Caso particular del UTF

Os dejo el problema de esta semana. En este caso trata sobre una especie de caso particular del último teorema de Fermat. Ahí va:

Para n > 2 número natural impar, demostrar que x^n+y^n=z^n no tiene soluciones enteras con x+y un número primo.

A por él

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

8 Comentarios

  1. Allá voy, a ver si es correcta:

    De la identidad (válida para n > 2 impar)

    x^n+y^n=(x+y)\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^kx^ky^{n-k-1}

    se deduce que x+y es un primo que divide a z^n. Por tanto x+y divide a z, es decir, z=a(x+y) para cierto entero a. Volviendo a la identidad anterior, eso significa que (x+y)^{n-1} divide a

    P(x,y)\equiv \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^kx^ky^{n-k-1}.

    Pero es fácil ver que x+y no divide P(x,y). Para un y fijo, P(x,y) es un polinomio en x de grado n-1. Entonces el resto de la división de P(x,y) entre x+y es igual a

    P(-y,y)=\sum_{k=0}^{n-1}y^{n-1}=ny^{n-1}\ne 0.

    (excluyendo los casos triviales x,y=0).

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  2. bibliotrastornado, sin comentarios :P.

    castilla, más fácil. A partir de que x+y divide a z es claro que (x+y)^n divide a z^n=x^n+y^n. Pero esto es una contradicción ya que (x+y)^n > x^n + y^n.

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  3. Magnífico pero no se esta olvidando el caso cuando n es un número par? esa factorización funciona (si mi memoria no falla) solo para n un numero impar

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  4. Sergio, que n sea impar es una de las condiciones del ejercicio 🙂

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  5. bibliotrastornado, creo que te equivocas en tu método abreviado. Sólo vale si los números x e y fuesen naturales, pero en el enunciado nos dicen que son enteros. Basta un contraejemplo si x=5 e y=-3, la suma es 2 que es primo y además, tomando n=3

    (5-3)^2=8

    5^3-3^3=98

    y 8 no es mayor que 98.

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  6. Es sencillo demostrar que si se cumple la igualdad del UTF, entonces: 2z > (x+y) > z.
    Por otro lado de la misma igualdad del UTF, se deduce que z^n=k.(x+y).
    Luego, “z” es multiplo de todos los divisores primos de (x+y), pero si (x+y)=p, con “p” es primo, existiria una contradiccion con la desigualdad indicada linea atrás; lo que demuestra el caso.
    Los invito a que demuestren los siguientes 3 casos especiales:
    1.- y= número primo
    2.- x= número primo
    3.- z= número primo
    El siguiente (4to.) caso especial, no es simple, pero es muy interesante:
    Si (x+y-z) no es múltiplo de alguno de los “números primos específicos” del número primo “n”, entonces y^n + x^n ≠ z^n
    Y cuales son los “números primos específicos” del número primo “n” ?
    Son los primos “p“ tales (p≤n) que satisfacen:
    (n-1) = (p-1).k, con k entero.

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