Calcular el valor del producto

Hoy os traigo el problema de esta semana. El enunciado es el siguiente:

Si a,b,c son tres números enteros tales que a+b+c=0, calcula el valor del siguiente producto:

\left ( \cfrac{b-c}{a}+\cfrac{c-a}{b}+\cfrac{a-b}{c} \right ) \cdot \left ( \cfrac{a}{b-c}+\cfrac{b}{c-a}+\cfrac{c}{a-b} \right )

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

30 Comentarios

  1. Me he quedado atascado en:

    Producto = 1 - 4 [ \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{abc} ]

    Haciendo sustituciones he llegado a despejar esa fracción, obteniendo un valor de 1/4, luego el resultado del producto sería 0.

    Me asombra que de 3 comentarios haya 3 resultados diferentes xD.

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  2. La solución de Betaiv es la correcta. Vamos a desarrollarla:
    Primer factor = (bc(b-c)+ac(c-a)+ab(a-b))/abc=m/n
    Segundo factor= (a(c-a)(a-b)+b(b-c)(a-b)+c(b-c)(c-a))/((b-c)(c-a)(a-b)=p/q.
    desarrollamos los productos:
    m=cb^2-bc^2+ac^2-ca^2+ba^2-ab^2
    n=abc
    p=ca^2-abc-a^3+ba^2+ab^2-b^3-abc+cb^2+bc^2-abc-c^3+ac^2=(c+b)a^2+(a+c)b^2+(a+b)c^2-3abc-a^3-b^3-c^3, pero como a+b=-c, a+c=-b y b+c=-a tendremos: p=-3abc-2(a^3+b^3+c^3). Seguimos:
    q=abc-ba^2-ac^2+ca^2-cb^2-ab^2+bc^2-abc=-m
    Luego mp/(nq)=3abc+2(a^3+b^3+c^3)/abc
    Si en la expresión anterior sustituimos c por -(a+b) nos queda que es igual a 2×3+3=9

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  3. Parece que no hace falta que los números sean enteros, basta que los tres sean diferentes entre sí (aunque llegaríamos al mismo valor tomando el límite).
    En ese caso, yo he llegado a simplificar la expresión inicial, todavía sin sustituir, a
    P=1+\frac{(a-b-c)(b-c-a)(c-a-b)}{abc}.
    Sustituyendo, a+b+c=0 \to P=1+\frac{2a\cdot 2b \cdot 2c}{abc}=9.

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  4. Aún más sencillo, se cogen 3 valores enteros no nulos distintos cualesquiera tal que a+b+c=0.
    Entonces se calcula el producto del enunciado y sale 9. Misión cumplida.

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  5. Cristhian Camacho, tu fórmula, precisamente, da 3^2=9 para cualquier valor de n.
    Resultado totalmente impredecible por su sencillez.

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  6. Creo que siendo puristas el enunciado debería decir:

    Si a, b, c son tres números enteros DISTINTOS tales que:

    a diferente de -b
    a diferente de -c
    b diferente de -c
    a+b+c=0

    calcular el valor del siguiente producto…………….

    Entonces el resultado es siempre 9

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  7. Lo que hice fue tomar a+b+c=0 y elevar al cuadrado ambos miembros de la igualdad. Entonces armo una ecuación cuadrática respecto de a, y aplico la formula resolvente. La simplifico, y sumo a+b en ambos lados de la ecuacion, en el miembro derecho sustituyo a+b+c por su valor, que es 0. de alli despejo b, y la tengo expresada asi en función de c, multiplicado por i. Ahora sustituyo en a+b+c=0 el valor de b, y tengo a en función de c. Ahora, con a y b en términos de c y de la unidad imaginaria, los sustituyo en el ejercicio propuesto. Desarrollo incansablemente xD. Resuelvo el producto, las fracciones inversas las simplifico rapidamente como 1, teniendo asi 3 veces 1. Las otras fracciones, las desarrollo con los valores de a y b, tomando en cuenta que unas fracciones son las inversas de otras, pero ya no se multiplican, ahora se suman, y en efecto, las sumo, inversa con inversa. Finalmente obtengo que esas fracciones ya sumadas y simplificadas, son igual a 2. No lo hice con cada una de ellas, confieso que solo resolví una, asumí por simetría que las demás tambien terminarían en 2. Así: 3+3×2=9. (Son 3 las fracciones que debo simplificar hasta llegar a 2) Me gustó el ejercicio! xD

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  8. Vamos a resolver paso por paso el valor del producto

      \left ( \cfrac{a-b}{c} + \cfrac{c-a}{b} + \cfrac{b-c}{a} \right )\left ( \cfrac{c}{a-b} + \cfrac{b}{c-a} + \cfrac{a}{b-c} \right ) \quad ; \quad a+b+c=0

    Ahora evaluando

      \left ( \cfrac{(a-b)ab+(c-a)ac+(b-c)bc}{abc} \right )  \left ( \cfrac{c(c-a)(b-c)+b(a-b)(b-c)+a(a-b)(c-a)}{(a-b)(c-a)(b-c)} \right )

      \left ( \cfrac{(a-b)ab+(c-a)ac+(b-c)bc}{abc} \right )  \left ( \cfrac{c(c-a)(b-c)+b(a-b)(b-c)+a(a-b)(c-a)}{(b-a)ab+(a-c)ac+(c-b)bc} \right )

      -\left ( \cfrac{c(c-a)(b-c)+b(a-b)(b-c)+a(a-b)(c-a)}{abc} \right )

      -\left ( \cfrac{c(bc-c^{2}-ab+ac)+b(ab-ac-b^{2}+bc)+a(ac-a^{2}-bc+ab)}{abc} \right )

    Sumando y restando el mismo elemento en el numerador +c^{2}-c^{2}, +b^{2}-b^{2}, +a^{2}-a^{2}

      -\left ( \frac{c(bc+ac+c^{2}-c^{2}-c^{2}-ab)+b(ab+bc+b^{2}-b^{2}-ac-b^{2})+a(ac+ab+a^{2}-a^{2}-a^{2}-bc)}{abc} \right )

    factorizando

      -\left ( \cfrac{c((a+b+c)c-2c^{2}-ab)+b((a+b+c)b-2b^{2}-ac)+a((a+b+c)a-2a^{2}-bc)}{abc} \right )

    Y como a+b+c=0

      -\left ( \cfrac{c(-2c^{2}-ab)+b(-2b^{2}-ac)+a(-2a^{2}-bc)}{abc} \right )

      \left ( \cfrac{2(a^{3}+b^{3}+c^{3})+3abc}{abc} \right )

    Ahora la Identidad de Gauss nos dice:
    (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc) = a^{3}+b^{3}+c^{3} -3abc
    Pero si a+b+c=0, entonces queda a^{3}+b^{3}+c^{3} = 3abc

    Volviendo al problema

      \left ( \cfrac{2(a^{3}+b^{3}+c^{3})+3abc}{abc} \right ) = \left ( \cfrac{2(3abc)+3abc}{abc} \right )  = 3 \cdot 3 \cdot \cfrac{abc}{abc} = 9

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  9. Prácticas para Resolver PROBLEMAS MATEMÁTICOS
    Álgebra y trigonometría
    V. Litvinenko
    A. Mordkóvich
    Editorial Mir Moscú

    1.2 Transformaciones de expresiones racionales
    Ejemplo 6, página 13
    No es necesario que a, b y c sean enteros, pero si que a, b y c sean distintos de 0
    Usa el ejemplo anterior que establece que si a + b + c = 0, entonces:
    a^3 + b^3 + c^3 = 3abc

    Muy buen libro, muy soviético, infinidad de ejercicios…

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  10. Siempre además a b yc y bc, sino la expresión es indeterminada

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  11. ¿Donde se puede conseguir mas identidades de este tipo? Gracias

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  12. no entiendo xq se hacen tantas bolas es ovbio que al hacer todos los calculos al final las variables se simplifican quedando 9 para cualquier valor de a ,b y c que han que la suma sea 9 ..es sufuiciente poner a=1, b=2, c=-3, no esque no sepa los calculos ..lo que pasa es q creo q lo importa es el resultado y como solo me piden calcular el producto…

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  13. Supongo que es como la vida misma: Es mas importante el camino que el resultado

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  14. Alguien me parece que dio lo que sería la solución más simple.
    Si el resultado es general, debería ser el mismo para cualesquiera valores de a, b y c que cumplan que a+b+c=0 y no haya dos iguales (por los denominadores del segundo factor).
    Entonces se elijen esos tres valores, por ejemplo a=5, b=2, c=-7 y luego se hace la cuenta.

    Da 9 para cualquier elección.

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