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La función Gamma: una generalización del factorial

La función factorial de un número entero no negativo es bien conocida. Se conoce ya en últimos cursos de Bachillerato y en cualquier carrera de ciencias suele aparecer con cierta frecuencia. De forma recurrente podríamos definirla de la siguiente forma:

Si $a_n=n!$ :

$a_0=1$
$a_{n+1}=(n+1) \cdot a_n$

Es decir, el factorial de ${0}$ es $1$ ( $0!=1$ ) y el factorial de un número entero mayor que ${0}$ es el propio número multiplicado por el factorial de número entero anterior ( $(n+1)!=(n+1) \cdot n!$ ). Resumiendo y simplificando algo el tema podemos decir que $n!=n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 1$ , o lo que es lo mismo, $n!$ es el producto de todos los números naturales desde $n$ hasta $1$ . Por ejemplo:

$3!=3 \cdot 2 \cdot 1=6$
$5!=5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120$

Interesante función. Pero con una enorme limitación: como hemos dicho sólo puedo calcular el factorial a número enteros no negativos. Sí, son muchos, de hecho hay infinitos, pero aún así la cosa queda algo corta. ¿Qué pasa con los números racionales? ¿Y los irracionales? ¿Y los complejos?

En este post vamos a ver una función que nos servirá como generalización de esta función factorial: la función Gamma

La función Gamma

La función Gamma se define para todo número complejo $z$ cuya parte real positiva de la siguiente forma:

$\displaystyle{\Gamma(z)=\int_0^{\infty} t^{z-1}e^{-t}dt}$

Esta definición puede extenderse $\forall z\in\mathbb{C-Z^-}$ , siendo $\mathbb{Z^-}$ el conjunto de los números enteros negativos.

Vamos a ver algunas propiedades de esta función:

Propiedades

$\Gamma(1)=1$
$\Gamma(z+1)=z \; \Gamma(z)$
$\forall n\in\mathbb{N}, \Gamma(n+1)=n!$ (consecuencia de la propiedad anterior)
$\displaystyle{\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \cfrac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z)}$
$\Gamma\left(\cfrac{1}{2}\right )= \sqrt{\pi}$ (consecuencia de la propiedad anterior)
$\Gamma(1-z) \Gamma(z) = \cfrac{\pi}{\sin{(\pi z)}}$

Generalización del factorial

La propiedad 2. es la que nos indica la generalización del factorial a través de esta función. Vamos a demostrarla:

$\displaystyle{\Gamma(z+1)=\int_0^{\infty} t^{z+1-1}e^{-t}dt=\int_0^{\infty} t^{z}e^{-t}dt}$

Utilizando integración por partes, siendo $u=t^z$ y $dv=e^{-t}dt$ . Por tanto $du=z \; t^{z-1}$ y $v=-e^{-t}$ y nos queda:

$\displaystyle{\Gamma(z+1)=\int_0^{\infty} t^{z}e^{-t}dt=-e^{-t} \; t^z \Bigg|_0^{\infty}+\int_0^{\infty} z \; t^{z-1}e^{-t}dt}$

El primer término vale ${0}$ (fácil verlo con un sencillo límite) y el otro término, sacando $z$ de la integral, es $z \; \Gamma(z)$ . Por tanto:

$\Gamma(z+1)=z \; \Gamma(z)$ .

Otras definiciones alternativas de esta función y otras propiedades no listadas aquí pueden verse en Gamma Function en la Wikipedia (en inglés). Por ejemplo, podremos ver la relación de esta función con la constante de Euler-Mascheroni $\gamma$ .

Hay muchos más sitios donde aparece la función $\Gamma$ . Os dejo a vosotros que nos habléis de ellas en los comentarios.

Escrito por ^DiAmOnD^, 5 de Noviembre de 2007 en Cálculo, Demostraciones, Otras constantes
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Funciones “extrañas”

El campo de las funciones es un tema muy estudiado en Matemáticas, tanto en Bachillerato como en Universidad. En general podemos decir que conocemos la manera de calcular sus máximos y sus mínimos, el crecimiento o decrecimiento de las mimas en un cierto intervalo, dónde son derivables y dónde no lo son y muchos otros detalles. En Bachillerato no se suele ahondar mucho en funciones raras, es decir, funciones que suelen salirse de la generalidad en el sentido del estudio de sus características. En la Universidad sí que se comienzan a ver funciones que se salen de los patrones marcados en épocas de estudio anteriores. En este post vamos a ver tres funciones bastante curiosas al tener propiedades poco comunes.

Función de Dirichlet

La función de Dirichlet es una función real de variable real que no es continua en ningún punto de la recta. Se define de la siguiente forma:

$\displaystyle f(x) = \begin{cases} 1,\mbox{ si }x\in\mathbb{Q} \\ 0,\mbox{ si }x\in\mathbb{R-Q}\end{cases}$

Otra forma de definir esta función es la siguiente:

$\displaystyle f(x)=\lim_{k\to\infty}\left(\lim_{j\to\infty}\left(\cos(k!\pi x)^{2j}\right)\right)$

Vamos a demostrar que esta función no es continua en ningún punto usando la caracterización de continuidad por sucesiones, que dice lo siguiente:

Sea $f:A\subseteq\mathbb{R}\Longrightarrow\mathbb{R}$ una función real de variable real y sea $a\in A$ . Entonces f es continua en a si $\forall x_n\subset A$ sucesión de elementos de A tal que $x_n \rightarrow a$ se tiene que $f(x_n) \rightarrow f(a)$

Por tanto f no es continua en a si $\exists x_n\subset A$ sucesión de elementos de A tal que $x_n \rightarrow a$ pero $f(x_n) \not\rightarrow f(a)$

Sea $a\in\mathbb{Q}$ . Por ser $\mathbb{R-Q}$ denso en $\mathbb{R}$ se tiene que existirá una sucesión $x_n\subset\mathbb{R-Q}$ tal que $x_n\rightarrow a$ . Y aquí está el problema: como $x_n\subset\mathbb{R-Q}$ se tiene que $f(x_n)=0,\forall n\in\mathbb{N}$ y como $a\in\mathbb{Q}$ se tiene que $f(a)=1$ . Por tanto $f(x) \not\rightarrow f(a)$ .

Al ser $\mathbb{Q}$ también denso en $\mathbb{R}$ la demostración para el caso $a\in\mathbb{R-Q}$ es análoga a la anterior. Por tanto f(x) no es continua en ningún punto.

En general, si en vez de tomar $\mathbb{Q}$ tomamos cualquier subconjunto $A\subset\mathbb{R}$ que sea denso en $\mathbb{R}$ tenemos una función que no es continua en ningún valor real.

Función popcorn

La función popcorn es una función real de variable real que es continua en los irracionales y discontinua en los racionales. Conocía la existencia de la misma pero no sabía que se denominaba así (¿alguien sabe por qué tiene ese nombre tan cinéfilo?). Se define de la siguiente forma:

$\displaystyle f(x)=\begin{cases} \cfrac{1}{q},\mbox{ si }x=\cfrac{p}{q}\in\mathbb{Q} \\ 0,\mbox{ si }x\in\mathbb{R-Q} \end{cases}$

Se asume que $\frac{p}{q}$ es irreducible y que $q>0$ .

La demostración de este hecho es sencilla: como $\displaystyle\lim_{x \to a}f(x)=0,\forall a\in\mathbb{R}$ (a ver quién nos cuenta con un poco de rigor por qué es así), se tiene que $\displaystyle\lim_{x \to a}f(x)=f(a)\Leftrightarrow a\in\mathbb{R-Q}$ , y por tanto que f(x) es continua en $x\in\mathbb{R-Q}$ y no es continua en $x\in\mathbb{Q}$ .

Función de Weierstrass

La función de Weierstrass es una función real de variable real que es continua en todos los números reales pero no es derivable en ninguno de ellos. Su expresión es la siguiente:

$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x)$

con $0<a<1, b\in\mathbb{Z}\mbox{ impar y }ab > 1+\frac{3}{2} \pi$

La demostración de que es continua es todo punto es sencilla (otro ejercicio para vosotros). El tema de la no derivabilidad en ningún punto se complica algo más.

En su momento esta función fue muy importante ya que sirvió para que se dejara de creer que todas las funciones continuas eran derivables en todo punto excepto, a lo sumo, un conjunto de puntos aislados.

Conclusión

Como habéis podido ver con estos ejemplos nos podemos encontrar cualquier cosa en el estudio de las funciones. De todos modos estas tres seguro que no son las únicas. Por eso os pido que si tenéis conocimiento de alguna otra función concreta que sea famosa o interesante por alguna de las razones por las que éstas lo son lo comuniquéis mediante un comentario.

Fuentes:

Función de Dirichlet en la Wikipedia (Inglés)
Función Popcorn en la Wikipedia (Inglés)
Función de Weierstrass en la Wikipedia (Inglés)

Escrito por ^DiAmOnD^, 3 de Agosto de 2007 en Curiosidades, Cálculo
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El TVI y el dado de tres caras

Hace un tiempo Papá Oso, de Sospechosos Habituales, nos mandó una consulta sobre un post suyo de su blog El Hombre de los Dados. El artículo en cuestión relacionaba el teorema de los valores intermedios y los dados, intentando a partir de él construir un dado de 3 caras, es decir, una figura de 3 caras que cumpliera que las 3 caras tienen la misma probabilidad de salir al tirarla tipo dado. Este post va a servir para presentaros el artículo de Papá Oso y para que veáis la respuesta que yo le di.

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Escrito por ^DiAmOnD^, 28 de Junio de 2007 en Cálculo, Estadística, Teoremas
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Curvatura de una función de una variable

Vamos con el post-respuesta a la encuesta que puse hace unos días.

Comencemos con los resultados, que en el momento en el que escribo, con 493 votos, son los siguientes:

Resultados encuesta

Y ahora os pongo la solución correcta:

Opción 1: La función de la primera gráfica es convexa y la de la segunda es cóncava

Y ahora vamos con la explicación:
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Escrito por ^DiAmOnD^, 21 de Mayo de 2007 en Aprenda como, Cálculo
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Pikachu y las Matemáticas

Una curiosidad que nos manda Francisco al mail:

Derivada parcial de Pikachu respecto de u

……..¿?¿?¿?¿?……..

No, no me he vuelto loco. Veamos la demostración:

Demostración

Bueno, igual los exámenes de mis alumnos y la falta de tiempo sí me están volviendo loco. Cuando la cosa se tranquilice volveré como en los mejores tiempos.

Aclaración: Para quien no lo sepa, ch(u)=coseno hiperbólico de u y sh(u)=seno hiperbólico de u. Se tiene que (ch(u))’=sh(u).

Escrito por ^DiAmOnD^, 16 de Mayo de 2007 en Cálculo, Humor matemático
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Encuesta: Curvatura de una función de una variable

Uno de las características que interesa estudiar a la hora de representar gráficamente una función de una variable es la curvatura de la misma. Este estudio se realiza mediante el análisis del signo de la segunda derivada de la función. En los intervalos donde la segunda derivada es positiva la función tendrá una curvatura como la de la gráfica 1 y en los intervalos donde la segunda derivada sea negativa la tendrá como la de la gráfica 2. Eso está claro. Lo que no está tan claro es cómo llamar a cada tipo de curvatura. Consultando a alumnos, profesores y libros no parece que haya consenso con este tema. Para unos deberían nombrarse convexa y cóncava, respectivamente; para otros cóncava y convexa; y para otros cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. Por eso quiero hacer una encuesta entre vosotros y vosotras. Vamos con dos gráficas de ejemplo:

Gráfica 1

Gráfica 2

Y ahora la encuesta (es necesario tener activado javaScript para visualizarla). Para votar marcad una de las opciones y después pulsad en Vote now. En cada una de ellas la primera de las opciones corresponde a la gráfica 1 y la segunda a la gráfica 2 (no pongo las tildes a cóncava porque no las reconoce):

En unos días publicaré los resultados de la encuesta y un post hablando del tema.

Escrito por ^DiAmOnD^, 11 de Mayo de 2007 en Cálculo
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Equivocación por partes

Vamos con un problemita para comenzar la semana. Queremos integrar la función tan x, y en vez de hacerlo como generalmente se suele hacer lo haremos usando el método de integración por partes:

Equivocacion por partes

Simplificando la integral de ambos lados obtenemos que 0 = -1. ¿Dónde está el error?

Solución:
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Escrito por ^DiAmOnD^, 27 de Noviembre de 2006 en Cálculo, Juegos
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Los complejos nos dicen que 1=-1

Hoy os traigo el juego 1 = -1. Ya vimos en este post hace un par de días algunas cosas sobre números complejos. En particular vimos que i, la unidad imaginaria, cumple que i² = -1, es decir, que i es la raíz cuadrada de -1. Usando esa propiedad podemos plantear lo siguiente:

1=-1

Evidentemente hay algo mal en este planteamiento, ya que 1 no es igual que -1. Pero, ¿en qué paso del razonamiento se encuentra el error? ¿Por qué?

Solución:

Efecto Mariposa ya puso un enlace a la explicación en uno de los comentarios. Y esa misma es la explicación que yo iba a dar. Vamos con ella:

Para cualquier número complejo se define su argumento como el ángulo que forma el vector asociado a ese número complejo con el eje X. Si ese argumento está entre -π y π a ese argumento se le llama argumento principal del número complejo.

Por otra parte cada número complejo tiene 2 raíces cuadradas, 3 raíces, cúbicas, 4 raíces cuartas, etc. Una de ellas se denomina rama principal de la raíz. Pues esa misma es la que hay que tomar en este caso.

La raíz de ese producto se puede separar en ese producto de raíces siempre que la suma de los argumentos de los dos números complejos esté entre -π y π. En este caso tendríamos π + π = 2π, que se sale de ese rango. Por tanto deberíamos haber cogido para uno de los -1 la raíz cuadrada -i, que tiene como argumento -π. En este caso la suma de los argumentos sería π + (-π) = 0, que sí está en ese rango.

En este enlace podéis ver la explicación completa.

Escrito por ^DiAmOnD^, 22 de Noviembre de 2006 en Cálculo, Juegos, Números complejos
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Los números complejos están “desordenados”

El cuerpo de los números complejos está formado por todos los números de la forma a + bi, siendo a y b números reales. La unidad imaginaria i tiene la siguiente propiedad:

i² = -1

Cuando a = 0 el número complejo se denomina imaginario puro y cuando b = 0 nos aparecen todos los números reales. Es decir: el cuerpo de los números complejos es una extensión del cuerpo de los números reales, ya que los contiene a todos.

En el cuerpo de los números reales podemos definir la relación de orden que todos conocemos: menor o igual que

menor o igual

que cumple que es un orden total, es decir, dados cualesquiera dos números reales x, y se tiene que x es menor o igual que y o que y es menor o igual que x.

Vamos con el título del artículo: ¿qué significa eso de que los números complejos están desordenados? Pues muy sencillo. Al igual que podemos definir un orden en el cuerpo de los números reales podríamos intentar hacer lo mismo con el cuerpo de los números complejos. Pero como los números reales son un subconjunto de los números complejos querríamos que el orden que definiéramos funcionara también en los reales. Pensando un poco vemos que la única posibilidad coherente es definir en los números complejos el mismo orden que en los números reales. El problema es que eso es imposible, es decir, ese orden no funciona en el cuerpo de los números complejos. Veamos por qué:

Supongamos que definimos para todos los números complejos a + bi el orden que definimos antes para los números reales. Evidentemente tendrá que cumplir las mismas propiedades. Por ejemplo, deberá ser total, es decir, para cualesquiera dos números complejos se debe cumplir que uno de ellos debe ser menor o igual que el otro. Veamos qué pasa si tomamos i y 0:

-Supongamos que i es menor o igual que 0:

Por las propiedades de la relación de orden sabemos que si multiplicamos a ambos lados por i la desigualdad cambia de sentido (al ser i en este caso un número negativo). Usando que i² = -1 y que i·0 = 0 queda:

Lo cual es imposible.

-Supongamos ahora que 0 es menor o igual que i:

Como ahora i es positivo si multiplicamos a ambos lados por él la desigualdad se debe mantener igual. Usando las mismas propiedades anteriores obtenemos:

Que como antes es absurdo.

Por tanto, como acabamos de ver, no podemos definir una relación de orden en el cuerpo de los números complejos cuya restricción a los números reales sea la que conocemos de toda la vida. Por eso el título del post:

Los números complejos están desordenados

Escrito por ^DiAmOnD^, 20 de Noviembre de 2006 en Cálculo, Números complejos
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El problema de Basilea

El problema de Basilea consiste en determinar cuál es el valor exacto de la suma de los cuadrados de los inversos de todos los números naturales, es decir, calcular la suma de la siguiente serie:

sumatorio

Este problema fue propuesto por primera vez por el matemático Pietro Mengoli en 1644 y fue popularizado por Jakob Bernoulli en 1689, pero ninguno de los dos lo resolvieron. Otros grandes matemáticos de la época, como Johann Bernoulli, Leibnitz y Wallis tampoco pudieron encontrar la solución (aunque este último calculó su valor con 3 decimales). Este hecho le dio al problema aún más importancia. Al final fue el genial Leonhard Euler quien le puso el cascabel al gato, como en muchas otras ocasiones. De hecho este problema se acabó denominando así porque tanto Euler como los Bernoulli residían allí. Veamos cómo lo hizo.

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Escrito por ^DiAmOnD^, 16 de Noviembre de 2006 en Cálculo, Demostraciones, Historia, Números enteros, Pi
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