Calcular la derivada de una integral

Calcular la derivada de una integral…¿estás de broma? La derivada de una integral…¿Eso existe? Y si existe, ¿eso no daría de resultado la función inicial?

Pues sí, existe. Y bueno, en cierto modo tienes razón, ya que la integral y la derivada son procesos inversos, por lo que si realizamos primero un proceso y luego el otro obtendríamos la función inicial. Vamos, digamos que nos quedaríamos igual. Pero la cosa no es siempre así, depende de varios detalles de la propia integral y de la función inicial.

Vale, supongamos que se puede hacer esto. ¿Qué importancia podría tener? ¿Para qué podría servir? ¿Es útil?

Pues…sí, claro que tiene importancia. Así, a bote pronto, se me ocurre la siguiente utilidad: estudio del crecimiento y decrecimiento de una función definida mediante una integral. Como sabemos, el crecimiento y decrecimiento de una función derivable en un intervalo puede conocerse mediante el estudio del signo de la primera derivada en dicho intervalo, por lo que si nuestra función está definida mediante una integral tendremos que derivarla para ver dónde crece y dónde decrece.

Bueno, no está mal, pero no me imagino de dónde puede salir una función definida mediante una integral. Vamos, que no lo veo natural.

Ahí va un ejemplo que me pasa ahora mismo por la cabeza. En muchas ocasiones las soluciones de una ecuación diferencial (no nos hace falta saber qué es eso, aunque muchos seguro que lo sabéis) deben dejarse en forma integral, por lo que para estudiar su crecimiento y decrecimiento debemos derivar esa integral y estudiar el signo de esa derivada. Y bueno, teniendo en cuenta que gran cantidad de procesos de la naturaleza están regidos por ecuaciones diferenciales (¿hay alguno que no lo esté?) parece buena idea saber hacer esto, ¿verdad?

Por todo esto, en este post vamos a ver cómo calcular la derivada de una una función definida mediante una integral.

Derivada de una integral I: El TFC

Isaac BarrowEl resultado que nos permite derivar una función definida mediante una integral y nos dice cuánto vale dicha derivada es el teorema fundamental del cálculo (TFC). El primero que publicó una demostración relacionada con el TFC fue James Gregory, aunque lo que demostró fue una versión restringida de este resultado. Fue Isaac Barrow el primer que demostró este teorema. Isaac Newton terminó el trabajo con el desarrollo de la teoría matemática subyacente.

¿Qué dice el TFC? Pues muy sencillo: básicamente dice que la derivación y la integración son procesos inversos. Pero además nos da una manera de calcular integrales definidas.

El TFC se suele dividir en dos resultados distintos: el primer TFC y el segundo TFC. Sin entrar en algunos detalles, el enunciado del primero podría ser algo así:

Primer Teorema Fundamental del Cálculo

Dada una función f(x),

  1. La función F(x)=\displaystyle{\int_a^x f(t) \; dt} es continua.
  2. Si además f(x) es una función continua, entonces F(x) es derivable, y:

    F^\prime (x)=\left ( \displaystyle{\int_a^x f(t) \; dt} \right )^\prime= f(x)

Obviando los detalles sobre dónde es continua y/o derivable cada una de las funciones que aparecen en el enunciado, se ve que este TFC1 dice que si tengo una función f(x) continua, entonces su integral se puede derivar, y además esa derivada da como resultado la propia f(x).

El enunciado del TFC2 es algo así:

Segundo Teorema Fundamental del Cálculo

Si f(x) es una función continua y G(x) es una función tal que G^\prime (x)=f(x), entonces:

\displaystyle{\int_a^b f(x) \; dx = G(b)-G(a)}

Es decir, el TFC2 nos da una manera de calcular la integral de una función en un intervalo: calculamos G(x) (lo que se denomina una primitiva de f(x)) y restamos los valores de G en los extremos del intervalo.

Este teorema, con sus dos apartados, es muy importante y muy útil, sobre todo teniendo en cuenta la gran cantidad de aplicaciones que tienen las integrales.

Supongamos que ahora queremos calcular la derivada de la siguiente función F(x), definida mediante una integral:

F(x)=\displaystyle{\int_{x^2}^{x^2-x} e^{-t^3} \; dt}

La situación no es exactamente igual que antes, ya que los límites de integración no son de la misma naturaleza que los que aparecen en el TFC1. Por ello, para calcular F^\prime (x) necesitamos algo más. Este algo más es una generalización del TFC1, que combina este resultado con la regla de la cadena (que se utiliza para derivar de forma sencilla una composición de funciones). Ahí va:

Generalización del TFC1

Si la función F(x) está definida mediante la siguiente integral

F(x)=\displaystyle{\int_{g(x)}^{h(x)} f(t) \; dt}

entonces su función derivada se calcula de la siguiente forma:

F^\prime (x)=\left (\displaystyle{\int_{g(x)}^{h(x)} f(t) \; dt} \right )^\prime= f(h(x)) \cdot h^\prime (x)-f(g(x)) \cdot g^\prime (x)

Con esta fórmula podemos calcular la derivada de la función anterior:

F^\prime (x)=\left (\displaystyle{\int_{x^2}^{x^2-x} e^{-t^3} \; dt} \right)^\prime=e^{-(x^2-x)^3} \cdot (2x-1)-e^{-(x^2)^3} \cdot 2x

Esta generalización del TFC1 es muy útil a la hora de manejar funciones definidas mediante integrales cuyos límites de integración son funciones con cierta complejidad, ya sea para estudiar monotonía y/o curvatura de esa función, para comprobar si es solución de cierta ecuación diferencial, para utilizar la regla de L’Hopital en un límite donde aparezca dicha función, etc.

Derivada de una integral II: La fórmula de Leibniz

Gottfried Wilhelm LeibnizVamos a darle al tema una vuelta de tuerca más. Dada una función F(x) definida mediante una integral, ¿qué ocurre si la función que aparece dentro de la integral depende x? Es decir, si nuestra F(x) tiene esta forma:

F(x)=\displaystyle{\int_{g(x)}^{h(x)} f(t,x) \; dt}

donde la función f depende de x (que es la variable de F) además de depender de t, ¿cómo calculamos su derivada?

Para este caso necesitamos utilizar la conocida como Fórmula de Leibniz, que nos dice cómo calcular dicha derivada. Ahí va:

Fórmula de Leibniz

Dada la función

F(x)=\displaystyle{\int_{g(x)}^{h(x)} f(t,x) \; dt}

podemos calcular su derivada utilizando la siguiente fórmula:

\begin{matrix} F^\prime (x)=\left (\displaystyle{\int_{g(x)}^{h(x)} f(t,x) \; dt} \right )^\prime = \\  \displaystyle{\int_{g(x)}^{h(x)} \cfrac{\partial f}{\partial x} \; dt} + f(h(x),x) \cdot h^\prime (x)-f(g(x),x) \cdot g^\prime (x) \end{matrix}

Como podéis ver, la fórmula de Leibniz es la generalización del TFC1 que vimos antes junto a un término más, que es la integral de la derivada parcial de f respecto de x.

Con esta fórmula podemos, por ejemplo, hacer este ejercicio que aparece en una relación de ejercicios de uno de los grupos de alumnos que he tenido este curso:

Dado el problema de valores iniciales siguiente:

\begin{cases} y'' +a^2 y=f(x) \\ y(0)=y' (0)=0 \end{cases}

comprobar que la función

F(x)=\displaystyle{\frac{1}{a} \int_0^x f(t) \cdot sen \; (a(x-t)) \; dt}

es solución del mismo.

Pero esto os lo dejo como ejercicio. Intentadlo, que es sencillo.


Espero que os haya quedado claro el tema y que este post os sirva de ayuda cuando necesitéis realizar esta operación.


La imagen de Barrow la he tomado de aquí y la de Leibniz de aquí.


Por cierto, este artículo ha llegado a portada en Menéame. Gracias a todos los que lo habéis meneado.

Autor: gaussianos

43 Comentarios

  1. Me encantan la matematicas y en especial el calculo Diferencia e Integral. MUCHAS GRACIAS POR TRATAR ESTE TEMA !!!

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  2. Hace poco habia enviado un mail con una duda sobre esto.
    La Formula de Leibniz se puede usar, por ejemplo, para calcular el area de sin(x)/x de 0 a infinito.

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  3. Hola ^DiAmOnD^. Gusto saludarte.

    Felicitarte por la continuidad que das al blog y los artículos tan interesantes que publicas.

    Nos hablamos.
    Simón/.

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  4. Esto es lo que se requiere para hacer de twitter, en vez de un sitio para chismear, un lugar para aprender cosas interesantes.

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  5. “Y bueno, teniendo en cuenta que gran cantidad de procesos de la naturaleza están regidos por ecuaciones diferenciales (¿hay alguno que no lo esté?)”

    Grandee

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  6. Antes de nada, pido perdón por mi atrevimiento y por respeto a las Matemáticas y a los matemáticos. Mi humilde aportación práctica:
    Una aplicación en ingeniería de la derivada de una integral es el ‘Teorema de Castigliano’ (el segundo que es el más conocido). El teorema permite obtener el despazamiento de un punto de un sólido elástico derivando la ‘energía potencial elástica’ respecto de la fuerza aplicada en el punto. La energía de deformación se obtiene por integración del campo de tensiones o bien de las leyes de esfuerzos para el caso especial (pero habitual) de barras (problemas unidimensionales).
    http://es.wikipedia.org/wiki/Teoremas_de_Castigliano
    http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_de_deformaci%C3%B3n
    En las aplicaciones prácticas el procedimiento evita calcular la integral (la energía potencial elástica) para después derivarla. Con vistas a simplificar los cálculos, lo que se hace es ‘derivar bajo el signo integral’ y proceder a la posterior integración. Este último procedimiento admite una interpretación física que permite simplicar más aún el procedimiento (método de la carga fictícia o unitaria), eliminando la necesidad de derivar y eliminando el problema que surge cuando se quiere conocer el desplazamiento de un punto en el que no existe carga aplicada.
    Un saludo

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  7. Felicidades por el magnifio post, da gusto ver este tipo de temas por aqui.

    de todas maneras acabas de recordar a un proyecto de ingeniero sus obligaciones para septiembre (con toda probabilidad) la verdad es que me apasiona este mundo, y sobre todo la optimizacion de funcionales, como has dicho…¿¿¿que no se puede hacer con ellos???

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  8. Recuerdo esas clases de física atómica en las que el profesor decía “bueno, esto de meter y sacar derivadas de las integrales lo podemos hacer porque no nos mira ningún matemático, porque damos por hecho que se cumplen todas esas condiciones que se tienen que cumplir para hacer estas cosas”.

    Es parecido a cuando alguien toma la notación df/dx como cociente entre diferenciales.

    Muy interesante como siempre 🙂

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  9. @MiGUi
    Por lo que veo, eso de hacer cosas raras con los diferenciales no es solo en mi universidad ni en mi promoción XD
    La de maravillas que hacemos los físicos destrozando el formalismo matemático 😛

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  10. es un muy buen post. Muy buena iniciativa

    quizá deberías plantearte bajar un poco más la explicación. Una especie de post enlace explicando como se llega a ecuaciones (fórmulas) sencillas como utilizar las integrales para calcular superficies por ejemplo

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  11. he dejado de leer cuando vi que ponia la derivada es la inversa de la integral, son operaciones recíprocas, no inversas.

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  12. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

    http://es.wikipedia.org/wiki/Integración

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  13. Muy buen artículo. Y si es un clásico que los físicos hagamos desastres con el formalismo matemático. Recuerdo una clase donde el profesor comenzo a mover de mil formas los diferenciales para llegar al resultado, en un momento se da vuelta y pregunta: “¿no hay ningún matemático en la sala verdad?”, como nadie respondio siguió, “menos mal, … estamos entre gente razonable”, y la clase estalló en risas xD. Todo mi respeto para los matemáticos, perdonenos por destruir la hermosa formalidad, pero para las aplicaciones, muchas veces da un poco de hástio xD.
    Por cierto… tengo enténdido que hay una rama de la matemática llamada “análisis no estándar” donde se definen bien los diferenciales y se los trabaja como si fueran números (todo debidamente justificado), me llama mucho la atención sobre ese tema. ¿Tendrían la amabilidad de explicarme algo? ¿o de hacer un artículo sobre ello? la verdad me encantaría (así como físico no me siento tan mal cuando hago desastres). Muchisimas gracias =).

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  14. La última, la fórmula de Leibnitz, me ha aparecido al intentar solucionar el siguiente simple problema de probabilidad: tenemos que intentar adivinar el valor de una variable aleatoria x de función de probabilidad conocida, tratando de minimizar (la esperanza de) el “error” absoluto (pensarlo como un juego: yo apuesto por $a$ y debo pagar un monto igual al módulo del error que cometo e=|x-a| ). Al plantear esa esperanza como una integral sobre p(x), y al derivar respecto de a para encontrar su mínimo, se llega a la ecuación

    \displaystyle \frac{d}{da} \left( \int_{-\infty}^{a} (a-x) p(x) dx  + \int_{a}^{\infty} (x-a) p(x) dx  \right) = 0

    Mis alumnos, que suelen salir de Análisis I con la idea de que saber resolver “cualquier derivada” quedan un poco desconcertados al descubrir que no saben (por lo general) derivar esto. Entonces hacemos la derivada “por definición” y redescubrimos la fórmula de Leibnitz. (Por cierto, el a que resuelve esa ecuación es la mediana de p(x))

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  15. La definición formal de “operación reciproca” no la conozco. Pero se de un ejemplo de la misma. Suponete que tenes la función  f(x) = cos(x) restringida en el intervalo  [0, \pi] . Entonces es bien conocido que la función INVERSA es  f^{-1} (x) = arccos(x) , pues al componerlas a ambas obtenemos la función identidad. La llamada función reciproca en cambio es:   \dfrac{1}{f} (x) = \dfrac{1}{cos(x)} = sec (x)

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  16. A ver, @gaussianos dice que la derivación y la integración son operaciones inversas, no recíprocas, pero @HM2P33 da un ejemplo de operación recíproca haciendo uso de funciones y llama inversa a la función f^{-1}.

    La verdad, me gustaría que se aclarara esto, pues es muy importante, por eso sigo manteniendo la pregunta ¿qué es una operación recíproca?

    P.D: Parece que hay problemas para renderizar LaTeX con los símbolos del dólar (en mi caso) . $f^{-1}$

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  17. Creo que la funcion reciproca de una funcion F es G si F·G = 1

    Por ejemplo.

    cos(x) = F(x)

    sec(x) = G(x)

    F(x)·G(x) = 1

    Se relaciona con el reciproco de un numero a, a^(-1), pero no con funcion inversa, que aunque usa el exponente -1, se escribe f^(-1)(x) y no [f(x)]^(-1)

    Asi, la reciproca del conjunto de pares ordenados (x,y) es (1/x,1/y) y la inversa (y,x)

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  18. Hay publicaciones serias en castellano en las que se dice que la función recíproca=función inversa, como por ejemplo aquí y aquí.

    Parece más bien como una especie de «regla no escrita» que cada uno utiliza a su conveniencia, y dependiendo de la localización geográfica y las enseñanzas adquiridas, unos la utilizan de una manera y otros de otra. El criterio que utilizan los anglosajones está mejor definido que el nuestro, y en ese sentido, solemos utilizar sus definiciones para inverso y recíproco (pero no siempre), causando la confusión.

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  19. Muchisimas Gracias,
    Excelente la explicacion se agradece 🙂

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  20. La verdad es que estoy muy impresionado por la cantidad de información que cogido de aquí.

    Muchas gracias y sigan así!!

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  21. Magnífico artículo me ayudó muchísimo que manera tan amigable de divulgar las matemáticas

    Esa es la magia de Gaussianos

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  22. Bueno, mi duda es la siguiente:
    Sea f una función derivable que satisface la ecuación f’=(f^2)+1. Demostrar que f tiene inversa.

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  23. Si f'=f^2+1 entonces f'(x)>0 para todo x donde esté definida la función, de ahí que sea creciente y por tanto inyectiva, luego tiene inversa definida en su imagen.

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  24. RB, ¿para quién va ese comentario?

    EDITO: Vale, ya lo he visto :). A ver si soy capaz de arreglar el tema de los comentarios anidados…

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  25. No, para calcular esa integral debes conocer teoria en una variable compleja y resolverla por el teorema de los residuos integrando, la 1-forma w=exp(iz)/z que tiene un polo simple en el origen,sobre un recinto adecuado y adecuadamente orientado…En fin no es tan facil como parece!

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  26. Es por esa razón amigo que solo los mejores físicos, los que se han hecho eternos con sus teorías, tiene una fuerte base matemática! sino es imposible, por mucho que nos odieis no podréis ir a ningún lado sin nosotros!

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  27. Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia. Utiliza la Vista Previa antes de publicar tu comentario para asegurarte de que las fórmulas están correctamente escritas.

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  28. Hola, lo logico es que no se como empezar , tenia 4 año que no ingresaba a la universidad ingrese ahora y no recuerdo nada pero estoy muy interesada en aprender .

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  29. Excelente entrada. Aquellos que les guste los interrogantes históricos pueden preguntarse: ¿por qué Barrow publica el teorema, con un enfoque sutilmente diferente, en un apéndice de su obra?, ¿por qué no volvió a hacer caso del mismo? Fue Leibniz el que se dio cuenta de la trascendencia, pues aunque Newton la conocía no hizo mención de la misma al reto de la comunidad científica. La historia sigue manteniendo interrogantes.

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  30. Buenas! Excelente post! Y los comentarios! Apenas empiezo a estudiar matemáticas puras y revisando estos libros de cálculo que tengo a la mano (Spivak, Purcell, Apostol) no encuentro esa generalización del TFC. ¿Alguien puede proporcionarme una referencia bibliográfica hasta ella?

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  31. Al principio del articulo usted dice esto:
    “Pues sí, existe. Y bueno, en cierto modo tienes razón, ya que la integral y la derivada son procesos INVERSOS, por lo que si realizamos primero un proceso y luego el otro obtendríamos la función inicial. Vamos, digamos que nos quedaríamos igual. Pero la cosa no es siempre así, depende de varios detalles de la propia integral y de la función inicial.”

    Por lo que yo estudie
    Las integrales y derivadas NO son inversas pero SI son reciprocas

    Este comentario lo hago con la razón de corregir sin ninguna critica a nadie

    Saludos

    Fuente: Tengo Maestría en Matemática en la Universidad Nacional del Litoral (Santa Fe Argentina)

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  32. No responde a la pregunta a la cual se ha formulado,también se podría decir cual es la integral de la derivada de la curvatura del tiempo,en teoría podríamos viajar en el espacio tiempo y acortar muchas distancias.

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  33. Gracias me salvaron la vida!
    Los inutiles profesores de Calculo II pusieron un ejercicio de este tipo en dos variables en el examen sin haberlo dado en clase…

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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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