Integrar no es fácil, sobre todo en los comienzos, cuando uno se encuentra con la famosa S estirada, 
, por primera vez. Creo que en esto estamos de acuerdo.
En lo que pienso que también estaremos de acuerdo es en que, sobre todo en esos momentos, la integración es un arte. La manera en la que los virtuosos de la integral vislumbran la fórmula a utilizar o el método de integración adecuado deja tan sorprendido al resto que no es exagerado, como decía, calificar a estos expertos integradores como auténticos artistas del mundo de Riemann.
Lo primero que uno se encuentra cuando comienza con las integrales son, generalmente, las integrales inmediatas, esto es, las que pueden resolverse simplemente utilizando las típicas fórmulas que se encuentran en las tablas habituales (y las propiedades de linealidad de la integral). Aunque en ocasiones uno puede encontrarse integrales inmediatas realmente complicadas de identificar, por norma general éstas se pasan fácilmente.
Seguidamente a uno se le presenta el método de integración por partes, y lo primero que ve es la siguiente fórmula:
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 25 de January de 2012
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Categorías: Aprenda como, Cálculo
Hace ya un tiempo (más de cuatro años, casi nada) describí en el blog una construcción con regla y compás del heptadecágono, polígono regular de 17 lados. Podéis verla en este enlace.
Recuerdo que fue Gauss quien demostró, cuando tenía 19 años, que el heptadecágono era construible con regla y compás. Según sus propias palabras:
“Fue el día 29 de marzo de 1796, durante unas vacaciones en Brunswick, y la casualidad no tuvo la menor participación en ello ya que fue fruto de esforzadas meditaciones; en la mañana del citado día, antes de levantarme de la cama, tuve la suerte de ver con la mayor claridad toda esta correlación, de forma que en el mismo sitio e inmediatamente apliqué al heptadecágono la correspondiente confirmación numérica.”
Pero no fue él quien dio una construcción explícita del heptadecágono, sino Johannes Erchinger. Esta forma de construir el polígono regular de 17 lados fue la descrita en aquel post. Hoy os traigo la misma construcción, pero realizada con GeoGebra.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 12 de December de 2011
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Categorías: Aprenda como, Demostraciones, Geometría
Introducción
La banda (o cinta) de Möbius (o Moebius) es una superficie con una sola cara y un solo borde que además es no orientable. Fue descubierta de forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 23 de August de 2011
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Categorías: Aprenda como, Topología, Vídeos
El método que utilizamos para calcular el cuadrado de un número natural es multiplicar dicho número por sí mismo, esto es, la propia definición de cuadrado. Esto es bien sencillo y corto de calcular con números pequeños, pero puede resultar largo y tedioso conforme el número va creciendo. Hoy os voy a hablar de un método para el cálculo del cuadrado de un número natural proveniente de las matemáticas védicas: el método Yavadunam.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 9 de August de 2011
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Categorías: Aprenda como, Números enteros
La papiroflexia es muy entretenida. Todos nos hemos introducido, aunque sea mínimamente, en este arte en algún momento de nuestra vida. Y aunque a veces la figura en cuestión nos ha sacado un poco de quicio, en general hemos pasado un buen rato.
Hoy, un ratito antes de terminar el día, os traigo un vídeo donde os enseño una manera muy sencilla de construir un pentágono regular doblando papel. Ahí va:
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 14 de July de 2011
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Categorías: Aprenda como, Geometría, Vídeos
El Cuaderno Escocés es un documento en el que se recopilaron 197 problemas propuestos entre 1935 y 1941 por un grupo de genios matemáticos que se reunían en el Café Escocés de Lwów. Entre los integrantes de ese grupo se encontraban auténticos monstruos de las matemáticas como Stefan Banach, Stanislaw Ulam, Stanislaw Mazur o Juliusz Schauder. En el enlace anterior aparecen más datos sobre la historia del cuaderno, las reuniones, los integrantes de las mismas y el terrible final de la vida de muchos de ellos.
Como decíamos, en este documento, de gran importancia e influencia en las matemáticas posteriores, aparecen 197 problemas. En este enlace podéis ver el manuscrito original y en este otro enlace se puede consultar una traducción al inglés del mismo. Pero en este post no nos vamos a dedicar al cuaderno completo, sino que vamos a comentar uno de los problemas del mismo, concretamente el problema 59, o, por ponerle un nombre, Cómo cuadrar un cuadrado.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 4 de July de 2011
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Categorías: Aprenda como, Curiosidades
Calcular la derivada de una integral…¿estás de broma? La derivada de una integral…¿Eso existe? Y si existe, ¿eso no daría de resultado la función inicial?
Pues sí, existe. Y bueno, en cierto modo tienes razón, ya que la integral y la derivada son procesos inversos, por lo que si realizamos primero un proceso y luego el otro obtendríamos la función inicial. Vamos, digamos que nos quedaríamos igual. Pero la cosa no es siempre así, depende de varios detalles de la propia integral y de la función inicial.
Vale, supongamos que se puede hacer esto. ¿Qué importancia podría tener? ¿Para qué podría servir? ¿Es útil?
Pues…sí, claro que tiene importancia. Así, a bote pronto, se me ocurre la siguiente utilidad: estudio del crecimiento y decrecimiento de una función definida mediante una integral. Como sabemos, el crecimiento y decrecimiento de una función derivable en un intervalo puede conocerse mediante el estudio del signo de la primera derivada en dicho intervalo, por lo que si nuestra función está definida mediante una integral tendremos que derivarla para ver dónde crece y dónde decrece.
Bueno, no está mal, pero no me imagino de dónde puede salir una función definida mediante una integral. Vamos, que no lo veo natural.
Ahí va un ejemplo que me pasa ahora mismo por la cabeza. En muchas ocasiones las soluciones de una ecuación diferencial (no nos hace falta saber qué es eso, aunque muchos seguro que lo sabéis) deben dejarse en forma integral, por lo que para estudiar su crecimiento y decrecimiento debemos derivar esa integral y estudiar el signo de esa derivada. Y bueno, teniendo en cuenta que gran cantidad de procesos de la naturaleza están regidos por ecuaciones diferenciales (¿hay alguno que no lo esté?) parece buena idea saber hacer esto, ¿verdad?
Por todo esto, en este post vamos a ver cómo calcular la derivada de una una función definida mediante una integral.
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Autor: gaussianos | Publicado el 22 de June de 2011
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Categorías: Aprenda como, Cálculo
CutOutFoldUp, la web sobre desarrollos planos de figuras para hacer en papel de la que os hablé en este Sumatorio de Enlaces, es un auténtico filón para todo lo que tiene que ver con las matemáticas y el papel. Os recomiendo que le echéis un vistazo en profundidad, seguro que descubriréis bastantes pequeñas maravillas.
En este artículo os traigo dos de ellas. En concreto os voy a explicar dos formas de dibujar un octógono regular (polígono regular de ocho lados) que explican en CutOutFoldUp mediante dobleces en papel.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 18 de February de 2011
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Categorías: Aprenda como, Geometría
Está comenzando a ser muy habitual en mi actividad blogueril que mientras busco información, ya sea personal o para algún artículo, aparezca como por arte de magia algo que considero interesante para el blog. El otro día me volvió a ocurrir y, como no podía ser de otra forma, pensé en aprovechar la situación y escribir una entradita acompañada de GeoGebra, que además hacía un tiempo que no usaba.
La cuestión es que buscando algo me topé con este post del blog Algo Rythmes, donde explican cómo construir las tangentes interiores a dos circunferencias. Bien, pues eso es lo primero que vamos a aprender hoy.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 26 de January de 2011
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Categorías: Aprenda como, Geometría
La Navidad está a la vuelta de la esquina. Este período del año que a tanta gente gusta (y tanta gente odia, por qué no decirlo) se caracteriza por las compras poco habituales, por el dinero extra que gasta todo hijo de vecino, ya sea en comida, salidas con los amigos y con la familia, regalos (¿pero de eso no se encargaban…? Mejor lo dejamos ahí), etc.
Y, como en la mayoría de las operaciones relacionadas con dinero, en la actualidad está bastante claro que la tarjeta de crédito es la gran protagonista. Ya sea en persona o por internet, cada día utilizamos ese artilugio que nos permite comprar sin dinero físico en nuestras manos o que nos permite obtener parte de nuestro dinero a través de un cajero (que alguien que conozco denomina darle un pellizco a la pared).
Bien, analicemos ahora nuestra tarjeta. Podemos ver que el número de la misma consta de 16 dígitos separados en grupos de 4. Lo que vamos a hacer en este artículo es explicar qué significan cada uno de esos números y resaltar el papel que las matemáticas tienen en el número de la tarjeta en su conjunto.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 3 de December de 2010
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