Porque todo tiende a infinito…
La papiroflexia es muy entretenida. Todos nos hemos introducido, aunque sea mínimamente, en este arte en algún momento de nuestra vida. Y aunque a veces la figura en cuestión nos ha sacado un poco de quicio, en general hemos pasado un buen rato.
Hoy, un ratito antes de terminar el día, os traigo un vídeo donde os enseño una manera muy sencilla de construir un pentágono regular doblando papel. Ahí va:
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El Cuaderno Escocés es un documento en el que se recopilaron 197 problemas propuestos entre 1935 y 1941 por un grupo de genios matemáticos que se reunían en el Café Escocés de Lwów. Entre los integrantes de ese grupo se encontraban auténticos monstruos de las matemáticas como Stefan Banach, Stanislaw Ulam, Stanislaw Mazur o Juliusz Schauder. En el enlace anterior aparecen más datos sobre la historia del cuaderno, las reuniones, los integrantes de las mismas y el terrible final de la vida de muchos de ellos.
Como decíamos, en este documento, de gran importancia e influencia en las matemáticas posteriores, aparecen 197 problemas. En este enlace podéis ver el manuscrito original y en este otro enlace se puede consultar una traducción al inglés del mismo. Pero en este post no nos vamos a dedicar al cuaderno completo, sino que vamos a comentar uno de los problemas del mismo, concretamente el problema 59, o, por ponerle un nombre, Cómo cuadrar un cuadrado.
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Calcular la derivada de una integral…¿estás de broma? La derivada de una integral…¿Eso existe? Y si existe, ¿eso no daría de resultado la función inicial?
Pues sí, existe. Y bueno, en cierto modo tienes razón, ya que la integral y la derivada son procesos inversos, por lo que si realizamos primero un proceso y luego el otro obtendríamos la función inicial. Vamos, digamos que nos quedaríamos igual. Pero la cosa no es siempre así, depende de varios detalles de la propia integral y de la función inicial.
Vale, supongamos que se puede hacer esto. ¿Qué importancia podría tener? ¿Para qué podría servir? ¿Es útil?
Pues…sí, claro que tiene importancia. Así, a bote pronto, se me ocurre la siguiente utilidad: estudio del crecimiento y decrecimiento de una función definida mediante una integral. Como sabemos, el crecimiento y decrecimiento de una función derivable en un intervalo puede conocerse mediante el estudio del signo de la primera derivada en dicho intervalo, por lo que si nuestra función está definida mediante una integral tendremos que derivarla para ver dónde crece y dónde decrece.
Bueno, no está mal, pero no me imagino de dónde puede salir una función definida mediante una integral. Vamos, que no lo veo natural.
Ahí va un ejemplo que me pasa ahora mismo por la cabeza. En muchas ocasiones las soluciones de una ecuación diferencial (no nos hace falta saber qué es eso, aunque muchos seguro que lo sabéis) deben dejarse en forma integral, por lo que para estudiar su crecimiento y decrecimiento debemos derivar esa integral y estudiar el signo de esa derivada. Y bueno, teniendo en cuenta que gran cantidad de procesos de la naturaleza están regidos por ecuaciones diferenciales (¿hay alguno que no lo esté?) parece buena idea saber hacer esto, ¿verdad?
Por todo esto, en este post vamos a ver cómo calcular la derivada de una una función definida mediante una integral.
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CutOutFoldUp, la web sobre desarrollos planos de figuras para hacer en papel de la que os hablé en este Sumatorio de Enlaces, es un auténtico filón para todo lo que tiene que ver con las matemáticas y el papel. Os recomiendo que le echéis un vistazo en profundidad, seguro que descubriréis bastantes pequeñas maravillas.
En este artículo os traigo dos de ellas. En concreto os voy a explicar dos formas de dibujar un octógono regular (polígono regular de ocho lados) que explican en CutOutFoldUp mediante dobleces en papel.
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Está comenzando a ser muy habitual en mi actividad blogueril que mientras busco información, ya sea personal o para algún artículo, aparezca como por arte de magia algo que considero interesante para el blog. El otro día me volvió a ocurrir y, como no podía ser de otra forma, pensé en aprovechar la situación y escribir una entradita acompañada de GeoGebra, que además hacía un tiempo que no usaba.
La cuestión es que buscando algo me topé con este post del blog Algo Rythmes, donde explican cómo construir las tangentes interiores a dos circunferencias. Bien, pues eso es lo primero que vamos a aprender hoy.
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La Navidad está a la vuelta de la esquina. Este período del año que a tanta gente gusta (y tanta gente odia, por qué no decirlo) se caracteriza por las compras poco habituales, por el dinero extra que gasta todo hijo de vecino, ya sea en comida, salidas con los amigos y con la familia, regalos (¿pero de eso no se encargaban…? Mejor lo dejamos ahí), etc.
Y, como en la mayoría de las operaciones relacionadas con dinero, en la actualidad está bastante claro que la tarjeta de crédito es la gran protagonista. Ya sea en persona o por internet, cada día utilizamos ese artilugio que nos permite comprar sin dinero físico en nuestras manos o que nos permite obtener parte de nuestro dinero a través de un cajero (que alguien que conozco denomina darle un pellizco a la pared).
Bien, analicemos ahora nuestra tarjeta. Podemos ver que el número de la misma consta de 16 dígitos separados en grupos de 4. Lo que vamos a hacer en este artículo es explicar qué significan cada uno de esos números y resaltar el papel que las matemáticas tienen en el número de la tarjeta en su conjunto.
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La semana pasada hablábamos de cómo cuadrar un rectángulo, es decir, de cómo construir con regla y compás un cuadrado de la misma área que un cierto rectángulo dado. En el artículo de hoy vamos a ver cómo cuadrar un triángulo, esto es, cómo construir un cuadrado de la misma área que un cierto triángulo inicial.
En primer lugar os explicaré la construcción y después os dejaré un applet de GeoGebra en el que podréis verla.
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Hace ya bastante tiempo que hablamos sobre construcciones con regla y compás en una serie de cuatros artículos que enlazo a continuación:
Hasta fede nos mostró que podemos prescindir de la regla en este tipo de construcciones.
En el segundo artículo se hablaba de la imposibilidad de cuadrar un círculo, lo que significa que dado un círculo con área 
Bien, no podemos cuadrar un círculo, pero sí podemos cuadrar muchas otras figuras, por ejemplo algunas lúnulas. En este artículo vamos a ver cómo cuadrar un rectángulo, es decir, cómo construir con regla y compás un cuadrado de la misma área que un rectángulo dado. Al final del mismo podéis ver un applet de GeoGebra con la construcción que vamos a explicar.
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Hace ya algún tiempo vimos una sencilla regla para calcular las razones trigonométricas de los ángulos más importantes del primer cuadrante. Tanto debió gustar ese artículo que es el más visitado de la historia del blog y uno de los más comentados.
Pero en ciertas ocasiones esta tabla puede quedar algo corta, ya que muchas veces necesitamos saber el valor de alguna de las razones trigonométricas en cierto ángulo de otro cuadrante. En Secundaria nos enseñan a realizar este cálculo, pero generalmente se incide más en las fórmulas que me dan los valores buscados y se profundiza menos en el cálculo geométrico. En este artículo vamos a ver que aprendiendo a reproducir la tabla mencionada antes (con la regla descrita en dicho artículo es muy fácil) y unos cuantos detalles geométricos podremos calcular de manera muy sencilla las razones trigonométricas de diversos ángulos del resto de cuadrantes.
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Todos los libros tienen asociado un número denominado ISBN
Eliminamos los guiones y nos quedamos con el número resultante. Multiplicamos ahora el primer dígito por 1, el segundo por dos, y así sucesivamente hasta el último, que multiplicaremos por 10. Después sumamos los resultados obtenidos. Para mi libro la cuestión queda así:
| ISBN | 8 | 4 | 2 | 0 | 6 | 8 | 1 | 8 | 6 | 5 | |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||
| Productos | 8 | 8 | 6 | 0 | 30 | 48 | 7 | 64 | 54 | 50 | 275 |
Esto es, el resultado obtenido es 275.
Dividid ahora entre 11 el resultado que hayáis obtenido. En mi caso:
Es decir, el número obtenido es múltiplo de 11. ¿Y el vuestro? También, ¿verdad?
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