¿Sabía que…

…la siguiente igualdad es cierta?

$\cfrac{1\ 4\ 3 \not1 \not8\ 5}{1\ 7\ 0 \not1 \not8\ 5\ 6}=\cfrac{1\ 4\ 3\ 5}{1\ 7\ 0\ 5\ 6}$

Aunque la cancelación sea una barbaridad las dos fracciones dan el mismo resultado.

Ya vimos en Cancelación ¿equivocada? otros ejemplos, pero con fracciones con un número de dos cifras tanto en el numerador como en el denominador. ¿Qué otros casos de este tipo conocéis?

Vía Futility Closet.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 5 de Junio de 2008
Categorías: Matemáticas

6 comentarios

otro | 5 de Junio de 2008 | 23:48

Conozco los casos de 2 cifras: 16/64, 19/95, 26/65 y 49/98 (bueno, y sus inversos) y reconozco que en su día los saqué a mano cuando hube visto la famosa foto de un supuesto examen en que el alumno simplifica de esa manera 16/64.

Para tres y más cifras… que nos echen una mano nuestros amigos los informáticos.
otro | 6 de Junio de 2008 | 0:10

En realidad, todas las fracciones de la forma 16…6/6…64, 19…9/9…95, 26…6/6…65 y 49…9/9…98 se pueden “simplificar” a 1/4, 1/5, 2/5 y 4/8 (=1/2) respectivamente.
otro | 6 de Junio de 2008 | 0:25

Con tres cifras, y de la forma abc/bcd, también existe 484/847 = 4/7. Por supuesto, también valen las fracciones de la forma 48484…84/8484…847.
otro | 6 de Junio de 2008 | 1:40

Bien, había intentado no utilizar $\LaTeX$ hasta ahora, pero es que ahora que quiero ponerme algo más técnico quiero que sea en condiciones.

Un caso más o menos particular es el de una fracción cuyo numerador y denominador tienen $n$ cifras, de las cuales las $n-1$ últimas del numerador se “simplifican” con las $n-1$ primeras del denominador, de esta manera:

$\cfrac{a_n \not{a_{n-1}} \dots \not{a_1}}{\not{a_{n-1}} \dots \not{a_1} \ a_0}=\cfrac{a_n}{a_0}$

(El caso en que las $n-1$ primeras del numerador se simplifican con las $n-1$ últimas del denominador es obviamente análogo: basta tomar inversas.)

Bien, esto se traduce en la siguiente igualdad:

$\cfrac{10^{n-1} a_n + 10^{n-2} a_{n-1} + \dots + 10a_2 + a_1}{10^{n-1} a_{n-1} + 10^{n-2} a_{n-2} + \dots + 10a_1 + a_0}=\cfrac{a_n}{a_0}$

Operemos:

$a_0 (10^{n-1} a_n + 10^{n-2} a_{n-1} + \dots + 10a_2 + a_1)=$ $a_n (10^{n-1} a_{n-1} + 10^{n-2} a_{n-2} +\dots + 10a_1 + a_0)$

$10^{n-1} a_0 a_n + a_0 (10^{n-2} a_{n-1} + \dots + 10a_2 + a_1)=$ $10a_n\ (10^{n-2} a_{n-1} + 10^{n-3} a_{n-2} +\dots + a_1) + a_0 a_n$

$(10^{n-1}-1) a_0 a_n = (10a_n - a_0) (10^{n-2} a_{n-1} + 10^{n-3} a_{n-2} +\dots + 10a_2 + a_1)$

Al final nos queda:

$10^{n-2} a_{n-1} + 10^{n-3} a_{n-2} +\dots + 10a_2 + a_1 = \cfrac{(10^{n-1}-1) a_0 a_n}{10a_n - a_0}$

Se trata de hacer variar la $a_0$ y la $a_n$ entre 1 y 9, y si la fracción $\cfrac{(10^{n-1}-1) a_0 a_n}{10a_n - a_0}$ es un número natural menor que $10^{n-1}$ , ya tenemos una serie de valores para los demás $a_i$ , con 1<i<n-2, y estos valores son únicos pues cada $a_i$ ha de ser menor que 10.

Podemos simplificar las cuentas tomando únicamente los $a_0$ y $a_n$ coprimos. En este caso, se garantiza que $a_0 a_n$ y $10a_n - a_0$ son coprimos, y que basta comprobar si $10^{n-1}-1$ es divisible entre $10a_n - a_0$ .

Lo dicho, es un caso bastante particular, porque no tienen por qué “simplificarse” todas las cifras del numerador menos una con todas las del denominador menos una. Pero para empezar creo que no está mal.
^DiAmOnD^ | 6 de Junio de 2008 | 4:09

otro, las fracciones que comentas en tu primer comentario así como el examen al que haces referencia son las y el que aparecen en el artículo cuyo enlace aparece en este post. Échale un ojo si quieres.
Dorwinrin | 9 de Junio de 2008 | 15:02

otro, “En realidad, todas las fracciones de la forma 16…6/6…64, 19…9/9…95, 26…6/6…65 y 49…9/9…98 se pueden “simplificar” a 1/4, 1/5, 2/5 y 4/8 (=1/2) respectivamente.”

Pues yo no soy matemático, pero me parece una afirmación sin fundamento ésta. O eso, o no la he entendido, que también puede ser

Pero no encuentro ninguna fracción del tipo 16…6/6…64 que se pueda simplificar a 1/4.