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¿Sabía que…

…el problema de las ocho reinas puede resolverse a partir del problema de las ocho torres y el problema de los ocho alfiles?

Vamos a explicar un poco el asunto. El llamado problema de las ocho reinas (que ya se comentó en este post) consiste en colocar en un tablero de ajedrez ocho reinas de forma que ninguna amenace a otra (vamos, que ninguna pueda comerse a otra). Se conoce que hay 92 soluciones de las que, eliminando simetrías, rotaciones y traslaciones, 12 de ellas son esencialmente distintas. En este artículo de la Wikipedia (en español) podéis ver esas 12 soluciones.

El problema de las torres es exactamente igual que el anterior pero con torres. Es decir: colocar ocho torres en un tablero de ajedrez de forma que ninguna amenace a otra. Éste es mucho más sencillo ya que, teniendo en cuenta el movimiento de la torre (horizontal y vertical), para encontrar una solución simplemente tenemos que colocar cada torre en una fila y una columna distinta.

Vamos a ponerle números al asunto:

Supongamos que tenemos un tablero de ajedrez:

Tablero de ajedrez

(La imagen la he tomado de Kalipedia)

Tomando las columnas como referencia asignaremos un número a cada torre en función de la posición que ocupa en esa columna contando de abajo a arriba. Es decir, el número $36641234$ nos dice que la torre de la columna 1 está colocada en la posición 3 de esa columna, la de la 2 en la posición 6, … , la de la columna 5 en la posición 1 de esa columna, y así sucesivamente.

Con esta notación es claro que las soluciones del problema de las torres salen de todas las permutaciones de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8, es decir, todos los números de ocho cifras con todas las cifras distintas que no contengan ningún cero, ya que así conseguimos que ninguna pareja de torres estén en la misma columna o en la misma fila y por tanto evitamos que alguna de ellas pueda comerse a otra.

Teniendo en cuenta el movimiento de la reina (horizontal, vertical y diagonal) es evidente que las soluciones del problema de las ocho reinas podemos obtenerlas a partir de las soluciones del problema de las ocho torres. Solamente habría que desechar las soluciones de las ocho torres en las que algún par de ellas esté en la misma diagonal. Si formulamos un problema de este tipo para alfiles (pieza que mueve en diagonal) es fácil ver que las soluciones del problema de las ocho reinas son las soluciones del problema de las ocho torres que también son solución del problema de los ocho alfiles.

¿Cómo describir numéricamente el problema de los ocho alfiles? Pues muy sencillo: para que dos alfiles colocados en el tablero no se amenacen necesitamos que no estén en la misma diagonal. Eso lo conseguimos imponiendo que la diferencia (en valor absoluto) entre los números que indican la columna de cada uno de ellos sea distinta de la diferencia entre los números que indican la fila de los mismos. Un ejemplo:

Supongamos que tenemos dos alfiles colocados en las dos primeras columnas en las siguientes posiciones de las mismas: 45. En ese casos los alfiles se amenazan (se puede comprobar en un tablero). Si restamos las columnas obtenemos $\mid 1-2 \mid =1$ y si restamos las filas obtenemos $\mid 4-5 \mid =1$ .

Si los colocamos en las posiciones 46 no se amenazan. Restando las columnas obtenemos $\mid 1-2 \mid =1$ y restando las filas $\mid 4-6 \mid =2$ .

Mezclando los dos problemas (torres y alfiles) obtenemos condiciones para encontrar las soluciones del problema de las ocho reinas:

Las soluciones del problema de las ocho reinas, que consiste en colocar ocho reinas en un tablero de ajedrez sin que ninguna de ellas amenace a otra, se obtienen de todas las permutaciones de las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 (es decir, de los números de ocho cifras que tengan todas las cifras distintas y que no tengan ningún cero) tomando únicamente las que cumplan que la diferencia en valor absoluto entre cualesquiera dos de ellos sea distinta de la diferencia en valor absoluto entre las posiciones que ocupan en la permutación (o de la posición que ocupan en el número).

A ver si alguien se anima y nos programa un algoritmo que nos dé esas soluciones.

Fuente: El Laberinto, de Édouard Lucas.

Escrito por ^DiAmOnD^, 3 de Julio de 2008 en ¿Sabía que ...?
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¿Sabía que…

…Abraham de Moivre, matemático francés, predijo exactamente la fecha de su propia muerte?

Se dio cuenta de que cada día dormía 15 minutos más que el día anterior. A partir de ahí conjeturó que moriría el día que durmiera durante 24 horas. Ese día, calculado por él mismo, era el 27 de noviembre de 1754.

Estaba en lo cierto.

Vía Futility Closet.

Escrito por ^DiAmOnD^, 12 de Junio de 2008 en ¿Sabía que ...?
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¿Sabía que…

…el número $666$ tiene curiosas propiedades? Aparte del significado negativo que todos conocemos (es el número de la bestia), cumple las siguientes propiedades:

Podemos obtenerlo a partir de operaciones elementales con las potencias sextas de los tres primeros enteros positivos:
$666=1^6-2^6+3^6$
Podemos obtenerlo sumando sus dígitos y los cubos de los mismos:
$666=6+6+6+6^3+6^3+6^3$

Por cierto, al parecer hay pocos números que cumplen esta propiedad. ¿Qué números son?
Podemos obtenerlo sumando los cuadrados de los primeros siete números primos:
$666=2^2+3^2+5^2+7^2+11^2+13^2+17^2$
La función $\phi (n)$ , cuyo valor es la cantidad de ~~números primos menores o iguales que $n$~~ enteros positivos menores o iguales que $n$ que son primos relativos con $n$ , y el número $666$ cumplen lo siguiente:
$\phi (666)=6 \cdot 6 \cdot 6$

Curiosas propiedades las de este número. Si conocéis alguna más no dudéis en comentarla.

Por cierto, espero que este post no sirva para que se le tenga más manía a este número por parte de cierto grupo de personas. En general se pueden encontrar propiedades sorprendentes de cualquier número. No le demos a éstas más importancia de la que en realidad tienen.

Fuente: La maravilla de los números, de Clifford A. Pickover. Colección Desafíos Matemáticos de RBA.

Actualización: Error arreglado. Gracias por el aviso Albertux.

Escrito por ^DiAmOnD^, 29 de Mayo de 2008 en ¿Sabía que ...?
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¿Sabía que…

…los números $1201,1213,1217,1223,1229,1231$ y $1237$ forman la lista de siete números primos consecutivos más pequeños posible que cumplen que son todos primos reversibles (es decir, son primos y al escribirlos al revés, $1021,3121,7121,3221,9221,1321$ y $7321$ , también lo son) y su concatenación también es un primo reversible ( $1201121312171223122912311237$ y $7321132192213221712131211021$ son primos)?

El primer caso con más de siete primos tiene ocho. La lista está formada por los primos siguientes:

$35547705709,35547705727,35547705731,35547705749,35547705757,35547705827,35547705829$ y $35547705841$

Información sacada de este enlace de la web Prime Puzzles, donde se pueden ver más ejemplos de listas de este tipo.

Escrito por ^DiAmOnD^, 15 de Mayo de 2008 en Números primos, ¿Sabía que ...?
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¿Sabía que…

…como promedio, el número de representaciones de un número entero positivo $s$ como suma de dos cuadrados de números enteros (es decir, $s=n^2+m^2$ con $n,m\in\mathbb{Z}$ ) es $\pi$ ?

Al menos eso nos asegura Clifford A. Pickover en su libro Las matemáticas de Oz, que ya habréis visto en algún post y que probablemente veréis en alguno más.

¿Qué es eso del promedio? Muy sencillo:

${0}$ : Representaciones:1: $0=0^2+0^2$
$1$ : Representaciones: 4: $1=1^2+0^2,1=(-1)^2+0^2,1=0^2+1^2,1=0^2+(-1)^2$
$2$ : Representaciones: 4: $2=1^2+1^2,2=(-1)^2+1^2,2=1^2+(-1)^2,2=(-1)^2+(-1)^2$
$3$ : Representaciones: 0

y así, respectivamente, el $4$ tiene 4; el $5$ tiene 8; el $6$ tiene 0, el $7$ tiene 0, el $8$ tiene 4, el $9$ tiene 4, el $10$ tiene 8…

El promedio para cada $n$ se hace así: se suman las representaciones de cada número entre ${0}$ y $n$ y se divide el resultado entre $n$ . Por ejemplo, para los números del ${0}$ al $10$ haríamos el siguiente cálculo:

$\cfrac{1+4+4+0+4+8+0+0+4+4+8}{10}=3,7$

Bueno, pues al parecer si hacemos crecer $n$ ese promedio tiende a $\pi$ .

No he podido encontrar más información sobre el asunto. Si alguien encuentra algo que me lo comunique. Lo que sí he podido encontrar es cómo saber cuántas representaciones hay en cada caso, ya que en principio uno no ve una forma sencilla de calcular cuántas representaciones tiene un número entero positivo cualquiera como suma de dos cuadrados. Pues hay una forma, no de calcular el número de representaciones para cada número sino el número total de representaciones de todos los números desde ${0}$ hasta un cierto $n$ (es decir, la suma que luego deberíamos dividir entre $n$ ). Ese número es el número de puntos de coordenadas enteras dentro de un círculo de radio $\sqrt{n}$ según este post del blog de Juán de Mairena. Con este dato calcular esa suma de representaciones es mucho más sencillo.

Como podéis volver a ver, y como seguiréis viendo, el número $\pi$ sigue apareciendo en los lugares más insospechados.

Escrito por ^DiAmOnD^, 7 de Febrero de 2008 en Pi, ¿Sabía que ...?
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¿Sabía que…

…las siguientes igualdades son ciertas?

Increibles igualdades con sumas de potencias

Sacado de Futility Closet.

¿Conocéis algún otro ejemplo de este tipo?

Escrito por ^DiAmOnD^, 27 de Diciembre de 2007 en ¿Sabía que ...?
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¿Sabía que…

…el número $10^{33}$ (mil quintillones para los amigos) es la potencia de $10$ más grande conocida que puede representarse como producto de dos números que no contienen ningún cero?. En efecto:

$1000000000000000000000000000000000=2^{33} \cdot 5^{33}=8589934592 \cdot 116415321826934814453125$

Es claro que cualquier número de este tipo debe ser de la forma $2^x \cdot 5^x$ , ya que si no fuera así alguno de los factores contendría al menos un $2$ y un $5$ y por tanto sería múltiplo de $10$ , conteniendo entonces al menos un cero.

Parece ser que lo complicado es encontrar una potencia de $5$ que no contenga ceros. Se sabe que $5^{58}$ no contiene ningún cero, pero al calcular $2^{58}$ vemos que contiene al menos un cero. Por tanto no nos vale.

Ya tenéis otro reto, aunque éste me parece que es sumamente difícil.

Curiosos datos sacados del libro El prodigio de los números, de Clofford A. Pickover.

Escrito por ^DiAmOnD^, 29 de Noviembre de 2007 en ¿Sabía que ...?
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¿Sabía que…

…podemos encontrar series de números compuestos consecutivos tan largas como queramos?

Me explico: dado un número natural $n$ cualquiera (sí, sí, cualquiera) podemos encontrar un conjunto de $n$ números naturales consecutivos tal que todos ellos son compuestos. ¿Cómo? Muy sencillo:

Sabemos que $n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$ es divisible por $2, 3, \ldots, (n-1), n$ . Entonces $n!+2$ es divisible por $2$ , $n!+3$ es divisible por $3$ , … , $n!+n$ es divisible por $n$ . Tenemos aquí un conjunto de $n-1$ números naturales consecutivos que son compuestos.

Tomando $(n+1)!$ en vez de $n!$ obtenemos que $(n+1)!+2$ es divisible por $2$ , $(n+1)!+3$ es divisible por $3$ , … , $(n+1)!+n$ es divisible por $n$ y $(n+1)!+(n+1)$ es divisible por $n+1$ . Dado un $n$ número natural cualquiera obtenemos así una serie de $n$ números naturales consecutivos tal que todos ellos son compuestos.

Comentario: Con este procedimiento encontramos una serie de $n$ números naturales consecutivos tal que todos son compuestos, pero no tiene que ser la menor posible. Por ejemplo, para $n=3$ la serie que encontramos es $26$ , $27$ y $28$ , pero la más pequeña posible $8$ , $9$ y $10$ . Aunque eso no es problema ya que lo que nos interesaba es la existencia de esa serie.

Y, como he dicho antes, $n$ puede ser cualquier número natural, da igual lo grande que sea. Es decir, hay series de números naturales consecutivos enormemente grandes entre los cuales no hay ningún número primo. Cosas como esta pueden hacer más difícil creerse que el conjunto de números primos es infinito, pero en realidad es así. En este blog ya hemos visto dos demostraciones de este hecho: la demostración de Euclides y la demostración utilizando números de Fermat.

Escrito por ^DiAmOnD^, 22 de Noviembre de 2007 en ¿Sabía que ...?
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¿Sabía que…

…durante los 2000 años anteriores a la aparición de Leonhard Euler sólo se conocían 3 pares de números amigos y que él solito fue capaz de encontrar nada menos que 59 pares?

Increíble el señor Leonhard Euler. Se podría dedicar un blog expresamente a sus trabajos y tendríamos artículos diarios durante muuuucho tiempo.

Escrito por ^DiAmOnD^, 15 de Noviembre de 2007 en ¿Sabía que ...?
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¿Sabía que…

…podemos encontrar dos números de 9 cifras cuyas cifras son los números del 1 al 9 que cumplen que al restarlos el resultado es un número con las mismas propiedades? Aquí va:

Resta pandigital

Vía Futility Closet.

Ahora os toca a vosotros:

1.- ¿Podéis encontrar más casos de este tipo?

2.- ¿Y con otro número de cifras? Por ejemplo, podemos intentar encontrar un caso parecido con los números del 0 al 9.

A ver qué se os ocurre.

Escrito por ^DiAmOnD^, 8 de Noviembre de 2007 en Juegos, ¿Sabía que ...?
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