… .

Gracias de antemano

Ty, imagínate la integral como un área. Si representas la función [10^x] verás que está compuesta por regiones discontinuas a lo largo de cada una de las cuales el valor es constante:
- Cuando x=0, [10^0]=[1]=1. Dado que 10^x es una función monótona creciente, y dadas las propiedades del operador [], este valor se mantendrá constante hasta que lleguemos a un punto “y” en el que [10^y] ya sea igual a 2. ¿Cuál es este punto? Pues es justo cuando 10^y (sin corchetes) es igual a 2, esto es, y=log 2 en base 10.
- Este valor se mantiene constante hasta que [10^z]=3, es decir, 10^z=3, es decir, z=log 3 en base 10. Esto significa que, exactamente entre x=log 2 y x=log 3, la función [10^x] toma el valor 2. Y así sucesivamente hasta el último tramo, que va desde 10^(log 9) hasta 10^(log 10)=1, y en el cual la función es igual a 9

Cada uno de estos tramos es perfectamente rectangular, con lo que su área es igual a la base por la altura. La base es la longitud del tramo (esto es: log 2, log 3-log 2, …, hasta 1-log 9), y la altura es igual al valor de la función: 1, 2, 3…

A partir de ahí, sólo queda sistematizar un poquito y jugar con la fórmula obtenida hasta dar con el valor final .

Dividiendo el área de integración en rectángulos queda:
$1\cdot\left(\log 2-0\right)+$
$2\cdot\left(\log 3-\log 2\right)+$
$3\cdot\left(\log 4-\log 3\right)+$ …
$9\cdot\left(1-\log 9\right)$.

Reordenando un poco los resultados (juntando los términos que multiplican a cada logaritmo), queda:
$\left(-1\right)\cdot0+$
$\left(1-2\right)\cdot\log 2+$
$\left(2-3\right)\cdot\log 3+$ …
$\left(8-9\right)\cdot\log 9+$
$+9\cdot1$
que es igual a $9-\sum_{i=2}^9\log i=9-\prod_{i=2}^9\log i=9-\log\left(9!\right)$.

Por supuesto, en todo momento el logaritmo es en base 10. La suma total es aproximadamente igual a $3.44$.

(Después de escribir la solución, veo que ya la han puesto por ahí arriba, pero bueno).

Creo que donde mejor lo puedes ver en la explicación de “castilla” de las 11:09.

Saludos.

Valora en Bitacoras.com: El problema de esta semana es una ¿simple? integral: Calcula la siguiente integral: siendo , como siempre, la parte entera de (esto es, ). Suerte….