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Saber si un número es divisible entre 11 y entre 19

Comenzamos la semana con un artículo sobre criterios de divisibilidad que, aunque a la gran mayoría os resultará sencillo, puede ser muy útil en ciertas situaciones concretas. Vamos a aprender a indentificar si un número es divisible entre $11$ y entre $19$ .

Divisibilidad entre 11

Todo número entero positivo $N$ puede escribirse de la siguiente forma:

$N=a+10b+100c+1000d+ \ldots$

Por ejemplo, $143=3+10 \cdot 4+100 \cdot 1$ y $29785 =5+10 \cdot 8+100 \cdot 7+1000 \cdot 9+10000 \cdot 2$ . Si al dividir este número entre $11$ nos queda resto ${0}$ entonces el número será divisible entre $11$ , y si queda cualquier otro resto entonces no lo será.

Si a $N$ le sumamos o le restamos un múltiplo de $11$ el resultado dará el mismo resto al dividirlo por $11$ y por tanto analizando ese resultado obtendremos la conclusión deseada sobre nuestro número $N$ . Esta propiedad es la que vamos a utilizar.

Procedemos le la siguiente forma: le restamos a $N$ el número $11(b+10c+100d+ \ldots)$ . El resultado es $a-b-10(c+10d+ \ldots)$ . Sumamos ahora el número $11(c+10d+\ldots)$ y nos queda $a-b+c+10(d+ \ldots)$ . Restamos ahora $11(d+ \ldots)$ y nos queda $a-b+c-d+ \ldots$ . Continuamos de la misma forma hasta que lleguemos al último término. El resultado es una expresión en la cual aparecen las cifras situadas en posición impar en $N$ tienen signo positivo y las situadas en posición par tienen signo negativo. Realizamos esa operación y analizamos si el resultado (si sale un número negativo lo podemos tomar como positivo) es divisible entre $11$ . Si es así entonces $N$ también lo será; si no lo es entonces $N$ tampoco. Si el número obtenido es muy grande aplicamos el mismo razonamiento hasta llegar a un número del cual sepamos con seguridad si es o no divisible entre $11$ .

Veamos algunos ejemplos:

$143 \longrightarrow 1-4+3=0$ , que es divisible entre $11$ . Por tanto $143$ es divisible entre $11$ .

$29785 \longrightarrow 2-9+7-8+5=-3$ . Como $3$ no es divisible entre $11$ entonces $29785$ no es divisible entre $11$ .

$3879847390637 \longrightarrow 3-8+7-9+8-4+7-3+9-0+6-3+7=20 \rightarrow 2-0=2$ , que no es divisible entre $11$ . Por tanto $3879847390637$ no es divisible entre $11$ .

Divisibilidad entre 19

A diferencia del caso anterior vamos a expresar nuestro número inicial $N$ de la siguiente forma: $N=10x+y$ , siendo $y$ la cifra de las unidades y $x$ la cantidad de decenas. Por ejemplo, $59$ tiene 5 decenas y $7087$ tiene 708 decenas. Multiplicamos este número por, obteniendo $2N=20x+2y$ . Restando ahora el número $19x$ , múltiplo de $19$ , nos queda $2N-19x=x+2y$ . Al igual que antes este número dejará el mismo resto que $N$ al dividir entre $19$ . Por tanto $N$ será divisible entre $19$ si y sólo si lo es $x+2y$ . Por tanto para analizar si un número es divisible entre $19$ aplicaremos este procedimiento las veces necesarias hasta llegar a un número lo suficientemente pequeño para saber a ciencia cierta si es o no divisible entre $19$ .

Veamos algunos ejemplos:

$59 \longrightarrow 5+2 \cdot 9=23 \rightarrow 2+2 \cdot 3=8$ , que no es divisible entre $19$ . Por tanto $59$ no es divisible entre $19$ .

$7087 \longrightarrow 708+2 \cdot 7=722 \rightarrow 72+2 \cdot 2=76 \rightarrow 7+2 \cdot 6=19$ , que evidentemente es divisible entre $19$ . Por tanto $7087$ es divisible entre $19$ .

$\begin{matrix}4876703 \longrightarrow 487670+2 \cdot 3=487676 \rightarrow 48767+2 \cdot 6=48779 \rightarrow 4877+2 \cdot 9= \\ =4895 \rightarrow 489+2 \cdot 5=499 \rightarrow 49+2 \cdot 9=67 \rightarrow 6+2 \cdot 7=20 \end{matrix}$ , que no es divisible entre $19$ . Por tanto $4876703$ no es divisible entre $19$ .

En este artículo de la Wikipedia podéis ver más criterios de divisibilidad, aunque sin demostrar. Y en nuestro anterior artículo Múltiplos de 37 podéis volver a ver las curiosas propiedades de la divisibilidad entre este número.

Escrito por ^DiAmOnD^, 2 de Junio de 2008 en Aprenda como, Números enteros
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Cómo demostrar que π (pi) es irracional (II)

Hoy, día de $\pi$ , vamos a ver una segunda demostración de la irracionalidad de esta constante, razón entre la longitud y el diámetro de una circunferencia (la primera demostración podéis verla en esta entrada).

Teorema: $\pi$ es irracional

Demostración:

Sea $\displaystyle{I_n(\alpha)=\int_{-1}^{1} (1-x^2)^n cos(\alpha x) dx}$ . Integrando por partes obtenemos lo siguiente:

$\alpha ^2 I_n=2n (2n-1) I_{n-1}-4n(n-1) I_{n-2}$

Siguiendo con la integración por partes llegamos a la siguiente expresión:

$\alpha ^{2n+1} I_n=n!(P_n sen(\alpha)+Q_n cos(\alpha))$ (1)

siendo $P_n$ , de grado $n$ , y $Q_n$ , de grado $n-1$ , polinomios de coeficientes enteros.

Tomamos $\textstyle{\alpha=\frac{\pi}{2}}$ y suponemos que $\pi$ es racional, digamos $\textstyle{\pi=\frac{a}{b}}$ , con $a,b \in \mathbb{Z}$ . Con ello, de (1) deducimos que

$J_n=\cfrac{a^{2n+1} I_n}{n!}$

es un número entero. Por otra parte, $J_n \rightarrow 0$ cuando $n \rightarrow \infty$ , ya que $a$ es fijo y la integral $I_n$ está acotada por $\textstyle{\displaystyle{\int_{-1}^{1} cos(\frac{\pi x}{2})}}$ , que es finita.

Por tanto $J_n$ es entero, $\forall n\in\mathbb{N}$ , y además $J_n \rightarrow 0$ cuando $n \rightarrow \infty$ . Por tanto $J_n=0$ para algún $n$ . Pero el integrando de $I_n$ es continuo y es positivo en todo el intervalo $(-1,1)$ . Por tanto $J_n \ne 0$ .

Esta es la contradicción a la que se llega asumiendo que $\pi$ es racional. Por tanto queda demostrado que $\pi$ es irracional.

Escrito por ^DiAmOnD^, 14 de Marzo de 2008 en Aprenda como, Pi
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Expresar un número decimal en forma de fracción

Después de unas semanas sin artículo propiamente (fiestas y época de exámenes de mis alumnos han tenido la culpa) volvemos a la carga con un artículo que aunque no sea excesivamente avanzado nunca está de más: vamos a (re)aprender a expresar un número decimal en forma de fracción

Introducción

Para comenzar, aunque para muchos es evidente, vamos a delimitar nuestro campo de acción, es decir, vamos a ver qué números podemos expresar en forma de fracción. Éstos son los números racionales, conjunto que se denota $\mathbb{Q}$ . Es decir, los números decimales que podemos expresar como fracción son los números decimales exactos, como $7,3$ o $0,527$ , y los números decimales en cuya expresión decimal se repite a partir de un cierto momento una misma cantidad de cifras, denominada período, como $23,\widehat{4}$ o $5,43\widehat{78}$ . Los números decimales que no podemos expresar como fracción son los números irracionales, que suele denotarse como $\mathbb{I}$ o $\mathbb{R-Q}$ . Algunos ejemplos de estos números han aparecido ya en este blog en varias ocasiones: el número $\pi$ , el número $e$ o el número $\sqrt{2}$ . La expresión decimal de estos números (como la de todos los irracionales) es infinita y no periódica. Por ello no pueden expresarse como una fracción.

Como último comentario antes de comenzar decir que la fracción que vamos a obtener de cada número decimal no va a ser en general una fracción irreducible, es decir, cuando ya tengamos la fracción asociada al número decimal podremos encontrar una fracción equivalente a la obtenida que será irreducible dividiendo numerador y denominador por el máximo común divisor de ambos. Veremos ejemplos en el desarrollo.

Desarrollo

Para conseguir nuestro objetivo vamos a distinguir tres casos:

1.- Número decimal exacto

Este es el caso más sencillo de todos. La fracción buscada es:

-Numerador: Número completo sin coma
-Denominador: Un uno seguidos de tantos ceros como cifras decimales tenía el número inicial

Si la fracción obtenida no es irreducible podemos simplificarla como comentamos antes dividiendo por el máximo común divisor de numerador y denominador. Expliquemos por qué con un ejemplo:

Sea $x=4,1347$ . Multiplicamos $x$ por $10000$ y queda:

$10000x=41347$

Despejando $x$ obtenemos lo buscado

$x=4,1347=\cfrac{41347}{10000}$

Al ser una fracción irreducible nos quedamos con ella.

Por el mismo procedimiento, para este otro número llegamos a la siguiente fracción:

$0,18=\cfrac{18}{100}=\cfrac{9}{50}$

Como en este caso la fracción obtenida no es irreducible la simplificamos dividiendo entre $2$ numerador y denominador.

2.- Número decimal periódico puro

En este caso la fracción buscada es la siguiente:

-Numerador: Parte entera del número inicial junto con el período-parte entera del número inicial
-Denominador: Tantos nueves como cifras tenga el período

Si la fracción obtenida no es irreducible también podemos simplificarla. Explicamos el tema con un ejemplo:

Sea $x=1,\widehat{8}$ . Multiplicamos $x$ por $10$ (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene el período) y después restamos $x$ al resultado. Queda:

$10x-x=18,\widehat{8}-1,\widehat{8}=17$

Tenemos entonces $9x=17$ . Despejamos $x$ y llegamos al resultado esperado:

$x=1,\widehat{8}=\cfrac{17}{9}$

Como lo que obtenemos es una fracción irreducible nos la quedamos.

De la misma forma, para este otro número llegamos a lo siguiente:

$13,\widehat{273}=\cfrac{13273-13}{999}=\cfrac{13260}{999}=\cfrac{4420}{333}$

Como en este caso obtenemos una fracción no irreducible la simplificamos dividiendo por $3$ numerador y denominador.

3.- Número decimal periódico mixto

En este caso la fracción quedaría de la siguiente manera:

-Numerador: Parte entera junto con parte no periódica junto con período-parte entera junto con parte no periódica
-Denominador: Tantos nueves como cifras tiene el período seguidos de tantos ceros como decimales no periódicos teníamos

Vamos a explicar este caso también mediante un ejemplo:

Sea $x=0,3\widehat{4}$ . Multiplicamos $x$ por $10$ (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica) y restamos $x$ :

$10x-x=3,\widehat{4}-0,3\widehat{4}=3,1$

Tenemos entonces que $9x=3,1$ . Volvemos a multiplicar por $10$ (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal que ha quedado):

$90x=31$

Despejando $x$ obtenemos los buscado:

$x=0,3\widehat{4}=\cfrac{31}{90}$

Como la fracción obtenida es irreducible nos la quedamos.

Veamos otro ejemplo:

Sea $x=12,23\widehat{7}$ . Multiplicamos $x$ por $100$ (un uno seguidos de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica) obteniendo $100x=1223,\widehat{7}$ . Multiplicamos ahora por $10$ (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte periódica que nos queda) llegando a $1000x=12237,\widehat{7}$ . Ahora tomamos el número por el que multiplicamos a $x$ en el primer paso, que en este caso es $100$ , lo multiplicamos por $x$ y se lo restamos a lo que habíamos obtenido:

$1000x-100x=12237,\widehat{7}-1223,\widehat{7}=11014$

Nos queda entonces:

$900x=11014$

De donde obtenemos el resultado despejando $x$ :

$x=12,23\widehat{7}=\cfrac{11014}{900}=\cfrac{5507}{450}$

Como la fracción obtenida no era irreducible la simplificamos dividiendo por $2$ numerador y denominador.

Y uno más:

Sea $x=31,775\widehat{5692}$ . Multiplicamos $x$ por $1000$ (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica) y nos queda $1000x=31775,\widehat{5692}$ . Ahora multiplicamos por $10000$ (un uno seguido de tantos ceros como cifras tiene el período que nos ha quedado) y obtenemos $10000000x=317755692,\widehat{5692}$ . Tomamos ahora el número por el que multiplicamos en el primer paso, $1000$ en este caso, lo multiplicamos por $x$ y se lo restamos a lo que habíamos obtenido:

$10000000x-1000x=317755692,\widehat{5692}-31775,\widehat{5692}=317723917$

Obtenemos

$9999000x=317723917$

Despejando $x$ :

$x=31,775\widehat{5692}=\cfrac{317723917}{9999000}$

Como la fracción obtenida es irreducible nos quedamos con ella.

Conclusión

Como habéis podido ver la cosa no es ni mucho menos difícil, pero nunca viene mal saber cómo hacer estos cambios de decimal a fracción ya que, por norma general, es mucho más engorroso operar con varios números decimales de distintos tipos, con distinto períodos, etc, que hacerlo con fracciones. Con estos procedimientos conseguimos precisamente expresar cualquier número decimal (racional) en forma de fracción, es decir, pasar cualquier tipo de numero decimal (racional) a un único tipo de número, una fracción, para así simplificar el manejo y las operaciones entre los mismos.

Escrito por ^DiAmOnD^, 21 de Enero de 2008 en Aprenda como
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¿De dónde sale la fórmula para resolver ecuaciones polinómicas de segundo grado?

Todo el que haya llegado hasta Educación Secundaria ha resuelto ecuaciones polinómicas de segundo grado. Por tanto todo el mundo conoce la famosa fórmula que se utiliza para determinar cuántas soluciones tiene una ecuación concreta:

$x=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Las posibilidades son 0, 1 ó 2 y es la fórmula la que nos acaba diciendo cuántas hay y cuáles son en el caso de que existan.

La pregunta es: ¿todo el mundo sabe de dónde sale esta fórmula? Probablemente a todos nos lo hayan dicho en su momento pero tengo comprobado que mucha gente acaba por memorizar la fórmula sin más y olvida de dónde sale. Aunque la cosa no tiene demasiado misterio creo que merece la pena dedicarle un post para que todos recordemos este tema. Ahí va:

Partimos de la ecuación polinómica siguiente:

$ax^2+bx+c=0$

donde se supone $a\ne 0$ para que la ecuación sea de verdad de segundo grado.

Lo que vamos a hacer ahora es reescribirla como un binomio al cuadrado más unas ciertas constantes, digamos $(m+n)^2+p=0$ . Como sabemos que $(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$ tenemos que:

El término del binomio que nos proporcionará $ax^2$ (supongamos que es $m$ ) debe ser $\sqrt{a}x$ . Por tanto $m=\sqrt{a}x$ .

El término $bx$ debe salir del doble producto $2mn$ . Como $m=\sqrt{a}x$ tenemos que $bx=2(\sqrt{a}x)n$ . Despejando obtenemos que $n=\frac{b}{2\sqrt{a}}$ .

Al realizar el cuadrado de ese binomio nos queda que $n^2=\frac{b^2}{4a}$ , constante que antes no teníamos. Por tanto tendremos que restarla. Además $c$ debe seguir estando. Por tanto $p=-\frac{b^2}{4a}+c$ .

Vamos, que la cosa queda como sigue:

$ax^2+bx+c=\left ( \sqrt{a}x+\cfrac{b}{2\sqrt{a}} \right )^2-\cfrac{b^2}{4a}+c=0$

Pasamos las constantes al otro lado:

$\left ( \sqrt{a}x+\cfrac{b}{2\sqrt{a}} \right )^2=\cfrac{b^2}{4a}-c$

Hacemos raíz cuadrada a ambos lados (en este paso es donde aparece el $\pm$ ):

$\sqrt{a}x+\cfrac{b}{2\sqrt{a}}=\pm \sqrt{\cfrac{b^2}{4a}-c}$

Operamos dentro de la raíz del segundo miembro:

$\sqrt{a}x+\cfrac{b}{2\sqrt{a}}=\pm \sqrt{\cfrac{b^2-4ac}{4a}}$

Pasamos la constante de la izquierda al otro lado y sacamos $4a$ de la raíz:

$\sqrt{a}x=\cfrac{-b}{2\sqrt{a}} \pm \cfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2\sqrt{a}}$

Dividimos ambos miembros por $\sqrt{a}$ (lo que comúnmente se diría como pasamos $\sqrt{a}$ al otro miembro) y sumamos las fracciones. La cosa queda:

$x=\cfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

que es lo que todos conocemos.

Aunque como dije antes la demostración no tiene demasiado misterio, es bastante sencilla e intuitiva no viene mal de vez en cuando recordar ciertas cosas relativamente sencilla que generalmente la gente no retiene en su memoria (el cálculo de la raíz cuadrada es otro ejemplo sobre este tipo de temas). Espero que os haya parecido interesante.

Actualización: En los comentarios Pelícano nos comenta otra forma aún más simple. Ahí va:

Partimos de $ax^2+bx+c=0$ . Restamos $c$ a ambos lados. Queda:

$ax^2+bx=-c$

Multiplicamos a ambos lados por $4a$ . Queda:

$4a^2x^2+4abx=-4ac$

Sumamos $b^2$ a ambos lados:

$4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac$

La parte izquierda se pone como el cuadrado de un binomio:

$(2ax+b)^2=b^2-4ac$

Hacemos raíz cuadrada a ambos lados:

$2ax+b=\pm \sqrt{b^2-4ac}$

Restamos $b$ a ambos lados:

$2ax=-b \pm \sqrt{b^2-4ac}$

Y para concluir dividimos por $2a$ a ambos lados obteniendo lo que queríamos:

$x=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Escrito por ^DiAmOnD^, 26 de Noviembre de 2007 en Aprenda como, Demostraciones
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Construcciones con regla y compás (IV): La construcción del Heptadecágono

Ir a Construcciones con regla y compás (III)

A partir de esta sugerencia de Domingo he decidido ampliar la serie sobre Construcciones con regla y compás con un artículo más donde voy a explicar paso a paso la construcción del Heptadecágono, el polígono regular de 17 lados.
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Escrito por ^DiAmOnD^, 22 de Octubre de 2007 en Aprenda como, Demostraciones, Geometría
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Demostrando el teorema de Pitágoras con la fórmula de Herón

El teorema de Pitágoras es uno de esos resultados matemáticos que no necesitan presentación. Todos conocemos este teorema y muchos lo aplicamos continuamente. Pero ¿cuánta gente es capaz de recordar así a bote pronto una demostración de este hecho? Bueno, sí, tenemos la que publicamos hace un tiempo en este blog. Pero hay muchas más.

Probablemente la fórmula de Herón sea menos conocida para el público en general. En este artículo vamos a ver una demostración del teorema de Pitágoras a partir de la fórmula de Herón.

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Escrito por ^DiAmOnD^, 16 de Octubre de 2007 en Aprenda como, Demostraciones, Geometría, Historia, Teoremas
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Construcciones con regla y compás (III): Los polígonos regulares

Ir a Construcciones con regla y compás (II)

Terminamos esta serie dedicada a las construcciones con regla y compás con un artículo sobre la relación de éstas con los polígonos regulares.

La pregunta es sencilla: ¿se pueden construir todos los polígonos regulares con regla y compás siguiendo las reglas que hemos establecido para estas construcciones? Vamos a ver la construcción de los mismos partiendo de unos ejes coordenados y dos puntos $A$ y $B$ :

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Escrito por ^DiAmOnD^, 15 de Octubre de 2007 en Aprenda como, Geometría
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Construcciones con regla y compás (II): Los problemas délicos

Ir a Construcciones con regla y compás (I)

Introducción

Los problemas délicos son un grupo de tres problemas relacionados con las construcciones con regla y compás conocidos desde la época de la antigua Grecia. Concretamente son la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo utilizando solamente regla y compás con las reglas que vimos en el artículo anterior. Desde la Grecia clásica hasta nuestros días muchos matemáticos han intentado resolverlos. De hecho muchos han creído haberlo conseguido. El problema es que ninguna de las tres construcciones es posible en general usando sólo regla y compás en el sentido expuesto. En este artículo vamos a comentar cada uno de los problemas y a dar las razones por las que estas construcciones no son posibles.

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Escrito por ^DiAmOnD^, 8 de Octubre de 2007 en Aprenda como, Geometría
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La factorización de Fermat

Hace unos días veo este post en Futility Closet:

Mersenne once wrote to Fermat asking whether $100895598169$ were a prime number.

Fermat replied immediately that it’s the product of $898423$ and $112303$ , both of which are prime.

To this day, no one knows how he knew this. Has a powerful factoring technique been lost?

Traducido quedaría algo así:

Mersenne escribió una vez a Fermat preguntándole si $100895598169$ era un número primo.

Fermat respondió inmediatamente que es el producto de $898423$ por $112303$ , ambos primos.

A día de hoy nadie sabe cómo lo supo. ¿Se ha perdido una potente técnica de factorización?

Pues sí, al parecer no se sabe a ciencia cierta cómo factorizó ese número tan grande en tan poco tiempo. Lo que sí se conoce es un método de factorización ideado por Fermat, aunque yo dudo que fuera el que usó para este caso. Pasemos a explicarlo.

El método de factorización de Fermat

La cuestión es factorizar un cierto número $n$ . La idea de Fermat es la siguiente:

Si $n$ es igual a la diferencia de dos cuadrados, digamos $n=x^2-y^2$ , entonces $n$ puede factorizarse de forma muy sencilla de forma evidente: $n=(x+y)(x-y)$ .

Como $x^2$ debe ser mayor que $n$ se tiene que $x$ debe ser mayor que $\sqrt{n}$ . A partir de ésto ya podemos adentrarnos en el método de factorización de Fermat:

Dado un número entero positivo $n$ que queremos factorizar tomamos un entero positivo $x$ mayor que $\sqrt{n}$ (podemos calcular una aproximación de esa raíz cuadrada a ojo o con el método normal y después elegir $x$ ). Calculamos $x^2$ y le restamos $n$ . Si obtenemos un cuadrado hemos terminado. Si no es así tomamos $x+1$ , calculamos $(x+1)^2$ , restamos $n$ y si hemos obtenido un cuadrado se acaba. Procedemos de la misma forma hasta encontrar un cuadrado.

Vamos a ver un par de ejemplos de aplicación del método:

Vamos a factorizar el número $13837$ . Su raíz cuadrada está entre $117$ y $118$ . Tomamos $x=118$ . Pero $118^2-13837=87$ , que no es un cuadrado. Tomamos ahora $x=119$ . Ahora $119^2-13837=324=18^2$ . Por tanto despejando $n=13837$ de esta expresión tenemos su factorización:
$13837=119^2-18^2=(119+18)(119-18)=137 \cdot 101$
Vamos ahora con un número más grande, el que utilizó Fermat para probar la efectividad de su método: $2027651281$ . Su raíz cuadrada está entre $45029$ y $45030$ . Comenzamos con $x=45030$ . Veamos qué resultados obtenemos:
$45030^2-2027651281=49619$ , que no es un cuadrado.
$45031^2-2027651281=139680$ , que no es un cuadrado.
$45032^2-2027651281=229743$ , que no es un cuadrado.
$45033^2-2027651281=319808$ , que no es un cuadrado.
$45034^2-2027651281=409875$ , que no es un cuadrado.
$45035^2-2027651281=499944$ , que no es un cuadrado.
$45036^2-2027651281=590015$ , que no es un cuadrado.
$45037^2-2027651281=680088$ , que no es un cuadrado.
$45038^2-2027651281=770163$ , que no es un cuadrado.
$45039^2-2027651281=860240$ , que no es un cuadrado.
$45040^2-2027651281=950319$ , que no es un cuadrado.
$45041^2-2027651281=1040400=1020^2$ .

Por tanto ya tenemos la factorización:

$2027651281=45041^2-1020^2=(45041+1020)(45041-1020)=44021 \cdot 46061$

Como podemos ver el método está muy bien si la diferencia entre los factores del número no es muy grande pero no es demasiado eficiente si los dos factores están muy alejados el uno del otro, ya que en ese caso la cantidad de cálculos que deberíamos realizar sería enorme. Esa es la razón por la que yo pienso que Fermat no usó este método para factorizar el número $100895598169$ y me temo que siempre nos quedará la duda de qué método utilizó Fermat para realizar esta factorización. De todas formas el método es interesante ya que hasta en nuestros tiempos ha servido como motivación para la búsqueda de nuevos métodos de factorización.

Escrito por ^DiAmOnD^, 5 de Octubre de 2007 en Aprenda como, Curiosidades, Historia, Números enteros
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Curvatura de una función de una variable

Vamos con el post-respuesta a la encuesta que puse hace unos días.

Comencemos con los resultados, que en el momento en el que escribo, con 493 votos, son los siguientes:

Resultados encuesta

Y ahora os pongo la solución correcta:

Opción 1: La función de la primera gráfica es convexa y la de la segunda es cóncava

Y ahora vamos con la explicación:
(Sigue leyendo …)

Escrito por ^DiAmOnD^, 21 de Mayo de 2007 en Aprenda como, Cálculo
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