Apolonio de Perga (siglo III a.C.), en la carta de introducción al libro V de las Cónicas, escribe:
“Apolonio a Átalo, Salud. Te envío el quinto libro de las Cónicas, con esta carta:
En este libro se encuentran proposiciones sobre las líneas máximas y mínimas.
Has de saber que nuestros predecesores y contemporáneos sólo han investigado un poco las mínimas, y han mostrado, gracias a ello, cuáles son las rectas que tocan (tangentes) a las secciones y también la recíproca, es decir, lo que sucede a las rectas que tocan a las secciones de forma que si eso sucede, las rectas son tangentes.
Por nuestra parte, hemos mostrado estas cosas en el primer libro, sin utilizar las líneas mínimas para demostrarlas……”
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 5 de December de 2011
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Categorías: Colaboraciones, Geometría, Historia
A finales del pasado mes de octubre, el día 25 concretamente, asistí a una charla titulada La forma del Universo, encuadrada dentro de los diez Coloquios del Centenario de la RSME que se han impartido por universidades e institutos de varias partes de España. Éste fue el octavo de ellos, se celebró en la Biblioteca General de la UCLM en Ciudad Real y el encargado de dar dicha charla fue Vicente Muñoz, catedrático de Geometría y Topología de la Universidad Complutense de Madrid.
Vicente Muñoz respondiendo a una de las preguntas que le realizaron tras el Coloquio
Al finalizar la charla, en la que Vicente introdujo conceptos topológicos aprovechando la típica pregunta sobre qué forma tiene el Universo, tuve la oportunidad de comer con él y con otras personas que asistieron a la conferencia. Y después, ya a través de mail, comenzó una conversación encaminada a la publicación de una colaboración suya en Gaussianos que ha culminado en el post que estáis leyendo en estos momentos. Os dejo el artículo que Vicente me ha enviado sobre este tema.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 23 de November de 2011
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Categorías: Colaboraciones, Geometría, Topología
Qué interesantes son los números complejos. La cantidad de curiosidades que pueden sacarse a partir de sus propiedades tiende a infinito, y por ello vale la pena adentrarse en su estudio con el objetivo de profundizar en el conocimiento de este conjunto.
La curiosidad que vamos a comentar hoy está relacionada con las raíces n-ésimas de los números complejos, cuyo cálculo describimos aquí. No está de más recordar que en el conjunto 
de los complejos se cumple que cada 
tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas: dos raíces, cuadradas, tres raíces cúbicas, cuatro raíces cuartas, etc. Esto en 
no ocurre siempre (hay números reales que tienen dos raíces cuadradas, números reales que tiene solamente una y números reales que no tienen ninguna).
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 10 de October de 2011
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Categorías: Colaboraciones, Números complejos
Hace un tiempo uno de nuestros lectores más fieles, Imanol Pérez Arribas, envió la siguiente carta al director a varios medios:
Sr. Director:
Cada vez está más cerca la famosa vuelta al cole. Sí, esa fecha que muchos alumnos intentan olvidar cuando empieza el verano, pero a medida que finaliza agosto ven cada vez más cerca el inevitable retorno. Sin embargo, desgraciadamente, más de un cuarto de los alumnos no logarán el título de la Educación Secundaria Obligatoria (ESO). No es ningún secreto que el fracaso escolar español sea muy superior a la media de la Unión Europea. De hecho, España supera, junto con Portugal y Malta, el 30%.
¿Y cuál puede ser el origen del problema? No creo que haya un solo factor del fracaso escolar, sino muchos pequeños factores, y no todos provenientes del gobierno. No hay más que comparar con otros países mundiales. Por ejemplo, citando a Miguel Ángel Morales Medina, licenciado en Matemáticas por la Universidad de Granada, «En Japón un matemático tiene un programa en horario de máxima audiencia donde explica matemáticas. En España tenemos un programa en horario de máxima audiencia donde se da 5000 € a alguien que lleva una galleta desde un ojo hasta su boca ayudándose solamente de los músculos de la cara y 10000 € por ser capaz de ensartar seis macarrones en un espagueti que lleva sujeto con la boca».
Por lo tanto, aplaudo todo intento de divulgación científica que se lleve a cabo, como el evento Amazings Bilbao 2011, celebrado el 23 y 24 de septiembre. Esperemos que la divulgación científica pueda ayudar a disminuir el fracaso escolar.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 21 de September de 2011
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Categorías: Colaboraciones, Reflexiones
La primera parte de este articulo es una colaboración que me envió Sergio hace bastante tiempo.
Cuando estaba en el instituto, una de las cosas que más me sorprendía (y me tocaba las narices, todo hay que decirlo) era el Teorema de Gauss. Y no porque fuera difícil o porque fuera algo grandioso que destacara sobre el resto del temario, sino porque aparecía cuando menos te lo esperabas. Empezamos con el teorema de Gauss aplicado al campo gravitatorio, y cuando ya te lo sabías de memoria y habías trabajado con él hasta la saciedad (y muchos rezaban por no volver a verlo), de repente aparecía para el campo eléctrico. Además, lo mismo daba aplicarlo sobre distribuciones de carga lineales, planas o de volumen, valía para todo. La primera conclusión es que este Gauss era un genio (que lo era, no lo vamos a negar), tenía soluciones para todos los problemas tanto de gravitación como de electricidad. Uno tenía la sensación de que si le hubieran dejado, habría hecho toda la ciencia de la humanidad él solo.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 21 de July de 2011
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Categorías: Colaboraciones, Cálculo
Hoy día 27 de junio de 2011 comienza en la Universidad de Alcalá el XIV Spanish Meeting on Computational Geometry. Este congreso bianual, que concluirá el jueves día 30 de junio, está dedicado en este año 2011 al 60 cumpleaños del profesor Ferrán Hurtado:
Como podéis ver en el título del congreso, la temática del mismo es la Geometría Computacional. Bien, ¿y qué es la Geometría Computacional? Pues de eso trata este artículo. Pero no os lo voy a explicar yo, sino una auténtica especialista en este tema.
En la charla ¿Se puede “hacer” matemáticas a través de un blog? que di en la Universidad de Sevilla nuestra querida ClaraGrima me comentó que no había visto nada relacionado con Geometría Computacional, tema en la que ella es una especialista, en Gaussianos. Por ello la invité a escribir una colaboración sobre ello para que todos pudiéramos introducirnos en esta rama de las matemáticas. Y aquí está, en el mejor momento posible, aprovechando el comienzo de este importante congreso de Geometría Computacional. Vamos con ello.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 27 de June de 2011
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Categorías: Carnaval de matematicas, Colaboraciones, Geometría, Informática, Topología
Introducción
Pappus de Alejandría dice en el libro IV de su Colección Matemática:
En algunas obras antiguas aparece la siguiente proposición:
Dados tres semicírculos tangentes entre sí, inscribamos en el espacio comprendido entre sus arcos, que se llama arbelos, tantos círculos como se quiera tangentes entre sí y a los semicírculos, como los descritos en la figura.
Digo que la perpendicular a la base trazada desde el centro del primer círculo inscrito es igual al diámetro de ese círculo, que la trazada desde el segundo círculo es doble del diámetro del círculo, que la trazada desde el tercero es el triple, e inscribiendo así infinitos círculos, las sucesivas perpendiculares son múltiplos de los respectivos diámetros según números consecutivos…
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 25 de April de 2011
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Categorías: Colaboraciones, Geometría
Apolonio de Perga (hacia 220 a.C), en la proposición 11 del libro I de Las Cónicas, llama parábolas a las curvas que desde entonces se conocen con ese nombre.
En esa proposición deduce el symptoma (o propiedad característica) de la parábola, equivalente a lo que para nosotros, desde el siglo XVII, es la ecuación de la curva.
Si cada paralela a una dirección dada corta a una curva en 2 puntos y los puntos medios de los segmentos entre esos 2 puntos están en una misma recta, Apolonio llama a esa recta un diámetro de la curva. Si es perpendicular a las paralelas, esa recta es llamada eje de la curva.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 1 de March de 2011
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Categorías: Colaboraciones, Geometría, Historia
Introducción
La tradición nos cuenta que Hipócrates de Quíos, en la segunda mitad del siglo V a.C., redujo el problema de duplicar el cubo, o el de duplicar un volumen dado manteniendo la misma forma, al problema más general de construir dos medias proporcionales entre dos magnitudes dadas, es decir, al problema de, dados 
y 
, obtener 
e 
tales que
o, lo que es lo mismo, encontrar e tales que 
formen una progresión geométrica.
Si tenemos un cubo con aristas de longitud 1, por ejemplo, y construimos una progresión geométrica 
entonces ![x =\sqrt[3]{2}](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=x%20%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B2%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "x =\sqrt[3]{2}")
y el cubo cuya arista es tiene volumen doble del cubo cuya arista es 1.
En los comentarios de Eutocio de Ascalón (siglo VI) a los tratados de Arquímedes1 se dan doce soluciones (y se menciona otra más) al problema de construir dos medias proporcionales entre dos magnitudes dadas.
La primera solución cronológicamente se debe a Arquitas de Tarento (principios del siglo IV a.C.), y es uno de los resultados más antiguos que tenemos en la historia de la geometría griega.
Arquitas fue, entre otras cosas, el fundador de la mecánica matemática, inventor de juguetes y elegido “strategos” (jefe militar) por los tarentinos en siete ocasiones.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 12 de May de 2010
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Categorías: Carnaval de matematicas, Colaboraciones, Geometría, Historia
Introducción
Hipócrates de Quíos fue un matemático griego que vivió en el siglo V a.c. Es famoso en la historia de la geometría por los siguientes hechos:
- Proclo en el llamado sumario de Eudemo dice que fue el primero en escribir unos Elementos.
- Redujo el problema de la duplicación del cubo al problema de hallar dos medias proporcionales.
- Redujo el problema de la cuadratura del círculo al problema de cuadrar determinadas lúnulas y demostró que determinadas lúnulas son cuadrables.
Una lúnula es la superficie que queda al quitar de un segmento de círculo otro con la misma base, es decir la superficie entre dos arcos de circunferencia cuando éstos están situados formando una figura no convexa. Llamamos arco exterior al arco de mayor longitud.
Las proposiciones y demostraciones de Hipócrates nos han llegado a través de la transcripción por Simplicio de pasajes de Eudemo de Rodas y Alejandro de Afrodisias. Esos resultados son los expuestos a continuación, sin las demostraciones (y con una lúnula añadida):
Lúnulas con arco exterior igual a una semicircunferencia
Alejandro de Afrodisias expone los siguientes resultados.
Figura 1. La lúnula que se obtiene al dibujar una semicircunferencia sobre un lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia es igual a la cuarta parte del cuadrado.
Figura 2. La lúnula que se obtiene al dibujar una semicircunferencia sobre un lado de un hexágono regular inscrito en una circunferencia es igual a la sexta parte de la diferencia entre el hexágono y un círculo cuyo diámetro es uno de los lados del hexágono.
Lúnulas con arco exterior mayor que una semicircunferencia
Eudemo de Rodas, después de la lúnula 1 anterior, nos da la siguiente:
Figura 3. Construimos un trapecio con razón 
entre la base y los otros lados. Circunscribimos una circunferencia al trapecio y sobre la base construimos un segmento de círculo semejante a los segmentos sobre los otros lados. Entonces la lúnula que resulta es igual al trapecio.
Figura 4. Este caso no aparece en Simplicio. La lúnula obtenida al reflejar sobre un lado uno de los segmentos del círculo circunscrito a un triángulo equilátero es la tercera parte del la suma del círculo y dos veces el triángulo.
Lúnulas con arco exterior menor que una semicircunferencia
El fragmento de Eudemo concluye con la exposición de los resultados de Hipócrates sobre dos lúnulas con arco exterior menor que una circunferencia.
Figura 5. Sea una circunferencia con centro B y radio BA. Trazamos por el punto medio de BA una perpendicular GD y por A una recta que corte a esa perpendicular en D y a la circunferencia en C de forma que 
.
Sea E el simétrico de C respecto a GD.
La lúnula que se obtiene formando los arcos CBAE, CDE es igual a la figura pentagonal rectilínea ABCDEA.
Figura 6. Sean M,L,N vértices consecutivos de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de centro O. Prolongamos ON hasta OS de forma que 
. Prolongamos OM, OL hasta U, T, en la circunferencia de centro O y radio OS.
Construimos sobre US un segmento de círculo semejante al segmento ML del círculo circunstrito.
La lùnula entre el arco UTS y ese segmento es igual al triángulo UTS más el hexágono MLN menos el círculo circunscrito a ese hexágono.
Conclusiones e historia posterior
Las lúnulas 1,3,5 son equivalentes a figuras rectilíneas construibles. (Con regla y compás, aunque la figura 5 es construida por Hipócrates como se ha expuesto).Y como las figuras rectilíneas son cuadrables, existen lúnulas cuadrables.
Por otro lado las lúnulas 2,4,6 son la suma o diferencia de un círculo y figuras rectilíneas. Por tanto si podemos cuadrar una de esas lúnulas podemos cuadrar el círculo, y viceversa. Podemos llamar a esas lúnulas cuadradoras. (De éstas, el fragmento de Eudemo solo atribuye a Hipócrates la lúnula 6)
Hoy sabemos que no puede haber una lúnula a la vez cuadradora y cuadrable, como pudo pensarse hace más de 2400 años.
El comentario de Simplicio con los resultados de Hipócrates pasó desapercibido hasta 1870 y solo se conocía de Hipócrates la lúnula de la figura 1.
En el siglo XVIII se redescubrieron las lúnulas de las figuras 3 y 5 y otras dos lúnulas cuadrables, haciendo un total de 5 lúnulas cuadrables, descritas en “Recreations in Mathematics…” de Montucla-Ozanam, o en Mathpages
Y finalmente en el siglo XX se demostró que esas 5 son las únicas lúnulas cuadrables.
Este artículo es una colaboración enviada por Fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Si estás interesado en colaborar con Gaussianos envíanos tu propuesta a estas dirección de email.
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 19 de April de 2010
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Categorías: Colaboraciones, Geometría
