Calculemos la curiosa integral

El problema de esta semana es una ¿simple? integral:

Calcula la siguiente integral:

\displaystyle{\int_0^1 [10^x] dx}

siendo [a], como siempre, la parte entera de a (esto es, [4,12]=4).

Suerte.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

17 Comentarios

  1. Dado que no conozco teoremas o fórmulas sobre una función como la expuesta, la única manera que sé de resolver esto es dividir la integral entre x=0 y x=1 en 9 trozos cuyas abcisas intermedias serán:

    log(2), log(3), log(4), \dots, log(9)

    Dado que las ordenadas son valores discretos, se obtienen 9 rectángulos y por tanto la integral pedida será la suma de las áreas de esos 9 rectángulos:

    1 \cdot log(2) + 2 \cdot log (3) + 3 \cdot log(4) + \cdots + 8 \cdot log(9) + 9 \cdot log(10) = \sum_{k=1}^9 \lbrack k \cdot log (k+1)\rbrack = \sum_{k=1}^9 log(k+1)^k = log \lbrack \prod_{k=1}^9 (k+1)^k \rbrack

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  2. A ver.

    log(2) + 2(log(3) – log(2)) + 3(1 – log(3))

    En fin…

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  3. log(2) + 2(log(3) – log(2)) + 3(log(4) – log(3)) + …

    -log(2) – log(3) – log(4) – … – log(9) + 9

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  4. El integrando f(x)=[10^x] se puede expresar como f(x)=i para todo x \in I_i=[x_i,x_{i+1}], i=1,2,\dots, 9, donde

    x_i=\frac{\ln i}{\ln 10}.

    Dado que la función es constante en cada intervalo I_i, y la longitud de cada intervalo es \Delta=(\ln(i+1)-\ln i)/\ln 10, la integral (llamémosla A) es igual a

    A=\frac{1}{\ln 10}\sum_{i=1}^9 i[\ln(i+1)-\ln i] = \frac{1}{\ln 10}\left\{\sum_{i=1}^9 [(i+1)\ln(i+1)-i\ln i]-\sum_{i=1}^9 \ln(i+1)\right\}

    La primera suma es telescópica y \sum_{i=1}^9 \ln (i+1)=\ln (10!), luego la integral resulta ser

    A=10-\frac{\ln(10!)}{\ln 10}

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  5. Aunque la respuesta de castilla es correcta, se puede expresar de manera mas sencilla calculando la suma que propone Maestrolm:

    9-\sum_{k=1}^{9}log(k)
    se convierte, aplicando las propiedades de los logaritmos, en:

    9-log(9!)
    que aproximadamente es 3.440

    Un saludo.

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  6. alguien me puede decir como llegan a que deben usar logaritmos?, es decir … como se cambia esto para la respuesta:
    \Delta x = \frac{1-0}{n} y x_i = 0 + \frac{i}{n}
    \sum_{i=1}10^{\frac{i}{n}}\frac{1}{n}

    como se que debos usar logaritmos?, alguien me puede indicar?. Gracias.

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  7. “Ty”, el valor truncado corresponde a 10^x, y ésto, para cada x que va de 0 a 1.

    ¿En qué partes de 0 a 1 debemos partir la integral para obtener una “escalera”?, ¿para qué valores de x?

    [10^0]=1
    [10^0.1]=1
    [10^0.11]=1

    pero…¿cuando será 10^x=2?

    Para ésto se saca logaritmos

    Si 10^x=2 -> x = log 2

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  8. Entiendo lo que me has dicho, pero aun no me enfoco bien con la formacion del sumatorio.

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  9. Bueno “Ty”: de 0 a 1, la expresión [10^x] sólo puede tomar los valores entre 1 y 9 (enteros), luego lo que hacen los compañeros es dividir la integral inicial en otras 9, una para cada intervalo en el que la expresión [10^x] es constante. El sumatorio “concatena” las integrales para formar la integral buscada.

    Creo que donde mejor lo puedes ver en la explicación de “castilla” de las 11:09.

    Saludos.

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  10. Qué sencillo, ¿no? Mucho más que la mayoría de problemas que se ponen por aquí.

    Dividiendo el área de integración en rectángulos queda:
    $1\cdot\left(\log 2-0\right)+$
    $2\cdot\left(\log 3-\log 2\right)+$
    $3\cdot\left(\log 4-\log 3\right)+$ …
    $9\cdot\left(1-\log 9\right)$.

    Reordenando un poco los resultados (juntando los términos que multiplican a cada logaritmo), queda:
    $\left(-1\right)\cdot0+$
    $\left(1-2\right)\cdot\log 2+$
    $\left(2-3\right)\cdot\log 3+$ …
    $\left(8-9\right)\cdot\log 9+$
    $+9\cdot1$
    que es igual a $9-\sum_{i=2}^9\log i=9-\prod_{i=2}^9\log i=9-\log\left(9!\right)$.

    Por supuesto, en todo momento el logaritmo es en base 10. La suma total es aproximadamente igual a $3.44$.

    (Después de escribir la solución, veo que ya la han puesto por ahí arriba, pero bueno).

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  11. D’oh, que alguien me corrija las fórmulas [emoticono de vergüenza].

    Ty, imagínate la integral como un área. Si representas la función [10^x] verás que está compuesta por regiones discontinuas a lo largo de cada una de las cuales el valor es constante:
    – Cuando x=0, [10^0]=[1]=1. Dado que 10^x es una función monótona creciente, y dadas las propiedades del operador [], este valor se mantendrá constante hasta que lleguemos a un punto “y” en el que [10^y] ya sea igual a 2. ¿Cuál es este punto? Pues es justo cuando 10^y (sin corchetes) es igual a 2, esto es, y=log 2 en base 10.
    – Este valor se mantiene constante hasta que [10^z]=3, es decir, 10^z=3, es decir, z=log 3 en base 10. Esto significa que, exactamente entre x=log 2 y x=log 3, la función [10^x] toma el valor 2. Y así sucesivamente hasta el último tramo, que va desde 10^(log 9) hasta 10^(log 10)=1, y en el cual la función es igual a 9

    Cada uno de estos tramos es perfectamente rectangular, con lo que su área es igual a la base por la altura. La base es la longitud del tramo (esto es: log 2, log 3-log 2, …, hasta 1-log 9), y la altura es igual al valor de la función: 1, 2, 3…

    A partir de ahí, sólo queda sistematizar un poquito y jugar con la fórmula obtenida hasta dar con el valor final :).

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  12. Hola a todos, estoy estudiando series de laurent, y agradecería que me ayudasen en ésta.
    f(x)= sen(1/z) / z-1, en la corona 0</z-1/<1

    Gracias de antemano 🙂

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  13. Bueno, aunque la respuesta de castilla me parece la mas estructurada(aun no la entiendo del todo :s), Al fin Entendi la solucion, pero la entendi por la respuesta de los trovadores de cuyes . Pero Bueno, Gracias.

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  14. Hola Tobar, gracias por responder. Pero debo hacerte recordar que pide su respectiva serie de Laurent. Creo que tu respuesta es correcta, como serie, pero no es lo que pide el problema. O me equivoco?

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