Calculemos las raíces

Ahí va el problema de esta semana:

En el conjunto \mathbb{H}=\{z=a+bi+cj+dk/\;a,b,c,d\in\mathbb{R}\} se extiende la multiplicación de números reales a partir de las identidades i^2=j^2=k^2=-1, ij=k, jk=i, ki=j:

z_1\cdot z_2=(a_1 + b_1i + c_1j + d_1k)(a_2 + b_2i + c_2j + d_2k)=(a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2)+ (a_1b_2 + b_1a_2 + c_1d_2 - d_1c_2)i+ (a_1c_2 - b_1d_2 + c_1a_2 + d_1b_2)j+ (a_1d_2 + b_1c_2 - c_1b_2 + d_1a_2)k

Hallar todas las raíces de la ecuación z^2+2z+2=0, z\in \mathbb{H}.

Suerte.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

12 Comentarios

  1. si encuentro más de dos soluciones tengo un problema en el cuerpo. ¿Quien es H? ¿es real? ¿es hijo de la noche?
    Saludos
    ap2

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  2. Mediante una manipulación algebraica sencilla, la ecuación se convierte en (z+1)^2=-1 luego será suficiente encontrar todos los números w\in\mathbb{H} tales que w^2=-1. Si expresamos w=a+bi+cj+dk para a,b,c,d\in\mathbb{R}, entonces se tiene que
    w^2=a^2-b^2-c^2-d^2+2abi+2acj+2adk
    y, por tanto, si w^2=-1, tendría que ser a^2-b^2-c^2-d^2=-1 y ab=ac=ad=0. Si a\neq0, entonces b=c=d=0, de donde a^2=-1, que es imposible ya que a es un número real. Por consiguiente, a=0 y b^2+c^2+d^2=1. Deducimos de todo esto que las soluciones de la ecuación z^2+2z+2=0 en \mathbb{H} son las de la forma
    z=-1+bi+cj+dk
    con b,c,d\in\mathbb{R} verificando b^2+c^2+d^2=1.

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  3. ap2, mathbb{H} es el anillo de cuaterniones de Hamilton. No es un cuerpo (la multiplicación no es conmutativa) así que no tiene por qué haber sólo dos soluciones. Una forma de pensar en los elementos de \mathbb{H} es como ciertas matrices 2\times 2 con coeficientes complejos.

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  4. La visión de la experiencia nos juega malas pasadas. La definición del anillo de cuaterniones del enunciado es incorrecta: es bi y no b. A parte de eso, bonito problema y enhorabuena por la página tan currada.

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  5. Muy buena, Manzano. A pesar de que los cuaterniones forman un álgebra de división no conmutativa, en este caso particular sí es lícito completar cuadrados tal como has hecho.

    Lo llamativo de todo el asunto es que un cuaternión real negativo tiene toda una esfera bidimensional de raíces cuadradas. Es interesante ver cómo son las raíces cuadradas de un cuaternión en general. Un número complejo no nulo siempre tiene dos raíces cuadradas; en este caso ocurren cosas más variopintas.

    Con el permiso de ^DiAmOnD^, me gustaría proponer la siguiente cuestión, relacionada con el problema de hoy:

    se conoce que el producto de la sumas de dos cuadrados vuelve a ser una suma de dos cuadrados, es decir,

    (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(bc+ad)^2, \quad a,b,c,d\in\mathbb{R}.

    ¿Se puede concluir lo mismo para el producto de sumas de 4 cuadrados:
    (a^2+b^2+c^2+d^2)(e^2+f^2+g^2+h^2)?

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  6. Si uno se fija en la primera propiedad, la del producto de sumas de dos cuadrados, se puede ver como la fórmula del producto de los módulos de números complejos. Así que la generalización es inmediata, calcular el producto de los “módulos” de dos cuaterniones aprovechando que la norma de cuaterniones es multiplicativa.

    Sí para dos cuaterniones,

    z_1\cdot z_2=(a_1 + b_1i + c_1j + d_1k)(a_2 + b_2i + c_2j + d_2k)=(a_1 a_2 - b_1 b_2 - c_1 c_2 - d_1 d_2)+ (a_1b_2 + b_1a_2 + c_1d_2 - d_1c_2)i+ (a_1c_2 - b_1d_2 + c_1a_2 + d_1b_2)j+ (a_1d_2 + b_1c_2 - c_1b_2 + d_1a_2)k

    entonces

    (a_1^2 + b_1^2 + c_1^2 + d_1^2)(a_2^2 + b_2^2 + c_2^2 + d_2^2)=(a_1 a_2 - b_1 b_2 - c_1 c_2 - d_1 d_2)^2+ (a_1b_2 + b_1a_2 + c_1d_2 - d_1c_2)^2+ (a_1c_2 - b_1d_2 + c_1a_2 + d_1b_2)^2+ (a_1d_2 + b_1c_2 - c_1b_2 + d_1a_2)^2

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  7. Hola

    Las soluciones de esa ecuación son infinitas y tiene la forma:

    z = -1 \overrightarrow{n}

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  8. Joer, ya le he dado al botón que no era. Quería decir

    z= -1 \pm \overrightarrow{n}

    Siendo \overrightarrow{n} CUALQUIER vector unitario tridimensional… como hay infinitos vectores unitarios tridimensionales… pues eso, infinitas soluciones.

    La fórmula de las raíces enésimas de la unidad, en el conjunto de los cuartenios, es casi idéntica a la de los números complejos. La diferencia es que la unidad imaginaria i, se sustituye por cualquier combinación lineal de i, j, k (vector) cuyo módulo sea 1 (vector unitario).

    Podéis hacer la prueba con z= -1 \pm {\sqrt{2} \over {2}} \left ( \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} \right )

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  9. Como la expresión del producto a mí personalmente me parece muy compleja y dado que un cuaternio se puede expresar como la suma de un escalar más un vector a + \overrightarrow{v} yo prefiero expresar el producto de dos quaternios \quad q_1 = a_1 + \overrightarrow{v_1}, \quad q_2 = a_2 + \overrightarrow{v_2} \quad como

    \underbrace {a_1 a_2 - v_1 \bullet v_2}_{parte \ escalar} + \underbrace {a_1 v_2 + a_2 v_1 + v_1 \times v_2}_{parte \  vectorial}

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  10. Muy buena, Gulliver…esa era la idea 🙂 Así se obtiene la fórmula de cuatro cuadrados de Euler y Lagrange: http://mathworld.wolfram.com/EulerFour-SquareIdentity.html

    De hecho existen fórmulas de producto de sumas de cuadrados sólo cuando el número de sumandos es 1, 2, 4 y 8: http://mathworld.wolfram.com/DegensEight-SquareIdentity.html

    Con los complejos se pierde el orden de los reales; con los cuaterniones, la conmutatividad del producto; con los octoniones, la asociatividad; y ya con los sedeniones (dimensión 16) se pierde la división (hay divisores de cero) y la multiplicatividad de la norma.

    En fin, como anexo a la célebre frase de Hadamard, el camino más corto entre dos verdades del campo real también pasa por los cuaterniones y por los octoniones 😀

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  11. Hola,

    Efectivamente son los cuaterniones de Hamilton…
    La ecuación queda de la forma -1 +/- raiz de -1, que en este caso tiene tres casos triviales, ya que por definicion i^2=j^2=k^2=-1, así tenemos 6 soluciones trivilaes:

    (-1+i)
    (-1-i)
    (-1+j)
    (-1-j)
    (-1+k)
    (-1-k)
    Y como bien decian arriba y cualquier combinacion lineal de modulo unitario de i,j,k -1+û siendo û dicho vector unitario combinacion lineal los vectores unitarios i, j y k.

    Un saludo desde Elemens

    Francisco Jose Menchen

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