Curiosa pregunta la que titula este artículo y probablemente para mucha gente también sea curioso que la respuesta a la misma se pueda encontrar en las Matemáticas. Pues es así. Vamos con la teoría correspondiente y dejemos la pregunta para el final:
Combinatoria
La combinatoria es una rama de las Matemáticas que básicamente se encarga de estudiar cuántos grupos pueden formarse con un cierto número de objetos atendiendo a determinados criterios. Como esta definición puede no ser demasiado clara vamos a poner un par de ejemplos:
¿Cuántos números de 5 cifras pueden formarse con los números del 1 al 9?
¿Cuántas manos posibles de mus pueden darse? (Cada mano de mus consta de 4 cartas)
La combinatoria se encarga de determinar esos números.
Las razones trignométricas (seno, coseno, tangente…) aparecen muchísimas veces en Matemáticas relacionadas a cualquiera de sus ramas. Y en muchas ocasiones estamos obligados a calcular el valor de ellas en ciertos ángulos. Los que más suelen aparecer son estos 5 (los pongo en radianes con su equivalencia en grados):
Estos ángulos son los más característicos del primer cuadrante. Ahora lo que nos interesa es saber cuáles son los valores del seno, del coseno y de la tangente de estos ángulos (los de los ángulos característicos de los otros cuadrantes pueden obtenerse a partir de ellos). En principio podríamos aprendernos de memoria estos valores, pero probablemente con el tiempo los olvidemos. Lo que vamos a hacer es daros una simple regla para que esto no ocurra. Esta regla es la regla de la raíz de n:
Ayer, en el artículo Sumando números impares apareció la identidad (n+1)2=n2+2n+1. Todos nos aprendimos de memoria esta identidad pero seguro que muchos no llegaron a comprenderla del todo, simplemente la guardaron en la memoria para cuando hiciera falta. A este colectivo les puede ayudar mucho la imagen que nos ha enviado Papá Oso. Aquí os la dejo junto con una sencilla explicación:
Como todo el mundo sabe (o debería saber ya que se estudia en el colegio) el volumen de una esfera de radio R es:
Esta fórmula se debe al genial Arquímedes, y fue uno de sus grandes descubrimientos y del cual estaba muy orgulloso. Vamos a ver cómo lo consiguió. (Leer el resto del post)
Supongo que a muchos de vosotros esto no os sirva de nada, ya que sabréis calcular la raíz cuadrada de un número manualmente, pero yo como soy un poco zopenco no sé calcularla, es más de pequeño supe y la olvidé al poco tiempo.
Es por ello que hoy os traigo el método para calcular la raíz cuadrada de un número manualmente, porque para que saber hacer la raíz cúbica de números de hasta 9 dígitos si no sabes hacer la raíz cuadrada de cualquier número.
Para explicaros el método, voy a usar un ejemplo e iré explicando paso a paso lo que se va haciendo:
El número elegido es el 46656.
Dividimos el número del que vamos a calcular la raíz cuadrado en pares de dígitos, empezando por los decimales (si los hubiera). Es decir, 1225 sería “12″ “25″ no “1″ “22″ “5″; 6′5536 sería “6′” “55″ “36″ no “6′5″ “53″ “6″.
Una vez hecho esto pasamos a dibujar una barra horizontal por encima de los pares de dígitos y una barra vertical a la izquierda de éstos. Algo así:
Encontramos el número más grande cuyo cuadrado es menor o igual al primer par de dígitos. En nuestro ejemplo, el primer par de dígitos es “4″, y el número más grande cuyo cuadrado es menor o igual que “4″ es el “2″. Así que ponemos el número dos en el lado izquierdo, y encima del primer par de dígitos.Algo así:
Ahora elevamos al cuadrado al número encontrado en el anterior punto, y lo restamos al primer par de dígitos. Algo así:
Una vez hecho lo anterior, extendemos la barra izquierda y multiplicamos por dos el último dígito que está a la izquierda de dicha barra, y colocamos el resultado a la izquierda del resultado de la resta realizada en el punto anterior, dejando un espacio a la derecha del número que acabamos de colocar para las siguientes operaciones.
Bajamos el siguiente par de dígitos.
Buscamos el número más grande que colocado como unidad del número de la izquierda y multiplicado por sí mismo sea menor que el segundo par de dígitos. En nuestro ejemplo, probaríamos con 1 · 41 <= 66, 2 · 42 <= 66, como 2 · 42 no es menor que 66, entonces el número buscado es uno y cuarenta y uno. Gráficamente, sería algo así:
Ahora restamos el segundo par de dígitos con el producto que hemos encontrado en el anterior punto. En nuestro ejemplo, 66 - (1 · 41). Quedaría algo así:
Y ahora repetimos lo mismo que hicimos anteriormente, bajamos el siguiente par de dígitos de la derecha, multiplicamos el último dígito del número izquierdo por dos y buscamos el número más grande para restarselo al par de dígitos que tengamos a su altura. Sería algo así:
En este caso tenemos dos pares de dígitos, por tanto hay que buscar el número más grande cuyo producto de dicho número con su concatenación, sea menor o igual a los dos pares de dígitos concatenados. En nuestro ejemplo, 426 · 6 = 2556. Y pasaríamos a realizar la resta correspondiente, del siguiente modo:
Una vez lleguemos a una resta cuyo resultado sea cero, tendremos la raíz cuadrado exacta que estabamos buscando y habremos terminado. De otro modo, tendríamos que seguir buscando tantos decimales como queramos.
Un cuadrado mágico se obtiene colocando una serie de números naturales en una matriz cuadrada de tal forma que todas las filas, todas las columnas y las diagonales sumen el mismo número: la constante mágica. Generalmente suelen colocarse los números entre 1 y n2, siendo n el número de filas y columnas del cuadrado. A este número n se le denomina orden del cuadrado mágico.
Formando un cuadrado mágico de orden n de esta forma la suma de cada fila, cada columna y cada diagonal es:
Una pregunta bastante lógica en ese punto es: ¿cuántos cuadrados mágicos de cada orden se pueden formar? Muy sencillo: de orden 3 hay esencialmente sólo 1 cuadrado mágico (los demás que podríamos formar surgen de rotar o reflejar este), que es:
Para los de orden 4 Frenicle De Bessy estableció en 1693 que existen 880 cuadrados mágicos. Más adelante se ha demostrado que existen 275305224 cuadrados mágicos de orden 5. Para órdenes más grandes sólo se tienen estimaciones.
Para órdenes más pequeños es bastante sencillo: para orden uno sólo existe un cuadrado mágico: el formado únicamente por el número 1. Y para orden 2 no existe ningún cuadrado mágico (os dejo propuesta la demostración de este hecho; si a alguien no le sale que mire en el enlace de la Wikipedia al final del post).
Este método dibuja círculos y los divide en determinadas partes para conseguir el resultado final de la multiplicación, creo que me gusta más que el otro método de multiplicación gráfica.
Ya vimos en este post sobre el último teorema de Fermat que para n mayor que 2 la ecuación xn + yn = zn no tiene soluciones enteras positivas. Pero sabemos que para el caso n = 2 sí que las hay, de hecho hay infinitas. La proposición del libro Arithmetica de Diofanto que inspiró esta afirmación de Fermat fue precisamente esta, considerada como uno de los problemas más antiguos de las matemáticas
Escribir un cuadrado como suma de dos cuadrados
Es decir, el problema que consiste en encontrar tres números enteros positivosx, y, z que cumplan que x2 + y2 = z2. A cada terna de números enteros positivos que cumplan esta ecuación la llamaremos terna pitagórica. Por ejemplo, (3, 4, 5) es una terna pitagórica. Y todo triángulo que cumpla esta relación con sus tres lados números enteros positivos se denomina triángulo pitagórico.
Mediante el teorema de Pitágoras a partir de dos números enteros positivos x, y podemos encontrar un tercer número z que cumpla esa ecuación simplemente despejando de ella. Pero nada ni nadie nos asegura que ese z sea también entero positivo. Podría ser racional o incluso irracional. En este post vamos a ver un método para encontrar todas las ternas pitagóricas, denominado método analítico, y la demostración del mismo.
Todos alguna vez de pequeño habremos contado con nuestros dedos, o incluso sumado números con ellos. Esto es un gran incoveniente ya que con los dedos puedes sumar hasta diez, y sumar hasta diez no te vale para nada.
Pero si cambiamos la manera de contar podremos contar con los dedos de las manos hasta 1023, todo gracias al magnífico sistema binario.
En esta imagen vemos como es posible contar en binario con los dedos, e incluso en tono humorístico dicen que si usaramos los dedos de los pies llegaríamos a la increíble cifra de 1.048.575 (un millón cuarenta y ocho mil quinientos setenta y cinco).
Hace unos días snipfer nos pasaba el siguiente vídeo mediante del.icio.us, en quienes somos se muestra como hacerlo.
En este vídeo se muestra un método de multiplicación, podríamos decir gráfico, usando líneas para cada cifra y los cortes de cada línea como resultado, sin duda un método curioso y rápido para realizar multiplicaciones.
