Caracterizando a los triángulos rectángulos (II)

Vamos con el problema de esta semana, que consiste en demostrar una caracterización de triángulo rectángulo. Ahí va:

Dado un triángulo T cuyos ángulos son A,B,C, demostrar que T es un triángulo rectángulo si y sólo si

sen (4A)+sen (4B)+sen (4C)=0

Aquí tenemos por tanto otra forma de caracterizar a los triángulos rectángulos que se une a la que vimos hace unos días. Suerte con el problema.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

12 Comentarios

  1. Supongo que no será del todo (o nada) correcta, pero ahí va.

    La expresión puede ponerse como:

    \sin 4a+\sin 4b+\sin (4(\pi -a-b))=0

    que es lo mismo que

    \sin 4a+\sin 4b-\sin \left( 4(a+b)\right) =0

    y usando la fórmula de euler, podemos ponerla como

    e^{i4a}+e^{i4b}-e^{i4a}e^{i4b}=1

    es decir

    e^{i4a}(1-e^{i4b})+e^{i4b}=1

    es decir

    e^{i4a}(1-e^{i4b})=(1-e^{i4b})

    es decir

    e^{i4a}=1

    por lo que un ángulo debe valer forzosamente \frac{\pi }{2}

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  2. De hecho, si no lo he hecho mal, implicaría caracterizaciones de triángulos con cualquier ángulo de la forma:

    A=\frac{2\pi }{n} (con n natural par)

    es decir, la expresión

    \sin (nA)+\sin (nB)+\sin (nC)=0 (con n natural par)

    caracteriza todos los triángulos con un ángulo \frac{2\pi }{n}.

    Digo…

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  3. Me gusta mucho la demostración con variable compleja que ha hecho Jose Juan. YO voy a hacerla con variable real, aunque no es tan elegante.
    Recordemos que debemos demostrar los dos sentidos.
    *Sí: “Si es rectángulo se cumple la relación \sin(4A)+\sin(4B)+\sin(4C)=0”.
    Supongamos sin pérdida de generalidad que C=\dfrac{\pi}{2}. De donde \sin(4C)=\sin(2\pi)=0. Por otro lado A=\dfrac{\pi}{2}-B. La expresión a demostrar queda como
    \sin\left(4\left(\dfrac{\pi}{2}-B\right)\right)+\sin(B)=\sin(2\pi-4B)+sin(4B)=\sin(2\pi)\cos(-4B)+\cos(2\pi)\sin(-4B)+\sin(4B)=-\sin(4B)+\sin(4B)=0

    *Sólo si: Tengo que demostrar que la igualdad exige que un ángulo sea de \dfrac{\pi}{2}.
    Para todos los triángulos A=\pi-(B+C). Entonces la ecuación queda como.
    \sin\left(4\pi-4(B+C)\right)+\sin(4B)+\sin(4C)=-\sin\left(4(B+C)\right)+\sin(4B)+\sin(4C).
    Usando el seno de la suma otra vez más,
    -\sin(4B)\cos(4C)-\cos(4B)\sin(4C)+\sin(4B)+\sin(4C)=\sin(4C)\left[1-\cos(4B)\right]+\sin(4B)\left[1-\cos(4C)\right]=4\sin(4C)\left[\sin(2B)\right]^2+4\sin(4B)\left[\sin(2C)\right]^2=0
    Simplifico, teniendo en cuenta que los senos no pueden ser nulos:
    \cos(2C)\sin(2B)+\cos(2B)\sin(2C)=0.
    Que es el seno de la suma:
    \sin(2B+2B)=0.
    Cuya única solución en este caso, por las limitaciones de ángulos positivos con suma menor de \pi es
    2(B+C)=\pi.
    De donde veo que los ángulo son complementarios y por tanto que A=\dfrac{\pi}{2}.

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  4. Tanto la de Rafael como la de josejuan deben tener algo mal, porque, sin haber impuesto ninguna restricción particular, ambas concluyen que el ángulo A (y no otro) es que debe ser recto.

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  5. Simplifiquemos: llamamemos  x = 4 A \;  y = 4 B. Entonces, es inmediato que la condición se escribe como

     \sin(x) + \sin(y) = \sin (x + y)

    Hay que demostrar, pues, que esa igualdad, con las variables en el rango (0,4 \pi), se verifica si y solo si una de ellas, o su suma, vale  2 \pi.

    El “si” es fácil. El “sólo si”, no tanto.

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  6. Aplicando la formula de seno de la suma, y seno del ángulo mitad/doble, la condición puede escribirse:

     \sin(x/2) \cos(x/2) \sin^2(y/2) = - \sin(y/2) \cos(y/2) \sin^2(x/2)

    Si \sin(x/2) = 0 o \sin(y/2) = 0 ( o sea, x = 2 \pio  y = 2 \pi ) la ecuación se verifica.

    Si no, simplificamos y obtenemos:
     tg(x/2) = -tg(y/2) lo cual, por estar acotados los argumentos a (0,2\pi) implica que su suma debe ser 2 \pi

    Y ya está. Pero debe haber un camino más sencillo.

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  7. El “Si” es es fácil de ver:

    Supongamos, sin pérdida de generalidad, que A = \pi / 2 . Entonces \sin (4A) = \sin (2 \pi ) = 0 .

    Hay que ver pues, que \sin (4B) + \sin (4C) = 0. Como A = \pi / 2 y A + B + C = \pi entonces B + C = \pi / 2 .

    Sabiendo que se cumple la siguiente relación trigonométrica:

    \sin(x) + \sin (y) = 2 \sin ((x+y)/2) \cos ((x-y)/2)

    Entonces,

    \sin (4B) + \sin (4C) = 2 \sin ( \pi ) \cos (2(B - C)) = 0

    Con esto el “si” queda probado.

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  8. Los triángulos con un ángulo tendiendo a \pi también cumplen la propiedad (en el límite, claro).

    \lim_{A\rightarrow \pi }(\sin 4A+\sin 4B+\sin 4C)=0

    (con 0<A+B+C<\pi )

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  9. Dentro de mi ignorancia, he visitado esta página por casualidad y tengo mucha admiración por el templo de la ciencia y reconozco mi incapacidad mental para las mismas. Leo el problema de la semana: Dado un triángulo cuyos ángulos son , demostrar que es un triángulo rectángulo si y sólo si…

    Con solo intentar comprender las soluciones dadas, ya me entra dolor de cabeza, y las dos únicas cosas que se me ocurren son: que realmente no existen triángulos rectángulos perfectos (siempre hay un grado de error) y que los canteros y albañiles lo solucionaban con un cordel utilizando las proporciones de los lados de un triángulo rectángulo: 3; 4 y 5 . y construían pirámides y catedrales.
    Perdonadme las molestias.

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