Calcular la suma

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El problema de la semana trata del cálculo de la suma de una serie. Vamos con él:

Calcular el valor de la siguiente suma:
$\displaystyle{\sum_{n \geq 0} 3^n sen^3 \left (\cfrac{x}{3^n} \right )}$

A por él.

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 13 de May de 2008
Categorías: Juegos | Imprime este post

Sin comentarios

jose matamoros | 13 de May de 2008 | 17:38

Soy muy malo haciendo cuentas, pero vamos a intentarlo:

$sin(a)^3 = sin(a) sin(a)^2 = sin(a) \frac{1-cos(2a)}{2} = \frac{1}{2} sin(a) - \frac{1}{2} sin(a)cos(2a) = \frac{1}{2} sin(a) - \frac{1}{4} sin(3a) + \frac{1}{4} sin(a)=\frac{1}{4} (3sin(a)-sin(3a))$

Ahora sustituyendo en la fórmula inicial $a = \frac{x}{3^n}$ tenemos:

$\frac{1}{4} \displaystyle\sum_{n \ge 0 } 3^{n+1}sin(\frac{x}{3^n}) - \frac{1}{4} \displaystyle\sum_{n \ge 0 } 3^n sin(\frac{3x}{3^{n}}) = \frac{1}{4} \displaystyle\sum_{n \ge 1 }3^n sin(\frac{x}{3^{n-1}}) - \frac{1}{4}\displaystyle\sum_{n \ge 0 }3^n sin(\frac{x}{3^{n-1}}) = - \frac{1}{4} sin(3x)$

¿Es correcto¿
Domingo H.A. | 13 de May de 2008 | 23:14

No es correcto.
jose matamoros | 14 de May de 2008 | 01:00

¿Y dónde está el fallo? ¿En el desarrollo del seno? ¿O en la otra parte?
fede | 14 de May de 2008 | 08:59

El fallo está en que no es válida la cancelación de infinitos términos de esa forma.

Hay que obtener la suma parcial hasta n=k, y luego el límite de esa suma parcial cuando k tiende a infinito.
jose matamoros | 14 de May de 2008 | 09:11

No comprendo. En la cancelación de infinitos del final lo que hago es eliminar término a término:

$\frac{1}{4} \displaystyle\sum_{n \ge 1} (3^n sin(\frac{x}{3^{n-1}})) - \frac{1}{4} \sum_{n \ge 0} (3^n sin(\frac{x}{3^{n-1}})) = - \frac{1}{4} \sum_{n \ge 0} (3^n sin(\frac{x}{3^{n-1}})) + \frac{1}{4} \displaystyle\sum_{n \ge 1} (3^n sin(\frac{x}{3^{n-1}})) = - \frac{1}{4} (3^0 sin (\frac{x}{3^{-1}})) + (-\frac{3}{4} sin(\frac{x}{3^0}) + \frac{3}{4} sin(\frac{x}{3^0})) + (-\frac{3^2}{4} sin(\frac{x}{3^1}) + \frac{3^2}{4} sin(\frac{x}{3^1})) + (-\frac{3^3}{4} sin(\frac{x}{3^2}) + \frac{3^3}{4} sin(\frac{x}{3^2})) + \ldots = - \frac{1}{4} (3^0 sin (\frac{x}{3^{-1}})) = -\frac{1}{4} sin(3x)$

Si me pudierais explicar un poco mejor el error os lo agradecería.

Muchas gracias!
Sive | 14 de May de 2008 | 12:23

Partiendo de aquí:

$\frac{1}{4} \displaystyle\sum_{n \ge 0 } 3^{n+1}sin(\frac{x}{3^n}) - \frac{1}{4} \displaystyle\sum_{n \ge 0 } 3^n sin(\frac{3x}{3^{n}})$

Tal vez veas mejor el fallo. Lo que haces es obtener dos sumandos con cada valor de n, y después anulas un sumando de un par con otro sumando del par siguiente.

Pero al final deben quedar dos sumandos, uno del par que se genera cuando n=0, y otro del par que se genera con n=k.

Lo que pasa es que en este caso, k es infinito… lo que decía fede, en definitiva.

No lo he mirado en detalle, y no sé si el resto del desarrollo es correcto, sólo pretendía aclarar tu duda.
Domingo H.A. | 14 de May de 2008 | 13:11

Efectivamente. El desarrollo es correcto, pero no la conclusión…cosas que tiene el infinito (José Matamoros, la suma te saldría negativa, mientras que los sumandos son positivos para valores pequeños de x). Resumiendo…¿Cuál es el valor de la suma?
Manuel | 14 de May de 2008 | 14:03

El k-ésimo término es así:

$\frac{3^{k+1}}{4} \sin(\frac{x}{3^k}) - \frac{1}{4} \sin 3x$

Cuando $k \to \infty$ :

$\frac{3^{k+1}}{4} \frac{x}{3^k} - \frac{1}{4} \sin 3x = \frac{3x}{4} -\frac{1}{4} \sin 3x$
Domingo H.A. | 14 de May de 2008 | 14:15

Eso es, Manuel.
jose matamoros | 14 de May de 2008 | 16:19

Vale, ya lo he pillado. Se aprende y todo participando por aquí
Manuel | 14 de May de 2008 | 18:12

Ya te digo si se aprende. Yo empecé con el desarrollo de Taylor del seno (físico que es uno…).

Menos mal que tú me lo dejaste a huevo