Caracterizando a los triángulos rectángulos

Os dejo el problema de esta semana:

Dado un triángulo con ángulos $\alpha, \beta$ y $\gamma$ , demostrar que dicho triángulo es rectángulo si y sólo si:

$\sin^2 {\alpha}+\sin^2 {\beta}+\sin^2 {\gamma}=2$

Y sí, parece que después de pensar en la serie sobre los centros del triángulo todo lo que encuentro está relacionado con ellos. Pero bueno, ello no disminuye el interés que tiene esta simple figura

17 comentarios

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alaspencas | 27 de July de 2010 | 09:11

Bueno, a ver qué tal, que estoy recién levantado y acabo de ver el problema.

$Rightarrow )$
Supongamos pues que el triángulo es rectángulo. Entonces uno de los ángulos tiene que medir 90º
Supongamos, sin pérdida de la generalidad, que $gamma$ =90º
Entonces $sin^2 gamma$ =1
Además, $sin alpha = cos eta$ , por trigonometría elemental.
Por lo tanto $sin^2 alpha + sin^2 eta + sin^2 gamma = cos^2 eta + sin^2 eta + 1=2$
alaspencas | 27 de July de 2010 | 09:24

Bueno, a ver qué tal, que estoy recién levantado y acabo de ver el problema.

$Rightarrow )$
Supongamos pues que el triángulo es rectángulo. Entonces uno de los ángulos tiene que medir 90º
Supongamos, sin pérdida de la generalidad, que $\gamma$ =90º
Entonces $\sin^2 \gamma$ =1
Además, $\sin \alpha$ = $\cos \beta$ , por trigonometría elemental.
Por lo tanto $\sin^2 \alpha$ + $\sin^2 \beta$ + $\sin^2 \gamma$ = $\cos^2 \beta$ + $\sin^2 \beta$ + 1=2

$\Leftarrow$ )

Supongamos que es cierto que $\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 2$

Por estar acotado $\sin \alpha$ , lo está su cuadrado. Como mucho puede valer 1, y esto es si $\alpha$ vale 90º o 270º.
Como estamos en un triángulo, tiene que ser que $\alpha$ = 90º y esto implica que es un triángulo rectángulo
alaspencas | 27 de July de 2010 | 09:25

He tenido que poner otro comentario porque, al editar el primero, me daba muchos problemas después. No me valía con copiar y pegar las fórmulas, tenía que escribirlas de nuevo.

En fin, que si hay algún problema con la demostración, no me extrañaría, estoy recién levantado.

Un saludo!
Vayapordios | 27 de July de 2010 | 09:45

Ya está.

Como condición suficiente, es como ha escrito alaspencas: tomamos cualquier ángulo como el recto, de manera que su seno es la unidad. Como el triángulo es rectángulo A + B = 90º, son complementarios, de manera que sen A = cos B… ya dicho.

Que es condición suficiente, a mi juicio no está aún demostrada.

Yo he probado con una combinación del teorema del seno y el del coseno.

Teorema del seno:

$\frac{a}{{senA}} = \frac{b}{{senB}} = \frac{c}{{senC}} = 2R$

Me he hartado del “formula does not parse”. A otra cosa.
Antonio QD | 27 de July de 2010 | 11:36

Buenos Días

Creo que tengo una solución. La condición necesaria ya ha sido demostrada, voy a demostrar la suficiencia.

En un triángulo siempre existen al menos dos ángulos que son menores a $\pi/2$ , seán estos ángulos $\beta$ y $\gamma$ . Comencemos nuestra deducción.

$\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma = 2$

Y acabamos de demostrar que el triángulo es rectángulo.

Un Saludo

$\sin^2(\pi - \beta - \gamma) = 2 -\sin^2\beta - \sin^2\gamma$

$\sin^2(\beta + \gamma) = \cos^2\beta + \cos^2\gamma$

$[\sin\beta \cdot \cos\gamma + \cos\beta \cdot \sin\gamma]^2 = \cos^2\beta + \cos^2\gamma$

$\sin^2\beta \cdot \cos^2\gamma + \cos^2\beta \cdot \sin^2\gamma + 2 \cdot \sin\beta \cdot \sin \gamma \cdot \cos \beta \cdot \cos \gamma = \cos^2\beta + \cos^2\gamma$

$2 \cdot \sin\beta \cdot \sin \gamma \cdot \cos \beta \cdot \cos \gamma = (1- \sin^2\gamma)\cdot \cos^2\beta + (1- \sin^2\beta)\cdot\cos^2\gamma$

$\sin\beta \cdot \sin \gamma \cdot \cos \beta \cdot \cos \gamma = \cos^2\beta\cdot\cos^2\gamma$

Como tanto $\beta$ como $\gamma$ son menores que $\pi/2$ , se cumple que $\cos\beta \cdot \cos\gamma \ne 0$ ; por lo que es valido realizar la siguiente simplificación.

$\sin\beta \cdot \sin \gamma = \cos\beta\cdot\cos\gamma$

$\tan\beta = \cot\gamma$

Aplicando de nuevo que tanto $\beta$ como $\gamma$ son menores que $\pi/2$ , se cumple

$\beta = \frac{\pi}{2}-\gamma$

$\frac{\pi}{2} = \beta + \gamma$

y por tanto

$\alpha=\pi - (\beta+\gamma) = \pi/2$

Y acabamos de demostrar que el triángulo es rectángulo.

Un Saludo
Antonio QD | 27 de July de 2010 | 11:38

La primera vez que en el mensaje anterior aparece la frase

“Y acabamos de demostrar que el triángulo es rectángulo”

es un error en la escritura del mismo, por favor, hagan como si no lo hubiese escrito.

Un Saludo
M | 27 de July de 2010 | 11:51

En general se tiene que $cos(2\alpha)+cos(2\beta)+cos(2\gamma)=2(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma)-3$ (o bien $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=3-(\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma$ )).

Ya que los tres ángulos suman $\pi$ : $cos(2\alpha)+cos(2\beta)+cos(2\gamma)+1=-4cos\alpha \cos\beta \cos \gamma$ . Con lo cual se tendrá que $\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma+2cos\alpha \cos \beta \cos \gamma=1$ . De aquí que

$\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma=2\iff \cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\iff \cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=0.$
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Samuel | 27 de July de 2010 | 13:18

Llamemos a al ángulo recto, y b y c a los restantes (no sé poner alfa, beta y gamma).

Entonces, como a es recto, $sin(a)=1$ ; $sin^2(a)=1$ ; luego $1+ sin^2(b)+sin^2(c)=2$ ; $sin^2(b)+sin^2(c)=1$
Como a mide 90º, mientras no neguemos el 5º postulado, b y c sumarán 90º, y $sin(b)=cos(c)$ . Si simplemente sustituimos:
$cos^2(c)+sin^2(c)=1$
Lo cual es una identidad trigonométrica por todos aquí conocida, y equivale a decir que el triángulo satisface el teorema de Pitágoras.
Sirs | 27 de July de 2010 | 14:01

Muy fácil,
si gamma es el ángulo recto, entonces
$\sin^2 \gamma =1$
por otro lado:
$\alpha + \beta = \pi/2$
$\beta = \pi /2 - \alpha$
Y recordando una de las reglas elementales de trigonometría
$\sin \beta = \sin (\pi /2 - \alpha) = \cos \alpha$

Por lo que queda:
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 1 = 2$
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
QED
Vayapordios | 27 de July de 2010 | 14:49

Teorema del seno:
$\frac{a}{{senA}} = \frac{b}{{senB}} = \frac{c}{{senC}} = 2R$ Con a, b y c los lados y R el radio de la circunferencia circunscrita.

Teorema del coseno:

${a^2} + {b^2} - 2ab\cos C = {c^2}$

$4{R^2}{{\mathop{\rm sen}\nolimits} ^2}A = {a^2}$ y análogamente para b.

Sustituyendo en la fórmula del teorema del coseno:

$4{R^2}{{\mathop{\rm sen}\nolimits} ^2}A + 4{R^2}{{\mathop{\rm sen}\nolimits} ^2}B - 2 \cdot 4{R^2}{\mathop{\rm sen}\nolimits} A \cdot {\mathop{\rm sen}\nolimits} B \cdot \cos C = 4{R^2}{{\mathop{\rm sen}\nolimits} ^2}C$

Simplificando los factores 4R*R y arreglando un poco:

${{\mathop{\rm sen}\nolimits} ^2}A + {{\mathop{\rm sen}\nolimits} ^2}B + {{\mathop{\rm sen}\nolimits} ^2}C = 2{\mathop{\rm sen}\nolimits} A \cdot {\mathop{\rm sen}\nolimits} B \cdot \cos C + 2{{\mathop{\rm sen}\nolimits} ^2}C$

Por hipótesis, el miembro de la izquierda vale 2, de modo que el de la derecha también, con lo que

${\mathop{\rm sen}\nolimits} A \cdot {\mathop{\rm sen}\nolimits} B \cdot \cos C + {{\mathop{\rm sen}\nolimits} ^2}C = 1$

${\mathop{\rm sen}\nolimits} A \cdot {\mathop{\rm sen}\nolimits} B \cdot \cos C = 1 - {{\mathop{\rm sen}\nolimits} ^2}C$

${\mathop{\rm sen}\nolimits} A \cdot {\mathop{\rm sen}\nolimits} B \cdot \cos C = {\cos ^2}C$

$\left( {{\mathop{\rm sen}\nolimits} A \cdot {\mathop{\rm sen}\nolimits} B - \cos C} \right)\cos C = 0$

De aquí, o bien cos C = 0, que hace que C = 90º (el ángulo no puede ser 270º por pertenecer a un triángulo), de manera que el triángulo es rectángulo o bien

${{\mathop{\rm sen}\nolimits} A \cdot {\mathop{\rm sen}\nolimits} B = \cos C}$

Pero como

$\cos C = \cos \left( {\pi - A - B} \right) = - \cos \left( {A + B} \right)$

Tenemos

$\sin A \cdot \sin B = - \cos \left( {A + B} \right)$

Usando la identidad para el coseno de la suma tenemos

$\sin A \cdot \sin B = \sin A \cdot \sin B - \cos A \cdot \cos B$

Con lo que $\cos A \cdot \cos B = 0$ o sea, cos A = 0 ó cos B = 0, con lo que A = 90º o B = 90º. Es decir, el triángulo es rectángulo en cualquier caso.
Vayapordios | 27 de July de 2010 | 19:46

M, a mi me sale un dos, no un cuatro.

$\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma - 1 = - 2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$

Y bueno, sí, el camino parece más corto
M | 27 de July de 2010 | 20:25

Vayapordios: es sumando 1 y no restándolo. De todos modos:

$cos(2\alpha)+cos(2\beta)+cos(2\gamma)+1=2cos(\alpha+\beta)cos(\alpha-\beta)+2cos^2(\gamma)$ . Como $\alpha+\beta=\pi-\gamma$ , $cos(\alpha+\beta)=-cos(\gamma)$ , y entonces:

$-2\cos(\gamma)\cos(\alpha-\beta)+2\cos^2(\gamma)=-2cos(\gamma)(cos(\alpha-\beta)-cos(\gamma))=-2cos(\gamma)(cos(\alpha-\beta)+cos(\alpha+\beta))=-4cos(\gamma)cos(\alpha)cos(\beta)$ .
Vayapordios | 27 de July de 2010 | 23:03

Sí, es un cuatro, más “largo” que antes pero más “corto” que mi dos. Gracias por la aclaración-teorema.
sdg | 11 de August de 2010 | 16:42

el primero de los problemas que habeis puesto que soy capaz de resolver.. TOMA!!

pon más de estos chacho
Jose Antonio | 12 de September de 2010 | 22:19

Me parece muy buena la demostración de AntonioQD, sobretodo con la implicación no inmediata. Hice un sistema con el teorema del coseno, el teorema del seno y la del enunciado para llegar a que debía ser rectángulo pero al final llegué a una igualdad con la que no puedo.
Un saludo.