Cancelación ¿equivocada?

Supongo que much@s de vosotr@s habréis visto en alguna ocasión este ejercicio de un supuesto examen:

(Aquí podéis ver alguna barbaridad más de ese estilo)

Evidentemente la cancelación que se ha efectuado en ese caso es un error, no podemos cancelar números de esa forma. Pero lo curioso del caso es que si cancelamos el resultado es 1/4, pero si realizamos la operación obtenemos que 16/64 = 1/4. Algo así como que no podemos cancelar el 6 de arriba con el 6 de abajo pero si lo hacemos obtenemos el mismo resultado.

Y lo que un@ puede preguntarse ahora es si esta fracción es la única en la que ocurre eso siendo tanto el numerador como el denominador números naturales de 2 cifras. Este es el problema que os propongo:

¿Cuántas fracciones con numerador y denominador números naturales de 2 cifras existen con la propiedad de que si cancelamos la cifra de las unidades del numerador y la de las decenas del denominador obtenemos el mismo número? ¿Cuáles son esas fracciones?

Un último apunte: se puede ir probando con números y sacar alguna de ellas (o todas), pero lo interesante es encontrarlas a través de un proceso matemático. A ver qué ideas se os ocurren. Suerte.

Solución:

En los comentarios se ha hablado de programas que calculan las fracciones que cumplen lo indicado en el post. Yo voy a dar aquí una demostración algo más matemática del problema. Voy a obviar las fracciones triviales (es decir, las fracciones en las que el numerador y el denominador son iguales):

Partiendo de la situación inicial y haciendo cuentas obtenemos:

A partir de aquí vamos a hacer discusión de casos. Para empezar a no puede ser cero ya que es la cifra de las decenas del numerador. Si c = 0 tenemos que b = 0 y por tanto el denominador sería cero, lo cual es imposible. Por tanto ninguna de las cifras es cero. Esto implica que el rango en el que se mueve b es 1, … , 9. Veamos qué pasa en cada uno de los casos:

  • b = 1: Despejamos a y le damos valores a c (evidentemente entre 1 y 9). En todos los casos obtenemos a fraccionario o negativo. Las dos opciones son imposibles. Por tanto en este caso no obtenemos ninguna fracción que cumpla el enunciado del problema.
  • b = 2: Igual que el caso anterior.
  • b = 3: Igual que los anteriores.
  • b = 4: Igual que los anteriores.
  • b = 5: Igual que los anteriores.
  • b = 7: Igual que los anteriores.
  • b = 8: Igual que los anteriores.
  • b = 6: Despejamos a y damos valores a c. Vemos que los únicos que nos dan resultados coherentes son c = 4 y c = 5, obteniendo lo siguiente:

  • b = 9: Despejamos a y damos valores a c. Vemos que los únicos que nos dan resultados coherentes son c = 5 y c = 8, obteniendo lo siguiente:

Podéis ver que los resultados obtenidos son los que se han visto en los comentarios. Sólo esas cuatro fracciones (con numerador y denominador de 2 cifras) cumplen lo pedido en el enunciado.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

22 Comentarios

  1. Bueno a ver si con este doy ya en la diana, que en todos los demás juegos siempre meto la pata. He conseguido hacer un hueco en mis estudios para mirar esto un ratejo, y como conclusión he conseguido lo siguiente:

    Tenemos dos números “zx” y “xy” (dónde x,y,z son cifras, y zx, xy son las cifras concatenadas). Es decir:

    (zx)/(xy) = z/y

    Así descomponiendo en factores primos siguiendo el método que ya expliqué, sabemos que dentro de estos factores primos tienen que estar las cifras “z” e “y” (exceptuamos a los números primos formados por dos cifras) ya que los números “zx” y “xy” son mayores que las cifras mencionadas.

    Con esta premisa, sacamos factor común a “z” e “y”, y para que estos números cumplan la propiedad buscada tienen que tener el resto de factores iguales, es decir, si dividimos por “z” a “zx” y por “y” a “xy” tienen que quedar los mismos números en el numerador y denomidador de la ecuación original, lo que sería esto:

    ((zx/z)/(xy/y)) = 1

    Realizando la división:

    (zx·y)/(xy·z) = 1

    Con esta ecuación es fácil ver los números de dos cifras que cumplen la propiedad buscada, ya que por iteración es un algoritmo muy sencillito de programar y que un ordenador hace en seguida, sería algo así:

    Para z = 1 hasta 9 hacer (“z” no puede ser cero)
    Para y = 0 hasta 9 hacer
    Para x = 1 hasta 9 hacer (“x” tampoco puede ser cero)
    Si la ecuación es igual a 1 tenemos número que cumple la propiedad
    Sino seguimos

    Me parece que no se entiende muy bien porque en un comentario no he podido explicarlo mejor.

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  2. Es curioso cómo la gente que está familiarizada con la programación tiende siempre a resolver problemas programando. Que conste que no digo que esté mal resolverlo programando, simplemente hago una observación.

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  3. Mi comentario también iba a ir por ahí. neok procedimientos matemáticos por favor :P.

    Respecto al método que propones:

    No entiendo muy bien lo de que las cifras z, y deban estar entre los factores primos. Por ejemplo, si tenemos 35/57 ni 3 es factor primo de 35 ni 7 lo es de 57.

    Además fíjate dónde has llegado: a que xyz/xyz = 1, algo totalmente obvio.

    No sé, no tiene pinta de llevarte a la solución ese razonamiento.

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  4. Veamos, formulando “zx” como 10z+x y “xy” como 10x+y, tenemos que para que se cumpla:

    “zx”/”xy”=z/y

    (10z+x)/(10x+y)=z/y

    Y una vez con eso… Preguntamos xDD

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  5. joer, yo aún no he acabado… pero me parece que ya llevo demasiado como para que quede en un único comentario. Aquí va lo que tengo:

    Tenemos dos números A y B, cuyas cifras son ac y cb. En la Base 10 en la que está planteada el problema tenemos:
    A = 10(a) + c
    B = 10(c) + b

    Llamaremos “m” al mínimo común divisor de A y B: mcd(A,B) = m

    Entonces tenemos que los números que nos interesan cumplen lo siguiente:

    [10(a) + c]/[10(c) + b] = (a*m)/(b*m)

    Es decir:
    10(a) + c = a*m
    10(c) + b = b*m

    Despejando m tenemos:

    m = 1 + 10(c/b)
    m = 10 + (c/a)

    Igualando ambas expresiones:

    1 + 10(c/b) = 10 + (c/a)

    de donde podemos despejar “c”:

    c = 9*[(ab)/(10(a)-b)]

    Por tanto ya tenemos las cifras de A y B en función de a y b.

    En todo caso c es distinto de Cero ya que, según la expresión que acabamos de obtener, c = 0 –> a*b = 0 –> b = 0 (“a” no puede ser 0 porque se exige que A y B tengan 2 cifras)… pero si nos fijamos bien en las cifras de B, observamos:

    cif(B) = (c,b) –> B = 10c + b = b*[[(90a)/(10a – b)] – 1]

    Es decir, si b = 0 entonces B = 0… lo cual por hipótesis suponemos que no es cierto. Entonces a,b,c son distintos de 0 (por supuesto m también).

    Por otro lado, ahora que tenemos “c”, podemos escribir “m” en función de “a” y “b”:

    m = (100a – b)/(10a – b)

    Como podeis comprobar se obtiene el mismo resultado en las dos expresiones que obtuvimos al principio (esto nos asegura que no hay errores).

    /////////////////////////////////////////

    Ahora como b es mayor que cero y menor que 10 podemos acotar los valores de m como sigue:

    b = 1 –> m menor que 100
    b = 2 –> m menor que 50
    b = 3 –> m menor que 34
    b = 4 –> m menor que 25
    b = 5 –> m menor que 20
    b = 6 –> m menor que 17
    b = 7 –> m menor que 15
    b = 8 –> m menor que 13
    b = 9 –> m menor que 12

    En todos los casos me refiero al “menor estricto” (es decir, para b = 9, “m” NO PUEDE SER 12, deberá ser menor). Unido a que m es mayor que 10.

    ///////////////////////////////////////////

    Conocidas “b” y “m” podemos despejar “a” en función de ellas a partir de la expresión:

    m = (100a – b)/(10a – b)

    Observaremos que : b(m – 1) debe ser menor que 10(m – 10) para que “a” pueda ser un número natural (si no se cumple esa desigualdad obtendríamos valores de “a” entre 0 y 1).

    //Se puede ver fácilmente que “m” no puede ser 11 ya que b(m-1) = 10a(m – 10) implica a = b, en cuyo caso tendríamos los números 11, 22, 33, etc, cuya “estructura” no se ajusta a los que estamos buscando.

    Además de esa desigualdad podemos obtener otra que nos dice que “m” debe ser MAYOR O IGUAL que [(100 – b)/(10 – b)]

    ESO ES CASI TODO.
    Ahora mismo estoy intentando “acotar” la “m” de algún modo. Para saber cuál es el valor máximo que puede llegar a tomar.

    En cualquier caso podemos afirmar que b*m debe ser un número de 2 cifras que termina en b, por tanto viendo las tablas de multiplicar, podemos restringir bastante los posibles resultados. Por ejemplo, para b = 3 sólo nos valen los valores de “m” mayores que 13 y cuya última cifra sea 1. Además como “m” debe ser menor que 34, podemos ver que los únicos valores posibles para b=3 son m = 21 y m = 31, es decir:

    B = 63 o B = 93.

    Podríamos hallar ambos valores de “a” para ambos casos y comprobar que ninguno de los dos lo cumple, por lo que no hay ningún par de números que cumplan la propiedad tales que b = 3.

    No sé, esto último no lo he meditado todavía, en cualquier caso aquí teneis las “fórmulas” que relacionan “a”, “c” y “m” con “b”:

    a = [b(m-1)]/[10(m-10)]
    c = 9[(ab) / (10a – b)]
    m = [100a – b]/[10a – b]

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  6. Vale, acabo de darme cuenta de otra cosa:

    La primera cifra (la de las decenas) de “m” es necesariamente un 1 ya que, en otro caso, a*m no podría ser un número de dos cifras y que la primera (la de las decenas) sea igual a “a”.

    Es decir, ya hemos acotado “m”:
    “m” es un número MAYOR O IGUAL que [(100 – b)/(10 – b)] y MENOR que 20.
    Además se debe cumplir la condición: b(m-1) mayor o igual que 10(m-10) para que “a” pueda ser un número entero.

    Recordando las tablas de multiplicar y sabiendo que m*b es un número que termina en b, veamos qué valores de m nos sirven:

    b = 1 –> No hay ningún m entre 11 y 20 que cumpla los requisitos (recordemos que el 11 no valía).

    b = 2 –> m = 16 –> B = 32. Pero este no nos vale porque no cumple la desigualdad que garantiza que a pueda ser entero.

    b = 3 –> ya vimos que no se cumplía para ninguno.

    b = 4 –> m = 16 –> B = 64. Cumple todas los requisitos (menos mal porque es el ejemplo del post).

    b = 5 –> m = 19 (La restricción de m MAYOR O IGUAL que [(100 – b)/(10 – b)] elimina las demás posibilidades). –> Cumple todos los requisitos y obtenemos los valores: A=19 y B=95 (con A/B = 19/95 = 1/9)

    PARA TODO b MAYOR O IGUAL QUE 6 la desigualdad “m mayor o igual que [100 – b]/[10 – b] elimina todos los valores posibles para m.

    Por tanto sólo hay 2 parejas de números de dos cifras que cumplen el enunciado del problema y son:
    A = 16, B = 64, a = 1, b = 4
    A = 19, B = 95, a = 1, b = 5

    Ahí queda eso xD

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  7. Vale, Diamond en eso me he dado cuenta cuando vovlvía de la universidad para casa, no todos los números cumplen lo que he dicho. Pero creo que los que no cumplen el hecho de que su cifra “z” no esté en su factorización, no tienen ningún número que al dividirselo ocurra la simplificación buscada.

    Y sobre lo que dices:

    [..]Además fíjate dónde has llegado: a que xyz/xyz = 1, algo totalmente obvio.[..]

    Yo no digo eso, ¡OJO!, yo digo que (zx·y)/(xy·z) = 1 que es distinto, ya que “zx” es un número de dos cifras al que le multiplico “y”, y así ocurre con el denominador.

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  8. neok cierto, había interpretado mal eso. De todas formas:

    Pero creo que los que no cumplen el hecho de que su cifra “z” no esté en su factorización, no tienen ningún número que al dividirselo ocurra la simplificación buscada.

    eso tienes que demostrarlo.

    mimetist gran trabajo el tuyo. He estado echándole un vistazo por encima y tiene buena pinta, pero debe haber por ahí algún error porque no sólo esas dos fracciones cumplen lo que dice el enunciado, hay alguna más. Échale un ojo a ver dónde está el fallo o a ver si te has dejado algo por el camino.

    Saludos 🙂

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  9. Cierto, tendré que demostrarlo, me voy a poner a ello, y os haré la lista de los números que cumplen mi propiedad, y pienso que mi método es puramente matemático aunque digáis que necesito de la ayuda de un programa para tener todos los números, pero los números primos también cumplen una propiedad y no sabríais sacar la lista de números primos del 1..100 sin necesidad de hacer un algoritmo iterativo, ¿cierto?

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  10. Bueno, siguiendo mi propiedad y el algoritmo matemático que he redactado, he conseguido sacar los números que cumplen el objetivo buscado:

    Son 13 números en total.

    11 / 11
    16 / 64
    19 / 95
    22 / 22
    26 / 65
    33 / 33
    44 / 44
    49 / 98
    55 / 55
    66 / 66
    77 / 77
    88 / 88
    99 / 99

    Ahora, si queréis podéis dar algún número que no aparezca aquí y que cumpla el objetivo, y demostraréis que es falsa mi propiedad y que soy un tonto. 😛

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  11. Bien neok, esas son las únicas soluciones. Podías ponernos el algoritmo que has usado, podría ser interesante. A mí la verdad es que me interesa más llegar a la solución de problemas así solamente con razonamientos matemáticos, pero bueno, la tuya es otra opción.

    Esta noche pongo la solución que yo tengo del problema.

    Saludos 🙂

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  12. Vaya, pues que mierda, con lo que me ha costado xD

    Acabo de comprobar que el error está en la acotación mínima de “m” que imponía que m era mayor o igual que [100-b]/[10-5], aunque todavía no lo he identificado

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  13. Diamond el algoritmo que he usado es el mismo que he expuesto en mi primer comentario, pero programado en C, si os interesa de verdad lo puedo subir a algún sitio, la verdad es una chorrada como una casa.

    Respecto a los razonamientos matemáticos, jajaja, no comment, yo sólo opino que mencionar un algoritmo (yo he dicho que se puede programar, como cualquier algoritmo) es puramente matemático ya que hay muchos en matemáticas, sobre todo si usas matrices o grafos (que son, podríamos decir. lo mismo).

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  14. El 5 que aparece es una “b”.
    Por cierto, el error es que he quitado las “a” que multiplicaban al 100 y al 10 (sé que lo hice por una razón pero ahora mismo no alcanzo a imaginármela xD).

    Teniendo en cuenta sólo las demás condiciones se obtienen las mismas respuestas que aporta neok. Las condiciones son:

    1) m es mayor que 10 y menor que 20 (pues su primera cifra sólo puede ser 1).

    2) Para un valor de b, b*m termina en b. (Así eliminamos la mayoría de las m posibles).

    3) b(m-1) debe ser mayor o igual que 10(m-10).

    No da soluciones “falsas” y también da las soluciones capicuas (11, 22, etc) que yo había eliminado por considerar que 11/11 no es 1/1, sino 1 (análogamente para los demás).

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  15. Me alegro de haber vuelto a pasar para ver las soluciones; sinceramente yo no sabía por donde seguir. Quizás cuando termine septiembre resuelva algun juego, pero hasta entonces…

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  16. Nada matemático: apuntar que creo, quién hizo esa tachadura en el examen erró en la forma, no hacia falta tachar, era una simplificación solo (o como se le llame a esa fracción … ¿ irreductible ?).

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  17. Exacto, la operación correcta era simplificar el numerador y el denominador, no cancelar (tachar) el 6 de arriba y el 6 de abajo.

    De todas formas es muy probable, como ya dije en el post, que esto no sea cierto, que sea un examen falso que se ha creado por la propia gracia de los errores comentidos en él.

    Por cierto, la fracción que ya no puede simplificarse más se llama irreducible.

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  18. Tenemos un problema: he releído la demostración que había encontrado y no está para ponerla aquí. Deja demasiadas cosas vacías. Cuando pueda pondré lo que yo he sacado.

    Saludos 🙂

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  19. Hola, saludos a todos, hace rato que sigo su pagina y he encontrado algunos numero mas:
    424/742
    545/954
    664/166
    665/266
    847/484
    995/199
    998/499
    Lo hice en maple:
    > for z from 1 to 9 do
    > for x from 1 to 9 do
    > for y from 1 to 9 do
    > r:=(10*z+x)/(10*y+z):
    > if r=x/y then print((10*z+x),(10*y+z));
    > fi:
    > od:od:od:
    y despues con algunas variaciones lo lleve a tres cifras.
    Saludos

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