Calcular las razones trigonométricas de los ángulos más importantes

Las razones trignométricas (seno, coseno, tangente…) aparecen muchísimas veces en Matemáticas relacionadas a cualquiera de sus ramas. Y en muchas ocasiones estamos obligados a calcular el valor de ellas en ciertos ángulos. Los que más suelen aparecer son estos 5 (los pongo en radianes con su equivalencia en grados):

Ángulos importantes del primer cuadrante

Estos ángulos son los más característicos del primer cuadrante. Ahora lo que nos interesa es saber cuáles son los valores del seno, del coseno y de la tangente de estos ángulos (los de los ángulos característicos de los otros cuadrantes pueden obtenerse a partir de ellos). En principio podríamos aprendernos de memoria estos valores, pero probablemente con el tiempo los olvidemos. Lo que vamos a hacer es daros una simple regla para que esto no ocurra. Esta regla es la regla de la raíz de n:

Regla de la raíz de n


Esta sencilla regla consiste en lo siguiente:

Numeramos los ángulos de 0 a 4 en orden creciente. El número que corresponde a cada ángulo será el n del mismo. Numerados así el seno de un ángulo será la raíz de su n partida por 2. De esta forma obtenemos la fila de los senos. Para obtener la fila de los cosenos no hace falta ningún cálculo, simplemente colocamos la fila que hemos obtenido antes en orden inverso. Y para obtener la de las tangentes simplemente divididos el valor del seno entre el valor del coseno.

Sencillo, ¿verdad? La cosa quedaría como se puede ver en la siguiente tabla:

Raíz de n partido por dos Cero Pi partido por 6 Pi partido por 4 Pi partido por 3 Pi partido por 2
sen Cero Un medio Raíz de dos partido por dos Raíz de 3 partido por 2 Uno
cos Uno Raíz de 2 partido por 2 Raíz de dos partido por dos Un medio Cero
tg Cero Uno partido de raíz de 3 Uno Raíz de 3 No existe

Espero que esta regla os sea útil. Si ha quedado alguna duda preguntadla en los comentarios.

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177 comentarios

  1. Ender Muab'Dib | 12 de marzo de 2007 | 12:50

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    Os amo. En mi vida me aprendí esa tabla —tampoco le dediqué ningún esfuerzo— pero pasaba de memorizar esos valores. Con esta regla es imposible olvidarlos.

    Muy buena entrada! ;)

    Saludos!

  2. XoKas | 12 de marzo de 2007 | 14:26

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    Ni en el instituto ni en la facultad, fue un Fraile Carmelita colega que me dió clases particulares de latín en segundo de BUP quién me enseñó esa tabla.

    Y vaya si me ayudó.

  3. Sporeman | 12 de marzo de 2007 | 15:53

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    A mi me lo enseñó un profesor de clases particulares muy famoso en mi ciudad: ¡Pepito Powa!

  4. Sable | 12 de marzo de 2007 | 17:59

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    Hola. Curiosamente di con esta regla cuando estaba estudiandome las razones trigonométricas,pero es la primera que oigo hablar de ella.
    Ahí va otra que me dijo mi profesor para recordar la fórmula de la razón de suma de ángulos. Utilizando complejos en forma trigonométrica. Por definición:
    e^ia=cosa+isena
    e^ib=cosb+isenb
    Multiplicando y reorganizando:
    e^i(a+b)=(cosacosb-senasenb)+i(senacosb+senbcosa)
    e^i(a+b)=cos(a+b)+isen(a+b)
    Identificando resulta:
    cos(a+b)=cosacosb-senasenb
    sen(a+b)=senacosb+senbcosa
    Muy didáctico el blogg.

  5. Davidmh | 12 de marzo de 2007 | 18:13

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    Alucino. ¿Por qué no nos lo explicarán en clase?+

    Ojalá lo hubiéseis puesto unos meses antes, me habría ayudado aún más. :wink:

    De todas formas, pasará a mi repertorio de divulgación para compañeros con prioridad alta y a mi lista de reglas mnemotécnicas para el futuro.

    Muchísimas gracias.

  6. Trackback | 12 mar, 2007

    meneame.net

  7. Agustín Morales | 13 de marzo de 2007 | 01:06

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    Enhorabuena. Un truco mnemotécnico estupendo. Y en la era de las calculadoras y ordenadores me parece aún más bonito este post. En otras épocas los matemáticos se tenían que ayudar de todo su ingenio para calcular y algunos llegaban a ser auténticos calculistas mentales.

  8. Samy | 14 de marzo de 2007 | 01:33

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    Recuerdo muy bien esa excelente técnica.

    Soy Samuel de Chile, y quería decirles que aquí al menos me enseñaron esa técnica en la educación secundaria, en clases, pero de una manera mucho más simplificada.

    Sucede que esa tabla que pusieron acá en gaussianos, tiene los resultados solamente, pero no es la ayuda nemotécnica para solucionar el valor de estas funciones.

    En las imágenes que les doy a continuación, sale tal cual nos las enseñaron a nosotros, para que las recordáramos. Los cólores los puse sólo por fines didácticos.

    Nótese que se usan leyendo hacia abajo, por ejemplo, la tangente de 90° según esa tabla será Sqr(4/0), pero como la división por cero está indeterminada, pues sabremos que la tangente de 90° también está indeterminada.

    Otro ejemplo, cos de 60° es Sqr(1)/2 y eso es igual a 1/2.

    Espero que les sirva la tabla. Y por cierto, felicitaciones desde Chile por este excelente blog.

    Las tablas en el siguiente URL: http://img339.imageshack.us/img339/963/funcioneskl9.jpg

  9. Samy | 14 de marzo de 2007 | 01:43

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    Vaya recién hice un largo comentario y se me borró antes de postearlo, así que seré breve :P

    Acá en Chile, a mi sí me enseñaron ese método en la educación secundaria, pero más que utilizando la regla, lo hacemos con una tabla de ayuda nemotécnica. Lo que simplifica aún más esta ayuda que nos dan acá en gaussianos.

    La tabla en el siguiente URL: http://img339.imageshack.us/img339/963/funcioneskl9.jpg

    ¿Cómo usarla?
    Simple, lee hacia abajo desde el ángulo que quieres obtener, y desarrolla.

    Ejemplos:

    1.- sen(30°) sería según la tabla Sqr(1)/2 = 1/2 = 0.5

    2.- cos(0°)= Sqr(4)/2 = 2/2 = 1

    3.- tan(30°) = Sqr(1/3) = Sqr(1)/Sqr(3)
    Racionalizando eso nos queda Sqr(3)/3 y eso es aproximadamente = 0.577

    4.- tan(90°) = Sqr(4/0) Como el valor de cualquier división por 0 está indeterminado, pues entonces la tangente de 90° también está indeterminada.

    Espero que les sirva mi ayuda como complemento a la información de acá en gaussianos.

    Saludos desde Chile!

    Samy

  10. Samy | 14 de marzo de 2007 | 02:04

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    Ah, por cierto, otra cosa de gran ayuda que nos enseñaron, fue para recordar qué funciones trigonométricas tienen valor positivo en qué cuadrante.
    Sin ir más lejos, la regla nemotécnica es:

    TODAS SIN TACOS

    Como dirán en españa ¿Qué coño es eso?

    Bueno, pues vean esto

    http://img172.imageshack.us/img172/4567/cuadrantesyk9.jpg
    Eso significa:

    1er cuadrantes: todas las funciones tienen valor positivos (Todas)

    2do cuadrante: sólo el seno tiene valor positivo (sin)

    3er cuadrante: sólo la tangente tiene valor positivo (ta)

    4to cuadrante sólo el coseno tiene valor positivo (cos)

    Espero que también les sirva.

  11. ^DiAmOnD^ | 14 de marzo de 2007 | 03:55

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    Samy tus comentarios no se borraron, simplemente que el filtro antispam los había marcado como spam, pero ya está arreglado.

    En el post está la tabla, cierto, pero lo interesante es la regla para conseguirla, y eso es precisamente el objetivo del artículo: raíz de n partido por 2. Es decir, la regla para obtener la tabla es lo que se ha publicado.

    Por cierto, muy interesante lo de TODAS SIN TACOS, no conocía esa regla :)

  12. Sikandar | 14 de marzo de 2007 | 20:21

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    La regla ésta la “descubrí” mientras me lo estudiaba en 1º de bachillerato… Ahora me ayuda mucho con las series de Fourier :D

  13. Ramnic | 20 de marzo de 2007 | 11:17

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    Muuuy buena la tabla…ya ni me acordaba. Recuerdo que mi profesor de matemáticas (un saludo Roque) en BUP/COU nos la enseñó de una manera muy facil. Lo que me pasa ahora, es que aunque es una chorrada, no recuerdo por que pi es 180….lo siento….hace tantos años…

    Un saludo y adelante que hacia donde tiene que ir el siguiente paso.

  14. Agustín Morales | 20 de marzo de 2007 | 12:03

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    Ramnic, dices que no te acuerdas de por qué pi es 180. Te lo explico lo más fácil que se: Los ángulos se miden principalmente en grados (que van de 0 a 360) o en radianes (que van de 0 a 2pi). De aquí, si haces una regla de tres, verás que si 360 grados son dos 2pi radianes, 180 grados, serán pi radianes. Es una conversión entre dos tipos de unidades. Los grados fueron heredados del sistema sexagesimal de los babilonios. El radián es una unidad más práctica y reciente. Imagina un circulo. Pinta en el un ángulo de forma que el arco que forma mida exactamente lo mismo que su radio. Pues de este ángulo se dice que mide un radián. Si vas colocando “radios” a lo largo de la circunferencia que rodea al circulo podrás colocar unos seis radios consecutivos y te sobrará un poquito. ¿Porque? Pues porque el número de radios que puedes colocar es exactamente dos pi, ya que esa es la longitud de la circunferencia. Disculpa si te he explicado lo que ya sabes o es algo demasiado elemental, pero siempre he creído que en estas cosas más vale pasarse que no llegar.

  15. Paul3tte | 21 de marzo de 2007 | 02:30

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    Buenas gente!!..hace bastante que los sigo y quiero decirles que me han ayudado mas de una vez—-jeje….QUE BUENAS ESTAS REGLAS MNEMOTECNICAS,,,,,NO LAS TENIA!nunca pude aprenderme la dichosa tablita….ahora será piece of cake..saludos desde Argentina
    PD: no se si esta es muy buena,,,,pero que me ayudó, me ayudó: para las razones trigonométricas: la palabrita “SOHCAHTOA”(sen = cateto opuesto / hipotenusa ; cos = cat ady /hip ; tg = op /ady )

  16. Ramnic | 21 de marzo de 2007 | 11:04

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    Muchas gracias Agustin por la explicación. Tampoco me acordaba de los radianes…y tu explicación es mu clara.

    Un saludo.

  17. vitoreto | 21 de marzo de 2007 | 19:35

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    hola les queria hacer una pregunta alguien me podria decir porfa la definicion de angulo interior y exterior de los circulos

  18. Agustín Morales | 21 de marzo de 2007 | 21:47

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    Vitoreto: El ángulo interior es el que tiene el vértice en el interior del circulo (puede estar en el centro o en otro lugar) y el exterior es el que tiene el vértice en el exterior del círculo y los lados tangentes o secantes a la circunferencia.

  19. lidia | 23 de marzo de 2007 | 03:43

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    k monce son las matematicas nunca me han gustado pero esto de la wed esta bonito

  20. t0n | 29 de marzo de 2007 | 08:23

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    Gracias!! en mi universidad han prohibido las calculadoras en la clase de calculo y a cambio nos han prometido que solo entrarían estos ángulos, y no había conseguido aprenderlos con la regla que utilizaba hasta ahora (algo con un cuadrado y un triángulo)

  21. cynthizssssssss | 17 de abril de 2007 | 01:56

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    me encanta ese curso peo nuse es lokaso pr es muy difici aprenfderse cada numero?????????

  22. kei | 18 de abril de 2007 | 02:04

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    se me perdió mi hoja de fórmula de funciones trigonométricas y la necesito urgente para una tarea!!! :( .. alguien sabe que triángulo es el siguiente? : su hipotenusa vale 17 y el angulo adyacente 8 … si alguien lo sabe .. por favor se los pido! .. =)

    muy agradecida…
    ^^

  23. Agustín Morales | 18 de abril de 2007 | 06:07

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    Key, debes estudiarte bien el Teorema de Pitágoras. Sobre el triangulo que comentas; llamando h a la hipotenusa , c1 y c2 a los catetos y ^2 como “elevado al cuadrado” tenemos:

    h^2 = c1^2 + c2^2

    17^2 = 8^2 + c2^2

    289 = 64 + c2^2

    289 – 64 =c2^2

    225 = c2^2

    c2= 15

    El ángulo formado por la hipotenusa y el cateto contiguo será:

    arc cos (8/17) = 61,928 grados

    El formado por la hipotenusa y el cateto opuesto:

    arc cos (15/17) = 28,072

    y el que queda lógicamente es el ángulo recto.

    Como ves los tres suman 180 grados como tiene que ser (en la geometría euclídea)

    Venga Key, ánimo y un poco de esfuerzo, ¿vale?

  24. Luis | 20 de abril de 2007 | 01:18

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    Hola, me parece muy practica esta pagina, mi pregunta va en relación a los triangulos esfericos, necesito conocel la distancia entre 2 puntos de la tierra, obviamente teng los 2 puntos en coordenadas, ya tengo el valor de 2 lados del triangulo y el angulo opuesto al lado que quiero encontrar (distancia entre 2 puntos) pero al aplicar la formula de: Circunferencia del Globo terraqueo entre 360 para sacar los Km por grado, y luego multiplicarla por: Cos de la diferencia en grados entre los 2 puntos:Cos del lado 1 por el Cos del lado 2 mas el seno del lado 1 por el seno del lado 2 por el cos del Ang opuesto. Hasta aqui no hay problema pero ahora con este último resultado que es el cos de la diferencia en grados, tengo que encontrar el Arc del coseno, y eso no se como, si utilizo unacalculadora no tengo problema, pero si quiero esta formula para realizar un programa que me de la distancia entre dos ciudades, ahi tengo el problema, ya que el programa no tiene la función para encontrar el arco del Cos.

  25. lizy | 21 de abril de 2007 | 02:24

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    creo que esto me servira mucho pues ahora se que es importante saberme esta tabla, en verdad nunca le entidi totalmente pero yo creo q es cosa de razonar

  26. Lyserg Reginleif.- | 21 de abril de 2007 | 16:24

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    esa tabla me la enseñaron en el colegio!!!!!

    y tbn hay otra ayuda con la trigonometria:
    Todos
    sin
    ta
    cos

    =P

  27. Lyserg Reginleif.- | 21 de abril de 2007 | 16:25

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    ya nombraron el todos sin tacos…
    no lei todos los comntarios, disculpen.-

  28. priscila | 21 de abril de 2007 | 19:33

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    trigonometria:seno+coseno+tangente=pesadilla

  29. ana | 16 de mayo de 2007 | 03:17

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    las matemeticas son una pesadilla ¿como le hago para comprenderlas? y sacar un 9 en este bimestre para no reprobar

  30. Lyserg Reginleif.- | 17 de mayo de 2007 | 18:45

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    si es que partes considerandolas una pesadilla, no podras avanzar mucho…

  31. kristian | 18 de mayo de 2007 | 19:40

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    me gustaria q me enviaran toda la informacion q puedan estoy interesado soy un joven colombiano de el departamento de casanare q me gusta estudiar y este tema me parece interezante por favor si…………………..

  32. javier | 26 de mayo de 2007 | 23:24

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    hola me gustaria saber sobre q s e entiende sobre angulos especiales o nobles

  33. Dani | 29 de mayo de 2007 | 00:14

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    No recuerdo quien me lo enseño, .. pero yo siempre se la digo a mis alumnos.

    Por cierto .. ¿Qué os parece este vídeos sobre razones trigonométricas de ángulos notables?
    http://lubrin.org/mat/spip.php?article919

    Y ya de paso .. en esa web de mates acabo de publicar mi artículo nº 1000. Se trata de un sencillo problema de sucesiones. ¿sabríais averiguarlo? tiene premio al ganador/a:
    http://lubrin.org/spip.php?article141

  34. Agustín Morales | 29 de mayo de 2007 | 13:59

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    Hola Dani:

    Como ya han resuelto en tu página por el método de las diferencias finitas, el término que sigue es 269. Ahora bien, según parece aun no han colocado el término general que es:

    an= 2n^3-12n^2+22n-12

    Enhorabuena por tu labor de enseñanza y divulgación de la matemática.

  35. Dani | 29 de mayo de 2007 | 16:15

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    Agustín voy a poner tu comentario en mi web (espero no te importe) entre otras cosas para que se vea la fórmula bien (pues se puede usar LaTeX en los comentarios).

    Sin embargo lo que me interesa es el razonamiento para llegar a ese término general (por cierto .. yo barajaba otro término general)

  36. lilian | 1 de junio de 2007 | 00:56

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    pues tengo una tare de identidades trigonometricas y de verdad que no se nada tengo que hacer unas 100 identidades de esta y no tengo ni idea si alguien me podria ayudar se lo agradeceria gracias.

  37. Agustín Morales | 1 de junio de 2007 | 21:10

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    Putin:

    No te pongas así hombre, la matemática exige un poco de esfuerzo … aquí lo explican todo bien lo que ocurre es que quizás no sea adecuado a tu nivel. Prueba por ejemplo aquí:

    http://www.gazapitos.com/

  38. lilian | 2 de junio de 2007 | 21:32

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    Gracias agustin por tu ayuda me fue muy util, de verdad gracias.

  39. luiyi | 7 de junio de 2007 | 01:57

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    la verdad es que gracias por esta informacion, felicidades y la quiero decirles que me gustan estos temas ya que me gusta la matematica.

  40. jhonatan | 8 de junio de 2007 | 02:53

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    para que sirve esto? yo estoy en el colegio, en 3º de secundaria, mañana tengo un exámen acerca de esto y mi profesor inventa un poco asi que quiero que me pases por fa´unos cuantos ejercicios donde se utilicen éstas fórmulas pliss” y comprobar si son muy eficazes gracias

  41. carlos | 10 de junio de 2007 | 18:00

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    por favor necesito muchos ejercicios de seno y coseno con angulos notables y de entidades trigonometricas urgente!!!!

  42. jessica | 14 de junio de 2007 | 17:40

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    necesito saber komo se saca los angulos de seno, coseno y tangente es urgente

  43. Ender Muab'Dib | 14 de junio de 2007 | 19:14

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    Jajaja, quién me iba a decir a mí cuando me suscribí a los comentarios de este post que iba a reirme tanto.

    Bueno, y quién se lo iba a decir a Diamond ;).

    ¡Saludos!

  44. ^DiAmOnD^ | 16 de junio de 2007 | 16:08

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    Ya ves :P

  45. gabriel | 22 de junio de 2007 | 00:00

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    Por favor alguien puede ayudarme?. Cómo se comprueba matemáticamente el mas pequeño cuboide que cumple que sus tres lados y las tres diagonales de sus caras son números enteros, conocido como caja de Euler.

  46. ^DiAmOnD^ | 22 de junio de 2007 | 02:43

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    gabriel echa un ojo a este artículo a ver si te ayuda algo.

  47. david cardona | 6 de julio de 2007 | 22:26

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    necesito que me hagan un plan que tengo de matematicas casi no lo entiendo

  48. arvizu balderas | 8 de julio de 2007 | 20:33

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    quiero saber para que me sirve esto de convertir grados a radianes y viceversa

  49. Moster | 9 de julio de 2007 | 00:47

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    nomás pa saturate la cabeza

  50. tamara | 27 de febrero de 2008 | 22:23

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    como hago para calcular el seno del angulo de un triangulo, cundo sé cuanto miden los lados, pero ningun de los angulos.

    Ejemplo: calcular cuánto miden los ángulos de un triángulo, sabien que uno de sus lados mide 70 cm y su base 47 cm

  51. Agustín Morales | 27 de febrero de 2008 | 23:19

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    Tamara: De forma muy simplificada:

    sen α = cateto opuesto / hipotenusa
    cos α = cateto adyacente / hipotenusa
    tan α = cateto opuesto / cateto adyacente

    Si tienes por ejemplo sen α = 0,83 tendrás que hacer la operación inversa que es :
    α = arcsen 0,83
    Es decir α es el arco cuyo seno es 0,83.

    El resto de las operaciones inversas son el arccoseno y la arcotangente. El cálculo de estas funciones inversas las puedes hacer con la calculadora o mediante tablas trigonométricas.

  52. joseestrellista | 20 de marzo de 2008 | 16:53

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    M podeis calcular las del angulo 120grados kon ver uno ya lo ntendere ,salu2

  53. Agustín Morales | 20 de marzo de 2008 | 19:18

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    Para joseestrellita:

    Para que lo entiendas mejor te lo pondré en grados en lugar de en radianes, pero recuerda que 360º son 2PI radianes.

    Para comprender lo que sigue debes saber las relaciones entre angulos complementarios y ángulos opuestos.Mira en la siguiente dirección:
    http://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_trigonom%C3%A9trica

    sen (120)= sen (90-120)= cos (90-120)= cos (-30)=cos (30)

    cos(120)=sen(90-120)=sen(90-120)=sen(-30)= -sen(30)

    tg(120)=sen(120)/cos(120)=cos30/-sen(30)

  54. joseestrellista | 25 de marzo de 2008 | 18:32

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    Ya lo ntiendo muxisimas gracias!!!

  55. monica | 28 de marzo de 2008 | 05:57

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    alguien sabe la respuesta a esta pregunta ¿como se saca el angulo de una recta por medio de una tangente?

  56. Agustín Morales | 28 de marzo de 2008 | 16:31

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    Mónica:
    Una recta no tiene ángulo. Dos rectas que se cortan en un punto sí.

  57. antiestetico | 28 de marzo de 2008 | 16:57

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    tal vez se refiera a la derivada, aunque esté mal expresado

  58. juan pablo | 2 de abril de 2008 | 19:44

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    “LA TRIGONOMETRÍA EXPERIMENTA EN EL SALÓN DE CLASES”.

    MONTES ZAMORA SERGIO ALBERTO.
    RIVERA LEYVA UBALDO.
    PLANTEL 69: “PROFR. HERMES GONZÁLEZ MALDONADO”.
    TAMAZULA, GUASAVE, SINALOA.

    OBJETIVO:

    Proporcionar una herramienta didáctica a los profesores que imparten la asignatura de Matemáticas, tanto a nivel Secundaria como nivel Bachillerato para el tema Funciones Trigonometricas en el Triangulo Rectángulo, que permita al maestro demostrar experimentalmente el Teorema de Pitágoras y las Funciones Trigonometricas básicas, ayudando al alumno a una mejor comprensión del tema y por ende sea capaz de construir verdaderos aprendizajes significativos, que le sirvan para la resolución de problemas relacionados con su vida diaria.

    FUNDAMENTACION TEORICA:

    En la antigüedad antes del año 100 a. C., los griegos inventaron la trigonometría para resolver problemas de astronomía, navegación y geografía. Dándole a la trigonometría el significado de “medida del triangulo”. En su forma mas básica, la trigonometría es el estudio de las relaciones entre los ángulos y los lados de un triangulo rectángulo.

    Un triangulo se llama triangulo rectángulo si uno de sus ángulos es un ángulo recto, esto es, un ángulo de 90º. Los otros dos ángulos son necesariamente ángulos agudos (menores que 90º) ya que la suma de los tres ángulos internos de un triángulo es 180º. Sea θ (la letra griega theta) la que denota uno de esos ángulos agudos. Se pueden clasificar los tres lados relativos a θ: lado adyacente, lado opuesto e hipotenusa. En términos de estos lados se introducen las tres razones fundamentales de la trigonometría: el seno de θ, el coseno de θ y la tangente de θ. Utilizando abreviaciones obvias, estas se definen de la siguiente manera:

    sen θ = C.O / H

    cos θ = C.A / H

    tan θ = C.O / C.A

    Así a cada ángulo agudo θ , asociamos tres números, sen θ, cos θ, y tan θ. Pudiendo preguntarse alguien cuidadoso si estos números dependen solo del tamaño de θ o si también dependen de la longitud de los lados del triangulo rectángulo con el que se empieza. Considérense dos triángulos rectángulos distintos, cada uno con el mismo ángulo θ .

    Se puede considerar al triangulo inferior como una amplificación del triángulo superior. Cada uno de sus lados tiene “n” número veces más longitud que el lado correspondiente del triangulo superior. Si se calcula el sen θ del triángulo inferior, se obtiene:

    sen θ = C.O / H = nb / nc = b / c

    que es el mismo resultado que se obtiene usando el triángulo superior. Se concluye que para θ dado, sen θ tiene el mismo valor sin importar el triángulo rectángulo utilizado para calcularlo. Lo mismo sucede para cos θ y tan θ.

    ANGULOS ESPECIALES

    Se puede utilizar el teorema de Pitágoras ( a2 + b2 = c2 ) para encontrar los valores del seno, del coseno y de la tangente para los ángulos especiales 30º, 45º y 60º. Considérense los dos triángulos rectángulos de la siguiente figura, que involucran a estos ángulos.

    Para ver que los valores indicados de a son correctos, se observa que en el primer triángulo a2 + a2 = 22, lo cual da . En el segundo, que es la mitad de un triángulo equilátero, a2 + 12 = 22 o .

    A partir de estos triángulos se obtienen los siguientes resultados importantes.

    sen 45º = cos 45º = tan 45º = 1

    sen 30º = 1 / 2 cos 30º = tan 30º = =

    sen 60º = cos 60º = 1 / 2 tan 60º =

    OTROS ÁNGULOS

    Cuando se necesitan el seno, el coseno o la tangente de otro ángulo distinto de los especiales considerados anteriormente, se pueden hacer una de dos cosas. Si se tiene una calculadora científica, se presionan simplemente dos o tres teclas y se obtiene la respuesta correcta con ocho o más dígitos significativos. De otra manera, se necesitará utilizar una tabla de valores.

    Observándose varios hechos cuando se utiliza dicha tabla de valores. Primero, da por lo general las respuestas con cuatro decimales. Segundo, los ángulos están medidos en grados y décimas de grados. También generalmente la columna izquierda de dichas tablas de valores contiene los ángulos de 0º a 45º. Para los ángulos de 45º a 90º se utiliza la columna derecha; también deben utilizarse los títulos inferiores. Para estar seguro de que se está leyendo la tabla (o calculadora) en forma correcta, hay que verificar que se obtenga cada una de las siguientes respuestas

    tan 33.1º = .6519 sen 26.9º = .4524

    cos 54.3º = .5835 tan 82º = 7. 115

    CARACTERISTICAS DEL APARATO DIDÁCTICO:

    DESCRIPCIÓN Y FUNCIONAMIENTO:

    El diseño de nuestro aparato didáctico consiste en un juego de escuadras de madera que semejan un triángulo rectángulo, es un cuadro de madera de dos pulgada de ancho, una pulgada de alto y 50 cm de longitud. Una aguja de madera de 1 cm x 1 cm x 40 cm, esta aguja se atornilla a un orificio practicado en la esquina inferior izquierda, en la parte interna del cuadro (nota: los 50 cm de longitud del cuadro deberán ser internos).deberá cuidarse que la aguja no quede muy apretada para que tenga movimiento. En el otro extremo de la aguja se colocan dos agujas de 44 cm de largo a 90o. Esta escuadra deberá también poder girar. La aguja vertical deberá correr sobre un tabique colocado en un canal practicado en otro trozo de madera que se encuentra en la parte inferior del cuadro. Este mecanismo es el que hace que una aguja se mantenga siempre vertical y otra horizontal.

    En el extremo derecho y en el extremo inferior se encuentra una escala graduada en centímetros, en las cuales se obtiene por lectura directa las medidas de los catetos opuesto y adyacente.

    Una escala de ¼ de circulo colocada a 10 cm del eje de la aguja se encuentra grabada con una graduación de 0 a 90o.

    Lleva también dos patas de 80 cm y una de 110 cm para equilibrarla en el piso.

    De esta manera podemos subir y bajar la aguja, obteniendo para cada abertura de manera directa el valor de un ángulo, el cateto opuesto y el cateto adyacente. Las funciones seno, coseno y tangente pueden calcularse mediante las divisiones necesarias y compararse con las publicadas en las tablas y calculadoras.

    PLANOS Y DIAGRAMAS:

    RESULTADOS Y CONCLUSIONES:

    El trabajo experimental representa sin duda una herramienta didáctica de trabajo muy importante para el profesor, una estrategia de enseñanza mediante la cual los alumnos logran apropiarse de los aprendizajes significativos, que posteriormente les servirán para resolver los problemas que en su vida diaria se les presenten. Es por eso que, este debe de verse y dársele la importancia que se merece, como una verdadera estrategia de aprendizaje, tanto en el área de las ciencias naturales como en el de las ciencias exactas (en este caso de las matemáticas) , porque por más que hablemos del tema, nos desgastemos con amplias explicaciones del porqué y el como de las cosas , si el alumno no interactúa, no experimenta con su propio método de aprendizaje, no es lo misma, pues necesita vivir una determinada situación para recordar la esencia de la misma .

    Es por eso, que preocupados por esta realidad, el día de hoy proponemos este aparato didáctico que sirva de base para demostrar las funciones trigonometricas en el triángulo rectángulo, en el cual el alumno encuentre una aplicación práctica de la trigonometría de una manera clara, fácil y sencilla, a través del diseño de este sencillo pero significativo aparato didáctico.

    BIBLIOGRAFÍA:

    Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica.
    Walter Fleming.
    Dale Varberg.
    Editorial Prentice – Hall.

  59. Marcela | 24 de abril de 2008 | 22:02

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    ¿Cómo realizo el calculo de un arco tangente de sin utilizar la calculadora ?

  60. andrea | 28 de abril de 2008 | 05:33

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    NERDS DE EME ME ABURREN CON SU MATEMARIKA !!!

  61. Agustín Morales | 28 de abril de 2008 | 11:55

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    Andrea:

    Lo de Nerds vale, lo de “eme” lo puedo tomar como eme de Matemática o “eme” de emérito. Pero lo que de verdad no comprendo es lo de “Matemarika” ya que esta ciencia no entiende de sexos :-)

  62. 4*arctan(1) | 28 de abril de 2008 | 15:54

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    do not feed the trolls

  63. Agustín Morales | 28 de abril de 2008 | 21:40

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    4*arctan(1):

    Llevas razón en principio, lo que ocurre es que técnicamente Andrea no es un troll. No creo que busque una respuesta intencionada , ni mucho menos desviar el tema de una discusión. Creo que siente lo que dice porque desafortunadamente son muchos los que tienen aversión a la matemática y sin embargo la conjugan con una aparentemente contradictoria admiración. Me llamó mucho la atención la expresión “Nerds de M” . Es algo contradictoria y en mi opinión refleja esa frustración de querer saber y no poder. Quizás habría que estudiar este fenómeno y por supuesto revisar el sistema educativo.

  64. JORGE | 1 de mayo de 2008 | 08:06

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    BUENO YO TENGO UN TRUCO PARA LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS CUADRANTALES SOLO TIENES QUE INVOCAR A OIONIN Y IONONI, PRIMERO HAS UNA TABLA DESDE EL CERO HASTA EL 360 OSEA 0,90,180,270,360 EN FORMA VERTICAL Y LAS RAZONES DESDE EL SEN HASTA LA CSC OSEA SENO,COSENO,TANGENTE,COTANGENTE,SECANTE Y COSECANTE EN FORMA HORIZONTAL Y LUEGO LO RELLENAS CON OIONIN IONONI,OIONIN,IONONI,OININ AHORA 0=0,I=1,N=NO DEFINIDO , AHORA SOLO CAMBIA LOS 1 DE LA FILA DEL 18O Y 270 POR POR-1 Y YA TA EN VERDAD ES RECONTRA SENCILLO PRUEBENLO

  65. carlita! | 23 de mayo de 2008 | 04:09

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    io recien voi a en trar a ver estos temas!
    y me parece demasiado dificil!!
    pro ahora entiendo mejor con la tabla y muxas cosas de aki
    tengo 14 años y no es facil aprender matematicas de univercidad!

    soooper!! xvr!

    alaoozz gnt!

  66. as | 23 de mayo de 2008 | 21:10

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    No son matemáticas de universidad…

    Se dan en tercero y cuarto de ESO en España (14-15-16 años)

  67. MAFER | 26 de mayo de 2008 | 02:37

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    ¿cuales son las razones trigonometricas de los angulos cuadrantales?

  68. katherina | 27 de junio de 2008 | 17:45

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    espectacular…..me encanta matematica.. gracias a dios. a traves d muchoesfuerzo y dedicacion me aprendi esa bndita tablita dl posetaco.. nunk falla.. pruebenla y me daran la razon!!

  69. RENE CARDALES | 30 de junio de 2008 | 20:47

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    MUY BUENA PÁGINA Y MUY BUENOS APORTES. AGRADEZCO SI ME RECOMIENDAN ESTRATEGIAS PRÁCTICAS EN CUALQUIER TEMÁTICA DE LAS MATEMÁTICAS PARA GENERAR APRENDIZAJES SIGNIFICATIVOS. APENAS ENTRÉ EN CONTACTO CON LA PÁGINA HACE 300 SEGUNDOS. HARÉ MIS APORTES POSTERIORMENTE.

    SOY DOCENTE DE MATEMÁTICAS

  70. abIcItA..!! | 3 de julio de 2008 | 18:17

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    oOooh gRaCiaS eSto sERvIrÁ mUcHoo =D!!

  71. Gustavo | 2 de agosto de 2008 | 07:15

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    No memoricen… piensen!!!

  72. jo | 3 de octubre de 2008 | 17:33

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    muchas gracias! Me ha venido de perlas!

  73. Lestat | 4 de octubre de 2008 | 05:16

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    Hola, quisiera saber si alguien tiene idea de como obtener la medida de la hipotenusa en un problema que solo proporciona el area (la cual es de 50 metros cuadrados) y los grados: 90°, 45° y 45°.
    POR FAVOR NECESITO APRENDER EL PROCEDIMIENTO!!!!
    Gracias!

  74. Lestat | 4 de octubre de 2008 | 05:32

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    Por cierto mi E-mail para la respuesta es hades_lest@hotmail.com

  75. jose juan | 9 de octubre de 2008 | 17:09

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    hola gracias por la informacion a hora se m fasilita mas

  76. laurita | 11 de octubre de 2008 | 20:18

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    wow me encantan todas stas tecnicas pero les queria pedir ayuda pues tengo una guia kilometrica que tengo q hacer de identidades trigonometricas si entiendo las razones pero me gustaria si me explicaban como utilizarlas por ejemplo:
    (1+sen X)(1-sen X)= cos(elevado al cuadrado)X

    pd.X=alfa besitos con raices cuadradas jijiji…

  77. laurita | 22 de octubre de 2008 | 03:28

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    heyyyy gracias por contestarme hasta ya tuve examen de eso y nunca me contestaron =( les puedo pedir ayuda con otra cosa espero ahora si me ayuden:

    ¿que dominios deben de definir a las funciones seno,coseno y tangente para que su inversa sea funcion?

  78. Avelino | 22 de octubre de 2008 | 17:36

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    porfavor podrian decirme como teniendo el seno de un angulo puedo sacar el angulo directamente con la calculadora. gracias

  79. Mauricio | 11 de noviembre de 2008 | 21:49

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    esta técnica es muy buena, y pone de manifiesto que las matemáticas se deben ver como un juego, y así dejar de lado la fobia hacia ella.

  80. Juan | 13 de noviembre de 2008 | 19:54

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    RESPUESTA PARA AVELINO:
    Es muy facil: yo almenos tengo la calculadora CASIO fx-82SX.
    Con la mia, cuando tienes el resultado, por ejemplo sen=0.75, apretas la tecla SHIFT, con el numero en pantalla, y acontinuacion la tecla sen. Al memento te dará el ángulo.

  81. (wambaa)????!!!!!!! | 27 de noviembre de 2008 | 18:30

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    gracias a esta tabla pude acer la tarea por q mi maestro ya nos habia regañado`por no llevar la tarea y ya estaba super enojado conmigo y mis amigas k tal con el caracter del profe ya ni gracia…….

  82. yo | 30 de noviembre de 2008 | 17:16

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    brutal

  83. ayel | 9 de diciembre de 2008 | 02:10

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    solo quiero que me ayuden por fa
    para desarrolar las fuciones trigonometricas
    para alfa de 45° plis
    desde mexico
    mil gracias

  84. Memu | 14 de diciembre de 2008 | 22:47

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    Yo estoy en 9° y nesecito saber …
    Cuando sacas el seno de un angulo , se le sumaba algo cuando daba mayor de 5 o 6 ???

  85. JPV | 5 de febrero de 2009 | 12:41

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    En primero decir que esa web es muy curiosa, me gusta repasar todos estos temas.

    Luego… haber si me podríais resolver esta duda que me corroe estos últimos días…

    Y como puedo saber la longitud de la hipotenusa si no tengo una ángulo de 90º?, es decir, como calculo la longitud de la hipotenusa si tengo los ángulos variables (si sirve de algo, para lo que me refiero, en la posición ’1′ de la imagen la suma de los dos catetos resulta la longitud de la hipotenusa):

    La imagen: http://inlinethumb53.webshots.com/12916/2403280250103736549S600x600Q85.jpg

    Haber si está bien lo que digo o alguien sabe a lo que me refiero, que creo que no me he explicado excesivamente bien…jeje bueno, muchas gracias.

  86. Agustin Morales | 5 de febrero de 2009 | 13:02

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    JPV en primer lugar solo puede hablarse de hipotenusa cuando el triángulo es rectángulo, es decir cuando tiene un ángulo de 90º.

    Para resolver las medidas de los lados de un triángulo o de sus ángulos, se utiliza la trigonometría. Sabiendo lo que es el seno, el coseno y la tangente, puedes resolver cualquier triángulo.

  87. JPV | 5 de febrero de 2009 | 13:26

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    Gracias por la aclaración.
    Respecto a lo siguiente, yo se averiguar el seno, el coseno y la tangente, pero en triángulos rectángulos… en el que a mi me interesa no… El caso es que tampoco se la relación entre el valor de, por ejemplo, el coseno y la resolución del triángulo, no se si me explico. ¿Como puedo deducir el ángulo? (si es que es algo relativamente sencillo)

  88. JPV | 5 de febrero de 2009 | 13:30

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    También lo que querría saber y me aclararía bastantes dudas (si no es mucho pedir jeje) es la relación entre los ángulos de los catetos y la longitud de lo que yo erróneamente llamé hipotenusa.
    Muchas gracias de nuevo.

  89. ^DiAmOnD^ | 5 de febrero de 2009 | 15:18

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    El teorema del coseno es el que debes utilizar para ello. Búscalo y si tienes algún otro problema coméntalo.

  90. JPV | 5 de febrero de 2009 | 21:37

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    Muchas gracias.
    En el ejemplo de la imagen, he presentado lo siguiente:

    IMAGEN: http://inlinethumb56.webshots.com/43127/2171439130103736549S600x600Q85.jpg

    Pero en lo que he encuadrado en rojo me he liado un poco, si me resolvieseis esta tonta duda estaría agradecido.

  91. JPV | 6 de febrero de 2009 | 00:24

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    Creo que lo estoy logrando jeje, ahora, por ejemplo, me sale que el CosA=0.866, ¿Como deduzco el valor de A?
    Perdón por tanta pregunta… Gracias

  92. yuliana | 15 de febrero de 2009 | 20:02

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    por favor un ejemplo para un angulo de 45

  93. veronica | 21 de febrero de 2009 | 04:09

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    una dudota cual es la ecuacion o formula que determina los angulos que no aparecen en la tabla de radian

  94. Angeles | 4 de marzo de 2009 | 01:30

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    Hola como encuentro el punto (x,y) de una linea formada por los puntos A(),B() con un angulo de 26°. y se quiere que el angulo pueda cambiar…

    Como conozco el punto B()y cambio el angulo. cuando A es el origen o el centro de rotacion.

    Le agradeceria que me pudiera contestar.

    Angeles

  95. Angeles | 4 de marzo de 2009 | 01:30

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    Me urge por favor. Estoy programando dicha situacion. Gracias!!!!

  96. Angeles | 4 de marzo de 2009 | 02:16

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    Necesito cometarios urgentes. Gracias

  97. micaela | 4 de marzo de 2009 | 22:16

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    Hace horas que llevo intentando resolver este ejercicio:

    sen( x + 30° ) – cos ( 60° – x ) = raíz cuadrada de 2
    si alguien puede resolverlo paso por pasoo se lo agradecería, rindo mañana y de esta igualdad depende mi titulo.

    GRACIAS!

  98. pilar | 9 de marzo de 2009 | 17:40

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    hola amigos quiero saber las formulas mas importantes de la trigonometria porfa

  99. LLuis Miquel | 12 de marzo de 2009 | 18:38

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    Como puedo obterner los angulos en la escala de 0 a 360º, ya que usando esto para calcular
    el angulo me salen tanto en negativo y positivo depende de los puntos.
    t := arctan( (y1-y) / ( x1-x) ) *180 /PI;
    Gracias

  100. la mujer de el saber | 17 de marzo de 2009 | 02:16

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    DIAMETRO:SECMENTO DE RECTA QUE UNE 2 PUNTOS DE LA CIRCUNFERENCIA PASANDO POR SU CENTRO.
    TANGENTE:ES LA RECTA QUE TOCA A LA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO.
    SECANTE:ES LA QUE UNE 2 PUNTOS DE LA CIRCUNFERENCIA.
    RADIO:ES UNA DISTANCIA QUE TIENE LA CIRCUNFERENCIA.

    SON PEQUEÑAS DEFINICIONES QUE PARA LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS Y SUS ANGULOS SON MUY BUENAS!!!

  101. sonia | 28 de abril de 2009 | 17:26

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    La tarea es de mi hijo, lo peor es que viendo su cuaderno este ejercicio salio de la nada y no tengo en que basarme para ayudarle.
    valores de la distancia media al sol
    tierra 149600.000
    Saturno 1.427.000.000
    basados en los valores anteriores
    En determinado instante, sol tierra y saturno forman un angulo recto, con el angulo recto en la tierra. en este momento cual es la distancia entre saturno y la tierra?.
    Haga un diseno para representar (el diseno si creo qeu es facil.
    Muchas gracias por la ayuda que puedan darme

  102. Cesar | 28 de abril de 2009 | 22:18

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    Sonia, en este problema el Sol, la Tierra y Saturno forman un triángulo rectángulo, donde la distancia del Sol a Saturno es la hipotenusa, la distancia del Sol a la Tierra es uno de los catetos y la incógnita, es decir la distancia de la Tierra a Saturno, es el otro cateto, aplica el teorema de Pitágoras.

  103. maria fernanda v | 29 de abril de 2009 | 05:06

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    muesten una mejor informacion como seno de 0 ctg 90· csc270·por fa mayor informacion pero los felizito por la pagina suerte desde corozal saludos

  104. aldo03 | 1 de mayo de 2009 | 20:43

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    muestren la informacion mas simple
    para que sea mas entendible para nosotros
    osea una informacion resumida para alumnos de preparatoria

    gracias

  105. Trackback | 4 may, 2009

    Coordenadas polares: otra forma de ver el plano complejo | Gaussianos

  106. José Márquez | 19 de junio de 2009 | 21:03

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    Sin embargo profesor..¿como encuentro la razón de un ángulo cualquiera?. Viendo la gráfica de las funciones sé que describen una curva logaritmica, por lo que me es imposible obtener por interpolación lineal,a partir de los ángulos
    notables, otro cualquiera.

  107. tamara 9 años | 29 de julio de 2009 | 21:15

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    mi,tarea es averiguar cual es la importancia de los ángulos y sólo se me ocurre que son importantes para construir, casas, objetos etc.

  108. Omar-P | 30 de julio de 2009 | 00:29

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    ¡Muy bién Tamara!
    También son importantes para hacer dibujos geométricos y para medir y calcular la posición de los planetas y las estrellas, entre otras muchas aplicaciones. Saludos.

  109. lUisItO | 1 de agosto de 2009 | 03:06

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    como saca tangente de 105 sin usas calculadora quien me ayuda

  110. Wolf | 1 de agosto de 2009 | 17:01

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    En una linea , haz apoyandote en las relaciones de la tangente del angulo suma tag ( 270- 60 ) , y luego tag 210/2 )

  111. Ronald | 5 de agosto de 2009 | 17:07

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    quien me ayuda

    como hago una tabla de angulos notables

  112. princesita | 30 de septiembre de 2009 | 08:47

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    holas ,,,,bueno quisiera que me hagan un favor de ayudarme a ver los valores naturales de las funcions trigonometricas ; pero como este mire:(esque nu me acurdo como se sacan =( …ya va:

    “senx”

    o GRADOS 0MINUTOS :0,0000
    34 GRADOS 40 MINUTOS :0,5688
    y asi pero tengo unos dados que nu se son:
    “SENX”
    sen21 GRADOS 32 MINUTOS bueno quisiera que me ayuden brindandome alguna formula gracias de antemano

  113. Agustín Morales | 30 de septiembre de 2009 | 11:47

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    Princesita mira, para tu nivel quédate con esto:

    Para pasar los grados a radianes, tienes que tener en cuenta que 360 grados son 2 PI radianes.
    Y también que un grado tiene 60 minutos y un minuto 60 segundos.

    De esta manera lo sacas por regla de tres.

    Para hallar los senos, cosenos o tangentes, tendrás que usar la calculadora; excepto cuando sean valores muy conocidos (0º,30º,60º,90º …)que puedes aprenderlo de memoria.

  114. Sofia | 1 de octubre de 2009 | 16:31

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    Muy buena la tabla,hace poquito mela enseñaron en el pre.
    pero necesito saber como calculo el seno o coseno de un numero en radianes (sin pasarlo a grados)que no sean los de la tabla, obviamente sin calculadora.
    Por Ej:
    a)sen (5π)
    b)sen (-9/4π)
    c)cos(-π/3)

    Muchas gracias!

  115. Elisa | 5 de octubre de 2009 | 19:57

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    Hola, vengo a preguntar cual es la manera de calcular alfa y beta en un triangulo rectangulo y isosceles, porque me estoy haciendo un lío, os lo agradecería!!!! mucho!!
    Tengo examen este jueves!!! Graciassssssss
    O si me podéis enviar una pagina interactiva que lo explique.Thanks!

  116. MAGDALENA | 25 de octubre de 2009 | 23:55

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    segun tu regla para sacar el seno de 64 sería raíz de 64 8 la mitad 4 . pero tu sabes que no es así me puedes aclarar por favor

  117. MAGDALENA | 26 de octubre de 2009 | 00:03

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    ppor favor necesito que me ayuden a encontrar seno , coseno y tangente de los numeros
    gracias

  118. Agustín Morales | 26 de octubre de 2009 | 01:23

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    Magdalena, si tienes un examen el jueves, no te pongas nerviosa. Comienza a estudiar poco a poco. Hay tiempo. Intenta comprender primero lo básico: grados, radianes, ángulos. Qué es seno coseno y tangente, etc.. Después haz todos los ejercicios que puedas. Comienza por los más sencillos. Mentalízate de que tienes que dedicarle algunas horas. Quizás unas diez horas. Si lo haces aprobarás. No hay atajos. Tienes que dedicarle tiempo.

  119. Agustín Morales | 26 de octubre de 2009 | 01:27

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    Perdón; la del examen del jueves era Elisa… pero lo de dedicarle un poquito de tiempo a estudiar creo que se puede aplicar a todos. :-)

  120. Ivana | 29 de octubre de 2009 | 02:36

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    Hola. Estoy intentando resolver la forma de hacer una función que me genere triángulos rectángulos en un programa, y mi problema es el siguiente: necesito calcular un ángulo a partir de la medida de los catetos, y obtengo por ejemplo el valor de la tangente, pero el programa no me permite utilizar arcotangente para hallar el ángulo directamente.
    ¿Alguien conoce alguna manera de hacerlo “a mano”, es decir, sin usar calculadora? Si conocen para hallar el ángulo a partir del seno o del coseno, me sirve también.
    Por favor contésteme a mi mail si son tan amables, porque esto no creo que lo revise todos los santos días.
    Gracias

  121. Adrian | 1 de noviembre de 2009 | 01:36

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    Me podrían indicar como puedo calcular cos(arctan(3/4)-arcsen(5/13)) sin utilizar la calculadora

  122. jose ramon | 4 de diciembre de 2009 | 02:55

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    no entiendo nada

  123. sergio | 4 de diciembre de 2009 | 08:02

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    Hola, esta bueno el cuadro que pusistes ahi, ahora para calcular los valores intermedios, por ejemplo 70grados o 35 etc como puedo hacer ???

  124. carlos saenz falen | 23 de enero de 2010 | 01:31

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    es excelente los felicito al grupo gaussianos, este material va servir para mis alumnos GRACIAS

  125. carlos saenz falen | 23 de enero de 2010 | 01:31

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    es excelente los felicito al grupo gaussianos, este material va servir para mis alumnos GRACIAS

  126. Alexita18 | 23 de enero de 2010 | 19:28

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    Que bien!!!! Esto del cuadro de las identidades Trigonometricas si que me ha servido, muchas Gracias!!!!!!!!!!!!

  127. adriana | 26 de enero de 2010 | 21:26

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    yo no entendi nada…!!

  128. maridu | 25 de febrero de 2010 | 02:21

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    necesito ke me expliquen este ejercicio dada la tangente d beta 3.raiz de 2 entre 2.raiz de 3 calcular coseno de beta y seno de beta

  129. alheli garcia | 14 de marzo de 2010 | 22:46

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    hola, mira en la escuela me encargaron que investigara cuales son las tres tablas de razones trignometricas, la tabla de razon seno, coseno y tangente, podrias explicarme como es eso en ningun sitio lo encuentro.

  130. martin | 6 de abril de 2010 | 00:26

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    le propongo el siguiente problema a vr si me ayuda a solucionarlo

    tengo una montaña en medio de dos pueblos desde el pueblo A la sima se ve con un angulo de elevacion de 27º y desde el pueblo B con un angulo de 38º la distancia entre los pueblos es de 2355mts. LA MONTAÑA CLARAMENTE NO ESTA EN EL MEDIO (es un triangulo oblicuangulo)

    que altura tiene la montaña!

    SIN USAR TEOREMAS DEL SENO NI DEL COSENO!!! SOLO CON CONOCIMIENTOS DE TRIANGULOS RECTANGULOS

  131. xoppoy | 8 de abril de 2010 | 08:19

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    Alguien sabe por qué esta tablita tan maravillosa es cierta?

  132. sara | 21 de abril de 2010 | 20:41

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    soy sara de colombia tengo una duda me estan pidiendo el metodo de la mano para hallar las funciones trigonometricas del seno y el coseno para los angulos notables y necesito una ayuda por favor gracias

  133. sara | 21 de abril de 2010 | 20:44

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    por favor necesito que me colaboren
    si alguien sabe por favor deje el comentario
    GRACIAS

  134. NOEMY ZENTENO | 23 de abril de 2010 | 02:30

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    gracias a esta tabla  se mas  de los cuadrantes

    1.-Cuadrante todos son positivos.
    2.-cuadrante solo sen es positivo
    3.-.cuadrante solo tan es positivo.
    4.- cuadrante solo cos es positivo

  135. Trackback | 27 abr, 2010

    Calcular las razones trigonométricas de los ángulos más importantes (II) | Gaussianos

  136. profano | 27 de abril de 2010 | 15:27

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    estas maricadas podredumbres picheras no sirven ni para rascarce el culo….. esto huele a lo q huele dios, jesus, maria y todos esos podridos santos a mierda a picho a cachupe resumamos diciendo q huele a dios…………………. uff q asco.

  137. Omar-P | 27 de abril de 2010 | 18:41

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    El patrón subyacente de las razones trigonométricas de los ángulos más importantes es muy bonito. A continuación se muestra dicho patrón, en dos etapas,  utilizando dos tablas. La primera de ellas es muy mnemotécnica y bella (Obsérve los valores de las columnas), pero resulta un poco impresentable debido a que aparece la  división por cero, para la tangente y la secante de 90 grados y para la cotangente y cosecante de cero grados .  

    A/F……..sen………………cos……………tan…………..cot……………sec…………..csc  

    0…..sqrt(0/4)….sqrt(4/4)….sqrt(0/4)….sqrt(4/0)….sqrt(4/4)….sqrt(4/0).

    30…sqrt(1/4)….sqrt(3/4)….sqrt(1/3)….sqrt(3/1)….sqrt(4/3)….sqrt(4/1).

    45…sqrt(2/4)….sqrt(2/4)….sqrt(2/2)….sqrt(2/2)….sqrt(4/2)….sqrt(4/2).

    60…sqrt(3/4)….sqrt(1/4)….sqrt(3/1)….sqrt(1/3)….sqrt(4/1)….sqrt(4/3).

    90…sqrt(4/4)….sqrt(0/4)….sqrt(4/0)….sqrt(0/4)….sqrt(4/0)….sqrt(4/4).

    La segunda tabla (corregida) es la definitiva.

    A/F……..sen………………cos……………tan…………..cot……………sec…………..csc

    0…..sqrt(0/4)….sqrt(4/4)….sqrt(0/4)……Infinito……sqrt(4/4)……Infinito.

    30…sqrt(1/4)….sqrt(3/4)….sqrt(1/3)….sqrt(3/1)….sqrt(4/3)….sqrt(4/1). 

    45…sqrt(2/4)….sqrt(2/4)….sqrt(2/2)….sqrt(2/2)….sqrt(4/2)….sqrt(4/2).

    60…sqrt(3/4)….sqrt(1/4)….sqrt(3/1)….sqrt(1/3)….sqrt(4/1)….sqrt(4/3).

    90…sqrt(4/4)….sqrt(0/4).…..Infinito.…..sqrt(0/4)……Infinito……sqrt(4/4).

    Claro con con LaTeX se verían mejor. 

  138. Willians Medina. | 16 de mayo de 2010 | 09:44

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    La regla nemotécnica para recordar el signo de las funciones en los cuadrantes es la siguiente:

    Primer cuadrante: Positivas todas.
    Segundo cuadrante: Positiva el Seno y su recíproco.
    Tercer cuadrante: Positiva la Tangente y su recíproca.
    Cuarto cuadrante: Positiva el Coseno y su recíproca.
    Obsérvese la “regla” de la inicial del nombre del cuadrante con la inicial del nombre de la función positiva en dicho cuadrante.

  139. Willians Medina. | 16 de mayo de 2010 | 09:48

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    Si quereis una tabla de funciones trigonométricas, la cual incluye
    Identidades Trigonométricas.
    Funciones recíprocas.
    Identidades trigonométricas fundamentales.
    Identidades pitagóricas.
    Suma y diferencia de dos ángulos.
    Angulo doble.
    Angulo triple.
    Angulo mitad.
    Fórmulas de reducción.
    Suma y diferencia.
    Producto.
    Gráficos de las funciones trigonométricas.
    Dominio y rango de las funciones trigonométricas.
    Ley de los senos y de los cosenos.
    Límites trigonométricos.
    Signo de las funciones trigonométricas en los cuadrantes.
    Tabla de valores especiales de las funciones
    Equivalencia entre las funciones trigonométricas.
    Derivadas de las funciones trigonométricas.
    Integrales de las funciones trigonométricas.
    Definición de las funciones trigonométricas inversas.
    Gráficos de las funciones trigonométricas inversas.
    Identidades trigonométricas inversas.
    Derivadas de las funciones trigonométricas inversas.
    Integrales cuyas primitivas son funciones trigonométricas inversas.

    El formato es de una hoja, impresa por ambos lados. Util para referencia rápida en todo lo que tiene que ver con trigonometría.

    Escribanme a mi correo y me recuerdan que ubicaron esta información en esta página. Saludos.

  140. ezequiel | 19 de mayo de 2010 | 23:41

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    hola cual es la tabla de valores trigonometricas del 0 al 360

  141. josejuan | 20 de mayo de 2010 | 09:05

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    “ezequiel”, para cualquier número (natural, entero, racional, real, complejo, …) vas a poder obtener el valor de las razones trigonométricas (bueno, y esté definido, porque tan 90º “no vale”).

    El objetivo de las tablas mostradas, es conocer (memorizar), el valor exacto. Pero ésto, sólo se puede hacer con algunos valores, por eso las tablas son “cortas”.

    Tu pides una tabla en la que salgan todos los grados de 0º a 359º (porque 360º=0º), sin embargo, aunque se pueden obtener para todos esos valores una expresión de la forma

    \cos 30=\allowbreak \sqrt{\frac{3}{4}}

    (descomponiendo cada valor en sumas, restas o divisiones de ángulos).

    Por ejemplo, supongamos que queremos obtener una expresión para \cos 75.

    Esto es igual a

    \cos (45+30)

    que podemos descomponer como

    \cos 45\cos 30-\sin 40\sin 30

    y usando las tablas anteriores llegamos a que

    \cos 75=\allowbreak \sqrt{2}\left( \frac{1}{4}\sqrt{3}-\frac{1}{4}\right)

    pues bien, usando un procedimiento similar puedes obtener expresiones “cortas” para todos los grados desde el 0º hasta el 359º, lo que pasa es que no parecen muy útiles de memorizar ¿no?.

  142. mayk¡¡ | 25 de mayo de 2010 | 02:23

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    m como puedo publicar una revista matematica en mi col si tengo que poner ejercicios didacticos en grados 9 10 y 11??

  143. mayk¡¡ | 25 de mayo de 2010 | 02:24

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    ej: algo didactico para las funciones trigonometricas??

  144. Fco. Javier Estrada | 29 de mayo de 2010 | 19:59

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    Hola a todos. Encuentro muy amables y útiles todas las intervenciones. Quisiera saber, aunque he visto alguna participación en este sentido, cómo hallar los grados de un ángulo del que sólo te dan el seno, 1/5, por ejemplo. En definitiva, cómo hallar los grados de un ángulo del que tienes seno, coseno o tangente, y los valores casi siempre son decimales, como 0’4, o fracciones reducidas.

  145. adriana | 1 de junio de 2010 | 20:38

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    quiero que me den una idea de como sacar los algulos de mi escuela , la escuela es retangular pero como puedo sacar las mdidas es urgente

  146. deysy | 17 de junio de 2010 | 04:57

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    hola atodos solo quiero saber como se hace esto…
    si un circulo mide 64 cm de radio que debo de hacer para saber cuanto mide la circunferencia.
    se multiplica por 2 o que???

  147. josejuan | 17 de junio de 2010 | 08:58

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    “deysy”, la solución en

    http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia

    PD: saluda a Donald de mi parte.

  148. nico | 9 de agosto de 2010 | 01:02

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    me gustaria saber el resultado del siguiente ejercicio : el ancho de una caja rectangular es de 3x+1 con un ancho de 6 m y su volumen es de 890m . determinar el largo e la caja sabiendo q es el triple de su ancho.

  149. sophie | 15 de agosto de 2010 | 03:52

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    hola mi duda es la siguiente como se cuando es tan-1 pero sin usar la calculadora quiero utilizar un procedimiento a base de razon pense que la tan-1 era cot-1 no le entiendo nada explicate bien mejor porfa saludos

  150. Eliu Fenix | 21 de agosto de 2010 | 06:01

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    Fantastico amigo jooooooo que me he liao con esto pero con esta formula me resulta super facil tio que la he comprendido a la perfeccion ahora ya no se me olvidara mas !!!

    venga que gran blog seguid adelante

  151. silvia | 11 de octubre de 2010 | 17:47

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    holan alguien me podra agudar a determinar el angulo complementario de 65°32’20” x fa.

  152. josejuan | 11 de octubre de 2010 | 19:34

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    Ángulo complementario

    Grado sexagesimal

  153. Ricardo | 16 de noviembre de 2010 | 23:37

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    ¿Me sabéis decir por qué motivo (isen de alfa)^3 = (menos) isen de alfa^3? No entiendo el porqué de quedar negativo. Lo mismo pasa si fuera al cuadrado. Me pergunto si será un error del libro. La cuestión es que no puedo encontrar la solución para un producto sencillo de seno por seno.

    Agradezco cualquier ayuda.

  154. gaussianos | 17 de noviembre de 2010 | 00:20

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    Ricardo, eso ocurre porque i^3=-i. Esa es la razón del signo menos que queda.

    Comenta qué producto exactamente te da problemas y vemos qué podemos hacer.

  155. Cari | 18 de noviembre de 2010 | 12:34

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    Muchísimas gracias, es una súper ayuda!
    Una duda: mencionaste que a partir de estos ángulos podemos sacar los de los otros cuadrantes; cómo se hace eso? Mi pregunta es porque en una guía de estudio me piden encontrar los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos que ya se mencionaron, pero también me piden de 180, 270 y 360 grados.

    Gracias de antemano.

  156. gaussianos | 18 de noviembre de 2010 | 13:55

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    Cari, me alegro de que te haya servido :).

    Para los ángulos correspondientes del resto de cuadrantes echa un ojo a este otro artículo. Saludos.

  157. manuel | 17 de diciembre de 2010 | 02:16

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    si muy buena la formula pero que paso con las demas funciones cot,sec,csc

  158. gaussianos | 17 de diciembre de 2010 | 21:58

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    manuel, el resto de funciones trigonométricas se definen a partir de las funciones seno y coseno:

    sec(x)=\cfrac{1}{cos(x)}

    cosec(x)=\cfrac{1}{sen(x)}

    cotg(x)=\cfrac{1}{tg(x)}=\cfrac{cos(x)}{sen(x)}

    Esto es, calculando el seno y el coseno tenemos las demás.

  159. Hallie | 4 de enero de 2011 | 15:33

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    Estupendo.
    La verdad es que no tube problemas con la matemàtica ..
    Me quedaba estudiando 5 horas diarias en casa despues de clases..
    y bueno creo que eso me ayudò mucho ..
    Conosco muchas formas y èste es uno de esos..
    GRacias por compartirlo.
    Sòlo un consejo a todos los que lleguen a esta pàgina..
    Dediquen al menos 1 hora diaria practicar la matemàtica, serà de mucha ayuda.
    Pueden empezar volviendo a resolver los ejercicios resueltos en clase..
    Saludos de Lima – Perù

  160. diego | 9 de enero de 2011 | 21:57

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    podrias aumentar de los angulos 180 y 360
    porfa

  161. diego | 9 de enero de 2011 | 21:57

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    ponde de 180 y 360 porfa

  162. gaussianos | 12 de enero de 2011 | 02:47

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    Diego, mira este post, a ver si te sirve:

    Calcular las razones trigonométricas de los ángulos más importantes (II)

  163. Albertoski | 26 de enero de 2011 | 22:42

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    Joder Diego
    mi dios, thanks man

  164. maribel ramirez | 12 de febrero de 2011 | 22:46

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    hola a mi me facina la matematica aunque se que es un poco complicado pero con el esfuerso que uno le pone lo puede entender,chicos me gustaria que me respondan a esta pregunta ¿que es todas sin tacos?es que tengo una tarea sobre eso y no lo encuentro en el internet ,y decirle a AGUSTIN MORALES que dios lo vendiga x la enseñansa que brinda sobre matematicas y me gustaria que me de su correo o facebook por si las dudas el mio es belcita_flowers@…… y mi facebook es maribel ramirez chauuuuuuuuuuuuuuuuuuu

  165. yomira | 21 de marzo de 2011 | 05:32

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    1er cuadrantes: todas tienen valor positivos (Todas)

    2do cuadrante: sólo el seno y la cosecante tiene valor positivo (sin)

    3er cuadrante: sólo la tangente y la cotangente tiene valor positivo (ta)

    4to cuadrante sólo el coseno y la secante tiene valor positivo (cos)

    ojo: hay otra

    “T”ODAS LAS “S”EÑORAS “T”OMAN “C”AFE

    cualquiera de las 2 nemotecnias son iguales
    espero haberte ayudado.

  166. yomira | 21 de marzo de 2011 | 05:47

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    yo aprendi las razones trigonometricas de angulos cuadrantales con circunferencia trigonometrica(C.T). Es mas facil aprender con eso q memorizarte las palabras: oionin,iononi,etc y aparte usas mayor tu razonamiento.

  167. jesica | 21 de marzo de 2011 | 21:23

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    yo no lo creo

  168. iridiana | 27 de marzo de 2011 | 04:36

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    por favor alguien me podria ayudar a saber que relacion existe entre el seno de un angulo y el coseno de su complemento??… me urge =S

  169. josejuan | 28 de marzo de 2011 | 20:57

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    Iridiana

    Seno de la suma de dos ángulos

  170. iridiana | 1 de abril de 2011 | 02:00

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    0k gracias jose juan!
    muy complicado pero me servira mas adelante :)

  171. Trackback | 1 dic, 2011

    Una inesperada aparición del número áureo - Gaussianos | Gaussianos

  172. Trackback | 28 dic, 2011

    (Lo que yo considero) Lo mejor de 2007 en Gaussianos - Gaussianos | Gaussianos

  173. Paoagui | 20 de abril de 2012 | 04:14

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    Hola! Tengo una duda, como puedo calcular arctg(3/4) sin usar la calculadora, y bueno si puede ser una explicacion general seria excelente, ya que no es el unico valor de arctg que tengo que calcular, todos son de ese tipo y ninguno notable :(
    Gracias :)

  174. nicolás | 25 de junio de 2012 | 23:59

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    Hola muchachos tengo gran drama en esto:

    1.- dentro del desarrollo de una ecuación trigonométrica en la parte final, para que angulo se cumple esta función, por ejemplo sea 30°, para que otro angulo se cumple la misma función, realmente me complico bastante, saludos y arriba las matemáticas.

  175. allala | 27 de diciembre de 2013 | 14:18

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    Yo me lleve 12 materias a examen y matematica me cuesta mucho :(

  176. allala | 27 de diciembre de 2013 | 14:31

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    me resuelves este ejercicio? asi se me es mas facil entender:/

    El vigía de un barco pirata observa el punto más alto de un acantilado bajo un ángulo de 60º. Si el barco se aleja 100 m se observa bajo un ángulo de 45º. Calcula la altura del acantilado

  177. Juanjo Escribano | 30 de diciembre de 2013 | 09:34

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    tg(60º) = h/x1 con h = altura del acantilado y x1 distancia del barco a la base del acantilado => x1=h/tg(60º).

    tg(45º) = 1 = h/x2 con x2 = x1 + 100 => h = x2 = x1 + 100 = h/tg(60º) + 100

    Sustituir y despejar

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