Introducción
La tradición nos cuenta que Hipócrates de Quíos, en la segunda mitad del siglo V a.C., redujo el problema de duplicar el cubo, o el de duplicar un volumen dado manteniendo la misma forma, al problema más general de construir dos medias proporcionales entre dos magnitudes dadas, es decir, al problema de, dados 
y 
, obtener 
e 
tales que
o, lo que es lo mismo, encontrar e tales que 
formen una progresión geométrica.
Si tenemos un cubo con aristas de longitud 1, por ejemplo, y construimos una progresión geométrica 
entonces ![x =\sqrt[3]{2}](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=x%20%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B2%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "x =\sqrt[3]{2}")
y el cubo cuya arista es tiene volumen doble del cubo cuya arista es 1.
En los comentarios de Eutocio de Ascalón (siglo VI) a los tratados de Arquímedes1 se dan doce soluciones (y se menciona otra más) al problema de construir dos medias proporcionales entre dos magnitudes dadas.
La primera solución cronológicamente se debe a Arquitas de Tarento (principios del siglo IV a.C.), y es uno de los resultados más antiguos que tenemos en la historia de la geometría griega.
Arquitas fue, entre otras cosas, el fundador de la mecánica matemática, inventor de juguetes y elegido “strategos” (jefe militar) por los tarentinos en siete ocasiones.
(Leer el resto del post)
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 12 de May de 2010 | 6 Comentarios
Categorías: Colaboraciones, Geometría, Historia
Introducción
Hipócrates de Quíos fue un matemático griego que vivió en el siglo V a.c. Es famoso en la historia de la geometría por los siguientes hechos:
- Proclo en el llamado sumario de Eudemo dice que fue el primero en escribir unos Elementos.
- Redujo el problema de la duplicación del cubo al problema de hallar dos medias proporcionales.
- Redujo el problema de la cuadratura del círculo al problema de cuadrar determinadas lúnulas y demostró que determinadas lúnulas son cuadrables.
Una lúnula es la superficie que queda al quitar de un segmento de círculo otro con la misma base, es decir la superficie entre dos arcos de circunferencia cuando éstos están situados formando una figura no convexa. Llamamos arco exterior al arco de mayor longitud.
Las proposiciones y demostraciones de Hipócrates nos han llegado a través de la transcripción por Simplicio de pasajes de Eudemo de Rodas y Alejandro de Afrodisias. Esos resultados son los expuestos a continuación, sin las demostraciones (y con una lúnula añadida):
Lúnulas con arco exterior igual a una semicircunferencia
Alejandro de Afrodisias expone los siguientes resultados.
Figura 1. La lúnula que se obtiene al dibujar una semicircunferencia sobre un lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia es igual a la cuarta parte del cuadrado.
Figura 2. La lúnula que se obtiene al dibujar una semicircunferencia sobre un lado de un hexágono regular inscrito en una circunferencia es igual a la sexta parte de la diferencia entre el hexágono y un círculo cuyo diámetro es uno de los lados del hexágono.
Lúnulas con arco exterior mayor que una semicircunferencia
Eudemo de Rodas, después de la lúnula 1 anterior, nos da la siguiente:
Figura 3. Construimos un trapecio con razón 
entre la base y los otros lados. Circunscribimos una circunferencia al trapecio y sobre la base construimos un segmento de círculo semejante a los segmentos sobre los otros lados. Entonces la lúnula que resulta es igual al trapecio.
Figura 4. Este caso no aparece en Simplicio. La lúnula obtenida al reflejar sobre un lado uno de los segmentos del círculo circunscrito a un triángulo equilátero es la tercera parte del la suma del círculo y dos veces el triángulo.
Lúnulas con arco exterior menor que una semicircunferencia
El fragmento de Eudemo concluye con la exposición de los resultados de Hipócrates sobre dos lúnulas con arco exterior menor que una circunferencia.
Figura 5. Sea una circunferencia con centro B y radio BA. Trazamos por el punto medio de BA una perpendicular GD y por A una recta que corte a esa perpendicular en D y a la circunferencia en C de forma que 
.
Sea E el simétrico de C respecto a GD.
La lúnula que se obtiene formando los arcos CBAE, CDE es igual a la figura pentagonal rectilínea ABCDEA.
Figura 6. Sean M,L,N vértices consecutivos de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de centro O. Prolongamos ON hasta OS de forma que 
. Prolongamos OM, OL hasta U, T, en la circunferencia de centro O y radio OS.
Construimos sobre US un segmento de círculo semejante al segmento ML del círculo circunstrito.
La lùnula entre el arco UTS y ese segmento es igual al triángulo UTS más el hexágono MLN menos el círculo circunscrito a ese hexágono.
Conclusiones e historia posterior
Las lúnulas 1,3,5 son equivalentes a figuras rectilíneas construibles. (Con regla y compás, aunque la figura 5 es construida por Hipócrates como se ha expuesto).Y como las figuras rectilíneas son cuadrables, existen lúnulas cuadrables.
Por otro lado las lúnulas 2,4,6 son la suma o diferencia de un círculo y figuras rectilíneas. Por tanto si podemos cuadrar una de esas lúnulas podemos cuadrar el círculo, y viceversa. Podemos llamar a esas lúnulas cuadradoras. (De éstas, el fragmento de Eudemo solo atribuye a Hipócrates la lúnula 6)
Hoy sabemos que no puede haber una lúnula a la vez cuadradora y cuadrable, como pudo pensarse hace más de 2400 años.
El comentario de Simplicio con los resultados de Hipócrates pasó desapercibido hasta 1870 y solo se conocía de Hipócrates la lúnula de la figura 1.
En el siglo XVIII se redescubrieron las lúnulas de las figuras 3 y 5 y otras dos lúnulas cuadrables, haciendo un total de 5 lúnulas cuadrables, descritas en “Recreations in Mathematics…” de Montucla-Ozanam, o en Mathpages
Y finalmente en el siglo XX se demostró que esas 5 son las únicas lúnulas cuadrables.
Este artículo es una colaboración enviada por Fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Si estás interesado en colaborar con Gaussianos envíanos tu propuesta a estas dirección de email.
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 19 de April de 2010 | 31 Comentarios
Categorías: Colaboraciones, Geometría
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 15 de March de 2010 | 5 Comentarios
Categorías: Colaboraciones, Geometría
Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.
La inversión en el plano
Si tenemos una circunferencia 
de radio 
en un plano 
, y 
es la esfera que tiene a por circulo máximo, la proyección estereográfica desde un polo de asocia a cada punto del plano un punto de la esfera distinto del centro de proyección 
, y viceversa.
La simetría de la esfera respecto al plano , es decir la transformación que intercambia cada punto 
de la esfera con su simétrico 
respecto al plano , induce, mediante la proyección estereográfica, una transformación en el plano , que intercambia el interior de la circunferencia , excepto su centro 
, con el exterior de esa circunferencia.
En la figura, 
subtiende en la esfera un arco 
. y 
subtiende el arco 
. Entonces es complementario de y los triángulos rectángulos 
y 
son semejantes. Por tanto 
, es decir 
.
La inversión de centro y potencia es la transformación del plano que hace corresponder a cada punto 
distinto de , el punto 
situado en la recta 
y tal que 
.
Si es negativo, está entre y , y la transformación es equivalente a una inversión de centro y potencia 
seguida de un giro de 180º con centro .
En lo que sigue asumiremos que la potencia es positiva. Entonces los puntos de la circunferencia de centro y radio 
son los únicos puntos fijos de la inversión, y ésta se denomina también inversión o reflexión respecto a la circunferencia de centro y radio
(Leer el resto del post)
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 22 de February de 2010 | 3 Comentarios
Categorías: Colaboraciones, Geometría
El grueso de este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.
Introducción
Una fracción continua es una expresión del tipo:
donde 
es un número entero y los demás 
son enteros positivos.
La representación de un número real de este tipo en fracción continua tiene varias propiedades que hacen que dicha representación sea más interesante que la representación decimal habitual:
- La representación en fracción continua de un número es finita si y solo si ese número es racional.
- La representación en fracción continua de un racional simple es generalmente corta.
- La representación en fracción continua de un racional es única siempre que no acabe en 1.
- Los términos de una fracción continua se repetirán si y solo si representa a un irracional cuadrático, es decir, si es solución de una ecuación cuadrática con coeficientes enteros. Por ejemplo, la fracción continua
![[1, 1, 1, \ldots ]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5B1%2C%201%2C%201%2C%20%5Cldots%20%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "[1, 1, 1, \ldots ]")
representa al número áureo y ![[1, 2, 2, 2, \ldots ]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5B1%2C%202%2C%202%2C%202%2C%20%5Cldots%20%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "[1, 2, 2, 2, \ldots ]")
a 
.
- El truncado de la representación en fracción continua de un número da una aproximación racional que es, en cierto sentido, la mejor posible.
Todo número real puede representarse como fracción continua, pero en este artículo vamos a centrarnos en la representación continua de ciertos números racionales.
Fracción continua de un número racional
(Leer el resto del post)
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 14 de December de 2009 | Comments Off
Categorías: Colaboraciones, Curiosidades
Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.
Introducción
El 8 de abril de 1810, estando Brianchon en Toledo (como teniente de artillería del ejército francés) escribe a Hachette lo siguiente que traduzco literalmente de aquí:
El azar habiéndome hecho caer entre las manos una edición latina del Almagesto de Ptolomeo (Almagestum, Venecia 1515), he extraido y traducido el pasaje siguiente, relativo a la Teoría de las Transversales, y que incluso contiene su principio fundamental. Como la sabia exposición de esta nueva rama de la geometría acaba de hacer época en la historia del progreso de la ciencia que, por ello, se ha enriquecido con un nuevo elemento, he pensado que sería curioso mostrar que los antiguos griegos conocieron los primeros lineamientos de esta teoría de la que hacían uso para resolver algunos problemas astronómicos.
Y sigue la traducción del pasaje del Almagesto. Cabe preguntarse qué sucedió con ese ejemplar de la primera edición impresa del Almagesto (por cierto, también en Toledo el Almagesto fue traducido por primera vez al latín, en 1175, por Gerardo de Cremona).
El principio fundamental que se menciona no es otro que el llamado teorema de Menelao, y la sabia exposicion de la teoria de las transversales sólo puede referirse a la obra de Lazare Carnot, en cuyo Ensayo sobre la teoría de las transversales se adjudica al teorema de Menelao (sin mencionar este nombre) el título de principio fundamental de la teoría.
El texto de Brianchon parece indicar que no conocía previamente la relación del Almagesto (ni de Menelao) con el teorema de Menelao, y parece que no era muy conocida entre los matemáticos de aquellos años.
Teoría.
Llamamos configuración de Menelao a la figura formada por dos segmentos (exteriores, en azul) que se unen en un vértice 
, entre los que se sitúan otros dos (interiores, en verde), que parten de los extremos de los anteriores y se cortan en un punto 
.
En el capítulo 13, que traduce Brianchon, del libro I del Almagesto (hacia 150 d.C.) se demuestra que:
En una configuración de Menelao, usando las letras de la figura para designar a los segmentos, y 
(igual para 
y 
), se cumple que:
Esta proposición es el teorema de Menelao, aplicado en uno y otro caso a los triángulos 
cortado por la transversal 
y 
cortado por la transversal 
.
Pero en lugar de un triángulo cortado por una transversal, Ptolomeo ve relaciones que dan las razones entre los segmentos de una linea exterior(/interior) en función de las razones entre los segmentos de las dos lineas interiores(/exteriores) en una configuración de Menelao.
La demostración de Ptolomeo del resultado anterior es esencialmente idéntica a la primera prueba que se da en este sitio,
A continuación, Ptolomeo demuestra el lema:
Si una cuerda 
(ver figura) es cortada en el punto 
por un radio ,
y usa este resultado junto con el teorema de Menelao (en el plano) para demostrar el teorema de Menelao en la esfera:
Si tenemos una una configuración de Menelao sobre la superficie de una esfera, es decir, si 
son arcos (menores que una semicircunferencia) de círculos máximos de una esfera, entonces:
-
-
Obviamente Ptolomeo no usa la expresión el seno de m, que no se había inventado, sino la cuerda del doble del arco m. Pero como 
, podemos traducir las razones de cuerdas de ángulos dobles como razones de senos.
Este resultado es también la proposición I del libro III de las Esféricas (hacia 100 d.C.) de Menelao de Alejandría.
Menelao asume el teorema de Menelao para el plano como conocido y lo demuestra para la esfera de la misma forma que Ptolomeo.
Las Esféricas de Menelao, traducidas por Halley del árabe al latín en 1758, es el texto más antiguo que nos ha llegado donde se usa el que desde finales del siglo XIX se denomina teorema de Menelao, que se supone que era conocido ya por Hiparco (unos 250 años antes de Menelao) y, en su versión plana, por Euclides (400 años antes de Menelao).
Aplicación
La anterior es toda la teoría de trigonometría esférica que se usa en el Almagesto.
Además Ptolomeo ha construido previamente una tabla de cuerdas (es decir, de senos) calculando la cuerda de la suma y diferencia de dos ángulos usando el teorema de Ptolomeo.
Ptolomeo necesita la tabla de cuerdas para aplicar el teorema de Menelao sobre la esfera con valores concretos de arcos.
En el Almagesto, Ptolomeo solo necesita resolver triángulos rectángulos esféricos.
Para resolver un 
, con ángulo recto en , Ptolomeo prolonga los lados 
del triángulo como en la figura hasta completar arcos 
de 
.
Entonces 
es el polo del círculo máximo que pasa por y , y uniendo 
con un arco los ángulos en y serán rectos y el arco será igual al ángulo 
de .
Como los ángulos en y son rectos, las prolongaciones de 
y 
se cortarán en un punto 
, polo de 
, y los arcos 
y 
serán de .
Se obtiene entonces una configuración de Menelao con vértice sobre la esfera.Y si, por ejemplo, queremos hallar la hipotenusa , dados los catetos 
, usamos el teorema de Menelao para obtener las razón entre los segmentos de 
en función del producto de las razones entre los segmentos de 
y 
y tenemos:
, es decir, 
,
que es el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos esféricos.
De la misma forma, aplicando directamente el teorema de Menelao a los otros segmentos, obtenemos las fórmulas
, 
y 
y de estas ultimas, por simetría
, 
y 
.
Ptolomeo se limita a las fórmulas anteriores, o mejor dicho a aplicar en cada caso el teorema de Menelao con valores de arco concretos, para obtener los resultados que nosotros obtendríamos usando las fórmulas anteriores.
La regla mnemotécnica de Neper
Las anteriores son 7 de las 
fórmulas que relacionan cada subconjunto de 3 elementos del conjunto 
de variables del triángulo.
Las otras 3 fórmulas se derivan de las anteriores (1)-(7) (dejamos esto al lector) y son:
, 
y 
.
Estas 10 fórmulas vienen dadas por la regla mnemotécnica de Neper que dice que:
Si disponemos en un pentágono los elementos del triángulo rectángulo esférico, en el mismo orden en que aparecen en el triángulo, sustituyendo los catetos b,c por sus complementarios 90º-b,90º-c, el coseno de un elemento en el pentágono es
- el producto de las cotangentes de los elementos adyacentes
- el producto de los senos de los elementos opuestos.
A partir de las fórmulas para el triángulo rectángulo se pueden obtener, en no muchos pasos, otras fórmulas de la trigonometría esférica para cualquier triángulo, como el teorema del coseno para la esfera:
o la fórmula que nos permite obtener los lados en fúnción de los ángulos:
.
El lector puede deducir estas últimas a partir de (1)-(10), dividiendo el triángulo en dos triángulos rectángulos mediante una altura.
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 24 de August de 2009 | Comments Off
Categorías: Colaboraciones, Geometría, Historia
Este artículo es una colaboración de fede enviada por mail a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.
En su Geometría Descriptiva (art.39), Gaspard Monge enuncia la proposición que traduzco a continuación, de la que da una demostración muy asequible que creo que no es demasiado conocida.
Sean en un plano una círcunferencia y una recta 
. Trazamos desde un punto cualquiera de esa recta las dos tangentes a la circunferencia y la recta que pasa por los dos puntos de contacto.
Si el punto se mueve sobre la recta , arrastrando con él las dos tangentes sin que dejen de tocar a la circunferencia, los dos puntos de contacto cambiarán de posición, así como la recta que los une.
Pero esta recta pasará siempre por un mismo punto , que se encuentra sobre la perpendicular trazada desde el centro de la circunferencia a la recta .
Recíprocamente, si es un punto en el plano de la circunferencia, los puntos de intersección de las dos tangentes a la circunferencia por los extremos de las cuerdas que pasan por , están en una linea recta .
Este resultado, formulado de otra forma, es el teorema de reciprocidad polar:
Si está en la polar de , está en la polar de .
El argumento que Monge da para el caso en que la recta por la que se mueve no corta a la circunferencia, es el siguiente:
Generamos una esfera mediante la revolución de la circunferencia alrededor de cualquiera de sus diámetros.
Llamamos plano base a nuestro plano de partida, que contiene el centro de la esfera y la recta .
Hay dos planos que pasan por la recta y son tangentes a la esfera. Esos planos tocan a la esfera en dos puntos, 
y 
, simétricos respecto al plano base.
Uno de esos dos planos pasa por y y por tanto contiene las lineas que pasan por y por un punto cualquiera situado en , que serán tangentes a la esfera en ,
El conjunto de las lineas que pasan por un punto situado en y que son tangentes a la esfera forma un cono que toca a la esfera en una circunferencia de contacto determinada.
La linea 
es una tangente a la esfera que pasa por , y por tanto es una de las lineas que forman el cono de tangentes.
También está en el plano que pasa por y , y es entonces la línea de contacto entre el cono y ese plano.
Por tanto todas las circunferencias de contacto de los conos cuyo vértice esté en pasan por .
También pasarán por su simétrico respecto al plano base, y entonces 
es una cuerda común a todas las circunferencias de contacto de los conos tangentes a la esfera, cuyos vértices estén en .
La proyección ortogonal sobre el plano base proyecta las circunferencias de contacto sobre cuerdas de la circunferencia de partida, y se proyecta en un punto , el mismo para todas las puntos de , que es la proposición que queríamos demostrar, en el caso de que sea exterior a la esfera.
La proposición enunciada al principio es proyectiva y sigue siendo cierta si sustituimos la palabra ‘circunferencia’ por ‘sección cónica’ (quitando la frase ‘que se encuentra sobre la perpendicular….’). Porque podemos proyectar desde un punto el plano de la sección cónica sobre otro plano en que la cónica se transforme en un círculo, y las proyecciones preservan tangencias e incidencias.
Como podéis ver fede se ha aficionado a GeoGebra. No es el único, yo también le estoy cogiendo el gustillo poco a poco. Seguro que éste no será el último artículo en el que se use este interesante programa.
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 13 de August de 2009 | Comments Off
Categorías: Colaboraciones, Demostraciones, Geometría, Teoremas
Este artículo es una colaboración de fede enviada por mail a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.
Aprovecho unas prácticas con GeoGebra para exponer la proposición 2 del libro VIII de la Colección Matemática de Pappus de Alejandría.
El matemático Michel Chasles formuló esa proposición de la siguiente forma (Aperçu historique, pag 44):
Si tres móviles situados en los vértices de un triángulo parten al mismo tiempo en el mismo sentido recorriendo los lados del triángulo con velocidades proporcionales a la longitud de esos lados, su centro de gravedad permanecerá inmóvil.
En la formulación de Pappus el enunciado quedaría así:
Si tenemos tres puntos 
en los lados de , como en la figura, de forma que
entonces
- El baricentro de
es el mismo que el de .
- Los puntos medios de los lados de , están siempre en los lados de
, cuyos vértices son los puntos medios de los lados de .
La proposición también se cumple en el caso de que los tres puntos estén en las prolongaciones de los lados de .
Si está activado Java en vuestro navegador, en el applet de GeoGebra de la derecha podéis mover, arrastrando con el ratón, los vértices y los lados de , además del botón del deslizador.
El interés histórico de la demostración de Pappus está en que es la única que tenemos de la antigüedad que utiliza el hoy conocido como teorema de Menelao para obtener un resultado de geometría plana (Menelao y Ptolomeo lo usan para demostrar una proposición de trigonometría esférica).
La idea de la demostración de Pappus es la siguiente:
Si 
es el punto de intersección de 
y 
, aplicando el teorema de Menelao a 
cortado por la transversal 
, tenemos 
, y como 
, resulta que 
y, por tanto, es el punto medio de 
.
Por otro lado aplicando el teorema de Menelao a 
cortado por la transversal 
, tenemos 
y, como 
, resulta que 
.
De donde obtenemos que si 
es el punto de intersección de 
y 
, baricentro de , como 
y 
son paralelas, 
, y están alineados y como 
, también 
.
Entonces es también el baricentro de .
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 3 de August de 2009 | Comments Off
Categorías: Colaboraciones, Geometría
Este artículo es una colaboración enviada por fede a nuestro mail gaussianos (arroba) gmail (punto) com.
Introducción
La cuadratriz es una curva descubierta por los antiguos matemáticos griegos que resuelve dos de los problemas famosos de la época: la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo. No sabemos quienes descubrieron sus propiedades, pero autores antiguos la asocian con Dinóstrato, Nicomedes e Hipias.
En el libro IV de la ‘Colección Matemática’ de Pappus de Alejandría nos ha llegado una demostración de la propiedad de la cuadratriz que permite cuadrar el círculo, que presentamos aquí.
Usamos la notación 
para expresar ‘ es a 
como es a ’, en lugar de la notación de igualdad de fracciones, para intentar acercarnos a los conceptos de las antiguas matemáticas griegas.
Generación de la cuadratriz
Supongamos inscrito en el cuadrado 
un arco de circunferencia 
con centro . Sea un punto que parte de y se desplaza por el arco a velocidad uniforme. Sea un punto que parte de en el mismo momento que y se desplaza por el segmento 
a velocidad uniforme y de forma que el tiempo en que recorre es el mismo que el tiempo en que recorre el arco . Entonces, en cada instante, la longitud del segmento 
es a la longitud del segmento como la longitud del arco 
es a la longitud del arco , lo que expresamos con la notación 
. El punto 
, en que se cortan la perpendicular a por y la recta , describe la curva llamada cuadratriz.
Como con regla y compás podemos bisecar ángulos y obtener el punto medio de segmentos, podemos obtener con regla y compás puntos de la cuadratriz tan cercanos entre sí como queramos.
La división del ángulo
La cuadratriz permite inmediatamente dividir un ángulo en la misma proporción que un segmento y viceversa, es decir, reduce el problema de la división de un ángulo al de la división de un segmento. Se presume que éste fue el uso para el que se inventó en primer lugar la cuadratriz.
Si queremos dividir un ángulo 
según una razón dada 
, obtenemos el punto de intersección del ángulo con la cuadratriz, y a continuación el punto con 
perpendicular a . Obtenemos en 
un punto 
de forma que 
(Elementos VI.9) y a continuación el punto 
, intersección de la cuadratriz con la perpendicular a por . Por último obtenemos el punto 
, interseccion de 
con el arco .
Como por la definición de la cuadratriz y 
, resulta que 
, y hemos dividido el ángulo en la razón requerida.
La cuadratura del círculo
Si primero se concibió la cuadratriz para dividir ángulos, quizá fue una sorpresa descubrir que también resolvía el problema de la cuadratura del círculo. Para ello no hace falta la cuadratriz, sino solo el punto 
de intersección de la cuadratriz con la base . Ese punto no se produce como intersección de las rectas y 
en la primera figura, porque esas rectas coinciden cuando llegan a , y por tanto tenemos que definirlo como el punto límite al que tienden los puntos de la cuadratriz cuando y se acercan a .
La propiedad del punto que permite rectificar la circunferencia y cuadrar el círculo es que 
, o, dicho en palabras, la longitud del arco es a la longitud del segmento como la longitud del segmento es a la longitud del segmento 
.
Ello implica que si 
es la intersección de la paralela a 
que pasa por con la prolongación de , la longitud 
es igual a la longitud del arco (porque 
).
Entonces, puesto que el área de un sector circular es la mitad de la longitud del arco por el radio, si es el punto medio de , el área del sector circular 
es igual al área del rectángulo 
. Por tanto el área del círculo es 4 veces el área de ese rectángulo.
Y como podemos construir un cuadrado con área igual a un rectángulo dado (Elementos II.14), podemos cuadrar el círculo con regla y compás si nos dan el punto de la cuadratriz en el segmento .
Demostración
A continuación damos la demostración que da Pappus de la propiedad .
En existe un punto tal que 
.
Con centro y radio 
trazamos el arco de circunferencia 
. Entonces 
, porque las circunferencias son proporcionales a sus radios. Y como también 
, tenemos que es igual al arco .
Supongamos que el arco tiene un punto distinto de en la cuadratriz (figura de la izquierda). Por definición de la cuadratriz:
Como es igual a y es igual a , resulta que 
es igual a 
, lo que es absurdo. Por tanto
no tiene un punto en común con la cuadratriz, salvo quizá . Entonces no puede ser mayor que .
Supongamos ahora que la perpendicular a por tiene un punto distinto de en la cuadratriz (figura de la derecha).
Por definición de la cuadratriz, 
. Como es igual a y es igual a , resulta que 
es igual a 
, lo que es absurdo. Por tanto la perpendicular a por no tiene un punto en común con la cuadratriz, salvo quizá . Entonces no puede ser menor que .
Pero hemos visto que tampoco puede ser mayor, luego el punto es el punto , y entonces . como queríamos demostrar.
Obtener la ecuación de la cuadratriz en coordenadas polares y cartesianas no es difícil. A ver quién se atreve.
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 11 de August de 2008 | Sin comentarios
Categorías: Colaboraciones, Curvas famosas, Geometría
Este artículo es una colaboración de Fede enviada por mail a gaussianos (arroba) gmail (punto) com
Tenemos en la figura un triángulo ABC en negro, con los trisectores interiores de cada ángulo en gris y los trisectores exteriores de cada ángulo en verde.
En 1899 Frank Morley descubrió el resultado que ahora se conoce como teorema de Morley:
Los puntos de intersección de los trisectores de los ángulos de cualquier triángulo ABC determinan triángulos equiláteros
En la imagen podemos verlos en azul:
- Los trisectores interiores adyacentes a cada lado se cortan en 3 puntos D, E y F que son los vértices de un triángulo equilátero.
- Los trisectores exteriores adyacentes a cada lado se cortan en 3 puntos G, H y I que son los vértices de un triángulo equilátero.
- El trisector interior por A adyacente al lado AB y el trisector exterior por B adyacente al lado AB se cortan en punto J. El trisector interior por A adyacente al lado AC y el trisector exterior por C adyacente al lado AC se cortan en punto K. Los trisectores exteriores por B y C adyacentes al lado BC se cortan en un punto G. Los puntos J, K y G son los vértices de un triángulo equilátero. Análogamente para los otros ángulos.
Podemos encontrar demostraciones del teorema de Morley en esta revista o en este sitio.
Como esas demostraciones son para el triángulo formado por las intersecciones de los trisectores interiores, damos una aquí para el triángulo formado por las intersecciones de los trisectores exteriores.
Si 
, el ángulo entre los lados y los trisectores interiores y entre éstos es igual a y el ángulo entre los lados y los trisectores exteriores y entre éstos es igual a 
.
Trisectores exteriores
Demostramos que el triángulo formado por los trisectores exteriores adyacentes a cada lado es equilátero. Para ello usamos el siguiente lema:
Lema:
Sobre dos lados 
y 
de un triángulo equilátero 
construimos hacia el exterior triángulos 
y 
como en la figura, de forma que 
y 
.
Reflejamos el triángulo sobre 
para obtener el triángulo 
y el triángulo sobre 
para obtener el triángulo 
.
Lema:
En la construcción anterior, si 
, los puntos y están en la recta 
y 
.
Porque como 
y el triángulo 
es isósceles, porque 
y 
son iguales al lado del triángulo equilátero, tenemos que 
, porque 
. Pero por construcción también 
, luego los puntos y están en la recta .
Y por tanto 
.
Ahora, si tenemos un triángulo cualquiera 
, con 
, construimos sobre los lados de un triángulo equilátero , triángulos , 
y 
haciendo ángulos 
con los lados del triángulo equilátero como en la figura.
Entonces, por el lema anterior, como 
, 
. Pero como 
, resulta que 
.
De la misma forma obtenemos 
y 
. Por lo tanto el triángulo 
es semejante al triángulo . Pero como 
, las lineas 
y 
son trisectores exteriores de , y también 
, 
, 
y 
. Y estos trisectores exteriores se cortan en , y que son los vértices de un triángulo equilátero. Y como la semejanza preserva los ángulos, y es semejante a , en nuestro triángulo original también los puntos se intersección de los trisectores exteriores serán vértices de un triángulo equilátero, como queríamos demostrar.
Trigonométricamente se demuestra que el lado del triángulo equilátero formado por la intersección de los trisectores exteriores es 
donde es el radio del círculo circunscrito.
La importancia de este teorema radica en que la trisección de un ángulo no es resoluble con regla y compás. Esta es la razón principal por la cual se cree que el enunciado y demostración de este teorema tan sencillo e intuitivo se le escapó a los griegos, ya que ellos no consideraban los resultados relacionados con operaciones que no pudieran hacerse con regla y compás, y no se publicó hasta finales del siglo XIX, cuando los matemáticos se atreven a considerar propiedades de figuras no construibles con estas normas.
Como última curiosidad, al parecer el propio Morley no estaba demasiado contento con el descubrimiento de este teorema, ya que los matemáticos del momento se centraron en él por su sencillez y por lo inesperado del resultado y dejaron a un lado el resto de sus trabajos.
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 28 de January de 2008 | Comments Off
Categorías: Colaboraciones, Demostraciones, Geometría, Teoremas
