de 2010 | 22:35

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    Tanausú, Re(z) es la parte real del número complejo z.

    En ese paso se trata de obtener la fórmula para el cos(n t) (fórmula 37 de este enlace)

    También puedes demostrar esa fórmula 37 por inducción (sin usar números complejos) a partir de las fórmulas para seno y coseno de la suma de 2 ángulos.

  37. Abraham | 12 de agosto de 2010 | 22:55

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    En estas 2 pagínas estan las ecuaciones para obtener la fórmula que pedía..

    de 2 formas diferentes..
    espero que también sea de ayuda a alguién mas…

    la fórmula (25) de este enlace

    http://mathworld.wolfram.com/PowerSum.html

    y en este enlace también…

    http://www.mathpages.com/home/kmath644/kmath644.htm

  38. tioalfredo | 17 de agosto de 2010 | 01:26

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    yo nosé mucho de matematicas, pero cuando las estudie aprendi una manera sencilla de conseguir la formula de la suma de los primeros “n” numeros elevados a “m”
    si no recuerdo mal era algo como:
    sum(k=1,n) k^m= a + bn + cn^2 + … + w^m + z ^m+1
    es decir, la solucion siempre es un polinomio de 1 grado mayor.
    luego simplemente tienes que irle dando valores a n (justo n+1 valores) y obtendras un sistema con solucion unica para los coeficientes del polinomio.
    repito que nosé mucho de matematicas xD

  39. Abraham | 17 de agosto de 2010 | 05:29

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    me parece intersante tu propuesta lo voy a probar… con varias haber si resulta gracias…

    suerte

  40. Jose Antonio | 6 de septiembre de 2010 | 22:01

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    Hola a todos. ¿Alguien conoce la fórmula que relaciona el arco en una circunferencia con su cuerda?
    Gracias

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