Después de un tiempo sin hacerlo, hoy os traigo una nueva entrega de la serie sobre los centros del triángulo. En esta ocasión os presento el punto denominado mittenpunkt (o también middelspoint), estudiado por Nagel (sí, el del punto de Nagel) a mediados del siglo XIX.
El mittenpunkt se define como el punto en el que se cortan las tres rectas que pasan, cada una de ellas, por el centro de una circunferencia exinscrita del triángulo y por el punto medio del lado de dicho triángulo en el que se apoya la circunferencia exinscrita.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 17 de noviembre de 2011
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Categorías: Centros del triángulo
Han pasado ya unos meses desde la última entrega sobre los centros del triángulo, y hoy volvemos a la carga con ellos. En esta ocasión vamos a ver qué es el punto de Nagel, cuyo nombre se debe al geómetra alemán Christian Heinrich von Nagel, del que ya se habló ya en el post sobre la línea de Nagel (gracias a nuestro gran colaborador fede).
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 21 de junio de 2011
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Categorías: Centros del triángulo
Después de unas semanas sin acordarnos de ellos volvemos a la carga con los centros del triángulo. Hoy vamos a ver cómo construir el denominado punto de Gergonne, que fue descubierto por el matemático frances Joseph Diaz Gergonne.
En esta ocasión también es muy fácil construir este punto. Construimos nuestro triángulo y después trazamos las bisectrices de cada uno de sus ángulos (en línea discontinua en el dibujo). El punto de intersección de las tres bisectrices, que recuerdo que se denomina incentro, es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Representamos ese punto (
en el dibujo) y trazamos la circunferencia inscrita. Para dibujarla en GeoGebra lo que he hecho es trazar una perpendicular a uno de los lados que pase por el punto . Esa perpendicular corta a dicho lado en un punto, digamos 
. El segmento 
es el radio de dicha circunferencia.
Cuando tenemos trazada la circunferencia inscrita marcamos los puntos en los que corta a cada uno de los lados (en el dibujo, 
y 
) y después trazamos las rectas que unen cada vértice con el punto de corte de esa circunferencia con el lado contrario a dicho vértice. Esa tres rectas se cortan en un punto, que es el denominado punto de Gergonne.
Y ahora, como en todos estos artículos, una construcción hecha con GeoGebra para ilustrar la explicación anterior:
Y para terminar os dejo este artículo pdf en el que podéis ver más de veinte teoremas sobre el punto de Gergonne encontrados por un programa de ordenador especializado en encontrar resultados relacionados con la geometría euclídea. Casi nada.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 3 de noviembre de 2010
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Categorías: Centros del triángulo
Nueva entrega de la serie sobre los centros del triángulo. En este artículo vamos a presentar el denominado punto de Lemoine (o punto de Grebe), descubierto por el matemático francés Émile Lemoine.
La construcción de este punto es tan sencilla como otras que ya hemos visto. Se comienza construyendo un triángulo en el que trazamos las tres bisectrices (las líneas de puntos del dibujo). Después marcamos los puntos medios de cada uno de los lados (en el dibujo, 
) y trazamos las medianas, es decir, las rectas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto (en el dibujo, las líneas discontinuas). Y a continuación trazamos las rectas que se obtienen al reflejar cada mediana respecto de la bisectriz correspondiente al ángulo de su vértice, obteniendo así las tres rectas que en el dibujo aparecen en línea continua. Estas tres rectas, curiosamente, se cortan en un punto, que es el denominado punto de Lemoine.
Y, como pasa en muchas ocasiones, hay un extra. Si dibujamos la tres rectas paralelas a los lados del triángulo que pasan por el punto de Lemoine, los seis puntos de intersección de estas tres rectas con los lados del triángulo pertenecen a la misma circunferencia, llamada por ello circunferencia de Lemoine.
En la siguiente construcción hecha con GeoGebra se puede jugar con el tamaño del triángulo y la colocación de sus vértices para comprobar que efectivamente esas rectas se cortan en este punto de Lemoine y marcando la casilla que aparece arriba a la derecha puede verse la circunferencia de Lemoine, donde tanto las rectas como dicha circunferencia aparecen en color gris:
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 2 de septiembre de 2010
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Categorías: Centros del triángulo
Continuamos con la serie de artículos sobre los centros del triángulo. En esta ocasión os voy a hablar del punto que en la ETC es 
, punto conocido como el centro de la circunferencia de los nueve puntos.
Para comenzar, quiero recordar que tres puntos en un plano que no estén alineados determinan una circunferencia, es decir, si tenemos tres puntos en el plano que no estén en la misma línea sólo hay una circunferencia que pase por los tres. Por tanto, si tenemos tres puntos con esa propiedad no tiene nada de particular que una circunferencia pase por ellos.
Si en vez de tres puntos tenemos seis, ya comienza a ser cuanto menos curioso que una cierta circunferencia pase por ellos. Y no os digo nada si son nueve los puntos que tenemos…El hecho de que dados nueve puntos calculados de formas distintas haya una circunferencia que pase por todo ellos tiene tintes ciertamente sorprendentes.
Esta circunferencia de los nueve puntos se denomina circunferencia de Feuerbach. Aunque ya habíamos hablado de ella, en este artículo os voy a mostrar un applet de GeoGebra como apoyo a explicación de la construcción.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 5 de agosto de 2010
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Categorías: Centros del triángulo
Comenzamos la serie de artículos dedicados a los centros del triángulo con la presentación de los que posiblemente sean los más conocidos para todos, ya que se definen de manera muy sencilla y se estudian en niveles relativamente bajos de nuestra vida académica. Vamos con ellos.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 15 de julio de 2010
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Hace un tiempo Omar-P nos hablaba en este comentario sobre la existencia de una enciclopedia dedicada a los centros del triángulo, es decir, a todos los puntos que presentan alguna característica interesante en relación con un triángulo. La web en concreto está mantenida por el profesor Clark Kimberling y es:
Encyclopedia of Triangle Centers-ETC
Si entráis podréis ver que llevan ya una lista de ¡¡3588 centros!! (13 más que cuando Omar habló de ella en aquel comentario).
Bien, pero ¿para qué os cuento todo esto? Pues muy sencillo. A partir de ahora iré publicando de vez en cuando entradas en las que os hablaré de estos centros del triángulo. Las entradas irán acompañadas de un applet de GeoGebra para que se visualice mejor la característica que hace reseñable a cada centro y una explicación sobre su construcción. Así todos tendremos más claro por qué esos puntos son interesantes y profundizaremos en nuestro conocimientos de este gran programa de geometría.
He creado una nueva categoría exclusiva para los artículos de este tipo para que os sea más sencillo encontrarlos conforme pase el tiempo.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 14 de julio de 2010
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