Calcular la fecha del Domingo de Resurrección

Gracias a Tito Eliatron por la información que me envió sobre este tema hace ya un tiempo.


Introducción

Recién terminada la Semana Santa planteo la siguiente pregunta: ¿sabéis qué criterio se sigue para asignar la fecha del Domingo de Resurrección cada año?

Yo me he hecho esa pregunta en más de una ocasión viendo que la variedad de fechas para ese día es relativamente grande. ¿Hay algún criterio para asignar fecha a ese día? En el caso de que lo haya (que por otra parte era lo más lógico), ¿en qué se basa ese criterio? ¿Su base es meramente religiosa o hay algo más?

Pues parece que hay algo más. Y, cómo no, lo que hay son matemáticas. Sí, matemáticas, aquí también están. Veámoslo.

Historia

A principios del siglo IV habían surgido varios grupos que calculaban a su manera la fecha del día de la Pascua de Resurrección. No había consenso, cada uno de ellos daba una fecha distinta, por lo que la confusión que rodeaba este asunto era grande. En el Concilio de Arlés (año 314) se obligó a todos los cristianos a celebrar la Pascua el mismo día (que sería fijado por el Papa), aunque no todos los grupos estuvieron de acuerdo en ello. Fue en el año 325, en el Concilio de Nicea, donde se alcanzó un principio de acuerdo.

Las normas que debía cumplir el día de Pascua de Resurrección eran las siguientes:

  • La Pascua debía celebrarse en domingo.
  • No podía coincidir con la Pascua judía (que conmemora la salida del pueblo judío de Egipto) para evitar confusiones entre ambas religiones.
  • Que los cristianos no celebrasen la Pascua dos veces el mismo año.

Pero con todo esto seguía habiendo diferencias entre la iglesia de Roma y la iglesia de Alejandría (principalmente relacionadas con el equinoccio de primavera y el cálculo de la edad de la Luna).

La solución final no llegó hasta el año 525, en el que Dionisio el Exiguo (cuyo nombre proviene de su pequeña estatura) sentó las bases del cálculo de la fecha de Pascua (que eran las del método alejandrino). Las premisas iniciales del método son las siguientes:

  • La Pascua ha de caer en domingo.
  • Este domingo ha de ser el siguiente a la primera luna llena de la primavera boreal (si esta fecha cayese en domingo, la Pascua se trasladará al domingo siguiente para evitar la coincidencia con la Pascua judía).
  • La luna pascual es aquella cuyo plenilunio tiene lugar en el equinoccio de primavera (vernal) del hemisferio norte (de otoño en el sur) o inmediatamente después.
  • Este equinoccio tiene lugar el 21 de marzo.
  • Llamamos epacta a la edad lunar. En concreto nos interesa para este cálculo la epacta del año, la diferencia en días que el año solar excede al año lunar. O, dicho más fácilmente, el día del ciclo lunar en que está la Luna el 1 de enero del año cuya Pascua estamos calculando. Este número (como es lógico) varía entre 0 y 29.

Con estas condiciones la Pascua quedaba encuadrada entre el 22 de marzo y el 25 de abril.

Durante el Renacimiento se construyeron tablas de cálculo para esta fecha, algunas de ellas relacionadas con el número aúreo. En la actualidad el método más sencillo para realizar este cálculo se debe a nuestro admirado Gauss.

Cálculo del Domingo de Resurrección

Como hemos dicho antes, el método más sencillo para el cálculo de esta fecha se lo debemos a quien da nombre a este blog, Carl Friedrich Gauss (como podéis consultar en el extra que encontraréis más adelante, éste no es el método oficial, pero siempre da el mismo resultado). La base del mismo es la aritmética modular. Vamos a explicar en qué consiste:

Definimos diez variables que denotamos así: a,b,c,k,p,q,M,N,d,e. Siendo A el año del que queremos calcular la fecha del Domingo de Resurrección, veamos cómo se define cada una de ellas:

  • a es el resto de la división de A entre 19, es decir, a \equiv A \pmod{19}.
  • b es el resto de dividir A entre 4, es decir, b \equiv A \pmod{4}.
  • c es el resto de la división de A entre 7, esto es, c \equiv A \pmod{7}.
  • k es el resultado de redondear por defecto el resultado de la división de A entre 100, es decir, k= \lfloor \textstyle{\frac{A}{100}} \rfloor.
  • p es el resultado de redondear por defecto el resultado de la división de 13+8k entre $25$, esto es, p=\lfloor \textstyle{\frac{13+8k}{25}} \rfloor.
  • q es el resultado de redondear por defecto el resultado de la división de k entre 4, es decir, q=\lfloor \textstyle{\frac{k}{4}} \rfloor.
  • M es el resto de la división de 15-p+k-q entre 30, esto es, M \equiv 15-p+k-q \pmod{30}.
  • N es el resto de la división de 4+k-q entre 7, es decir, N \equiv 4+k-q \pmod{7}.
  • d es el resto de dividir 19a+M entre 30, o lo que es lo mismo, d \equiv 19a+M \pmod{30}.
  • e es el resto de la división de 2b+4c+6d+N entre 7, es decir, e \equiv 2b+4c+6d+N \pmod{7}.

Calculando el valor de cada una de las variables para el año en cuestión, la fecha del Domingo de Resurrección será la siguiente:

  • Si d+e < 10, la fecha de Pascua de Resurrección será el día d+e+22 de marzo.
  • Si d+e > 9, la fecha de Pascua de Resurrección será el día d+e-9 de abril.

Para esta regla existen dos excepciones:

  • Si obtenemos el 26 de abril (nos salimos del rango establecido), la Pascua será el 19 de abril.
  • Si obtenemos el 25 de abril con d=28, e=6, a > 10, entonces la Pascua será el 18 de abril.

Para ejemplificar el método vamos a calcular la fecha del Domingo de Resurrección de este año 2009 (que como sabemos es el día 12 de abril).

Para el año A=2009 los valores de las variables son los siguientes (como los cálculos son sencillísimos os dejo a vosotros la comprobación):

a=14,b=1,c=0,k=20,p=6,q=5,M=24,N=5,d=20,e=1

Como d+e =21 > 9, entonces la fecha es el d+e-9=21-9=12 de abril, como en realidad es.

Extra: Gracias a nuestro gran amigo fede (¡qué haría yo sin ti algunas veces!) os puedo ofrecer este formulario mediante el cual podréis calcular la fecha del Domingo de Resurrección que él mismo ha programado (utiliza javascript, por lo que si no lo tenéis activado igual no os funciona) a partir de la descripción del método que podéis ver en la fuente de la Wikipedia inglesa que aparece al final de este artículo (hay un par de retoques de diseño que son míos; se aceptan todo tipo de sugerencias y ayudas). Para utilizarlo simplemente tenéis que escribir las cuatro cifras del año del que queréis calcular la fecha del Domingo de Resurrección (siempre un año mayor que 1582) y automáticamente os aparecerá dicha fecha:

Cálculo de la fecha del Domingo de Resurrección Escribe el año del que quieres realizar el cálculo:
En el año introducido, el domingo de Resurrección es (según el algoritmo de Gauss) el día
(El algoritmo de Gauss no es el oficial, aunque da el mismo resultado.)

Las variables M y N

Si nos fijamos en la descripción del método vemos que las variables k,p y q sólo sirven para calcular M y N. Para evitarnos su cálculo os dejo una tabla con los valores de las mismas para ciertos intervalos de años:

Años M N
1583-1699 22 2
1700-1799 23 3
1800-1899 23 4
1900-2099 24 5
2100-2199 24 6
2200-2299 25 0

Fuentes:

Esta entrada estaba programada hace un tiempo, razón por la cual no había visto que Tito Eliatron había publicado el método descrito aquí hace unos días. Os dejo el enlace a ese post:

Aritmética modular y Semana Santa

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

8 Comentarios

  1. En uno de los comentarios a la entrada de mi blog, un usuario ha dejado el código (en Delphi) con un algoritmo que utuliza el número de oro. Y otro usuario, parece que lo ha traducido (y arreglado) al PHP.

    En fin, siento haberme adelantado con el post sin haberte advertido. La verdad, no me acordaba que te lo había pasado.

    De todas formas, aquí se ve la diferencia entre un blogger aficionado y novato como yo y un blogger de categoría como tú.

    Enhorabuena por un post tan tan completo.

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  2. Tito, lo primero, muchas gracias otra vez por la información que me enviaste sobre el tema.

    En segundo lugar, nada de advertir. Estabas en todo tu derecho de publicarlo sin necesidad de advertirme de nada.

    Y en tercer lugar, ¿blogger de categoría? Lo único que puedo hacer es agradecerte dicho comentario, me hace sentirme muy orgulloso de mi labor con Gaussianos.

    Ánimo y a seguir con tu dixit.

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  3. En PHP es muy sencillo calcular el domingo de resurreccion. Yo hice esto en su dia para calcular los festivos:

    [PHP]
    $pascua = easter_date();
    $dia = 60 * 60 * 24; // duración de un dia en segundos (UNIX)
    $semana_santa = array(date(“d/m”, $pascua – (3 * $dia)), date(“d/m”, $pascua – (2 * $dia)));
    [/PHP]

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  4. Solo puedo felicitar al autor de gaussianos. Este metodo ya me lo conocia pero siempre me ha intrigado en la formula para calcular e, de donde salen los coeficientes 2, 4, 6 de b, c y d respectivamente.

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  5. Primero: gracias a tí y a tito Eliatron, por compartir este método, incluyendo como se calculan M y N. En otros sitios te dicen que son “variables exógenas” y andando
    Como no he encontrado ningún sitio aludiendo al porque del método he investigado un poco, y da para una entrada en algún blog (Quizás el tuyo?)
    Aquí lo que averigüé para aquel que se coma la cabeza tanto como yo.
    1) Gauss no intenta ceñirse a los verdaderos ciclos astronómicos,sino que solo simplifica los cálculos de lo que se venía llamando COMPUTO en la edad media (basado en los años Julianos, a, b, c, d y e) a los que luego les aplica las correcciones gregorianas M y N que inicialmente eran números concretos. Para saber todo lo que sabía Gauss del tema recomiendo leer (http://www.bubok.es/libros/200036/Nuestro-calendario)
    2)La fecha del domingo de Pascua es el 21 de marzo+d+(e+1), donde d es la diferencia entre el equinoccio de primavera y el primer plenilunio de primavera (d=0…29)y (e+1) es la diferencia en días entre el plenilunio y el primer domingo DESPUÉS del plenilunio (e+1=1…7).
    3) Para calcular d, se usa todo lo que se sabe del ciclo de Metón. Esto es que cada 19 años julianos se repiten 325 meses lunares (es un “pelín” más complicado, pero la cosa va por ahí) y la letra a te dice en que año del ciclo te encuentras (a=0..18 equivalente al número de oro, que NO tiene nada que ver con la media y extrema razón, como alguno dice por ahí). Si en el año a=0 el 1 de Enero es Luna nueva, 19 años después ¡Tambien!
    Respecto al resto de los años del ciclo, Gauss NO se fija en como aumenta la epacta (edad de la luna el 1 de enero), sino en cuanto tarda en volver a aparecer la misma fecha lunar (Puesto que 365 días son 12 meses lunares de 29,5 dias+11 dias, en el segundo año el 1 de enero la luna tendra una edad de 11 días (epacta +11) y faltaran 19=30-11 para volver a ser nueva) Por eso Gauss dice que d=(M+19a) MOD 30 Donde M es el número de días que hay entre el equinoccio y el plenilunio pascual en el año a=0. (Puesto que la luna llena es 15 días después que la nueva, suponiendo luna nueva en 1 de enero, tocaría luna pascual el 14 de abril. Diferencia (14 de abril-21 de marzo=24=M))
    4) e+1 es la diferencia entre el Domingo Pascual y la luna pascual. El +1 (que se le acumula al 21 para poner un 22 de marzo en la fórmula) es porque hemos dicho que el domingo no puede coincidir con la luna Pascual.
    Los ciclos semanales debido a los bisiestos cada 4 años en el calendario Juliano, se repiten cada 28 años. Si calculo b (año MOD 4) y c (año MOD 7) estos dos números me determinan en que año del ciclo estamos, tan bien como si hiciera año MOD 28. Operando con b y c (N+2b+4c MOD7) obtiene la distancia de días entre el 22 de Marzo y el domingo siguiente (ojo! no el pascual, solo el domingo siguiente al equinoccio de primavera)¿COMO LO RAZONÓ? TODAVÍA NO LO SE, pero si, que b y c determinan el año dentro del ciclo solar/semanal y esto determina univocamente el día que es el 1 de Enero y el 22 de Marzo. Es en lo que se basan los calendarios perpetuos y los del medievo tenían tablas (http://www.bubok.es/libros/200036/Nuestro-calendario).
    PERO nosotros no queremos saber la diferencia entre el equinoccio (o el día siguiente 22) y el primer domingo que le sigue. Queremos la diferencia (e), entre la luna pascual (22+d) y el siguiente domingo. Supongamos que el 22 M fuera Lunes, faltarian 6 dias para el Domingo. si d=1, faltarian 5 dias desde la Luna al domingo, si d=2, 4 dias;si d=6, 0 dias 22+d es el domingo pascual, si d=7, 22+d seria Lunes y faltarian de nuevo 5 dias para el siguiente domingo, o lo que es lo mismo -1MOD7. La fórmula original de Gauss seria ((N+2b+4c)-d) MOD7. Pone 6d, porque modulo 7 6d=7d-d son equivalente y 6d es positivo (d puede ser bastante más grande que los otros números y los números negativos no eran bien vistos todavía en el siglo XVIII)

    5) Faltan M y N, que son como digo correcciones gregorianas:

    k=es el número del siglo, q es el número del “cuatricentenario”.
    Cuando en en 1582 se decide corregir el calendario Juliano, lo primero que se hace es quitar 3 días cada 400 años. k-q es el número de días que hay que sumar en el calendario Juliano, para obtener su fecha en el Gregoriano.
    Pensando en M, k-q son los días de adelanto que lleva el equinoccio respecto del 21 de marzo Juliano (actualmente 20-5=15 dias. De seguir con el calendario Juliano, el equinoccio seria el 6 de marzo)
    Pensando en N, cada vez que nos saltamos un bisiesto, saltamos un día menos en la semana, con lo que el número de bisiestos saltados (MOD 7) hay que añadirlo a la cuenta.

    Menos conocida es la corrección gregoriana del calendario lunar. Parece ser que el ciclo de Metón (235 meses lunares de 30 y 29 alternativamente, distribuidos en 19 años lunares de los cuales, 13 son normales de 12 meses y 7 son abundantes de 13, los 12 normales y un mes embolísmico de 30 días, a lo que hay que quitar un día llamado salto lunar, una vez cada 19 años) también tenía error. Concretamente, cada 2500 años se acumulan 8 dias de error que hay que quitar (8k/25). Esto lo hicieron de tal manera, que añadía un día así de manera que el inevitable ciclo de 400 años que debería aparecer empezara en el 1400. (Del 1400 al 1800 y luego al final del 1800, 2100, 2400, 2700,3000,3300,3600,3900 y 4300 ) Este 1400 obliga a Gauss a poner un 13 en su formula
    p=13 +8k Mod 25. Y aquí no prosigo por los mismos motivos que Gauss.

    Creo que Gauss no explicaba lo que hacía, porque pensaba que cualquiera con los suficientes conocimientos, capacidad e interés para entender sus explicaciones, llegaría por sus propios medios a las mismas conclusiones que él.

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  6. Ya pille lo de b y c !!!
    ¿Que pasa cada año? Si el año empieza en Lunes, el siguiente empieza en Martes, y al siguiente en miércoles (salvo que sea bisiesto que entonces el año, empieza dos más allá, es decir en jueves). S
    Cuando aumentamos un año (p. ejemplo de 1982 a 1983) b aumenta en 1 (modulo 4) y c aumenta en 1 (modulo 7), con lo que 2b+4c aumenta en 6 lo que modulo 7 equivale a restar 1. Es decir, falta un dia menos para el domingo, porque el año empieza un dia más tarde.
    Pero eso no pasa todos los años! en los bisiestos el 1 de Enero ha avanzado dos dias (de lunes a miercoles, por ejemplo) con lo que habría que restar dos…
    b avanza siempre 1 modulo 4, pero NO AVANZA LO MISMO MODULO 7!
    De 0 a 1, 1 a 2 y 2 a 3 , b avanza 1 (modulo 7, modulo 4 y modulo 3420012), pero de 3 a 0 no avanza 1, sino 4 (hay que sumar 4 para que de 7=0 modulo 7). Con lo que 2b=8=1Mod7. Con lo que 2b+4c (c no da problemas, pq ya es modulo 7) avanza 1+4=5 Mod 7=-2Mod7.

    La cuenta 2b+4c avanza -1 Mod 7 cada año, salvo los bisiestos que avanza -2 Mod 7

    Todavia estoy flipando de como se le ocurriría eso.
    Ojala alguien escribiera esto explicándolo bien 🙁

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  7. Para saber la fecha exacta de la resurrección,., Existe un error en el calculo ya que en el año 1582 fueron quitados 10 días para ajustar del calendario Juliano al calendario que se utiliza actualmente el Gregoriano paso de un jueves 4 de octubre al día siguiente un viernes 15 de octubre de 1582.

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