Un bonito (y sencillo) ejercicio relacionado con el principio de inducción consiste en demostrar que el cuadrado de la suma de cualquier conjunto de enteros positivos consecutivos que comience en el 1 es igual a la suma de los cubos de dichos números. Es decir, que para todo 
se cumple que
Podéis intentar resolverlo vosotros mismos, aunque si os atragantáis con él tenéis la resolución del mismo con inducción en este post donde, además, se da un procedimiento para generar conjuntos finitos con esta propiedad, a los que cariñosamente llamé conjuntos CuCu (de cuadrados-cubos).
El caso es que es interesante esta propiedad de que el cuadrado de la suma sea igual a la suma de los cubos, por lo que no está de más preguntarse qué otras colecciones de números la cumplen. Manos a la obra entonces.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 22 de mayo de 2013
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Categorías: Cálculo, Demostraciones, Números enteros
A estas alturas nadie puede negar que la invención del Cálculo representó uno de los mayores avances de la historia de las matemáticas. Con él se abrieron nuevos horizontes: muchos problemas se simplificaron, y otros, que no tenían solución en aquella época, consiguieron resolverse. Uno de los primeros que se pudo resolver gracias al Cálculo, posiblemente el primero con cierto renombre, fue el problema de De Beaune.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 16 de mayo de 2013
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Categorías: Cálculo, Historia
No, no vamos a hablar de inversiones en el sentido económico del término (no está la situación para ello), sino de inversas de funciones. Si, de esas inversas de tinte un tanto místico a veces. De esas que en algunas ocasiones existen y en otras no, de esas que nos indican cómo desandar el camino recorrido con nuestra función inicial. En definitiva, de esas que, cuando existen, producen la función identidad al componerlas con la inicial. Sí, he dicho componer, eso que en muchos lugares es conocido (lamentable, bajo mi punto de vista) con las palabras gof y fog por bastantes alumnos y que algunos profesores han ayudado a popularizar.
Y en concreto vamos a dedicarle unos párrafos a la representación gráfica de la inversa de una función. Porque siempre se le ha dado protagonismo a la gráfica de la función, pero no a la de su inversa (sí, la inversa, si existe, es otra función, y por tanto se podría representar como se hace con la inicial, pero ése es otro tema). Porque ha sido la gran olvidada. Y porque es muy bonita la relación que mantiene la gráfica de una función con la gráfica de su inversa.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 30 de abril de 2013
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Categorías: Cálculo
Creo que la mayoría de los que pasáis por aquí con cierta frecuencia conocéis el programa Mathematica, magnífico software matemático creado por Stephen Wolfram. Y también conoceréis el más-que-buscador Wolfram|Alpha, de grandísima utilidad tanto para cálculos matemáticos como para muchas otras cosas, ¿verdad? Bien, pues os voy a contar una cosa que nos ocurrió el otro día en clase en relación con ellos.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 15 de enero de 2013
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Categorías: Cálculo
En ocasiones la originalidad puede salvarte en un examen, pero en otras se ve demasiado claro que pretende tapar que no te has estudiado (o deja bien a las claras que te estás pasando de listo), como ocurre en este caso con la Math Machine:
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 10 de septiembre de 2012
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Categorías: Cálculo, Humor matemático
En matemáticas, en la medida de lo posible, conviene saber realizar ciertos cálculos básicos de varias formas distintas, porque aunque en muchas ocasiones podemos salir del paso sabiendo un único método puede haber momentos en los que nos encontremos algún caso especial para el cual dicho método no sea suficientemente efectivo.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 14 de agosto de 2012
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Categorías: Cálculo
¿Cómo podríamos definir la vida utilizando matemáticas?
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 15 de julio de 2012
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Categorías: Cálculo
Esta época estival, en la que quien más quien menos se tomas unos días de vacaciones, es más propicia para que la gente salga, disfrute, cante la canción del verano (o cualquier otra) y baile hasta que no pueda más. Y hablando de bailar, ¿podríamos hacerlo con matemáticas? Claro que sí.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 5 de julio de 2012
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Categorías: Cálculo, Vídeos
A la mayoría de los que hemos cursado estudios en los que aparece la campana de Gauss nos han dicho que para calcular la integral entre dicha curva y el eje X, es decir, el área bajo la campana hasta el eje X, debemos usar cálculo en dos variables. Vamos, que no podemos encontrar cuánto vale ese área utilizando solamente cálculo en una variable. Bien, pues eso no es cierto: se puede calcular el ára bajo la campana de Gauss usando simplemente cálculo en una variable.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 21 de junio de 2012
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Categorías: Cálculo
Hace unos meses, un grupo de matemáticos españoles, investigadores del ICMAT (CSIC) y de la Universidad de Sevilla, en colaboración con otros institutos y universidades extranjeras, consiguieron demostrar la existencia de singularidades en las ecuaciones de Euler que modelan el movimiento de un fluido. El trabajo de este grupo, compuesto por
- Angel Castro (Département de Mathématiques et Applications, École Normale Supérieure)
- Diego Córdoba (ICMAT, CSIC)
- Charles Louis Fefferman (Department of Mathematics, Princeton University)
- Francisco Gancedo (Departamento de Análisis Matemático, Universidad de Sevilla)
- Javier Gómez-Serrano (ICMAT, CSIC)
puede verse en Splash singularity for water waves, Proc. Natl. Acad. Sci., 109, no. 3, 733-738 (2012) (el link es del arXiv), y fue un tema del que se habló en muchos blogs y medios. Por poner un par de ejemplos, Francis habló sobre ello y uno de los integrantes del grupo, Javier Gómez-Serrano, lo presentó en “Matemáticas y sus Fronteras”.
De izquierda a derecha: Charles Fefferman, Ángel Castro,
Javier Gómez-Serrano, Francisco Gancedo y Diego Córdoba
Hace un tiempo me puse en contacto con el grupo para ver si podían hablarme sobre el tema para Gaussianos, petición que aceptaron desde el primer momento. Al final ha sido Paco Gancedo quien ha escrito esta colaboración para todos vosotros.
En el texto que podréis leer a continuación, Paco nos presenta el problema que motiva el estudio que han realizado, comentando algunos detalles del desarrollo del mismo. Además ha aprovechado para añadir algo del trabajo Finite time singularities for water waves with surface tension, publicado en arXiv hace poco, donde añaden la tensión superficial, dando, si cabe, a esta colaboración aún más originalidad de la que ya tendría.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 18 de junio de 2012
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Categorías: Cálculo, Carnaval de matematicas, Ciencia, Noticias
