¿Sabía que …? | Gaussianos

¿Sabía que…

…en muchos países se sigue llamando a $\pi$ constante Ludolphina?

La razón es bien sencilla. A finales del siglo XVI se descubrieron varias aproximaciones del número $\pi$ :

V. Otho y A Anthonisz redescubrieron sobre el año 1573 de forma independiente la aproximación
$\pi \approx \cfrac{355}{113}$

a partir de las aproximaciones $\textstyle{377}{120}$ de Ptolomeo y $\cfrac{22}{7}$ de Arquimedes.
Viète encontró una aproximación de $\pi$ con 10 decimales exactos.

Pero el matemático alemán Ludolph Van Ceulen llegó más allá. En 1596 publicó una aproximación de $\pi$ con 20 decimales exactos, obtenida a partir de un polígono de 15 lados y duplicando sucesivamente el número de lados 37 veces. Pero fue más adelante cuando Van Ceulen encontró la aproximación que impresionó a sus sucesores. Mediante un polígono regular de $2^{62}$ lados Van Ceulen obtuvo una aproximación de $\pi$ con 35 decimales exactos. Según parece, su viuda hizo grabar en la tumba de Van Ceulen dicha aproximación:

$3,14159265358979323846264338327950288$

Fuente:

Historia de la matemática, de Carl B. Boyer.
Ludolph Van Ceulen en la Wikipedia española.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 1 de September de 2010 | 3 Comentarios
Categorías: Pi, ¿Sabía que ...?

¿Sabía que…

…existe una partición muy curiosa de los números no negativos en dos conjuntos en relación con la representación de un número como suma de dos elementos de cada uno de ellos?

Ayer mismo nuestro admirado fede me envió una demostración sobre un hecho muy curioso y he decidido publicarla. La cuestión es la siguiente:

Sea $X$ el subconjunto de los enteros no-negativos que tienen un numero par de unos en binario y sea $Y$ el de los que tienen un número impar de unos en binario, es decir:

$X = \{ 0, 3, 5, 6, 9, 10, \ldots \} \quad Y = \{ 1, 2, 4, 7, 8, 11, \ldots \}$

Entonces se cumple la siguiente propiedad:

El número de representaciones de cualquier no-negativo $N$ como suma de dos elementos distintos de $X$ es el mismo que el número de representaciones de $N$ como suma de dos elementos distintos de $Y$ .

Además $\{ X,Y \}$ es la única partición de los no-negativos que tiene esa propiedad.

Vamos a ver la demostración de este hecho.
(Leer el resto del post)

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 17 de December de 2009 | Comments Off
Categorías: ¿Sabía que ...?

¿Sabía que…

…si llamáramos a un pintor para que pintara completamente una pared definida por la función $f(x)=\textstyle{\frac{1}{x}}$ como la de la figura

no podría reunir la cantidad de pintura necesaria para ello en toda su vida?

Pero, cosa curiosa, si giramos respecto del suelo dicha función, obteniendo una superficie del estilo a la que aparece en la siguiente imagen

nuestro amigo el pintor sí podría rellenarla de pintura.

Vamos a concretar un poco, no podemos pintar el área definida por la función $f(x)=\textstyle{\frac{1}{x}}$ en el intervalo $(1,+ \infty)$ pero sí podemos rellenar de pintura el volumen generado al girar dicha curva respecto al eje $X$ . Sorprendente, ¿verdad?

(Gracias a David por la idea.)

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 10 de September de 2009 | Sin comentarios
Categorías: Cálculo, ¿Sabía que ...?

¿Sabía que…

…la división del conjunto $S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16 \}$ en los subconjuntos $S_1=\{1,4,6,7,10,11,13,16 \}$ y $S_2=\{2,3,5,8,9,12,14,15 \}$ nos conduce a unas propiedades muy curiosas? Lo vemos:

$S_1$ y $S_2$ son disjuntos (es decir, no tienen elementos comunes).
Por construcción, si unimos los elementos de $S_1$ y $S_2$ obtenemos el conjunto $S$ de partida.
Todos los pares $\{1,2 \},\{3,4 \}, \ldots , \{15,16 \}$ tienen exactamente un elemento en $S_1$ y otro en $S_2$ .
Tanto en $S_1$ como en $S_2$ hay exactamente cuatro números pares y cuatro números impares.
La suma de los elementos de $S_1$ es igual a la suma de los elementos de $S_2$ .

Y lo que es más sorprendente:

La suma de los cuadrados de los elementos de $S_1$ es igual a la suma de los cuadrados de los elementos de $S_2$ .

Y por si no teníamos suficiente:

La suma de los cubos de los elementos de $S_1$ también es igual a la suma de los cubos de los elementos de $S_2$ .

Pero la cosa no queda ahí. Se puede hacer algo parecido con cualquier conjunto de números que contenga una cantidad de elementos que sea una potencia de 2 comenzando desde el 1. Y además se van añadiendo propiedades a las que ya teníamos. Por ejemplo, si tomamos $S=\{1,2, \ldots , 31,32 \}$ y lo dividimos en los siguientes subconjuntos:

$S_1=\{1,4,6,7,10,11,13,16,18,19,21,24,25,28,30,31 \}$

$S_2=\{2,3,5,8,9,12,14,15,17,20,22,23,26,27,29,32 \}$

obtenemos las siguientes curiosas propiedades:

La suma de los elementos de $S_1$ es igual a la suma de los de $S_2$ .
La suma de los cuadrados de los elementos de $S_1$ es igual a la suma de los cuadrados de los de $S_2$ .
La suma de los cubos de los elementos de $S_1$ es igual a la suma de los cubos de los de $S_2$ .

La suma de las potencias cuartas de los elementos de $S_1$ es igual a la suma de las potencias cuartas de los de $S_2$ .

Y si seguimos la cosa aumenta. Para $S=\{1,2, \ldots ,63,64 \}$ podemos encontrar una subdivisión en dos conjuntos del estilo a las anteriores con la que se cumple todo lo comentado en el caso anterior además de cumplirse también para las potencias quintas. Y así sucesivamente: para $S=\{1,2, \ldots ,127,128 \}$ añadimos lo mismo para las potencias sextas, para $S=\{1,2, \ldots ,255,256 \}$ añadimos la misma propiedad para las potencias séptimas…

La verdad es que me ha sorprendido esta propiedad de los conjuntos cuya cantidad de elementos es una potencia de dos. ¿Alguien podría darle explicación a esta sorprendente curiosidad?

Visto en Wild About Math!.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 3 de September de 2009 | Comments Off
Categorías: ¿Sabía que ...?

¿Sabía que…

…las palabras algoritmo y guarismo se las debemos al matemático árabe al-Jwārizmī (en español al-Juarismi)? ¿Y que la palabra álgebra deriva del nombre de su obra más importante?

Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī (Abu Yā’far) (Mohamed, hijo de Moisés, padre de Jafar, el de Jwārizm) vivió a finales del primer milenio de nuestra era. No se sabe mucho sobre su biografía, aunque sí sabemos que fue el matemático más grande de su época. Se le considera el padre del álgebra (la propia palabra álgebra deriva de su gran obra Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala) y el que introdujo nuestro sistema de numeración.

Gracias Nadym.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 18 de June de 2009 | Comments Off
Categorías: Historia, ¿Sabía que ...?

¿Sabía que…

…un toro sí se puede peinar completamente?

Centro el tema: el lunes os dejé un artículo sobre el teorema de la bola peluda en el que comentábamos que una esfera peluda no puede peinarse completamente ya que todo campo de vectores tangente que podemos definir de la esfera $\mathbb{S}^2$ en sí misma tiene al menos un cero (que es el que correspondería a un remolino, una coronilla, un pelo tieso o algo así). Podéis verlo en la siguiente imagen:

Bola peluda

Bueno, pues la cuestión es que un toro (una superficie como la de una rosquilla, para quien no lo sepa) sí puede peinarse completamente. Es decir, sobre un toro sí puede definirse un campo de vectores tangente que no posea ningún cero. En esta imagen puede verse un ejemplo:

Toro peludo

Es decir, si nuestra cabeza tuviera forma de rosquilla podríamos peinarla completamente. Uhmm, ¿a qué me recuerda esto? ¡¡Ah!! Sí, ya lo sé:

Homer con cabeza de rosquilla

Lástima que con sus tres pelos no pueda presumir de peinado perfecto.

Fuentes:

Las dos primeras imágenes las he sacado de la Wikipedia inglesa.
La imagen de Homer la he tomado de Púdrete Flanders.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 4 de June de 2009 | Comments Off
Categorías: ¿Sabía que ...?

¿Sabía que…

…el número $1888081808881$ es un número muy especial? Viendo cada uno de los $1$ como una línea vertical $|$ cumple lo siguiente:

Es un número primo (aquí tenéis una web donde podéis comprobarlo).
Es capicúa, por lo que si lo leemos de derecha a izquierda también es un número primo (él mismo).
Si lo giramos $180^\circ$ también es un número primo (él mismo).
Si lo vemos reflejado en un espejo también es un número primo (él mismo).

Realmente curiosa la simetría de este número. ¿Conocéis alguno más con características parecidas?

Vía SoyGik.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 12 de February de 2009 | Comments Off
Categorías: ¿Sabía que ...?

¿Sabía que…

…hay matemáticos muy importantes que se suicidaron? En la Wikipedia inglesa tenemos una lista de los mismos:

Nina Bari: matemática rusa conocida por su trabajo en series trigonométricas. Un tren le causó la muerte en el metro de Moscú. Aunque no es seguro que se suicidara, se especula que fue así.
Arthur Black: matemático inglés. Se suicidó con 42 años, asesinando también a su mujer y a su retoño.

Ludwig Boltzmann

Ludwig Boltzmann: físico austriaco famoso por sus contribuciones en el campo de la mecánica estadística. También fue profesor de matemáticas. Se ahorcó en 1906. Aunque el motivo está poco claro parece ser que está relacionado con su resentimiento al ser rechazada su tesis sobre la realidad del átomo y las moléculas.
Renato Caccioppoli: notable matemático italiano cuyos estudios se desarrollaron en muchos campos de las matemáticas: análisis funcional, cálculo variacional, ecuaciones diferenciales, funciones elípticas…En sus útimos años de vida cayó en el alcoholismo y terminó suicidándose mediante un disparo en la cabeza en 1959.
Paul Ehrenfest: matemático y físico austriaco cuyas principales contribuciones se produjeron en el campo de la mecánica estadística. En sus últimos años sufrió una severa depresión y, posiblemente a causa de ello, en 1933 se suicidó de un disparo, matando antes de la misma forma a su hijo Wassik.
Paul Epstein: matemático alemán conocido por sus contribuciones a la teoría de números. Se suicidó ingiriendo gran cantidad de barbitúricos.
Andreas Floer: matemático alemán que trabajó en geometría, topología y física matemática. Se suicidó de forma repentina en 1991 cuando contaba con 35 años de edad.
Felix Hausdorff: matemático alemán considerado como uno de los fundadores de la topología moderna. También trabajo en teoría de conjuntos, teoría de la medida, teoría de funciones y análisis funcional. Se suicidó junto a su mujer y su cuñada en 1942.
Dénes König: matemático húngaro que escribió el primer libro de texto sobre teoría de grafos. También fue uno de los profesores de Paul Erdös. Se suicidó en 1944.
Alekxandr Lyapunov: matemático y físico ruso. Sus principales trabajos se centraron en las ecuaciones diferenciales, teoría de la probabilidad y mecánica celeste. Se disparó el mismo día en que murió su mujer y murió unos días después.
James MacCullagh: matemático irlandés recordado por su trabajo en geometría. Se suicidó en 1847 con 38 años, quizá depresivo al ver que su potencial matemático había descendido.
Lev Schnirelmann: matemático soviético conocido por su búsqueda de la demostración de la conjetura de Goldbach. Se suicidó en Moscú en 1938 cuando contaba con 33 años de edad.

Yutaka Taniyama

Yutaka Taniyama: matemático japonés conocido por la conjetura de Shimura-Taniyama, de gran importancia en la demostración del último teorema de Fermat. Se suicidó con 31 años en 1958. Dejó una nota en la que, entre otras cosas, podía leerse lo siguiente:

Hasta ayer, no tenía la intención definitiva de suicidarme. Más de uno debe haber notado que últimamente estoy cansado tanto física como mentalmente. Yo mismo no lo entiendo del todo, pero no es el resultado de un incidente particular, ni una cuestión específica. Simplemente quiero decir que he perdido la confianza en el futuro. Quizás mi suicidio pueda perturbar o ser un duro golpe para ciertas personas. Espero sinceramente que este incidente no ensombrezca la vida de esta persona. En cualquier caso, no puedo negar que esta es una especie de traición. Excusad mi comportamiento. Es el último acto que hago a mi manera, como he venido haciendo mi manera toda mi vida.

Alan Turing

Alan Turing: matemático, lógico y criptógrafo inglés. Es considerado el padre de la ciencia de la computación y el precursor de la informática moderna. Murió por envenenamiento al comer una manzana que contenía cianuro. Su muerte no está muy clara (se ha hablado de ingestión accidental debido a una falta de precaución de Turing al almacenar sustancias químicas y hasta de asesinato), pero la mayoría piensa que fue un suicidio, posiblemente motivado por el rechazo y la persecución a la que fue sometido dada su condición de homosexual.

Como podéis ver en esta lista podemos encontrar desde personajes poco conocidos hasta grandes nombres de las matemáticas. Especialmente conocida por mí era la historia de Taniyama, dada mi predilección por el último teorema de Fermat y toda la historia que le rodea desde el planteamiento del hecho por parte de Fermat hasta la demostración de Wiles 300 años después.

Posiblemente conozcáis más ejemplos de este tipo. No dudéis en hablar de ellos en los comentarios.

Fuente:

Mathematicians who committed suicide en la Wikipedia (en inglés)

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 22 de January de 2009 | Comments Off
Categorías: ¿Sabía que ...?

¿Sabía que…

…el número $92931259$ es muy especial? Si no os lo creéis leed:

$92931259$ es un número primo
Si colocamos sus cifras en orden inverso obtenemos el número $95213929$ , que también es primo
Sus cuatro primeras cifras, $9293$ , forman un número primo
Sus cuatro últimas cifras, $1259$ , también forman un número primo
Sus cuatro primeras cifras invertidas, $3929$ , forman un número primo
Sus cuatro últimas cifras invertidas, $9521$ , forman un número primo
Concatenando estos dos últimos números obtenemos el número $39299521$ , que, como podéis intuir, también es primo

¿Os parece especial ahora? Seguro que sí.

Fuente:

Art Of Problem Solving

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 26 de December de 2008 | Comments Off
Categorías: ¿Sabía que ...?

¿Sabía que…

… $\sqrt[3]{31}=3,1413806 \ldots$ , o lo que es lo mismo, es casi $\pi$ ? Vía.
…el número $40337956$ tiene la siguiente propiedad?:
$4^0 - 3^3 + 7^9 - 5^6 = 40337956$

Se denomina número de Lines debido a Glenn T. Lines, su descubridor. En esta página podéis ver cómo se demuestra que este número es el único que cumple esa propiedad. Vía.
… $1^2+2^2+3^2+ \ldots +24^2=70^2$ ?
Y además es la única secuencia de este tipo (sumas de cuadrados de los primeros $n$ números enteros positivos) cuyo resultado es otro cuadrado. Lo demostró G. N. Watson en 1918. Vía.