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Calcular las razones trigonométricas de los ángulos más importantes (II)

Introducción

Hace ya algún tiempo vimos una sencilla regla para calcular las razones trigonométricas de los ángulos más importantes del primer cuadrante. Tanto debió gustar ese artículo que es el más visitado de la historia del blog y uno de los más comentados.

Pero en ciertas ocasiones esta tabla puede quedar algo corta, ya que muchas veces necesitamos saber el valor de alguna de las razones trigonométricas en cierto ángulo de otro cuadrante. En Secundaria nos enseñan a realizar este cálculo, pero generalmente se incide más en las fórmulas que me dan los valores buscados y se profundiza menos en el cálculo geométrico. En este artículo vamos a ver que aprendiendo a reproducir la tabla mencionada antes (con la regla descrita en dicho artículo es muy fácil) y unos cuantos detalles geométricos podremos calcular de manera muy sencilla las razones trigonométricas de diversos ángulos del resto de cuadrantes.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 27 de April de 2010 | 16 Comentarios
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Detectar si un ISBN es erróneo

Todos los libros tienen asociado un número denominado ISBN

Todos los libros tienen asociado un número denominado ISBN

Coged un libro, cualquiera que tengáis cerca. Buscad el ISBN del mismo. Veréis un número de 10 dígitos dividido en cuatro grupos (podría ocurrir que el ISBN de vuestro libro tiene 13 dígitos, pero en ese caso no nos sirve). Yo voy a utilizar Historia de la matemática, de Carl B. Boyer, cuyo ISBN es 84-206-8186-5.

Eliminamos los guiones y nos quedamos con el número resultante. Multiplicamos ahora el primer dígito por 1, el segundo por dos, y así sucesivamente hasta el último, que multiplicaremos por 10. Después sumamos los resultados obtenidos. Para mi libro la cuestión queda así:

ISBN 8 4 2 0 6 8 1 8 6 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Productos 8 8 6 0 30 48 7 64 54 50 275

Esto es, el resultado obtenido es 275.

Dividid ahora entre 11 el resultado que hayáis obtenido. En mi caso:

\cfrac{275}{11}=25

Es decir, el número obtenido es múltiplo de 11. ¿Y el vuestro? También, ¿verdad?
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 7 de January de 2010 | 19 Comentarios
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El algoritmo de Euclides

Introducción

El lunes pasado, en el post donde se desarrollaba un método para resolver ecuaciones diofánticas lineales, comentábamos la existencia de un método para el cálculo del máximo común divisor que no desarrollamos. Dicho método se atribuye a Euclides y este post va a servir para presentarlo.

El algoritmo de Euclides

El problema inicial es el siguiente:

Encontrar el máximo común divisor entre dos números enteros positivos a y b.

Todos conocemos el método que se nos enseña en el colegio para ello:

  • Descomponemos en factores primos los dos números y tomamos los factores comunes a ambos con el menor exponente con el que aparezcan.

Aunque es un método bastante útil y sencillo para conseguirlo que queremos tiene un evidente problema: si los números son muy grandes, o si sus factores primos lo son, la cosa se complica ya que el cálculo de la descomposición se torna bastante tedioso.

Por ello es interesante tener a mano otro método para casos en los que el procedimiento inicial se complique. El llamado algoritmo de Euclides nos servirá.

El algoritmo de Euclides nos dice lo siguiente:

Para calcular el máximo común divisor entre dos números enteros positivos a y b dividimos el más grande, digamos a, entre el más pequeño, digamos b. Esta división nos proporcionará un cociente, c_1, y un resto, r_1. Si r_1=0, entonces mcd(a,b)=b. Si no es cero dividimos el divisor, c_1, entre el resto, r_1, obteniendo otro cociente, c_2, y otro resto, r_2. Si r_2=0, entonces mcd(a,b)=r_1. Si no es cero volvemos a dividir divisor entre resto. Y así sucesivamente.

Esto es, el máximo común divisor entre a y b es el último resto distinto de cero que obtengamos con el procedimiento anterior.

Si analizamos el algoritmo de Euclides se ve claramente que necesitamos demostrar que el máximo común divisor entre a y b es igual al máximo común divisor entre b y r_1. Así esa igualdad se mantendrá durante todo el proceso y llegaremos a que el último resto distinto de cero es el máximo común divisor de los dos enteros positivos iniciales. Vamos a demostrar este hecho para después ilustrar el algoritmo con un ejemplo:

Teorema:

  • El máximo común divisor de dos números enteros positivos a y b, con a > b > 0, coincide con el máximo común divisor de b y r, siendo r el resto que se obtiene al dividir a entre b.

Demostración:

Sean d=mcd(a,b) y t=mcd(b,r). Vamos a demostrar que d=t.

Por definición de máximo común divisor, se tiene que d es un divisor tanto de a como de b. Por tanto a=a_1d y b=b_1d.

Por otro lado, por el algoritmo de la división se tiene que

a=bq+r, con 0 \le r < b (1)

de donde llegamos a

r=a-bq=a_1d-b_1dq=(a_1-b_1q)d

Por tanto d es un divisor de r. Como ya teníamos que también es un divisor de b entonces debe dividir a su máximo común divisor, esto es, d es un divisor de t.

Por otro lado, t es un divisor tanto de b como de r. Por ello se tiene que b=pt y r=st. Sustituyendo estas dos igualdades en (1) obtenemos lo siguiente:

a=ptq+st=(pq+s)t

Por tanto t es un divisor de a. Como también lo era de b debe ser un divisor de su máximo común divisor, es decir, t es un divisor de d.

Como d es un divisor de t y t es un divisor de d no queda otra opción más que t=d. Por tanto el algoritmo de Euclides funciona. \Box

Ejemplos de aplicación del algoritmo

En esta sección del artículo vamos a ver un par de ejemplos de aplicación del algoritmo de Euclides. Vamos con ellos:

Cálculo de mcd(721,448)

Como hemos explicado antes dividimos el número mayor entre el menor; si el resto no es cero dividimos el divisor entre el resto; y así sucesivamente hasta que llegamos a un punto en el que el resto es cero. Los resultado de las divisiones (expresados como dividendo=divisor · cociente + resto) son:

  • 721=448 \cdot 1+273
  • 448=273 \cdot 1+175
  • 273=175 \cdot 1+98
  • 175=98 \cdot 1+77
  • 98=77 \cdot 1+21
  • 77=21 \cdot 3+14
  • 21=14 \cdot 1+7 *
  • 14=7 \cdot 2+0

Como marca el *, se tiene que mcd(721,448)=7, el último divisor que no es nulo.

Cálculo de mcd(25134,19185)

Vamos con el segundo ejemplo, con números más grandes en este caso. Expresamos los resultados parciales de la misma forma que en el ejemplo anterior:

  • 25134=19185 \cdot 1+5949
  • 19185=5949 \cdot 3+1338
  • 5949=1338 \cdot 4+597
  • 1338=597 \cdot 2+144
  • 597=144 \cdot 4+21
  • 144=21 \cdot 6+18
  • 21=18 \cdot 1+3 *
  • 18=3 \cdot 6+0

Vemos que aunque los números son bastante mayores que los anteriores el número de operaciones necesarias para el cálculo es el mismo. Concluyendo, tenemos que, como marca el *, mcd(25134,19185)=3.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 5 de October de 2009 | Comments Off
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Cómo resolver ecuaciones diofánticas

Este artículo ha sido promovido en Menéame. Si te ha gustado y quieres votarlo entra aquí y menéalo.

Motivación

Supongamos que nos encontramos el siguiente problema:

Un hombre va a una tienda de ropa y compra 12 trajes, unos negros y otros grises, por 1200 €. Si los trajes negros valen 30 € más que los grises y ha comprado el mínimo posible de estos últimos, ¿cuántos trajes ha comprado de cada color?

Vamos a plantearlo:

\{trajes \; negros \}=x
\{trajes \;grises \}=12-x \{precio \; de \; un \; traje \; gris \}=y
\{precio \; de \; un \; traje \; negro \}=y+30

La ecuación queda:

x(y+30)+(12-x)y=1200

Haciendo cuentas nos queda lo siguiente:

30x+12y=1200

Si estabais pensando que nos iba a quedar un sistema de ecuaciones sencillo de resolver estáis equivocados. Nos ha quedado una única ecuación con dos incógnitas. ¿Nos faltan datos? No. Podemos resolverla. Bienvenidos al maravilloso mundo de las ecuaciones diofánticas.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 28 de September de 2009 | Comments Off
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Calcular las asíntotas de una función

Introducción

Uno de los temas más interesantes del estudio del análisis de funciones de los últimos cursos de bachillerato (y primero de carrera) es la representación de funciones de una variable. Y entre los cálculos que se entienden necesario para recopilar datos suficientes para la representación se encuentra el cálculo de las asíntotas de la función. En este artículo, muy adecuado teniendo en cuenta las fechas en las que estamos (cerca de los exámenes de septiembre), vamos a ver cómo realizar dicho cálculo.

Definición y tipos

Podemos definir el concepto de asíntota de la siguiente forma:

Dada una función y=f(x) cuya gráfica es la curva C se dice que la recta r es una asíntota de f(x) si la curva C se acerca a r indefinidamente sin llegar a coincidir con la propia r.

Teniendo en cuenta que una asíntota es, en particular, una recta, vamos a distinguir tres tipos de asíntotas:

  • Asíntotas horizontales
  • Asíntotas verticales
  • Asíntotas oblicuas

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 10 de August de 2009 | Sin comentarios
Categorías: Aprenda como, Cálculo

La semana de la cúbica: Solución de problema (con bonus cuártico)

Introducción

Como comentamos en la historia de la resolución de la cúbica, Tartaglia reveló, después de mucha insistencia, su método de resolución de los distintos tipos de ecuaciones cúbicas reducidas a Cardano. Pero no lo hizo de una manera convencional, sino que lo hizo en verso. Concretamente así:

Quando che’l cubo con le cose appresso
se agguaglia a qualche numero discreto:
trovan dui altri, diferente in esso.

Dapoi terrai, questo per consueto,
che’l loro produtto, sempre sia eguale
al terzo cubo della cose neto;

el residuo poi suo generale,
delli lor lati cubi, ben sottratti
varra la tua cosa principale.

In el secondo, de cotesti atti;
quando che’l cubo restasse lui solo,
tu osserverai quest’altri contratti,

del numer farai due tal part’a volo,
che l’una, in l’altra, si produca schietto,
el terzo cubo delle cose in stolo;

delle quali poi, per commun precetto,
torrai li lati cubi, insieme gionti,
et co tal somma, sará ii tuo concetto;

el terzio, poi de questi nostri cónti,
se solve col segundo, se ben guardi
che per natura son quasi congionti.

Questi trovai, et non con pasi tardi
nell mille cinquecent’e quatro e trenta;
con fondamenti ben saldi, e gagliardi;
nella cittá del mar’intorno centa.

Los nueve primeros corresponden a la resolución de la ecuación x^3+px=q, los nueve siguientes son para el tipo x^3=px+q, los siguientes tres para x^3+q=px y los cuatro últimos indican el lugar y la fecha en la que Tartaglia los descubrió. Vamos a comenzar esta resolución haciendo un análisis de parte de estos versos.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 25 de June de 2009 | Comments Off
Categorías: Aprenda como, Historia

Calcular el área bajo la campana de Gauss

En la cita Ouch! del pasado mes de mayo dani comentó aquí que la demostración de que el área entre la curva descrita por la campana de Gauss y el eje X es 1 era hermosa. En este artículo os dejo la demostración que conozco de este hecho. Si conocéis otra no dudéis en comentarla.

Introducción

Campana de Gauss
La función definida de la siguiente forma:

f(x) = a e^{\frac{-(x-b)^2}{2c^2}}

se denomina función gaussiana y su gráfica tiene forma de campana. Tomando ciertos valores de a,b y c obtenemos que esta función es la función de densidad de una variable aleatoria normal:

Si X es una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media \mu y desviación típica \sigma (suele escribirse también de la forma X \rightsquigarrow N(\mu,\sigma)), entonces X tiene como función de densidad a:

f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma ^2}}

Para comprobar que f(x) es una función de densidad debemos comprobar estas dos condiciones:

1.- f(x) \ge 0, \, \forall x\in\mathbb{R}
2.- \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx=1}

La primera condición es evidente, al ser \sigma \ge 0 (por definición de desviación típica) y por ser la exponencial siempre positiva. La comprobación de la segunda condición consiste simplemente en el cálculo de esa integral impropia…¿Simplemente?
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 11 de June de 2009 | Sin comentarios
Categorías: Aprenda como, Cálculo, Estadística

Calcular las raíces n-ésimas de z

Introducción

Aunque \mathbb{R}, el conjunto de los números reales, es un subconjunto de \mathbb{C}, el conjunto de los números complejos, entre ellos hay muchas diferencias. Hace un tiempo vimos una de ellas relacionada con la ausencia de orden en \mathbb{C} (al contrario de lo que ocurre en \mathbb{R}). Y en este artículo vamos a ver otra relacionada con raíces n-ésimas.

Como sabemos, las raíces en \mathbb{R} se pueden dividir en dos grupos en lo que al número de soluciones posible se refiere:

  • Raíces de índice par: tienen dos soluciones si el número es positivo, una solución si el número es el cero y ninguna solución si el número es negativo.
  • Raíces de índice impar: tienen una única solución para todo número real (ya sea positivo, negativo o cero).

En \mathbb{C} las cosas son mucho mejores: al calcular la raíz n-ésima obtenemos n soluciones, es decir, todo número complejo tiene 2 raíces cuadradas, 3 raíces cúbicas, etc. Esto es lo máximo que se puede pedir, obtener tantas soluciones como índice tenga la raíz. Vemos por qué:
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 25 de May de 2009 | Comments Off
Categorías: Aprenda como, Números complejos

Coordenadas polares: otra forma de ver el plano complejo

Introducción

Todo punto del plano complejo (plano cartesiano) puede representarse con sus coordenadas (x,y), que son los puntos de cada uno de los ejes donde cortan las dos perpendiculares a los mismos que podemos trazar desde la propia representación del punto (esto es, las coordenadas que todos conocemos desde siempre). Estas coordenadas se denominan coordenadas rectangulares o cartesianas.

Esta forma de asignar coordenadas a los puntos del plano no es la única (de hecho en muchas ocasiones ni siquiera es la más aconsejable). Vamos a ver otra manera de asignar coordenadas a los puntos del plano: las coordenadas polares

Coordenadas polares

A todo punto P del plano cuyas coordenadas rectangulares son (x,y) podemos asignarle las siguientes coordenadas:

r=distancia del origen de coordenadas (0,0) al punto P
\theta=ángulo desde el semieje positivo del eje X al segmento que une el origen de coordenadas con P

Representado gráficamente sería así:

Coordenadas polares

Teniendo en cuenta esta definición se tiene que r \ge 0 y \theta \in \left [ 0, 2 \pi \right ] (se puede definir también el ángulo en el intervalo \left [ - \pi, \pi \right]).

Las ecuaciones que relacionan las coordenadas rectangulares con las polares son las siguientes:

Rectangulares en función de las polares

x=r \; cos(\theta)
y=r \; sen(\theta)

Polares en función de las rectagulares

r=+ \sqrt{x^2+y^2}
\theta=arctan(\textstyle{\frac{y}{x}})

Sobre la expresión del ángulo en función de las coordenadas rectangulares se debe realizar un apunte importante. La función arctan(x) da como resultado dos valores distintos, dos ángulos en cuadrantes opuestos (primero y tercero o segundo y cuarto). Por tanto hay veces en las que al calcular el ángulo puede que obtengamos un resultado incorrecto (puede que nos aparezca el ángulo del cuadrante incorrecto). La regla para el ángulo es la siguiente:

Calculamos el ángulo \theta (con la calculadora o con la ayuda del cuadro de las razones trigonométricas) y miramos los signos de las coordenadas (x,y) para ver en qué cuadrante está situado el punto P. Si el ángulo que hemos obtenido está en el mismo cuadrante que P el ángulo obtenido es el correcto. Si no es así sumamos o restamos \pi al ángulo que nos ha salido cuidando que el resultado de esa suma/resta quede dentro del intervalo \left [ 0, 2 \pi \right ]. Por ejemplo, si obtenemos el ángulo \textstyle{\frac{\pi}{3}} (que está en el primer cuadrante) y vemos que nuestro punto está en el tercer cuadrante (coordenadas (x,y) negativas) sumamos \pi al ángulo obtenido, resultando entonces que el \theta buscado es \theta=\pi + \textstyle{\frac{\pi}{3}} =\textstyle{\frac{4 \pi}{3}} (si en vez de sumar restáramos nos saldríamos de \left [ 0, 2 \pi \right ]).

Aplicaciones

Las coordenadas polares son enormemente interesantes al estudiar fenómenos relacionados con distancias y ángulos (a grandes rasgos se podría decir que interesan a la hora de estudiar conceptos relacionados con elipses y circunferencias). Vamos a enumerar unos cuantos:

  • Cálculo de límites dobles: a la hora de calcular un límite doble el método definitivo es el método del paso a coordenadas polares. Se pasa con ellas a un límite dependiente de una única variable, r (en concreto r->0), utilizando las ecuaciones de cambio de rectangulares a polares y se estudia si dicho límite depende del ángulo \theta. Si no existe tal dependencia el límite inicial existe y su valor es el obtenido en el límite en polares.
  • Ecuaciones de curvas: las coordenadas polares simplifican la expresión de las ecuaciones de ciertas curvas. Por ejemplo, la circunferencia de centro (0,0) y radio 3 tiene a x^2+y^2=9 como ecuación en coordenadas rectangulares y a r=3 como ecuación en polares.
  • Forma polar de un número complejo: todo punto del plano con coordenadas rectangulares (x,y) es la representación gráfica del número complejo z=x+iy (esta forma de representar un número complejo se denomina forma binómica del z). Pasando a polares obtenemos el módulo (r) y el argumento (\theta) de z y con ello la forma polar de z: z=r_{\theta}

    Expresar los números complejos en su forma polar simplifica mucho ciertas operaciones, como son la multiplicación, la división y el cálculo de raíces n-ésimas.

  • Cálculo de integrales dobles: cuando la región de integración de una integral doble es una circunferencia o una elipse (o parte de alguna de ellas) pasar a coordenadas polares es una opción muy interesante ya que simplifica mucho el cálculo de los límites de integración de la misma.
  • Navegación marítima: como la navegación marítima se basa en ángulos y distancias la utilización de las coordenadas polares simplifica mucho los cálculos necesarios para realizar dicha actividad.
  • Cálculos orbitales: las razones son las mismas que en el caso anterior.

Un toque de humor

Las coordenadas polares también sirven para darle un toque de humor matemático a nuestra vida:

¿Qué es un oso polar?
Un oso rectangular al que se le ha aplicado un cambio de coordenadas.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 4 de May de 2009 | Comments Off
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Calcular la fecha del Domingo de Resurrección

Gracias a Tito Eliatron por la información que me envió sobre este tema hace ya un tiempo.

Introducción

Recién terminada la Semana Santa planteo la siguiente pregunta: ¿sabéis qué criterio se sigue para asignar la fecha del Domingo de Resurrección cada año?

Yo me he hecho esa pregunta en más de una ocasión viendo que la variedad de fechas para ese día es relativamente grande. ¿Hay algún criterio para asignar fecha a ese día? En el caso de que lo haya (que por otra parte era lo más lógico), ¿en qué se basa ese criterio? ¿Su base es meramente religiosa o hay algo más?

Pues parece que hay algo más. Y, cómo no, lo que hay son matemáticas. Sí, matemáticas, aquí también están. Veámoslo.

Historia

A principios del siglo IV habían surgido varios grupos que calculaban a su manera la fecha del día de la Pascua de Resurrección. No había consenso, cada uno de ellos daba una fecha distinta, por lo que la confusión que rodeaba este asunto era grande. En el Concilio de Arlés (año 314) se obligó a todos los cristianos a celebrar la Pascua el mismo día (que sería fijado por el Papa), aunque no todos los grupos estuvieron de acuerdo en ello. Fue en el año 325, en el Concilio de Nicea, donde se alcanzó un principio de acuerdo.

Las normas que debía cumplir el día de Pascua de Resurrección eran las siguientes:

  • La Pascua debía celebrarse en domingo.
  • No podía coincidir con la Pascua judía (que conmemora la salida del pueblo judío de Egipto) para evitar confusiones entre ambas religiones.
  • Que los cristianos no celebrasen la Pascua dos veces el mismo año.

Pero con todo esto seguía habiendo diferencias entre la iglesia de Roma y la iglesia de Alejandría (principalmente relacionadas con el equinoccio de primavera y el cálculo de la edad de la Luna).

La solución final no llegó hasta el año 525, en el que Dionisio el Exiguo (cuyo nombre proviene de su pequeña estatura) sentó las bases del cálculo de la fecha de Pascua (que eran las del método alejandrino). Las premisas iniciales del método son las siguientes:

  • La Pascua ha de caer en domingo.
  • Este domingo ha de ser el siguiente a la primera luna llena de la primavera boreal (si esta fecha cayese en domingo, la Pascua se trasladará al domingo siguiente para evitar la coincidencia con la Pascua judía).
  • La luna pascual es aquella cuyo plenilunio tiene lugar en el equinoccio de primavera (vernal) del hemisferio norte (de otoño en el sur) o inmediatamente después.
  • Este equinoccio tiene lugar el 21 de marzo.
  • Llamamos epacta a la edad lunar. En concreto nos interesa para este cálculo la epacta del año, la diferencia en días que el año solar excede al año lunar. O, dicho más fácilmente, el día del ciclo lunar en que está la Luna el 1 de enero del año cuya Pascua estamos calculando. Este número (como es lógico) varía entre 0 y 29.

Con estas condiciones la Pascua quedaba encuadrada entre el 22 de marzo y el 25 de abril.

Durante el Renacimiento se construyeron tablas de cálculo para esta fecha, algunas de ellas relacionadas con el número aúreo. En la actualidad el método más sencillo para realizar este cálculo se debe a nuestro admirado Gauss.

Cálculo del Domingo de Resurrección

Como hemos dicho antes, el método más sencillo para el cálculo de esta fecha se lo debemos a quien da nombre a este blog, Carl Friedrich Gauss (como podéis consultar en el extra que encontraréis más adelante, éste no es el método oficial, pero siempre da el mismo resultado). La base del mismo es la aritmética modular. Vamos a explicar en qué consiste:

Definimos diez variables que denotamos así: a,b,c,k,p,q,M,N,d,e. Siendo A el año del que queremos calcular la fecha del Domingo de Resurrección, veamos cómo se define cada una de ellas:

  • a es el resto de la división de A entre 19, es decir, a \equiv A \pmod{19}.
  • b es el resto de dividir A entre 4, es decir, b \equiv A \pmod{4}.
  • c es el resto de la división de A entre 7, esto es, c \equiv A \pmod{7}.
  • k es el resultado de redondear por defecto el resultado de la división de A entre 100, es decir, k= \lfloor \textstyle{\frac{A}{100}} \rfloor.
  • p es el resultado de redondear por defecto el resultado de la división de 13+8k entre $25$, esto es, p=\lfloor \textstyle{\frac{13+8k}{25}} \rfloor.
  • q es el resultado de redondear por defecto el resultado de la división de k entre 4, es decir, q=\lfloor \textstyle{\frac{k}{4}} \rfloor.
  • M es el resto de la división de 15-p+k-q entre 30, esto es, M \equiv 15-p+k-q \pmod{30}.
  • N es el resto de la división de 4+k-q entre 7, es decir, N \equiv 4+k-q \pmod{7}.
  • d es el resto de dividir 19a+M entre 30, o lo que es lo mismo, d \equiv 19a+M \pmod{30}.
  • e es el resto de la división de 2b+4c+6d+N entre 7, es decir, e \equiv 2b+4c+6d+N \pmod{7}.

Calculando el valor de cada una de las variables para el año en cuestión, la fecha del Domingo de Resurrección será la siguiente:

  • Si d+e < 10, la fecha de Pascua de Resurrección será el día d+e+22 de marzo.
  • Si d+e > 9, la fecha de Pascua de Resurrección será el día d+e-9 de abril.

Para esta regla existen dos excepciones:

  • Si obtenemos el 26 de abril (nos salimos del rango establecido), la Pascua será el 19 de abril.
  • Si obtenemos el 25 de abril con d=28, e=6, a > 10, entonces la Pascua será el 18 de abril.

Para ejemplificar el método vamos a calcular la fecha del Domingo de Resurrección de este año 2009 (que como sabemos es el día 12 de abril).

Para el año A=2009 los valores de las variables son los siguientes (como los cálculos son sencillísimos os dejo a vosotros la comprobación):

a=14,b=1,c=0,k=20,p=6,q=5,M=24,N=5,d=20,e=1

Como d+e =21 > 9, entonces la fecha es el d+e-9=21-9=12 de abril, como en realidad es.

Extra: Gracias a nuestro gran amigo fede (¡qué haría yo sin ti algunas veces!) os puedo ofrecer este formulario mediante el cual podréis calcular la fecha del Domingo de Resurrección que él mismo ha programado (utiliza javascript, por lo que si no lo tenéis activado igual no os funciona) a partir de la descripción del método que podéis ver en la fuente de la Wikipedia inglesa que aparece al final de este artículo (hay un par de retoques de diseño que son míos; se aceptan todo tipo de sugerencias y ayudas). Para utilizarlo simplemente tenéis que escribir las cuatro cifras del año del que queréis calcular la fecha del Domingo de Resurrección (siempre un año mayor que 1582) y automáticamente os aparecerá dicha fecha:

Cálculo de la fecha del Domingo de Resurrección Escribe el año del que quieres realizar el cálculo:
En el año introducido, el domingo de Resurrección es (según el algoritmo de Gauss) el día
(El algoritmo de Gauss no es el oficial, aunque da el mismo resultado.)

Las variables M y N

Si nos fijamos en la descripción del método vemos que las variables $latgex k,p$ y q sólo sirven para calcular M y N. Para evitarnos su cálculo os dejo una tabla con los valores de las mismas para ciertos intervalos de años:

Años M N
1583-1699 22 2
1700-1799 23 3
1800-1899 23 4
1900-2099 24 5
2100-2199 24 6
2200-2299 25 0

Fuentes:

Esta entrada estaba programada hace un tiempo, razón por la cual no había visto que Tito Eliatron había publicado el método descrito aquí hace unos días. Os dejo el enlace a ese post:

Aritmética modular y Semana Santa

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 13 de April de 2009 | Comments Off
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