Caracterizando a los triángulos rectángulos (II)

Vamos con el problema de esta semana, que consiste en demostrar una caracterización de triángulo rectángulo. Ahí va:

Dado un triángulo $T$ cuyos ángulos son $A,B,C$ , demostrar que $T$ es un triángulo rectángulo si y sólo si

$sen (4A)+sen (4B)+sen (4C)=0$

Aquí tenemos por tanto otra forma de caracterizar a los triángulos rectángulos que se une a la que vimos hace unos días. Suerte con el problema.

13 comentarios

josejuan | 14 de September de 2010 | 11:54

Supongo que no será del todo (o nada) correcta, pero ahí va.

La expresión puede ponerse como:

$\sin 4a+\sin 4b+\sin (4(\pi -a-b))=0$

que es lo mismo que

$\sin 4a+\sin 4b-\sin \left( 4(a+b)\right) =0$

y usando la fórmula de euler, podemos ponerla como

$e^{i4a}+e^{i4b}-e^{i4a}e^{i4b}=1$

es decir

$e^{i4a}(1-e^{i4b})+e^{i4b}=1$

es decir

$e^{i4a}(1-e^{i4b})=(1-e^{i4b})$

es decir

$e^{i4a}=1$

por lo que un ángulo debe valer forzosamente $\frac{\pi }{2}$
Trackback | 14 Sep, 2010

Bitacoras.com
josejuan | 14 de September de 2010 | 13:33

De hecho, si no lo he hecho mal, implicaría caracterizaciones de triángulos con cualquier ángulo de la forma:

$A=\frac{2\pi }{n}$ (con $n$ natural par)

es decir, la expresión

$\sin (nA)+\sin (nB)+\sin (nC)=0$ (con $n$ natural par)

caracteriza todos los triángulos con un ángulo $\frac{2\pi }{n}$ .

Digo…
Rafael | 14 de September de 2010 | 22:38

Me gusta mucho la demostración con variable compleja que ha hecho Jose Juan. YO voy a hacerla con variable real, aunque no es tan elegante.
Recordemos que debemos demostrar los dos sentidos.
*Sí: “Si es rectángulo se cumple la relación $\sin(4A)+\sin(4B)+\sin(4C)=0$ ”.
Supongamos sin pérdida de generalidad que $C=\dfrac{\pi}{2}$ . De donde $\sin(4C)=\sin(2\pi)=0$ . Por otro lado $A=\dfrac{\pi}{2}-B$ . La expresión a demostrar queda como
$\sin\left(4\left(\dfrac{\pi}{2}-B\right)\right)+\sin(B)=\sin(2\pi-4B)+sin(4B)=\sin(2\pi)\cos(-4B)+\cos(2\pi)\sin(-4B)+\sin(4B)=-\sin(4B)+\sin(4B)=0$

*Sólo si: Tengo que demostrar que la igualdad exige que un ángulo sea de $\dfrac{\pi}{2}$ .
Para todos los triángulos $A=\pi-(B+C)$ . Entonces la ecuación queda como.
$\sin\left(4\pi-4(B+C)\right)+\sin(4B)+\sin(4C)=-\sin\left(4(B+C)\right)+\sin(4B)+\sin(4C)$ .
Usando el seno de la suma otra vez más,
$-\sin(4B)\cos(4C)-\cos(4B)\sin(4C)+\sin(4B)+\sin(4C)=\sin(4C)\left[1-\cos(4B)\right]+\sin(4B)\left[1-\cos(4C)\right]=4\sin(4C)\left[\sin(2B)\right]^2+4\sin(4B)\left[\sin(2C)\right]^2=0$
Simplifico, teniendo en cuenta que los senos no pueden ser nulos:
$\cos(2C)\sin(2B)+\cos(2B)\sin(2C)=0$ .
Que es el seno de la suma:
$\sin(2B+2B)=0$ .
Cuya única solución en este caso, por las limitaciones de ángulos positivos con suma menor de $\pi$ es
$2(B+C)=\pi$ .
De donde veo que los ángulo son complementarios y por tanto que $A=\dfrac{\pi}{2}$ .
hernan | 15 de September de 2010 | 16:08

Tanto la de Rafael como la de josejuan deben tener algo mal, porque, sin haber impuesto ninguna restricción particular, ambas concluyen que el ángulo A (y no otro) es que debe ser recto.
hernan | 15 de September de 2010 | 16:39

Simplifiquemos: llamamemos $x = 4 A \; y = 4 B$ . Entonces, es inmediato que la condición se escribe como

$\sin(x) + \sin(y) = \sin (x + y)$

Hay que demostrar, pues, que esa igualdad, con las variables en el rango $(0,4 \pi)$ , se verifica si y solo si una de ellas, o su suma, vale $2 \pi$ .

El “si” es fácil. El “sólo si”, no tanto.
hernan | 15 de September de 2010 | 18:57

Aplicando la formula de seno de la suma, y seno del ángulo mitad/doble, la condición puede escribirse:

$\sin(x/2) \cos(x/2) \sin^2(y/2) = - \sin(y/2) \cos(y/2) \sin^2(x/2)$

Si $\sin(x/2) = 0$ o $\sin(y/2) = 0$ ( o sea, $x = 2 \pi$ o $y = 2 \pi$ ) la ecuación se verifica.

Si no, simplificamos y obtenemos:
$tg(x/2) = -tg(y/2)$ lo cual, por estar acotados los argumentos a $(0,2\pi)$ implica que su suma debe ser $2 \pi$

Y ya está. Pero debe haber un camino más sencillo.
bolyai | 17 de September de 2010 | 09:22

El “Si” es es fácil de ver:

Supongamos, sin pérdida de generalidad, que $A = \pi / 2$ . Entonces $\sin (4A) = \sin (2 \pi ) = 0$ .

Hay que ver pues, que $\sin (4B) + \sin (4C) = 0$ . Como $A = \pi / 2$ y $A + B + C = \pi$ entonces $B + C = \pi / 2$ .

Sabiendo que se cumple la siguiente relación trigonométrica:

$\sin(x) + \sin (y) = 2 \sin ((x+y)/2) \cos ((x-y)/2)$

Entonces,

$\sin (4B) + \sin (4C) = 2 \sin ( \pi ) \cos (2(B - C)) = 0$

Con esto el “si” queda probado.
josejuan | 17 de September de 2010 | 12:30

Los triángulos con un ángulo tendiendo a $\pi$ también cumplen la propiedad (en el límite, claro).

$\lim_{A\rightarrow \pi }(\sin 4A+\sin 4B+\sin 4C)=0$

(con $0<A+B+C<\pi$ )
josejuan | 17 de September de 2010 | 12:30

(y no son rectos…)
gaussianos | 17 de September de 2010 | 15:05

Ese truco no vale josejuan .
josejuan | 17 de September de 2010 | 16:22
roma | 25 de September de 2010 | 13:14

Dentro de mi ignorancia, he visitado esta página por casualidad y tengo mucha admiración por el templo de la ciencia y reconozco mi incapacidad mental para las mismas. Leo el problema de la semana: Dado un triángulo cuyos ángulos son , demostrar que es un triángulo rectángulo si y sólo si…

Con solo intentar comprender las soluciones dadas, ya me entra dolor de cabeza, y las dos únicas cosas que se me ocurren son: que realmente no existen triángulos rectángulos perfectos (siempre hay un grado de error) y que los canteros y albañiles lo solucionaban con un cordel utilizando las proporciones de los lados de un triángulo rectángulo: 3; 4 y 5 . y construían pirámides y catedrales.
Perdonadme las molestias.