Porque todo tiende a infinito…
Hace apenas una semana os hablaba sobre la nueva funcionalidad de Wolfram|Alpha, la resolución paso a paso de algunos tipos de ecuaciones diferenciales. Pues hoy os traigo una aplicación online (que también tiene versión offline) con la cual podremos hacer esto y mucho más. El proyecto en cuestión se llama Mathematical Assistant on Web.
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Como bien ha comentado el gran Daniel Marín en este tweet:
Pues sí amigos. Wolfram|Alpha (del que comenté algunas cosas hace un tiempo) ha añadido como nueva función la resolución paso a paso de algunos tipos de ecuaciones diferenciales. En este post del blog de Wolfram|Alpha nos cuentan algo sobre esta nueva funcionalidad.
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Integrar no es fácil, sobre todo en los comienzos, cuando uno se encuentra con la famosa S estirada, 
En lo que pienso que también estaremos de acuerdo es en que, sobre todo en esos momentos, la integración es un arte. La manera en la que los virtuosos de la integral vislumbran la fórmula a utilizar o el método de integración adecuado deja tan sorprendido al resto que no es exagerado, como decía, calificar a estos expertos integradores como auténticos artistas del mundo de Riemann.
Lo primero que uno se encuentra cuando comienza con las integrales son, generalmente, las integrales inmediatas, esto es, las que pueden resolverse simplemente utilizando las típicas fórmulas que se encuentran en las tablas habituales (y las propiedades de linealidad de la integral). Aunque en ocasiones uno puede encontrarse integrales inmediatas realmente complicadas de identificar, por norma general éstas se pasan fácilmente.
Seguidamente a uno se le presenta el método de integración por partes, y lo primero que ve es la siguiente fórmula:
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Si al leer el título os habéis agarrado a la silla y os habéis preguntado si es lo que parece, la respuesta es sí, es lo que parece. Sí, amigos, Ediciones Gondo trae a España La Guía Manga del Cálculo Diferencial e Integral, una publicación cuyo objetivo es acercarse a los principales conceptos del Cálculo Diferencial e Integral a través del manga. La portada es ésta:
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La primera parte de este articulo es una colaboración que me envió Sergio hace bastante tiempo.
Cuando estaba en el instituto, una de las cosas que más me sorprendía (y me tocaba las narices, todo hay que decirlo) era el Teorema de Gauss. Y no porque fuera difícil o porque fuera algo grandioso que destacara sobre el resto del temario, sino porque aparecía cuando menos te lo esperabas. Empezamos con el teorema de Gauss aplicado al campo gravitatorio, y cuando ya te lo sabías de memoria y habías trabajado con él hasta la saciedad (y muchos rezaban por no volver a verlo), de repente aparecía para el campo eléctrico. Además, lo mismo daba aplicarlo sobre distribuciones de carga lineales, planas o de volumen, valía para todo. La primera conclusión es que este Gauss era un genio (que lo era, no lo vamos a negar), tenía soluciones para todos los problemas tanto de gravitación como de electricidad. Uno tenía la sensación de que si le hubieran dejado, habría hecho toda la ciencia de la humanidad él solo.
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La distinción entre condición necesaria y condición suficiente es un tema muy costoso de entender para mucha gente, tengan los estudios que tengan. En principio, partiendo de la denominación de cada una de estas condiciones es sencillo distinguirlas, pero en la práctica hay muchas ocasiones en las que la gente se lía bastante con ello. Ante una condición necesaria mucha gente piensa que lo que está viendo es una condición suficiente, y viceversa. Y hasta hay ocasiones en las que teniendo una condición solamente necesaria (o solamente suficiente) se cree que en realidad es de los dos tipos, necesaria y suficiente.
En general esto ocurre con las implicaciones:
Que esto ocurra no significa ni Si es cierto B, entonces es cierto A ni Si no es cierto A, entonces no es cierto B, pero en muchos casos se piensa que sí. Voy a poner un sencillo ejemplo, que es el más frecuentemente uso con mis alumnos:
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Calcular la derivada de una integral…¿estás de broma? La derivada de una integral…¿Eso existe? Y si existe, ¿eso no daría de resultado la función inicial?
Pues sí, existe. Y bueno, en cierto modo tienes razón, ya que la integral y la derivada son procesos inversos, por lo que si realizamos primero un proceso y luego el otro obtendríamos la función inicial. Vamos, digamos que nos quedaríamos igual. Pero la cosa no es siempre así, depende de varios detalles de la propia integral y de la función inicial.
Vale, supongamos que se puede hacer esto. ¿Qué importancia podría tener? ¿Para qué podría servir? ¿Es útil?
Pues…sí, claro que tiene importancia. Así, a bote pronto, se me ocurre la siguiente utilidad: estudio del crecimiento y decrecimiento de una función definida mediante una integral. Como sabemos, el crecimiento y decrecimiento de una función derivable en un intervalo puede conocerse mediante el estudio del signo de la primera derivada en dicho intervalo, por lo que si nuestra función está definida mediante una integral tendremos que derivarla para ver dónde crece y dónde decrece.
Bueno, no está mal, pero no me imagino de dónde puede salir una función definida mediante una integral. Vamos, que no lo veo natural.
Ahí va un ejemplo que me pasa ahora mismo por la cabeza. En muchas ocasiones las soluciones de una ecuación diferencial (no nos hace falta saber qué es eso, aunque muchos seguro que lo sabéis) deben dejarse en forma integral, por lo que para estudiar su crecimiento y decrecimiento debemos derivar esa integral y estudiar el signo de esa derivada. Y bueno, teniendo en cuenta que gran cantidad de procesos de la naturaleza están regidos por ecuaciones diferenciales (¿hay alguno que no lo esté?) parece buena idea saber hacer esto, ¿verdad?
Por todo esto, en este post vamos a ver cómo calcular la derivada de una una función definida mediante una integral.
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Interesante artículo el que me encuentro en Random Walks sobre la gráfica de la arcocotangente.
No sé vosotros, pero yo no había pensado/caído en esto antes (al menos que yo recuerde). La cuestión es que hay una cierta controversia acerca de cuál es la gráfica de la función arcocotangente, que igual podríamos comparar a la que existe con el tema de curvatura de una función de una variable. Vamos a explicar en qué consiste.
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Una pelota, tal y como la conocemos, es una figura (que podemos considerar como) esférica en tres dimensiones. Cualquier figura de este tipo cumple que su volumen depende de su radio. De hecho este volumen no es para nada desconocido, tiene una fórmula bien sabida por todos desde nuestra etapa escolar. Si llamamos 
Si tomamos la pelota con radio igual a 1, el volumen será entonces el siguiente:
¿Qué magnitud tiene este resultado? Pues en principio depende de la unidad de medida del radio: metros, centímetros, kilómetros…Pero bueno, este detalle no es el que más nos interesa para este artículo. Lo que nos interesa saber es que esta pelota se denomina bola unidad en 
Bien, ¿y cómo es la bola unidad en dimensión 1? ?Y en dimensión 2? ¿Y en dimensiones mayores? Y puestos a preguntar, ¿cómo son sus respectivos volúmenes? ¿Cómo cambian según cambia la dimensión? Vamos a intentar responder a esta preguntas.
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En Komplexify nos muestran este ejercicio hecho por uno de sus alumnos después de diez semanas de la asignatura Cálculo II:
Entiendo que la asignatura de la que nos hablan debe ser la equivalente al cálculo en varias variables que se estudia en muchas carreras de las universidades españolas. O, al menos, de cálculo en una variable. De todas formas, después de 10 semanas ya es para que la gente tuviera ciertos conceptos un poquitín claros, ¿no creéis?
Meto también esta entrada en Humor matemático, ya que de hecho lo parece…
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