Calculando un valor del polinomio

Os dejo hoy el problema de esta semana, corto y conciso. Ahí va:

Sea p(x) un polinomio de grado n tal que p(2^k)=2^{-k} para 0 \leq k \leq n. Hallar el valor p(0).

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

19 Comentarios

  1. Si consideramos q(x) = 2p(2x) - p(x), se tiene que q es un polinomio de grado n tal que q(2^k) = 0 para k = 0,\cdots,n-1 luego q(x) = (x - 1)(x - 2)\cdots (x-2^{n-1}) con lo que
    p(0) = 2p(2 \cdot 0)-p(0) = q(0) = (-1)^n\cdot2^{n(n-1)/2}

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  2. arniszt, tu solucion es muy elegante pero no funciona. El problema es que q(x) no lo puedes determinar absolutamente, cualquier otro q(x)=c*q(x), con cualquier c tambien cumple las q(2^k)=0, pero q(0) cambia.

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  3. Sea q(x) = -1 + xp(x) polinomio de grado n+1 con ceros en 2^j, j = 0\cdots n. Se observa que q(0) = -1. Entonces q(x) = A\Prod_{k = 0}^{n} (x – 2^{k}) para un determinado valor A. El resultado buscado es el coeficiente de primer grado. Dicho coeficiente es igual a

    A \Sum_{k=0}^{n}\Prod_{j\uneq k}-2^{k} =
    A (\Sum_{k=0}^{n}(-2^{-k}) \Prod_{k=0}^{n}-2^{k}

    Sabemos que A\Prod_{k=0}^{n}(-2^{k} = q(0) = -1
    De modo que el resultado es la serie geométrica cuya suma es 2 – 2^{n}.

    Lo que no sé es porqué no me funciona el marcado en LaTeX.

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  4. Sabemos que un polinomio de grado n se puede expresar así:

    \displaystyle P(x) = \sum_{i=0}^{i=n} a_i x^i = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n

    Y que:

    \displaystyle P(2^k) = \sum_{i=0}^{i=n} a_i (2^k)^i = a_0 + a_1 (2^k) + a_2 (2^k)^2 + \dots + a_n (2^k)^n = 2^{-k}

    Yo creo que P(0) da:

    \displaystyle P(0) = \sum_{i=0}^{i=n} a_i (0)^i = a_0 + a_1 (0) + a_2 (0)^2 + \dots + a_n (0)^n = a_0

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  5. Tienes toda la razón del mundo rtomas.
    De todos modos la elección de Jordi culmina con la solución de immediato.
    Lo único que creo que faltaría al resultado final es poner un signo – al exponente de 2^n, es decir 2 - 2^{-n}.

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  6. En cualquier polinomio p(0) es igual al término independiente.

    Si para cualquier grado escribimos las igualdades resultantes de sustituir la x por las potencias de 2 desde 0 hasta n-1 tendremos un sistema de n ecuaciones con n+1 incógnitas que son los coeficientes del polinomio. El sistema está indeterminado y p(0) puede tomar cualquier valor.

    Para que el problema tenga sentido habrá que fijar alguno de los coeficientes para obtener los restantes, entre ellos el término independiente, en función del elegido.
    Sugiero que se considere 1 el coeficiente de x^n.

    Precisamente esto es lo que ha supuesto arniszt en su q(x). Lo que comenta rtomas es que, efectivamente, si consideramos un valor distinto para el primer coeficiente, también varía el término independiente y, por tanto el valor de p(0).

    Para muestra basta un botón:

    Consideremos p(x) = ax+b. Para k = 0 tendremos p(2^0) = a.2^0+b = 1/2^0, es decir a+b = 1, si a valiera 1, b valdría 0, si a valiera 2, b valdría -1.
    Dicho de otro modo p(0) = 1-a.

    Si resolvemos para n = 2, p(x) = ax^2+bx+c, obtendremos b = 4a-1/2 y
    p(0) = c = 1/2 -4a.

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  7. Jordi, queria ver bien tu excelente comentario y lo puse en Latex, creo que
    habia que cambiar esto:
    – \prod en vez de \Prod,
    -\sum en vez de \Sum
    – \not= en vez de \uneq
    Pero luego se me olvido el signo de 2^{n} y le di a edit y todo el latex se estropeo!
    (las \ desparecieron al hacer edit)
    demasiado para repetirlo, desde luego el editor de texto (que no el de formulas)
    necesita mejorar.

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  8. Ya he logrado quitar los fallos, que eran los que dices. En vez de uneq o not he puesto neq. También he tenido que arreglar algunos paréntesis. Ahí va:

    Sea q(x) = -1 + xp(x) polinomio de grado n+1 con ceros en 2^j, j = 0cdots n.
    Se observa que q(0) = -1. Entonces q(x) = Aprod _{k = 0}^{n} (x-2^{k}) para un determinado valor A.

    El resultado buscado es el coeficiente de primer grado. Dicho coeficiente es igual a

    A sum_{k=0}^{n} (prod_{jneq k}-2^{k} )=A (sum_{k=0}^{n}(-2)^{-k}) prod_{k=0}^{n}(-2)^{k}

    Sabemos que
    Aprod_{k=0}^{n}(-2)^{k} = q(0) = -1
    De modo que el resultado es la serie geométrica cuya suma es 2-2^{-n}.

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  9. A ver otra vez (creo que se estropea cuando se quiere arreglar):

    Ya he logrado quitar los fallos, que eran los que dices. En vez de \uneq o \not he puesto \neq. También he tenido que arreglar algunos paréntesis. Ahí va:

    Sea q(x) = -1 + xp(x) polinomio de grado n+1 con ceros en 2^j, j = 0\cdots n.
    Se observa que q(0) = -1. Entonces q(x) = A\prod _{k = 0}^{n} (x-2^{k}) para un determinado valor A.

    El resultado buscado es el coeficiente de primer grado. Dicho coeficiente es igual a

    A \sum_{k=0}^{n} (\prod_{j\neq k}(-2)^{k} )=A (\sum_{k=0}^{n}(-2)^{-k}) \prod_{k=0}^{n}(-2)^{k}

    Sabemos que
    A\prod_{k=0}^{n}(-2)^{k} = q(0) = -1
    De modo que el resultado es la serie geométrica cuya suma es 2-2^{-n}.

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  10. Es fácil demostrar por inducción que:

    p_n(x)=(1/2^n)[1-(x-2^n)·p_(n-1)(x)]

    tiene una definición única y cumple las condiciones del enunciado.

    Después se obtiene fácilmente que p_n(0)=1+1/2+1/4+…+1/2^n

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  11. No me aclaro con el LaTeX, pero más o menos quedaría…

    p_1(x) = (-1/2) x + (3/2)

     p_n(x) = (1/2^n) [1-(x-2^np_{n-1}(x)]

    Sólo falta explicar cómo damos con esta fórmula para p…

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  12. Jordi, creo que no te funciona latex porque usas mayúsculas \Sum debes poner \sum y lo mismo con \Prod

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  13. Una forma basta de resolver es considerar el sistema de n+1 ecuaciones y encontrar los coeficientes del polinomio. Solo hay que invertir la matriz del sistema, aunque yo lo he intentado sin sacar nada limpio y seguro que habrá una solución más elegante.

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  14. Jesus C, he sido víctima de un autoengaño. Por haber entendido mal el enunciado desde el principio. Por esos extraños mecanismos de la mente, la primera vez que lo leí creí que decía que k era menor que n y no menor o igual. Tu indicación de que había n+1 ecuaciones desde 0 hasta n me hizo leerlo de nuevo y se hizo la luz. Yo estaba tratando de resolver un problema distinto y así me ha ido. La próxima vez leeré con más cuidado. Reconozco que he sido como el conductor que ve a todos venir de frente y todavía se cree que va por el carril correcto. Mea culpa.

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  15. Primero defino el siguiente polinomio,

    Q(x)=2P(x)-P(x/2)

    se observa que tiene ceros en x=2^k \forall k \in \{ 1, \cdots , n\}

    por tanto será, para una cierta constante C,

    Q(x)=C \prod_{i=1}^n (x-2^k)

    la constante C es el coeficiente principal de Q(x) que, tal y como lo hemos definido, es C=(2-2^{-n})a_n, siendo a_n el coeficiente principal de P(x)

    vemos que Q(0)=2P(0)-P(0)=P(0), así que

    P(0)=Q(0)=(2-2^{-n})a_n\prod_{i=1}^n (-2^i)

    pero obviamente a_n\prod_{i=1}^n (-2^i)=1, así que

    P(0)=2-2^{-n}

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