Calculemos la integral

Os dejo el problema semanal:

Sea una función $f:[0,+\infty) \to\mathbb{R}$ con derivada $f^\prime$ continua y absolutamente integrable, es decir:

$\displaystyle{\int_0^{+\infty}} |f^\prime(x)| dx < \infty$

Calcular el valor de la integral

$\displaystyle{\int_0^{+\infty}} \cfrac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}dx$

para $\alpha\geq\beta > 0$ .

Ánimo y a por él

Sin comentarios

Trackback | 28 Apr, 2009

Bitacoras.com
HaunteR | 28 de April de 2009 | 11:13

Aun estoy con las derivadas
^DiAmOnD^ | 28 de April de 2009 | 14:09

Buenas HaunteR. Ánimo con esas derivadas, verás que luego es todo más fácil de lo que parece .
Jones, Francisco | 28 de April de 2009 | 14:27

Ya estoy muy oxidado con esto, pero me recuerda mucho a Transformada de Laplace
Zelig | 28 de April de 2009 | 15:40

La solución es $\left[f(0)-\lim_{x\to\infty}f(x)\right]\ln(\beta/\alpha)$ .
M | 28 de April de 2009 | 15:46

Muy buena, Zelig. ¿Te apetece explicarla?
Juanma | 28 de April de 2009 | 19:11

buen, estoy un poquitin oxidado pero creo que la solución se haya de la siguiente forma

1. hago un reemplazo de variable para el limite superior de la integral es decir: la defino como
$\lim_{b \to \infty}\int\limits_{0}^{b} \tfrac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x}, dx$

2. Separamos los términos de la integral
$\lim_{b \to \infty}\int\limits_{0}^{b} \tfrac{f(\alpha x)}{x}, dx- \lim_{b \to \infty}\int\limits_{0}^{b}\tfrac {f(\beta x)}{x}, dx$

y desde ahi no recuerdo mas…
Juanma | 28 de April de 2009 | 19:31

lo otro que se me ocurre es intergar por partes, entonces tengo que:

$U=f(\alpha x)-f(\beta x)$
$dv=\tfrac {1}{x}*dx$
$V=\ln (x)$

y por ahi se va…

termina siendo esto:
$[f(\alpha x)-f(\beta x)]*ln(x)-\int_{0}^{\infty}\ln (x)[f^\prime(\alpha x)-f^\prime(\beta x)] dx$

por ahora eso es lo que se me ocurre
Ricardos | 28 de April de 2009 | 20:50

Como bien dice Zelig, la solución es $\big( f(0) - \lim_{t\to\infty} f(t) \big) \log(\beta/\alpha)$ . Para mostrar esto, sólo necesitamos utilizar el teorema fundamental del cálculo para escribir
$\displaystyle f(\alpha x)-f(\beta x) = -\int_\alpha^\beta f\prime(t x) x dt.$
Así, tenemos
$\displaystyle \int_0^\infty \frac{f(\alpha x)-f(\beta x)}{x} dx = \int_0^\infty \frac{1}{x}\int_\alpha^\beta -f^\prime(tx)xdt dx = \int_\alpha^\beta -\int_0^\infty f^\prime(tx) dx dt,$
donde hemos utilizado el teorema de Fubini para intercambiar las integrales. El resultado se sigue de observar que
$\displaystyle -\int_0^\infty f^\prime(tx)dx = \frac{1}{t}\big(f(0) - \lim_{t\to\infty}f(t)\big),$
el límite existe porque $f^\prime$ es absolutamente integrable, y
$\displaystyle \int_\alpha^\beta \frac{dt}{t} = \log(\beta/\alpha).$

Esta integral es importante en análisis de Fourier. Se utiliza, por ejemplo, para calcular el multiplicador de un operador integral con núcleo homogéneo (Stein, E. M., Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, p. 41).
M | 5 de May de 2009 | 15:36

Esta integral se conoce por ahí como la integral de Frullani.

Efectivamente, se suele resolver por ahí usando integración en dos variables y el teorema de Fubini. Sin embargo, se puede ver de modo más sencillo (aunque la esencia es la misma, tal vez sea más adecuado para quienes no conocen integración en dos variables):

Sea $F(z)=\displaystyle{\int_0^\infty} \dfrac{f(zx)-f(\beta x)}{x}dx$ , para $z\geq \beta$ .

Derivando vemos que $F^\prime(z)=\dfrac{f(\infty)-f(0)}{z}$ , y entonces $F(z)=(f(\infty)-f(0))\cdot ln\;z+K$ , con $K$ a determinar. Ya que $F(\beta)=0$ , obtenemos directamente el resultado que bien habían indicado Zelig y Ricardos.
M | 5 de May de 2009 | 17:17

se me coló $K(z)$ , cuando debe ser simplemente $K$ constante :S
^DiAmOnD^ | 5 de May de 2009 | 23:23

Te lo quito ahora mismo .