Calcular las razones trigonométricas de los ángulos más importantes (II)

Introducción

Hace ya algún tiempo vimos una sencilla regla para calcular las razones trigonométricas de los ángulos más importantes del primer cuadrante. Tanto debió gustar ese artículo que es el más visitado de la historia del blog y uno de los más comentados.

Pero en ciertas ocasiones esta tabla puede quedar algo corta, ya que muchas veces necesitamos saber el valor de alguna de las razones trigonométricas en cierto ángulo de otro cuadrante. En Secundaria nos enseñan a realizar este cálculo, pero generalmente se incide más en las fórmulas que me dan los valores buscados y se profundiza menos en el cálculo geométrico. En este artículo vamos a ver que aprendiendo a reproducir la tabla mencionada antes (con la regla descrita en dicho artículo es muy fácil) y unos cuantos detalles geométricos podremos calcular de manera muy sencilla las razones trigonométricas de diversos ángulos del resto de cuadrantes.

Razones trigonométricas en los cuadrantes segundo, tercero y cuarto

Vamos a partir de la circunferencia de centro (0,0) y radio 1. Trazamos ahora un ángulo A. El segmento que parte del (0,0) y determina dicho ángulo corta a la circunferencia en el punto P. Trazamos ahora las dos perpendiculares a los ejes desde este punto P, que cortan en los puntos Q y R en los ejes X,Y respectivamente. En esta situación, el coseno de este ángulo A es la longitud del segmento del eje X que va del (0,0) hasta Q (en la imagen, el segmento azul) y el seno de A es la longitud del segmento del eje Y que va del (0,0) hasta R (en la imagen, el segmento rojo). Esto es, el coseno se mide en el eje X y el seno se mide en el eje Y.

La idea para calcular las razones trigonométricas de un ángulo de un cuadrante que no sea el primer es asociar ese ángulo con el ángulo simétrico a él del primer cuadrante, teniendo cuidado con los signos.

Comencemos con los signos. Hay una regla muy sencilla para aprenderse los signos de seno, coseno y tangente en cada uno de los cuadrantes. Se basa en la frase:

TODAS SIN TACOS

Y se desglosa de la siguiente forma:

- En el primer cuadrante todas son positivas.
– En el segundo cuadrante sólo es positivo el seno (sin en inglés).
– En el tercer cuadrante sólo es positiva la tangente.
– En el cuarto cuadrante sólo es positivo el coseno.

Y ahora vamos con el tema de los ángulos simétricos:

  • Segundo cuadrante

    El ángulo del primer cuadrante simétrico a uno del segundo cuadrante es el que queda en el primer cuadrante al doblar el dibujo por el eje Y. Por ejemplo, el simétrico de \textstyle{\frac{3 \pi}{4}} en el primer cuadrante es \textstyle{\frac{\pi}{4}}. Entonces las razones trigonométricas de un ángulo del segundo cuadrante tienen el mismo valor que las correspondientes a su ángulo simétrico del primero (que podemos calcular con la tabla) pero añadiendo un signo menos a los valores del coseno y la tangente. La situación descrita podéis verla en esta imagen:

    Veamos ahora un ejemplo numérico con el ángulo 120^\circ=\textstyle{\frac{2 \pi}{3}}. El simétrico de \textstyle{\frac{2 \pi}{3}} en el primer cuadrante es 60^\circ=\textstyle{\frac{\pi}{3}} (esto es fácil de ver con el truco de doblar el dibujo por el eje Y). Entonces:

    • sen \left (\frac{2 \pi}{3} \right )= sen \left (\frac{\pi}{3} \right )=\frac{\sqrt{3}}{2}
    • cos \left (\frac{2 \pi}{3} \right )= -cos \left (\frac{\pi}{3} \right )=-\frac{1}{2}
    • tg \left (\frac{2 \pi}{3} \right )= -tg \left (\frac{\pi}{3} \right )=-\sqrt{3}
  • Tercer cuadrante

    Para este caso la base es la misma que en el anterior. El simétrico de un ángulo del tercer cuadrante en el primero es el ángulo que queda en este primer cuadrante al doblar el dibujo por el eje X y luego por el eje Y. En este caso la razones trigonométricas de este ángulo tienen el mismo valor que las de su simétrico en el primer cuadrante (tabla) pero añadiendo un signo menos a los valores del seno y del coseno. Lo podéis ver en la siguiente imagen:

    Por ejemplo, para 225^\circ=\textstyle{\frac{5 \pi}{4}}, cuyo simétrico es \textstyle{\frac{\pi}{4}}, tenemos lo siguiente:

    • sen \left (\frac{5 \pi}{4} \right )= -sen \left (\frac{\pi}{4} \right )=-\frac{\sqrt{2}}{2}
    • cos \left (\frac{5 \pi}{4} \right )= -cos \left (\frac{\pi}{4} \right )=-\frac{\sqrt{2}}{2}
    • tg \left (\frac{5 \pi}{4} \right )= tg \left (\frac{\pi}{4} \right )=1
  • Cuarto cuadrante

    En este caso la situación vuelve a ser muy similar. El simétrico de un ángulo de este cuadrante en el primero se obtiene doblando el dibujo por el eje X. Por ello la razones trigonométricas de un ángulo del cuarto cuadrante tienen el mismo valor que las de su simétrico en el primer cuadrante (tabla) pero añadiendo un signo menos a los valores del seno y de la tangente. En esta imagen puede observarse dicha situación:

    Y ahora un ejemplo numérico, esta vez con 330^\circ=\textstyle{\frac{11 \pi}{6}}, cuyo simétrico en el primer cuadrante es \textstyle{\frac{\pi}{6}}:

    • sen \left (\frac{11 \pi}{6} \right )= -sen \left (\frac{\pi}{6} \right )=-\frac{1}{2}
    • cos \left (\frac{11 \pi}{6} \right )= cos \left (\frac{\pi}{6} \right )=\frac{\sqrt{3}}{2}
    • tg \left (\frac{11 \pi}{6} \right )= -tg \left (\frac{\pi}{6} \right )=-\frac{1}{\sqrt{3}}

Espero haber echado una mano con este artículo (y con el anterior de la tabla) a la gran cantidad de personas que se atrancan con la trigonometría. Cualquier duda que tengáis dejadla en los comentarios.

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17 comentarios

  1. ignorante | 27 de abril de 2010 | 08:29

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    A mis alumnos les  doy esta regla para los signos: En el primer cuadrante, todos positivos; en el segundo, el positivo es el seno; en el tercero, la tangente; en el cuarto, el coseno.

  2. Trackback | 27 abr, 2010

    Bitacoras.com

  3. ap2 | 27 de abril de 2010 | 10:43

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    yo tambien utilizo el truco de ignorante, añadiendo que para 90º +-angulo y para 270º+- angulo sigue la regla del signo pero cambia el nombre sen a coseno, coseno a seno y tangente a cotangente.
    saludos
    ap2

  4. Pedro | 27 de abril de 2010 | 14:00

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    Vi esta tabla hace muchos años en el American Mathematical Monthly:
    ángulo             sen               cos
    0º                 \sqrt{0}/2            \sqrt{4}/2
    30º               \sqrt{1}/2            \sqrt{3}/2
    45º               \sqrt{2}/2            \sqrt{2}/2
    60º               \sqrt{3}/2            \sqrt{1}/2
    90º               \sqrt{4}/2            \sqrt{0}/2

  5. Hat | 27 de abril de 2010 | 14:09

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    Se agradece que dediqueis un tiempo a matemáticas menos avanzadas =)

  6. Omar-P | 27 de abril de 2010 | 16:03

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    El patrón subyacente de las razones trigonométricas de los ángulos más importantes es muy bonito. A continuación se muestra dicho patrón utilizando dos tablas, es decir en dos etapas. La primera de ellas es 100% mnemotécnica y bella (Obsérve los valores de las columnas), pero resulta impresentable debido a que aparece la  división por cero. 

    A/F……..sen………………cos……………tan…………..cot……………sec…………..csc
    0…..sqrt(0/4)….sqrt(4/4)….sqrt(0/4)….sqrt(4/0)….sqrt(4/4)….sqrt(4/0).

    30…sqrt(1/4)….sqrt(3/4)….sqrt(1/3)….sqrt(3/1)….sqrt(4/3)….sqrt(4/1). 

    45…sqrt(2/4)….sqrt(2/4)….sqrt(2/2)….sqrt(2/2)….sqrt(4/2)….sqrt(4/2).

    60…sqrt(3/4)….sqrt(1/4)….sqrt(3/1)….sqrt(1/3)….sqrt(4/1)….sqrt(4/3).

    90…sqrt(4/4)….sqrt(0/4)….sqrt(4/0)….sqrt(0/4)….sqrt(4/0)….sqrt(4/4). 

  7. Omar-P | 27 de abril de 2010 | 16:13

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    La segunda tabla (corregida) es la definitiva.

    A/F……..sen………………cos……………tan…………..cot……………sec…………..csc

    0…..sqrt(0/4)….sqrt(4/4)….sqrt(0/4)……Infinito……sqrt(4/4)……Infinito.
    30…sqrt(1/4)….sqrt(3/4)….sqrt(1/3)….sqrt(3/1)….sqrt(4/3)….sqrt(4/1). 
    45…sqrt(2/4)….sqrt(2/4)….sqrt(2/2)….sqrt(2/2)….sqrt(4/2)….sqrt(4/2).
    60…sqrt(3/4)….sqrt(1/4)….sqrt(3/1)….sqrt(1/3)….sqrt(4/1)….sqrt(4/3).
    90…sqrt(4/4)….sqrt(0/4).…..Infinito.…..sqrt(0/4)……Infinito……sqrt(4/4). 

  8. Omar-P | 27 de abril de 2010 | 16:22

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    Hice esto en 1991, pero no busqué referencias. Si alguien puede ubicar alguna se lo agredecería.

  9. Omar-P | 27 de abril de 2010 | 16:52

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    DiAmOnD, hay un error de tipeo en las dos tablas:  cos de 45 es sqrt(2/4). Por favor ¿Podrías repararlo? Gracias.

  10. josejuan | 27 de abril de 2010 | 18:42

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    Me sumo a Hat, y no se si es muy atrevido sugerir una sección de matemáticas básicas o algo así, se que es muy complicado atinar a gustos tan diversos, pero con estos dos post ¡lo habéis “bordao”!.
     
    También enhorabuena a Omar-P, es realmente curiosa la tabla y, aunque la utilidad (hoy día) pueda cuestionarse, creo que son del tipo de cosas que, lamentablemente, se han dejado de lado “gracias” a las calculadoras. Por mí, no dejaría usar calculadoras ni en los postgrados (quizás sólo en asignaturas muy concretas que por su naturaleza lo precise [no se si habrá alguna...]).

  11. Omar-P | 27 de abril de 2010 | 20:01

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    Gracias josejuan.  Ahora, hablando en general, es sabido que cuando queremos calcular algo recurrimos a fórmulas, cálculos mentales o calculadoras y si por el contrario  notamos que los patrones o modelos no nos ayudan a calcular, es debido a que su  misión es otra: La de ayudarnos a comprender.  

  12. ^DiAmOnD^ | 27 de abril de 2010 | 23:08

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    Omar, lo rectifico ahora mismo :).

  13. Lezcano | 28 de abril de 2010 | 18:38

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    Dios mio, el primer post sobre algo que he estudiado en todo lo que llevo leyendo a gaussianos! ^^’

  14. Trackback | 26 jul, 2010

    Gaussianos cumple 4 años de vida | Gaussianos

  15. Emilio | 20 de agosto de 2010 | 04:50

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    ¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ Me acabas de salvar el pescuezo en Robótica !!!!!!!!!!!!!!
    Aunque no lo creas, no recordaba esta “simple” regla y no tenía ninguna alusión en el libro a ella.
    Se que es de primero, pero no me acordaba y no sabía de donde salía sqrt(2)/2 para sen(45).

    Gracias a tí lo he vuelto a recordar.
    Algunas veces se supone que tanto sabemos que olvidamos lo primordial y no siempre es fácil recordarlo, ni siquiera recordar dónde lo vimos.

    Mi mas agradecido saludo, por el primero y segundo post sobre ello, y por cierto blog al canto.
    ¡¡ Gracias !!

  16. gaussianos | 20 de agosto de 2010 | 13:15

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    Me alegro de que te haya servido de algo este artículo Emilio :). Saludos.

  17. Daniel | 25 de octubre de 2013 | 23:34

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    GAUSSIANOS, ^DiAmOnD^, matemáticos, les agradezco por mantener vivo este blog, aquí aprendí como nunca las razones trigonométricas!!! Una rama de la cual me aburría, ahora gracias a ustedes me entusiasman más las matemáticas!!!
    Sin miedo ni duda ahora ingresaré y estudiaré matemáticas pura en la UNA de mi país: Paraguay!!!

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