Utilizando el método de exhaución para “demostrar” que 2=1
Sep13

Utilizando el método de exhaución para “demostrar” que 2=1

El método de exhaución ideado por los griegos es un argumento mediante el cual se puede aproxima el perímetro o el área de figuras curvas. Probablemente, el ejemplo más famoso es el cálculo de la longitud de la circunferencia que elaboró Arquímedes en el que se aproximaba dicha longitud mediante polígonos regulares inscritos en ella (más información en la Wikipedia en inglés).

Sigue leyendo
Hausdorff y la «muerte libre»
Ene27

Hausdorff y la «muerte libre»

por Antonio J. Durán, matemático y escritor

Felix HausdorffEn 2014 se ha cumplido un siglo de la publicación del libro de Felix Hausdorff Fundamentos de la teoría de conjuntosGrundzüge der Mengenlehre en alemán―. Además de ser una introducción a la teoría de conjuntos, se le considera el libro fundacional de la topología, aunque de lo que voy a tratar aquí no es de la importancia matemática de la efemérides sino de otros asuntos menos científicos. Asuntos que tienen más que ver con la inextricable ligazón de las matemáticas con la condición humana, porque en la trayectoria vital de este genial matemático alemán se dieron cita desde las matemáticas más abstractas a las circunstancias emocionales más intensas, especialmente en su terrible final donde Hausdorff dio un ejemplo supremo de dignidad.

Sigue leyendo
Qué dice exactamente el primer teorema de incompletitud de Gödel
Oct23

Qué dice exactamente el primer teorema de incompletitud de Gödel

Hace un tiempo, sobre todo a raíz de algunos textos que leí acerca de la “aplicación” de los teoremas de incompletitud de Gödel a temas con los que no tienen ninguna relación, volvió a mi cabeza la idea de hablar sobre estos teoremas en el blog. Para ello preferí intentar contar con la colaboración de algún especialista en el tema, y casi automáticamente vino a mi mente el nombre de Gustavo Piñeiro, matemático argentino, autor junto a Guillermo Martínez del libro Gödel para Todos (editado en 2009 en Argentina y en 2010 en España y que ya os recomendé para el día del libro en 2012) y responsable del blog El Topo Lógico, dedicado a la divulgación de la matemática.

Gustavo accedió gustosamente a mi sugerencia de colaboración, y hoy, por fin, se publica el texto que escribió sobre el primer teorema de incompletitud de Gödel para Gaussianos. Espero que os aclare todas vuestras dudas sobre ello. Y si no es así ya sabéis que tenéis los comentarios de este post para plantearlas.


Sigue leyendo

Integrando por partes like a boss

Este post es una colaboración enviada por Don Mostrenco. Si quieres realizar alguna sugerencia o enviar alguna colaboración puedes hacerlo a través de la sección Contacto.

La integración por partes

Nunca me gustó la fórmula de la integración por partes. Me refiero a ésta:

\displaystyle{\int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du}

Escrita así, siempre me pareció asimétrica e incómoda de aplicar. El caso es que, como casi todos los métodos de resolución de integrales indefinidas, éste es una consecuencia directa de las reglas de derivación. Concretamente de la regla del producto. Veámoslo:

\cfrac{d}{dx} \left( u \cdot v \right) = \cfrac{du}{dx} \cdot v + u \cdot \cfrac{dv}{dx}

Si ahora reordenamos los términos:

u \cdot \cfrac{dv}{dx} = \cfrac{d}{dx} \left (u \cdot v \right ) - \cfrac{du}{dx} \cdot v

e integramos:

\displaystyle{\int \left( u \cdot \cfrac{dv}{dx} \right) \cdot dx = \int \left( \cfrac{d}{dx} \left( u \cdot v \right) \right) \cdot dx - \int \left( \cfrac{du}{dx} \cdot v \right) \cdot dx}

Voilà!, recuperamos la fórmula inicial.

Sigue leyendo
¿Cómo meter una barra de 1 km de longitud en un cubo de 1 cm de arista?
Dic18

¿Cómo meter una barra de 1 km de longitud en un cubo de 1 cm de arista?

Este artículo es una colaboración de Fernando Etayo Gordejuela, profesor del Departamento de Matemáticas, Estadística y Computación de la Universidad de Cantabria y uno de los organizadores de los talleres Matemáticas en Acción, ciclo en el que tuve el placer de participar en enero de 2011. Desde aquí le agradezco mucho su predisposición a la hora de colaborar con Gaussianos con este interesante artículo. Y es posible que no sea la última vez que lo veamos por aquí. por ahora disfrutemos de esta interesante entrada.


Con esta pregunta empecé una clase de inglés para profesores que organiza mi universidad y en la que cada alumno debe exponer un tema cada día. Mis compañeros de clase, un físico, un ingeniero de telecomunicaciones y una ingeniero de minas, me dieron como primera respuesta la de que es imposible. Pero sabedores de que los matemáticos somos los “magos de la ciencia”, pensaron que habría algún truco y me bombardearon con cuestiones como las siguientes:

  • ¿Qué anchura tiene la barra? Ninguna –respondí- es una barra matemática, ideal.
  • ¿Se puede doblar? Tampoco. Es una barra firme, un segmento.

Se centraron en saber qué se entiende por barra. En saber qué definición manejaba yo de barra, pero no pusieron en duda el concepto de cubo. Y ahí es donde está el truco.

Sigue leyendo
¿Cómo que 1+2+4+8+…=-1?
Nov26

¿Cómo que 1+2+4+8+…=-1?

Este artículo es una colaboración de Antonio Rojas. Aunque por Gaussianos ya lo conocemos (propuso el noveno desafío GyG), no está mal que se presente:

Soy (no necesariamente por este orden) sevillano, matemático, profesor, y amante de la ciencia en general. Mi hábitat natural es el Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla.

Es un honor para mí contribuir con este post al blog matemático en español por excelencia. Resulta todo un reto para los que nos dedicamos a la investigación matemática bajar de vez en cuando los pies a la tierra e intentar explicar de manera simple las herramientas y los resultados con los que trabajamos diariamente. No garantizo haberlo conseguido, pero aquí va mi mejor intento.


Una de las cosas raras provocadas por el infinito que contó Gaussianos en su charla de Naukas Bilbao 2013 (que podéis ver aquí si no lo habéis hecho ya y que está un poco más detallada aquí) es la leyenda del ajedrez. En la versión infinita de esta leyenda, el rey ofrece a Sissa una suma infinita de granos de trigo

S=1+2+4+8+16+\cdots+2^{63}+2^{64}+2^{65}+ \cdots

Este “número” cumple que S=1+2(1+2+4+8+\cdots)=1+2S, por lo que despejando se obtiene S=-1, es decir, ¡Sissa le debe un grano de trigo al rey!

Para comprender esta paradoja, debemos saber qué se entiende por una suma de infinitos términos. Una tal suma se llama serie, y decimos que la serie converge a un cierto valor S si la sucesión formada por las sumas parciales de los primeros n términos de la serie se acerca tanto como queramos a S a partir de un cierto n. En ese caso, podemos decir que el valor de la suma infinita es igual a S. En notación matemática,

s_1+s_2+s_3+s_4+\cdots=S

quiere decir que

\displaystyle{\lim_{n\to\infty}(s_1+s_2+\cdots+s_n)=S}.

Por ejemplo, la serie

\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{2^n}+\cdots

tiene suma 1, puesto que \frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}, que se acerca tanto como queramos a 1 a partir de un cierto término.

Sigue leyendo