Caso particular del UTF

Os dejo el problema de esta semana. En este caso trata sobre una especie de caso particular del último teorema de Fermat. Ahí va:

Para $n > 2$ número natural impar, demostrar que $x^n+y^n=z^n$ no tiene soluciones enteras con $x+y$ un número primo.

A por él

10 comentarios

Trackback | 8 Feb, 2011

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bibliotranstornado | 8 de February de 2011 | 12:16

Es trivial, pero en este margen no tengo espacio.

Lo siento, tenía que hacerlo.
Trackback | 8 Feb, 2011

Bitacoras.com
castilla | 8 de February de 2011 | 14:07

Allá voy, a ver si es correcta:

De la identidad (válida para $n > 2$ impar)

$x^n+y^n=(x+y)\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^kx^ky^{n-k-1}$

se deduce que $x+y$ es un primo que divide a $z^n$ . Por tanto $x+y$ divide a $z$ , es decir, $z=a(x+y)$ para cierto entero $a$ . Volviendo a la identidad anterior, eso significa que $(x+y)^{n-1}$ divide a

$P(x,y)\equiv \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^kx^ky^{n-k-1}$ .

Pero es fácil ver que $x+y$ no divide $P(x,y)$ . Para un $y$ fijo, $P(x,y)$ es un polinomio en $x$ de grado $n-1$ . Entonces el resto de la división de $P(x,y)$ entre $x+y$ es igual a

$P(-y,y)=\sum_{k=0}^{n-1}y^{n-1}=ny^{n-1}\ne 0$ .

(excluyendo los casos triviales $x,y=0$ ).
Gonzalo | 8 de February de 2011 | 19:36

JAJAJAJAJAJA….Muy bueno, bibliotranstornado
gaussianos | 9 de February de 2011 | 03:45

bibliotrastornado, sin comentarios .

castilla, más fácil. A partir de que $x+y$ divide a $z$ es claro que $(x+y)^n$ divide a $z^n=x^n+y^n$ . Pero esto es una contradicción ya que $(x+y)^n > x^n + y^n$ .
Sergio | 10 de February de 2011 | 02:45

Magnífico pero no se esta olvidando el caso cuando n es un número par? esa factorización funciona (si mi memoria no falla) solo para n un numero impar
gaussianos | 10 de February de 2011 | 03:28

Sergio, que $n$ sea impar es una de las condiciones del ejercicio
ythorgo | 10 de February de 2011 | 14:25

bibliotrastornado, creo que te equivocas en tu método abreviado. Sólo vale si los números x e y fuesen naturales, pero en el enunciado nos dicen que son enteros. Basta un contraejemplo si x=5 e y=-3, la suma es 2 que es primo y además, tomando n=3

(5-3)^2=8

5^3-3^3=98

y 8 no es mayor que 98.
Rodolfo Merino Rosas | 13 de February de 2011 | 16:53

Es sencillo demostrar que si se cumple la igualdad del UTF, entonces: 2z > (x+y) > z.
Por otro lado de la misma igualdad del UTF, se deduce que z^n=k.(x+y).
Luego, “z” es multiplo de todos los divisores primos de (x+y), pero si (x+y)=p, con “p” es primo, existiria una contradiccion con la desigualdad indicada linea atrás; lo que demuestra el caso.
Los invito a que demuestren los siguientes 3 casos especiales:
1.- y= número primo
2.- x= número primo
3.- z= número primo
El siguiente (4to.) caso especial, no es simple, pero es muy interesante:
Si (x+y-z) no es múltiplo de alguno de los “números primos específicos” del número primo “n”, entonces y^n + x^n ≠ z^n
Y cuales son los “números primos específicos” del número primo “n” ?
Son los primos “p“ tales (p≤n) que satisfacen:
(n-1) = (p-1).k, con k entero.