Calcular las raíces n-ésimas de z

Introducción

Aunque \mathbb{R}, el conjunto de los números reales, es un subconjunto de \mathbb{C}, el conjunto de los números complejos, entre ellos hay muchas diferencias. Hace un tiempo vimos una de ellas relacionada con la ausencia de orden en \mathbb{C} (al contrario de lo que ocurre en \mathbb{R}). Y en este artículo vamos a ver otra relacionada con raíces n-ésimas.

Como sabemos, las raíces en \mathbb{R} se pueden dividir en dos grupos en lo que al número de soluciones posible se refiere:

  • Raíces de índice par: tienen dos soluciones si el número es positivo, una solución si el número es el cero y ninguna solución si el número es negativo.
  • Raíces de índice impar: tienen una única solución para todo número real (ya sea positivo, negativo o cero).

En \mathbb{C} las cosas son mucho mejores: al calcular la raíz n-ésima obtenemos n soluciones, es decir, todo número complejo tiene 2 raíces cuadradas, 3 raíces cúbicas, etc. Esto es lo máximo que se puede pedir, obtener tantas soluciones como índice tenga la raíz. Vemos por qué:

Tomamos la ecuación z^n-z_0=0, ecuación polinómica de grado n. Al ser \mathbb{C} un cuerpo algebraicamente cerrado (es decir, toda ecuación polinómica con coeficientes en \mathbb{C} tiene todas sus raíces en el propio \mathbb{C}) tenemos que las n raíces de dicha ecuación son números complejos. Despejemos ahora z:

z=\sqrt[n] {z_0}

Como la ecuación debe tener n raíces tenemos que la forma más correcta de llamar a z no es la raíz n-ésima, sino las raíces n-ésimas. Esto es, al calcular la raíz n-ésima de un número complejo obtenemos un conjunto de n números complejos.

Cálculo de las raíces n-ésimas

En este punto vamos a ver cómo calcular las raíces n-ésimas que hemos comentado antes que tiene todo número complejo.

Como vimos en el artículo sobre coordenadas polares todo número complejo z=x+iy puede representarse como el punto (x,y) en el plano y a partir de dicha representación pueden definirse el módulo (r) y el argumento (\theta) de tal número complejo. Recuerdo el gráfico utilizado en dicho post:

Módulo y argumento de un número complejo

Como esa relación es biunívoca (a todo número complejo le corresponden un módulo y un argumento y viceversa) tenemos que dando el módulo y el argumento de un número complejo tenemos perfectamente determinado dicho número.

Y así es como vamos a definir las raíces n-ésimas de z: dando el módulo y el argumento de cada una de ellas. Pero no las vamos a dar sin más, sino que vamos a expresarlas en lo que se denomina forma trigonométrica1. Vamos con ello:

Dado z\in\mathbb{C} con módulo r y argumento \theta, se define el conjunto de sus raíces n-ésimas de la siguiente forma:

\sqrt[n]{z}=\{ \sqrt[n]{r} \cdot (cos(\textstyle{\frac{\theta+2k \pi}{n}})+isen(\textstyle{\frac{\theta+2k \pi}{n}})); \, k=0,1, \ldots n-1 \}

Es decir, tomando la expresión anterior y dando a k los valores 0,1, \ldots n-1 obtenemos n números complejos distintos, que son los que se denominan raíces n-ésimas de z.

Vamos a ver un par de ejemplos:

  1. Tomamos z=i, cuyo módulo es r=1 y cuyo argumento es \theta=\textstyle{\frac{\pi}{2}}. Tenemos entonces: \sqrt{i}=\{ \sqrt{1} \cdot (cos(\textstyle{\frac{\textstyle{\frac{\pi}{2}}+2k \pi}{2}})+isen(\textstyle{\frac{\textstyle{\frac{\pi}{2}}+2k \pi}{2}})); \, k=0,1 \}

    Damos a k los valores pertinentes:

    -) k=0: \, 1 \cdot (cos(\textstyle{\frac{\textstyle{\frac{\pi}{2}}}{2}})+isen(\textstyle{\frac{\textstyle{\frac{\pi}{2}}}{2}}))=cos(\textstyle{\frac{\pi}{4}})+isen(\textstyle{\frac{\pi}{4}})=\textstyle{\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{2}}{2}}

    -) k=1: \, 1 \cdot (cos(\textstyle{\frac{\textstyle{\frac{\pi}{2}}+2 \pi}{2}})+isen(\textstyle{\frac{\textstyle{\frac{\pi}{2}}+2 \pi}{2}}))=cos(\textstyle{\frac{5 \pi}{4}})+isen(\textstyle{\frac{5 \pi}{4}})=\textstyle{-\frac{\sqrt{2}}{2}-i \frac{\sqrt{2}}{2}}

  2. Tomemos ahora z=-8, cuyo módulo es r=8 y cuyo argumento es \theta= \pi. Veamos que aunque en \mathbb{R} obtenemos una única solución al calcular su raíz cúbica (que sería -2), en \mathbb{C} obtenemos tres soluciones (el propio -2 y otras dos más): \sqrt[3]{-8}=\{ \sqrt[3]{8} \cdot (cos(\textstyle{\frac{\pi+2k \pi}{3}})+isen(\textstyle{\frac{\pi+2k \pi}{3}})); \, k=0,1,2 \}

    Veamos qué soluciones obtenemos:

    -) k=0: \, 2 \cdot (cos(\textstyle{\frac{\pi}{3}})+isen(\textstyle{\frac{\pi}{3}}))=2 \cdot \left ( \frac{1}{2} +i \frac{\sqrt{3}}{2} \right )=1+i \sqrt{3}

    -) k=1: \, 2 \cdot (cos(\textstyle{\frac{\pi+2 \pi}{3}})+isen(\textstyle{\frac{\pi+2 \pi}{3}}))=2 \cdot (cos(\pi)+isen(\pi)))=2 \cdot (-1)=-2

    -) k=2: \, 2 \cdot (cos(\textstyle{\frac{\pi+4 \pi}{3}})+isen(\textstyle{\frac{\pi+4 \pi}{3}}))=2 \cdot (cos(\textstyle{\frac{5 \pi}{3}})+isen(\textstyle{\frac{5 \pi}{3}}))=1-i \sqrt{3}

Relación con los polígonos regulares

Vista ya la manera de calcular las raíces n-ésimas de un número complejo y sabiendo que todas ellas son a su vez números complejos, cabría preguntarse si al representar dichas raíces como puntos del plano tendrían algún tipo de colocación concreta o se situarían de forma azarosa. Como sería un chasco que ocurriera esto último los números complejos nos brindan una hermosa representación en esta situación:

Para z\in\mathbb{C} y n \ge 3, se tiene que los puntos obtenidos al representar cada una de las raíces n-ésimas de z en el plano son los vértices de un polígono regular de n lados centrado en el punto (0,0).

Esto es, si representamos las raíces n-ésimas de un número complejo z como puntos del plano y unimos cada uno de los puntos con el obtenido inmediatamente después en el cálculo de las raíces obtenemos un polígono regular de n lados.

Según esto, en el caso anterior las tres raíces cúbicas de z=-8 forman un triángulo equilátero centrado en (0,0). Lo vemos en la siguiente gráfica:

Triángulo equilátero


1: Si z\in\mathbb{C} (con módulo r y argumento \theta), la forma trigonométrica de z es:

z=r \cdot (cos(\theta)+isen(\theta))

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17 comentarios

  1. Trackback | 25 may, 2009

    Bitacoras.com

  2. ÓsQar | 25 de mayo de 2009 | 10:35

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    Yo creo que es más fácil entender cómo se obtiene la raíz n-ésima de un complejo si se expresa este en la notación:
    z = r e^{i \theta} = r e^{i (\theta + 2k\pi)} (siendo k cualquier número entero).

    Ya que entonces:
    \sqrt[n] {z} = z^{1/n} = r^{1/n} e^{i \frac{\theta + 2k\pi} {n}} = \sqrt[n] r e^{i \frac{\theta + 2k\pi} {n}}

    Por cierto, que la primera fórmula que he puesto indica que tu frase de que la relación entre coordenadas cartesianas y polares es biunívoca, solo es válida si consideras que el argumento está limitado al rango (-\pi, \pi) o (0, 2\pi).

  3. yago | 25 de mayo de 2009 | 11:45

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    Estoy con el ÓsQar, para es más sencillo entender las raices n-simas usando la notación z=re^{i \theta}. Así las fórmulas son menos crípticas.

    Multiplicar dos numeros complejos x e y al final no es mas que multiplicar sus modulos y sumar sus argumentos. Por eso la formula de la raiz n-esima tiene la raiz n-esima del modulo, y 1/n el argumento.

    Por cierto, el post sobre la ausencia de orden en \mathbb{C} es un poco confuso. Y ví que la confusión se estendió por los comentarios. Solo un comentario.

    \mathbb{C} no es un cuerpo ordenado. Es decir, no se puede poner un orden compatible con la suma y la multiplicación. Sin embargo, si que admite un orden como \mathbb{R} espacio vectorial, es decir orden compatible con la suma y la multiplicación por \mathbb{R}.

    Por otro lado, en el post explicas que el orden \mathbb{R} no se puede extender a \mathbb{C}. Para terminar, habría que añadir que, \mathbb{R} no se puede ordenar como cuerpo con ningún otro orden (aparte del conocido).

  4. ^DiAmOnD^ | 25 de mayo de 2009 | 12:40

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    ÓsQar: puede que sea más fácil de entender de esa forma, pero yo quería dar una manera que directamente me permitiera calcular la forma binómica de cada raíz n-ésima para así poder representarla en el plano.

    Ah, y lo del intervalo del argumento no creí necesario comentarlo ya que hablé de ello en el post sobre coordenadas polares (tomé [0,2 \pi)).

    yago: en el post sobre la ausencia de orden simplemente dije que los números complejos no se pueden ordenar con un orden exactamente igual al de los reales ya que si se intenta hacer así se tiene que i no es ni mayor ni menor que cero. En ningún momento hablé de otros órdenes posibles ni de otros temas.

  5. max | 25 de mayo de 2009 | 15:30

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    Hola. ¿Algún lector de Gaussianos me puede dar algún concepto sobre: en que materia de una Licenciatura en Matemáticas, se abordan las cuestiones inherentes al segundo teorema fundamental del Cálculo?

    Necesitaría ir de oyente a alguna materia en que se traten las cuestiones de campo de números (en sus aspectos algebraicos, etc.) ligadas al Isomorfismo entre Grupos, de dicho Teorema (para recién poder tratar de captar algo de la cuestión de la convexidad de la función exponencial real), pero no sé en que parte de la licenciatura habría mas posibilidades para ello.

    Hay un libro de Wald sobre Fracciones Continuas. ¿Podría ayudarme en algo?

    Gracias y Saludos.

  6. smart | 25 de mayo de 2009 | 23:43

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    ^DiAmOnD^: en efecto, en \mathbb{C} es mucho mejor.

    Todos los reales son complejos. Si hacemos la raiz cúbica de tres. \sqrt[3] {27} , en realidad estamos resolviendo el polinomio. P(x) = x^3 - 27 .

    27 es un número complejo de módulo 27 y argumento = 0 grados.

    Aplicando la fórmula para obtener la raiz cúbica obtenemos las tres soluciones:

    a_1 = 3; \qquad a_2 = - 3 (\frac {\sqrt[] {3}}{2} + \frac {i}{2}); \qquad a_3 = - 3 (\frac {\sqrt[] {3}}{2} - \frac {i}{2})

    Estos son tres puntos en una circunferencia de radio 3 (raiz cúbica del módulo) y con un ángulo entre ellos igual a 120.

    Según el teorema fundamental del álgebra, el polinomio descrito tiene tres soluciones y dicho polinomio se puede expresar como el producto: (x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)

    Si desarrollamos este producto, tenemos:

    P(x) = x^3 - x^2(a_1+a_2+a_3)+x(a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3)-a_1a_2a_3

    Sustituyendo valores volvemos al polinomio original: P(x) = x^3 - 27

    Supongo que es por esto por lo que piensas que en el plano complejo es “mejor”.

    Saludos

  7. Dani | 26 de mayo de 2009 | 00:27

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    no es que sea mejor, es que no puede serlo más. \mathbb{C} es algebraicamente cerrado, ¿qué más se puede pedir?

  8. Jones, Francisco | 26 de mayo de 2009 | 07:50

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    Esto me recuerda lo útil que son los complejos para resolver problemas relativos a números reales, que en principio parece que no tienen relación con los complejos. Véase, por ejemplo, la suma de cosenos de hace unos meses

    http://gaussianos.com/suma-de-cosenos/

  9. Omar-P | 29 de mayo de 2009 | 13:45

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    ¿Como se llaman los números que tienen otro argumento mas, además del módulo y del argumento que tienen números complejos?. En estos números el punto P puede rotar 360 grados en relación al eje x. ¿Que aplicaciones tiene estos números?

  10. Andor | 30 de mayo de 2009 | 13:38

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    ¿Son los cuaterniones?

  11. Omar-P | 1 de junio de 2009 | 02:56

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    Podría tener también un tercer argumento para rotar en relación al eje y.

  12. rodrigo | 7 de junio de 2009 | 04:18

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    solo quiero aclarar que las racies complejas de 27 estan al reves en el comentario de smart, la componente real es la imaginaria y la imaginaria la real. no se como escribir formulas en la pagina. pero las raices son: 3+i0, 3cos120+i3sen120, 3cos240+i3sen240. o en forma polar 3arg0, 3arg120, 3arg240.

  13. NOKATOR ZOTHO | 18 de julio de 2009 | 22:58

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    ¿Como puedo transformar un número real en uno complejo?

  14. Dani | 19 de julio de 2009 | 16:33

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    \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

  15. hernán | 6 de marzo de 2014 | 19:43

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    Muchas Gracias por la información seguro me ayudará para mi análisis!!

  16. Romina | 10 de marzo de 2014 | 21:38

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    Hola, les dejo un ejercicio que me pide expresar a Z en forma binomica. El ejercicio es una combinacion de n° complejos:
    Z^3 + 3 = (2 + 4 i^7) / (i^40 – i)
    Al resolver me queda ” Z= raiz cubica de -i ”
    Luego realizo la realizo la raiz n-ésimas, al sumar cada modulo y cada argumento me da como resultado 0. Quisiera saber porque me da asi, ya que con otros ejercicios me pasa lo mismo. Muchas gracias!

  17. Kelpie | 29 de junio de 2014 | 16:48

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    Hola chocos. Me gustaría saber cómo se calcula la n. Por otra parte, como se resolveria z2-2z+4=0 (zeta al cuadrado menos dos zeta mas cuatro).

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