Calcular las asíntotas de una función

Introducción

Uno de los temas más interesantes del estudio del análisis de funciones de los últimos cursos de bachillerato (y primero de carrera) es la representación de funciones de una variable. Y entre los cálculos que se entienden necesario para recopilar datos suficientes para la representación se encuentra el cálculo de las asíntotas de la función. En este artículo, muy adecuado teniendo en cuenta las fechas en las que estamos (cerca de los exámenes de septiembre), vamos a ver cómo realizar dicho cálculo.

Definición y tipos

Podemos definir el concepto de asíntota de la siguiente forma:

Dada una función y=f(x) cuya gráfica es la curva C se dice que la recta r es una asíntota de f(x) si la curva C se acerca a r indefinidamente sin llegar a coincidir con la propia r.

Teniendo en cuenta que una asíntota es, en particular, una recta, vamos a distinguir tres tipos de asíntotas:

  • Asíntotas horizontales
  • Asíntotas verticales
  • Asíntotas oblicuas

Asíntotas horizontales

Las asíntotas horizontales de una función son rectas horizontales de la forma y=a. Una función puede tener a lo sumo dos asíntotas horizontales: una por la izquierda (cuando x \rightarrow -\infty) y otra por la derecha (cuando x \rightarrow \infty). Se calculan de la siguiente forma:

Si \displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=a}, entonces y=a es una asíntota horizontal para f(x) (por la izquierda).
Si \displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=b}, entonces y=b es una asíntota horizontal para f(x) (por la derecha).

Por tanto podemos encontrarnos los siguientes casos:

  1. Funciones que no tienen asíntotas horizontales

    Por ejemplo, f(x)=x^3 cumple que los dos límites expuestos anteriormente dan como resultado -\infty y +\infty respectivamente. Vemos su gráfica:

    Sin asíntotas horizontales

  2. Funciones que tienen una asíntota horizontal que lo es sólo por un lado

    Como ejemplo tenemos la función f(x)=e^x. En este caso \displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=0}, por lo que y=0 es una asíntota horizontal de f(x) por la izquierda, y \displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=+\infty}, por lo que por la derecha no tenemos asíntota horizontal. Vemos su gráfica junto a su asíntota (en azul):

    Asíntota horizontal sólo por la izquierda

  3. Funciones que tienen una asíntota horizontal que lo es por los dos lados

    Por ejemplo, f(x)=\textstyle{\frac{x}{x-1}}. En este caso, \displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=1}, por lo que la recta y=1 es asíntota horizontal de f(x) tanto por la izquierda como por la derecha. Vemos su gráfica junto a su asíntota (en azul):

    Asíntota horizontal por los dos lados

  4. Funciones que tienen dos asíntotas horizontales distintas

    Por ejemplo f(x)=\arctan{x} cumple que \displaystyle{\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=\textstyle{\frac{-\pi}{2}}}, por lo que y=\textstyle{\frac{-\pi}{2}} es asíntota horizontal de f(x) por la izquierda y \displaystyle{\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=\textstyle{\frac{\pi}{2}}}, por lo que y=\textstyle{\frac{\pi}{2}} es asíntota horizontal de f(x) por la derecha. Podéis ver su gráfica junto a sus dos asíntotas (en azul) en la siguiente imagen:

    Dos asíntotas horizontales distintas

Asíntotas verticales

Las asíntotas verticales de una función son rectas verticales de la forma x=k. No hay restricciones en cuanto al número de asíntotas verticales que puede tener una función: hay funciones que no tienen asíntotas verticales, funciones que tienen sólo una, funciones que tienen dos y hasta funciones que tienen infinitas. Se calculan de la siguiente forma:

Si \lim_{x \rightarrow k^-} f(x)=\pm \infty, entonces x=k es asíntota vertical para f(x) (por la izquierda de la misma si el límite ha dado -\infty y por la derecha si el límite ha dado +\infty).
Si \lim_{x \rightarrow k^+} f(x)=\pm \infty, entonces x=k es asíntota vertical para f(x) (por la izquierda de la misma si el límite ha dado -\infty y por la derecha si el límite ha dado +\infty).

Una de las conclusiones que se pueden sacar a partir de esto es la siguiente: en las asíntotas horizontales planteamos siempre los mismos límites y el resultado es el que nos dice sin existen o no; sin embargo en las verticales nosotros tenemos que aportar los valores de k para los cuales calcular los límites. Evidentemente debemos aportar puntos para los cuales sea factible la existencia de asíntota vertical (no es demasiado aconsejable probar con valores al azar).

Los valores candidatos a existencia de asíntota vertical son los siguientes:

  1. Valores que anulan algún denominador de la función

    Por ejemplo, para f(x)=\textstyle{\frac{x}{x-1}} tenemos un candidato a asíntota vertical en el punto x=1.

  2. Extremos de intervalos del dominio que no pertenezcan al propio dominio

    Por ejemplo, el dominio de f(x)=x \, ln(x) es el intervalo (0,+\infty). Por tanto, x=0 es un candidato a asíntota vertical para esta función.

En consecuencia, lo primero que debemos hacer cuando tengamos que calcular las asíntotas de una función es calcular su dominio (fundamental para cualquier cálculo relacionado con la gráfica de una función) e igualar a cero todos los denominadores que aparezcan en la misma para recopilar todos los candidatos.

Vamos a ver algunos casos interesantes que pueden darse:

  1. Funciones que no tienen asíntotas verticales

    Por ejemplo, f(x)=sen(x) no tiene asíntotas verticales (su dominio es \mathbb{R} y no hay denominadores):

    Sin asíntotas verticales

  2. Funciones que tienen una asíntota vertical por los dos lados

    Por ejemplo, f(x)=\textstyle{\frac{x}{x+1}} tiene un candidato a asíntota vertical en x=-1 (anula el denominador). Si calculamos los límites que hemos comentado anteriormente obtenemos los siguientes resultados:

    \lim_{x \rightarrow -1^-} f(x)=+\infty
    \lim_{x \rightarrow -1^+} f(x)=-\infty

    Por lo tanto la recta x=1 es una asíntota vertical para f(x) por los dos lados. Lo vemos en su gráfica (la asíntota es la recta de color azul):

    Una asíntota vertical por los dos lados

  3. Funciones que tienen una asíntota vertical sólo por un lado

    Por ejemplo, f(x)=\textstyle{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}} tiene un candidato a asíntota vertical en x=0 (anula los dos denominadores que tiene la función). Calculamos los límites:

    \lim_{x \rightarrow 0^-} f(x)=0
    \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)=+\infty

    Por tanto la recta x=0 es una asíntota vertical para f(x) sólo por el lado derecho de la recta (por el lado por el que el límite correspondiente da \pm \infty). Vemos la gráfica de la función a la izquierda y a la derecha de x=0:


    Por este lado no hay asíntota Por este lado sí hay asíntota

  4. Funciones que tienen infinitas asíntotas verticales

    Hemos comentado antes que una función puede tener cualquier número de asíntotas verticales. El caso posiblemente más curioso es el de una función que tenga infinitas asíntotas de este tipo. El ejemplo más conocido es el de la función f(x)=\tan(x). La razón es la siguiente:

    Como \tan(x)=\textstyle{\frac{sen(x)}{cos(x)}} tenemos que los candidatos a asíntota vertical de esta función son los valores que anulen el denominador.
    Por otra parte, la ecuación cos(x)=0 tiene infinitas soluciones, en concreto todos los números de la forma \textstyle{\frac{\pi}{2}}+n \pi con n\in\mathbb{Z}.
    Se puede comprobar de forma sencilla (con los límites anteriores) que f(x) tiene una asíntota vertical en cada uno de esos puntos, por lo que f(x) tiene infinitas asíntotas verticales. Lo vemos en su gráfica (las asíntotas en azul):

    Infinitas asíntotas verticales

Asíntotas oblicuas

Las asíntotas oblicuas de una función son rectas oblicuas, es decir, rectas de la forma y=mx+n. Una función puede tener, como máximo, dos asíntotas oblicuas distintas (una por la izquierda de su gráfica y otra por la derecha de la misma). El cálculo de las mismas se realiza así:

Asíntota oblicua por la izquierda

m=\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{f(x)}{x}

Si m da un resultado distinto de {0} y \pm \infty prodecemos con el cálculo de n de esta forma:

n=\lim_{x \rightarrow -\infty} (f(x)-mx)

Si n da como resultado un número real (es decir, ese límite no vale ni \infty ni -\infty), entonces la recta y=mx+n es una asíntota oblicua para f(x) por la izquierda.
Asíntota oblicua por la derecha

m=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}

Si m da un resultado distinto de {0} y \pm \infty prodecemos con el cálculo de n de esta forma:

n=\lim_{x \rightarrow \infty} (f(x)-mx)

Si n da como resultado un número real (es decir, ese límite no vale ni \infty ni -\infty), entonces la recta y=mx+n es una asíntota oblicua para f(x) por la derecha.

Podemos encontrarnos entonces los siguientes casos:

  1. Funciones que no tienen asíntotas oblicuas

    Por ejemplo, la función f(x)=x^2 no tiene asíntotas oblicuas ya que al calcular m tanto por la izquierda como por la derecha obtenemos m=+\infty. Su gráfica es la parábola que nos solemos encontrar con más frecuencia:

    Sin asíntotas oblicuas

  2. Funciones que tienen una asíntota oblicua por los dos lados

    Por ejemplo, la función f(x)=\textstyle{\frac{x^2}{x-2}} tiene una única asíntota oblicua, que además lo es por los dos lados. Veamos cuál es exactamente dicha asíntota:

    m=\lim_{x \rightarrow -\infty} \textstyle{\frac{x^2}{x-2}}=1

    n=\lim_{x \rightarrow -infty} (f(x)-1 \cdot x)=2

    Por tanto la asíntota oblicua por la izquierda es y=x+2.

    Si realizamos los cálculos cuando x \rightarrow +\infty el resultado es el mismo. Por tanto la recta y=x+2 es asíntota oblicua de la función por los dos lados. Lo vemos en la siguiente gráfica (la asíntota oblicua en azul):

    Una asíntota oblicua por los dos lados

  3. Funciones que tienen una asíntota oblicua sólo por un lado

    Curioso caso, complicado de encontrar por otra parte. Un ejemplo (sacado de la entrada sobre asíntotas de la Wikipedia inglesa) puede ser la función f(x)=x^{\textstyle{\frac{|x|}{x}}}+\textstyle{\frac{1}{x}}. Su gráfica es:

    Una asíntota oblicua sólo por un lado

  4. Funciones que tienen dos asíntotas oblicuas distintas

    Aunque tampoco es fácil encontrar una función de este tipo, aquí os traigo una. Concretamente es la función f(x)=\sqrt{x^2-1}. Esta función tiene dos asíntotas oblicuas, a saber, la recta y=x y la recta y=-x. Las vemos en la siguiente gráfica en color azul junto a la gráfica de la propia función:

    Dos asíntotas oblicuas distintas

Dos grandes mentiras sobre las asíntotas

Como hemos comentado antes el cálculo de las asíntotas de una función real de variable real es parte del currículo de bachillerato. En él, por norma general (en realidad por experiencia personal y por comentarios de mis alumnos durante años), podemos encontrar dos grandes mentiras sobre las asíntotas de una función. Vamos a verlas y a darles una explicación más acorde con la realidad:

  • Una función no puede cortar a una asíntota suya

    Primera mentira sobre las asíntotas: una función sí puede cortar a una asíntota suya. Un claro ejemplo de ello es la función f(x)=\textstyle{\frac{sen(x)}{x}}. Esta función tiene una asíntota horizontal, y=0, por los dos lados. Lo vemos en la siguiente gráfica:

    Función que corta a una asíntota suya

    Vemos en la imagen que la función corta infinitas veces a su asíntota tanto por un lado como por el otro.

  • Una función no puede tener asíntotas horizontales y oblicuas a la vez

    Segunda mentira sobre las asíntotas: una función sí puede tener asíntotas horizontales y oblicuas a la vez.

    Generalmente, en bachillerato se dice lo siguiente:

    Comenzad con el cálculo de las asíntotas horizontales. Si no aparece ninguna estamos obligados a calcular las oblicuas, pero si nos aparece alguna nos podemos evitar el cálculo de éstas últimas ya que en este caso tenemos asegurado que no habrá.

    Eso es falso. Valga este ejemplo como explicación:

    Asíntota horizontal y asíntota oblicua a la vez

    Sí. es el mismo ejemplo mostrado antes sobre función con una asíntota oblicua sólo por un lado. En concreto esta función tiene los tres tipos de asíntotas.

    Como podéis ver hay funciones que presentan los dos tipos de asíntotas. Lo que sí es cierto es lo siguiente:

    Una función no puede tener una asíntota horizontal y otra oblicua por el mismo lado.

    Es decir, no podemos tener una asíntota horizontal y otra oblicua por la izquierda de la gráfica (x \rightarrow - \infty) ni por la derecha (x \rightarrow \infty). Pero una función sí puede presentar una horizontal por un lado y una oblicua por otro.


Espero que este artículo sobre el cálculo de las asíntotas de una función os sea útil para vuestro quehaceres matemáticos relacionado con el estudio de funciones. Y ya sabéis, cualquier duda será respondida lo antes posible en los comentarios.

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52 comentarios

  1. Trackback | 10 ago, 2009

    Bitacoras.com

  2. Cristobal | 10 de agosto de 2009 | 09:32

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    Yo añadiría en el artículo algunas cosas, como que todas las funciones continuas en toda la recta real no poseen asíntotas, y en consecuencia, las funciones polinómicas no poseen asíntotas por ser continuas.
    Además añadiría el estudio de las asíntotas sobre funciones racionales mediante el estudio de sus grados y dividiendo numerador con denominador, a los alumnos les resulta más sencillo. Además, los de mixto sólo ven ese tipo de funciones, y si acaso, alguna de a trozos.

    Lo de que una función no puede poseer asíntotas horizontales y oblicuas es una medio mentira piadosa, porque esta claro que las que lo tienen son de un nivel demasiado avanzado para ellos.
    Y ni hablar de las funciones que cortan a sus asíntotas, sólo podemos decirles que existen y mostrarles el dibujo, pero el porqué pasa es otro cantar, deberíamos meternos en cosas como conjuntos de medida nula (Teoria de la medida) y eso sólo se ve en la licenciatura de mates.

    A ver si leyendo este artículo tuyo algún colegial pilla la idea de las asíntotas, que no es tan complicada ;-)

  3. epi | 10 de agosto de 2009 | 11:16

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    Cuidado, Cristobal, continuidad en toda la recta no quiere decir que no vayan a existir asíntotas. Son cosas totalmente independientes, como se ve en los ejemplos de la entrada: f(x)=arctan(x) y g(x)=sen(x)/x (con singularidad evitable) son continuas en todos los reales y sí tienen asíntotas. Imagino que querías decir que no pueden tener asíntotas verticales.

    Muy bien explicado el tema. En el ejemplo 4 de las oblícuas, la gráfica no corresponde a una función, ya que habría que quedarse o bien con y\geq 0 o con y\leq 0.

  4. Antonio | 10 de agosto de 2009 | 12:29

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    Muy buen artículo, este tema siempre genera muchas dudas entre los alumnos.

  5. Yrekthelas | 10 de agosto de 2009 | 16:22

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    Yo lo que si añadiría es el tema de las asíntotas en funciones definidas a intervalos, básicamente porque los puntos con cambio de definición son otro lugar básico donde buscar asíntotas verticales y, a falta de algo mejor, són de las más vistas por alumnos de bachillerato.

    Por otro lado, ciertamente las asíntotas horizontales pueden ser cortadas, y seguramente las oblicuas también. Pero está claro que las verticales no. Aunque sobre el tema de cortar las asíntotas, Cristobal, creo que no tiene nada que ver con la teoria de la medida ya que se me ocurren ejemplos (bastante patológicos, si quieres) en que las curvas se cortan en conjuntos de medida infinita, recurriendo a cambios de definición y tal. Aunque obviamente, esto está efectivamente más allá del alcance del bachillerato.

  6. hernan | 10 de agosto de 2009 | 16:40

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    “si la curva C se acerca a r indefinidamente sin llegar a coincidir con la propia r”

    Definición un poco informal… En particular, me queda la duda de si lo último (“sin llegar a coincidir”) es realmente condición esencial. Yo diría que una función lineal es su propia asíntota (trivial).

  7. Yrekthelas | 10 de agosto de 2009 | 18:25

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    Si, realmente no es muy formal, aunque yo asumí que era que el límite de la diferencia (o de su valor absoluto) era 0. Aunque esta definición no serviria para las verticales.

    Y si, yo también creo que deberían poder coincidir, pero supongo que eso es solo un tema de nomenclatura.

  8. ^DiAmOnD^ | 10 de agosto de 2009 | 21:22

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    Vale, de acuerdo, una función lineal f(x)=ax+b es su propia asíntota oblicua, como una función constante f(x)=k es su propia asíntota horizontal. Igual debía haber comentado que se excluyen de la definición los casos en los que la función tiene la misma estructura que alguno de los tipos de asíntotas.

    Con eso queda solucionado, ¿no? ¿O me he dejado algún otro caso?

  9. Andres | 10 de agosto de 2009 | 21:48

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    ”sin llegar a coincidir” no es la mejor definición, pues y = 0 , f(x) = sin(x)/x coinciden en infinitos puntos…

    Saludos

  10. ^DiAmOnD^ | 10 de agosto de 2009 | 21:51

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    No coinciden, se cortan. Se refiere a que la función se acerca cada vez más a una asíntota (la corte o no la corte) pero no llega a coincidir totalmente con ella.

    No sé por qué pero sabía que iba a traer cola la definición :).

  11. hernan | 11 de agosto de 2009 | 16:53

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    Para asintotas horizontales y oblicuas, creo que basta con el concepto de límite para una definición formal.

    Para la asíntota vertical, pueden darse casos discutibles:

    Ej: la función f(x) =\frac{\cos \left( \frac{1}{x} \right)}{x} ¿dirían uds que tiene asíntota vertical en x=0 o no? Yo no estoy seguro.

  12. ^DiAmOnD^ | 11 de agosto de 2009 | 17:31

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    Yo diría que sí.

  13. Dani | 11 de agosto de 2009 | 17:38

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    No lo tengo claro. Mi definición de asíntota, si tuviera que dar una, sería que si una función f tiene una asíntota oblicua u horizontal (supongamos a la derecha) y=mx+c, entonces dado un epsilon \varepsilon \in \mathbb{R}^+ puedo encontrar un x_0 tal que \forall x con x_0<x, \quad |f(x)-(mx+c)|<\varepsilon . Para funciones inyectivas (o inyectivas en un dominio que nos convenga) podemos traducir esta definición a la de la inversa de la función deseada y así definir la asíntota vertical. Para funciones patológicamente no inyectivas, como en tu ejemplo, no está muy claro. Como siempre hay que estar de acuerdo con las definiciones precisas para no confundirnos. Si decimos que una función tiene una asíntota en x_0 si \lim_{x \rightarrow x_0^{\pm}}f(x)=\pm \infty (ya entendéis lo que quiero decir por los \pm) entonces está claro que sí, pero no sé si todo el mundo estará de acuerdo con esa definición…

  14. hernan | 11 de agosto de 2009 | 17:59

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    En cierto sentido, el ejemplo que puse es la que mejor cumple la definición dada de asíntota: porque se acerca indefinidamente a TODA la recta :-)

  15. Dani | 11 de agosto de 2009 | 20:07

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    jejejej, la verdad es que sí ;)

  16. M | 11 de agosto de 2009 | 21:00

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    A ver que tal esta definición:

    una recta r es asíntota de una curva (plana) \mathcal{C}, si existe \mathcal{C}_r\subseteq \mathcal{C} tal que

    \displaystyle{\lim_{P\in\mathcal{C}_r \atop \parallel P\parallel\to\infty} \;dist(P,r)}=0

    Entonces la curva de Hernán tiene a x=0 como asíntota.

    Si r está en forma general r\equiv ax+by+c=0, con a^2+b^2=1, y si en particular la curva es la gráfica de una función f(x) tendríamos

    \displaystyle{\lim_{\{x^2+f(x)^2\to \infty\}}} ax+b f(x)+c}=0

    Y de aquí salen las posibles formas de las asíntotas:

    1) si x\to \infty, pero f(x)\to f^*\;(\neq \infty), entonces el límite anterior exige que a=0 y que r\equiv y=\lim_{x\to\infty} f(x) horizontal, con dos posibles valores en \pm\infty;

    2) si x\to x^* y f(x)\to \infty, entonces el límite de la definición exige que b=0 y que r\equiv x=x^* vertical, con tantas posibilidades como se obtengan de la condición \lim_{x\to x^*} f(x)=\infty;

    3) finalmente si x\to\infty y f(x)\to \infty, del hecho de que el límite sea cero se deduce que a=0\iff b=0 (es decir que ni a ni b podrían ser cero en este caso). Tendremos que

    \displaystyle{\lim_{x\to \infty} ax+b f(x)+c}=0
    \displaystyle{\lim_{x\to \infty} \frac{ax+b f(x)+c}{x}}=0

    que nos da
    a=-b\lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x}
    c=-\lim_{x\to \infty} (ax+bf(x))

    y esto (dividiendo por b) coincide con los valores m y n que se indican en el post. También en este caso vemos que hay dos posibilidades.

  17. Simplicio | 11 de agosto de 2009 | 21:43

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    Y si fuera que el concepto de asíntota, que no es simple, haya que sustituirlo por otro más simple. Y que si eso conlleva una representación de las funciones diferente a la que desde hace años se hace mediante coordenadas cartesianas, pues mucho mejor.

    Saludos,

  18. Cristobal | 11 de agosto de 2009 | 22:10

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    Desde luego como os rayais, nada menos que ahora queréis poner patas arriba a las asíntotas jejejeje
    Bueno, sí me refería a las verticales.
    Y funciones raras hay muchas, pero para alumnos de bachiller ni por asomo. En realidad a la mayoría todo esto les resbala, por desgracia.

  19. Dani | 12 de agosto de 2009 | 00:04

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    Como siempre, muy buena M!

  20. mper23 | 14 de agosto de 2009 | 03:35

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    Trabajo las asíntotas en clase distinguiendo las verticales de las no verticales. Para las no verticales uso el límite en los infinitos (+ y -). Para las verticales uso limites laterales. Si algún limite no existe, que se aguanten; no van a saber reducirlo todo a una sola palabra (asíntota), qué manía con ponerle nombre a todo.

  21. Trackback | 17 ago, 2009

    Folium › 7 para llevar (I)

  22. eContento | 17 de agosto de 2009 | 18:00

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    Cuidado… Cuando hablas de las grandes mentiras de las asíntotas dices que una función sí puede tener asíntotas horizontales y oblicuas a la vez. Seguramente te estabas refiriendo a oblicuas y verticales.

    Es imposible que una función tenga asíntotas horizontales y oblicuas a la vez. Sería contradictoria a la definición de función. Ya que para un mismo x existirían dos valores diferentes de f(x) ¿¿¿???

    (Tengo que aprender LATEX)

    Cambiando de tema. Enhorabuena por Gaussianos. Lo sigo desde hace mucho y mantiene vivo mi interés por las matemáticas.

    Un cordial saludo de,
    eContento

  23. ^DiAmOnD^ | 17 de agosto de 2009 | 18:25

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    No no, me refería a horizontales y oblicuas. En el propio artículo hay un ejemplo de una función que tiene una asíntota de cada uno de esos tipos. Lo que pasa es que cada una de ellas lo es por un lado, una por -\infty y otra por +\infty. Échale un ojo.

    Por otra parte, gracias por tu opinión sobre Gaussianos :).

  24. Romina Illescas | 9 de septiembre de 2009 | 19:40

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    quiero de me resuelva esta asíntota :

    x2-16
    _________

    x+3

  25. andres | 17 de septiembre de 2009 | 07:34

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    La función no corta a las asíntotas verticales.
    En cambio la función puede cortar a las asíntotas horizontales. Por ejemplo:
    f(X)=(X^2)/(X^2+X+1) la asíntota horizontal es Y=1. Ahora,
    f(-1)=(-1)^2/((-1)^2+(-1)+1)=1/(1-1+1)=1. Observar que si igualamos X^2=X^2+X+1 obtenemos X=-1…eso no es casual. Se puede probar utilizando las propiedades de los “ordenes” {o (o chica),O (o grande), etc}

  26. patricia | 26 de septiembre de 2009 | 04:02

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    MUY BUENO SE ENTENDIO BASTANTE”

  27. Nelson Núñez | 15 de octubre de 2009 | 03:52

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    Estimado profesor DIAMOND
    No comprendo la fórmula de la función aquella que tiene asíntota horizontal, vertical y oblícua, allí aparece una x, seguda de otra y sobre la segunda otra x encerrada en un recuadro sin cerrar. Podría escribírla de nuevo? y tal vez abusando de su bondad, podría poner otros ejemplos de tales funciones?

    Saludos cordiales desde Ecuador
    Nelson

  28. gaussianos | 16 de octubre de 2009 | 03:48

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    Nelson, el recuadro sin cerrar es la función valor absoluto. Busca por ahí y verás como hay muchos sitios donde puedes ver qué función es.

  29. Graciela | 9 de enero de 2010 | 00:31

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    Buenas noches,
    He leído este artículo y me agrada mucho sin embargo creo que hay algunos errores y si soy yo la equivocada le pido disculpas al autor del mismo.
    En primer lugar en el punto “FUNCIONES QUE TIENEN UNA ASINTOTA HORIZONTAL QUE LO ES POR LOS DOS LADOS ” la rama inferior de gráfica de la función y= x/(x-1) pasa por el punto (0,0) , además, la asíntota horizontal como bien se indica es y=1 y la que se ha indicado y=0, si no me equivoco..

    En el punto “FUNCIONES QUE TIENEN ASINTOTA OBLICUA POR LOS DOS LADOS ” al calcular la pendiente de la asíntota oblícua correspondiente a la función f(x)=x2/x-2, falta dividir la función por “x” no obstante ello seguramente es un error de escritura porque la pendiente está bien calculada.

    Y para terminar, y espero que esto no se tome como una crítica destructiva sino que quiero hacer un aporte a este magnífico artículo, en el punto “FUNCIONES QUE TIENEN ASINTOTAS OBLICUAS DISTINTAS la gráfica de la función f(X)=raíz cuadrada(x2-1) es incorrecta , no se ha dibujado una función ,la parte debajo del eje X no corresponde a la función , recordemos aquello de ,,,,”para que exista función para un mismo valor de ” x ” no puede haber dos valores de ” y ” diferentes”

    Saludos cordiales
    Graciela

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  32. rommi | 5 de febrero de 2010 | 17:55

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    no entendi nada de nada…nose como hacerlo.:(

  33. Isma | 14 de febrero de 2010 | 00:52

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    También se puede aportar algo sobre ramas parabólicas de funciones (que se producen cuando o la m o la n tienden a infinito)

  34. esteban | 5 de abril de 2010 | 05:30

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    Muy interesante, ahora, que pasa con las asíntotas curvas? Ejemplo:   f(x)=(x^4 – 2x^3 +2x)/(x^2 – 1) o lo que es lo mismo:  f(x)=x^2 – 2X + 1 + 1/(x^2 -1), como se darán cuenta la función tiene av en x=1 y en x=-1 pero como me doy cuenta que posee a.curva en y=(x-1)^2? hay algun procedimiento general para las asintotas curvas? cual es?

  35. ruben | 2 de junio de 2010 | 05:43

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    nesecito saber como hacer la sintota pero no entiendo que tomar como base para empezarla a hacer tengo que sacar todo pero no entiendo anda f(x)=x+5/x al cuadrado -25.
    urgente

  36. gonzalo | 11 de julio de 2010 | 16:44

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    HOLA MUY BUENA LA EXPLICACION…. PUEDE SER Q EN EL EJEMPLO 2 DE ASINTOTA VERTICAL… SEA X=-1 Y NO X=1?? ME QUEDE CON ESA DUDA.. SI ALGUIEN PUEDE DECIRME SI ESTOY EN LO CORRECTO PORFAVOR… GRACIAS

  37. brian | 14 de octubre de 2010 | 23:35

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    tengo una duda puede una asintota oblicua cortar a la curva

  38. M | 15 de octubre de 2010 | 13:14

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    sí Brian, por ejemplo f(x)=\dfrac{sen(x)}{x}+x y su asíntota g(x)=x se cortan en cualquier múltiplo entero de \pi.

  39. josejuan | 15 de octubre de 2010 | 14:13

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    muy buena (por sencilla)

  40. Marcos Narcizo Valderrama | 26 de abril de 2011 | 17:21

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    Hola Gaussianos, soy estudiante de primer ciclo en Ingeniería Ambiental de la Universidad Nacional de Trujillo en Perú, interesante el calculo de asíntotas , aunque seria mejor que
    no usaran limites al explicar funciones

  41. johana | 28 de abril de 2011 | 21:48

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    como hago para hallar la asintota vertical de x-1/x^2-1 y la asintota horizontal

  42. gaussianos | 29 de abril de 2011 | 02:06

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    johana, lee el artículo, viene explicado en él :).

    De todas formas te comento que esa función tiene una asíntota horizontal, y=0, y dos asíntotas verticales, x=-1 y x=1.

  43. daneil | 19 de junio de 2011 | 17:54

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    Muchas gracias por el articulo, muy interesante!

  44. Trackback | 6 feb, 2012

    Asíntota | Fotomat

  45. milton ordoñez | 28 de junio de 2012 | 02:04

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    Cordial saludo, tengo esta pregunta:
    la recta X= Xo ES UNA ASINTOTA VERTICAL, porque se cumple?

  46. laura | 23 de julio de 2012 | 08:17

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    Hola, muy buena la explicación.
    Quiero redondear algo que no me termina de entrar en la cabeza.
    Por la definición de asíntota oblicua: la recta y=mx+b es asíntota oblicua de una función f(x) si 〖lim〗┬(x→∞)〖[f(x)-(mx+b)]=0〗. Si tengo una función racional por ej.: (x+2).(x+1)/(x+2), la ecuación de la función se reduce a (x+1) para todo “x” distinto de -2 la asíntota oblicua coincide con la ecuación de la función, es decir la diferencia entre ambas no tiende a cero, si no que es cero, aun así es una asíntota oblicua?
    Las rectas son su propia asíntota oblicua?

  47. Javier | 28 de septiembre de 2012 | 17:25

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    Hola, me surgio una duda con el calculo de una asintota para la funcion f(x)=x\sin\left(\dfrac1{x}\right)
    Saludos

  48. Wily | 9 de marzo de 2013 | 01:15

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    Muy buen aporte y muy buena la explicación. Gracias
    Saludos para todos los que le guste el mundo de las matemáticas.

  49. Trackback | 30 abr, 2013

    Invertir es girar y reflejar - Gaussianos | Gaussianos

  50. MVR | 22 de mayo de 2013 | 19:53

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    La función que propones como ejemplo de función con asíntota horizontal y vertical realmente son dos funciones distintas. Lo que se pretende es encontrar una función explícita que tenga dos asíntotas: una horizontal y otra oblicua.
    Se me ocurren dos ejemplos:
    f(x) = (x · e^x)/(x+e^x), que tiene una asíntota horizontal y = 0 si x tiende hacia menos infinito, otra oblicua y = x si x tiende a más infinito y una vertical x=-0,567…

    Las funciones irracionales de la forma f(x)=raiz cuadrada(ax^2+bx+c) +raiz cuadrada(a)·x
    tienen una asíntota horizontal y otra vertical, por ejemplo f(x) = raiz cuadrada(x^2+1)+x tiene como asíntotas y = 2x, y = 0.

  51. Keynesiano | 20 de febrero de 2014 | 22:09

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    Hola,
    me preguntaba si podrías resolverme una duda -básica a todas luces- pero cuya solución no encuentro por ningún lado.
    A la hora de calcular una asíntota oblicua, podemos servirnos de la siguiente ecuación:
    \lim_{x \to inf}f(x) = mx + n ; \;
    De aquí veo claramente como podemos deducir lo siguiente:
    A la hora de calcular una asíntota oblicua, podemos servirnos de la siguiente ecuación:
    \lim_{x \to inf}f(x) - mx = n ; \;
    Y queda claro como calcular [i]n[/i]. ¿Pero cómo sale esta igualdad con la que me topo constantemente?
    \lim_{x \to inf}f(x)/x = m ; \;

    Gracias de antemano

  52. William Hoyos | 24 de agosto de 2014 | 22:01

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    Keynesiano, solo iguala los dos limites el de la función y el de la recta. ahora divide a ambos lados por “x” y resuelve.

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