Colaboraciones | Gaussianos

La línea de Nagel

Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Breve reseña biográfica de Nagel

Christian Heinrich von Nagel

Christian Heinrich von Nagel, geómetra alemán, nació el 28 de febrero de 1803 en Stuttgart, Alemania, y murió el 27 de octubre de 1882 en la también alemana Ulm.

En 1821 Nagel comenzó a estudiar Teología, terminando sus estudios en 1825. Pero durante esos cuatro años sus intereses también se dirigieron hacia las matemáticas y la física.

Tanto fue así que llegó a ser profesor de matemáticas de secundaria en la ciudad alemana de Tübingen. Pero la cosa no quedó ahí. En 1826 Nagel se doctora gracias a su trabajo De triangulis rectangulis ex algebraica aequatione construendis (Sobre triángulos rectángulos construibles desde una ecuación algebraica). Más tarde, en 1830, Nagel se traslada a Ulm donde trabaja en el Gymnasium (escuela de secundaria preparatoria para estudios superiores) de esa localidad.

Su principal contribución a las matemáticas se encuadra en la geometría del triángulo. En este artículo vamos a ver, entre otras cosas, dos construcciones relacionadas con el triángulo que llevan su nombre: el punto de Nagel y la línea de Nagel.

Introducción

Como la distancia del baricentro $G$ a un vértice es el doble de la distancia de $G$ al punto medio del lado opuesto, la homotecia con centro $G$ y razón -1/2 transforma el triangulo $\triangle A_0B_0C_0$ , antimedial o anticomplementario de $\triangle ABC$ , en el triángulo $\triangle ABC$ , y éste en su triángulo medial o complementario $\triangle A_1B_1C_1$ .

El applet GeoGebra-Java no ha podido ejecutarse.

En geometría del triángulo se llama a veces complemento de un punto $P$ a su imagen $P_1$ en la homotecia $\mathcal{H}_{G,-1/2}$ y anticomplemento de $P$ a su imagen $P_0$ en la homotecia $\mathcal{H}_{G,-2}$

El punto $G$ , un punto $P$ , su complemento $P_1$ , y su anticomplemento $P_0$ están alineados, y situados de forma que $P_1$ es el punto medio de $PP_0$ y $P_0G = 2PG$ .

Si en la figura colocamos el punto $P$ en el circuncentro $O$ de $\triangle ABC$ , el punto $P_0$ es el circuncentro del triángulo antimedial (que es el ortocentro de $\triangle ABC$ ), el punto $P_1$ es el circuncentro del triángulo medial (es decir el centro del círculo de 9 puntos), y la linea $PP_0$ es la linea de Euler del triángulo.

En cambio si colocamos el punto $P$ en el incentro $I$ de $\triangle ABC$ , el punto $P_0$ es el incentro del triángulo antimedial, el punto $P_1$ el incentro del triángulo medial, y la linea $PP_0$ es la linea que en Wolfram MathWorld han decidido llamar un tanto arbitrariamente línea de Nagel, por el hecho de que el incentro del triángulo antimedial es el punto de Nagel $M$ , como demostraremos a continuación.

Por otro lado el punto de Spieker $S$ es por definición el incentro del triángulo medial, y de las observaciones anteriores se concluye que el incentro $I$ , el baricentro $G$ , el punto de Spieker $S$ y el punto de Nagel $M$ están alineados, $S$ es el punto medio del segmento $IM$ y $GM = 2IG$ .

El punto de Nagel

Llamamos ceviana de Nagel a la línea, $AE$ en la figura, que une un vértice con el punto de tangencia de la circunferencia exinscrita opuesta al vértice con el lado opuesto.

El punto $A$ , al ser la intersección de una tangente común a las circunferencias inscrita y exinscrita opuesta a $A$ con la linea que une los centros de estas circunferencias es centro de una homotecia que transforma la circunferencia exinscrita en la circunferencia inscrita. Esa homotecia lleva el radio $I_AE$ al radio $IF$ , paralelo a $I_AE$ y por tanto perpendicular a $BC$ .

Por tanto la ceviana $AE$ pasa por el punto $F$ , diametralmente opuesto en el círculo inscrito al punto de tangencia de ese círculo con el lado opuesto a $A$ .

Como vimos en el post sobre los círculos tritangentes $CD=EB$ y por tanto si $A_1$ es el punto medio de $BC$ , $DA_1 = A_1E$ .

Como también $DI=IF$ , resulta que las líneas $A_1I$ y $AE$ son paralelas.

Y como la homotecia $\mathcal{H}_{G,-2}$ , que transforma el triángulo en su antimedial, transforma la linea $A_1I$ en una línea que pasa por $A$ paralela a $A_1I$ , es decir en la ceviana de Nagel $AE$, resulta que las cevianas de Nagel concurren en un punto, el punto de Nagel $M$ y ese punto es el incentro del triángulo antimedial.

Del post sobre círculos tritangentes concluimos también que las cevianas de Nagel bisecan el perímetro del triángulo, es decir las dos partes del perímetro del triángulo situadas a uno y otro lado de cada ceviana de Nagel tienen igual longitud.

El punto de Spieker

El punto de Spieker es el centro del circulo inscrito en el triangulo medial, o circulo de Spieker, y tiene algunas propiedades bastante interesantes.

Si en la figura $A_1$ es el punto medio de $BC$ y prolongamos el lado $CA$ hasta $E$ de forma que $AE=AB$ , y $F$ es el punto medio de $CE$ , $BE$ y $A_1F$ son paralelas y $A_1B + BA + AF = A_1C+CF$ .

Camo $BE$ es perpendicular a $AH$ , y esta línea es la bisectriz exterior de $\angle BAC$ , $A_1F$ es paralela a la bisectriz interior de $\angle BAC$ , y por tanto es una bisectriz del triángulo medial.

Por tanto las lineas que unen el punto medio de cada lado con el punto de Spieker, es decir las bisectrices del triángulo medial, bisecan el perímetro del triángulo, como las cevianas de Nagel.

Si $FK=FA$ , los segmentos $FK, KC, CA_1$ son respectivamente iguales a los segmentos $FA, AB, BA_1$ , y los puntos medios de esos segmentos iguales están situados a la misma distancia de la recta $A_1F$ .

Entonces el centro de gravedad de una masa distribuida uniformemente por el perímetro del triángulo está en la linea $A_1F$ . Como también está en las otras bisectrices del triángulo medial, resulta que el punto de Spieker es el centro de gravedad del perímetro del triángulo.

El punto medio de $BC$ es equidistante de los puntos de tangencia de las circunferencias exinscritas opuestas a $B$ y $C$ con el lado $BC$ , y por tanto está en el eje radical de esas circunferencias.

Como el eje radical es perpendicular a la línea que une los centros, que es la bisectriz exterior del ángulo en $A$ , resulta que el eje radical de las dos circunferencias exinscritas es la bisectriz del triángulo medial, y por tanto el punto de Spieker es el centro radical de las tres circunferencias exinscritas, es decir las tangentes desde el punto de Spieker a las circunferencias exinscritas tienen la misma longitud.

Las circunferencias de Jenkins de $\triangle ABC$ son las tres circunferencias tangentes interiormente a una circunferencia exinscrita y exteriormente a las otras dos.

Las tres circunferencias de Jenkins se cortan en el punto de Spieker, puesto que la inversión respecto al círculo ortogonal a las tres circunferencias exinscritas, cuyo centro es el punto de Spieker, transforma los lados del triángulo en las circunferencias de Jenkins.

Y además si el punto de Spieker está sobre la circunferencia inscrita en $\triangle ABC$ , las tres circunferencias de Jenkins son tangentes a una recta perpendicular a la línea de Nagel, y en otro caso el centro $J$ de la circunferencia tangente a las tres circunferencias de Jenkins está en la línea de Nagel, porque esa circunferencia es inversa de la circunferencia inscrita.

Por cierto este último punto $J$ no está, me parece, en la ETC. ¿Será nuevo? Según Geogebra su primera coordenada trilineal para (6,9,13) es 166.495..y no se encuentra en la página de búsqueda de la ETC.

La siguiente figura intenta ilustrar las propiedades anteriores.

El applet GeoGebra-Java no ha podido ejecutarse.

Fuentes utilizadas para la reseña biográfica:

Página personal de Clark Kimberling, de la Universidad de Evansville, de donde también he sacado la imagen de Nagel que ilustra el comienzo del artículo.
Christian Heinrich von Nagel en la Wikipedia inglesa.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 15 de Marzo de 2010 | 5 Comentarios
Categorías: Colaboraciones, Geometría

Las propiedades de la inversión (geométrica)

Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

La inversión en el plano

Si tenemos una circunferencia $k$ de radio $r$ en un plano $p$ , y $e$ es la esfera que tiene a $k$ por circulo máximo, la proyección estereográfica desde un polo de $k$ asocia a cada punto del plano un punto de la esfera distinto del centro de proyección $N$ , y viceversa.

La simetría de la esfera respecto al plano $p$ , es decir la transformación que intercambia cada punto $E$ de la esfera con su simétrico $E^{\prime}$ respecto al plano $p$ , induce, mediante la proyección estereográfica, una transformación en el plano $p$ , que intercambia el interior de la circunferencia $k$ , excepto su centro $O$ , con el exterior de esa circunferencia.

En la figura, $\angle ONP^{\prime}$ subtiende en la esfera un arco $SE^{\prime} = NE$ . y $\angle ONP$ subtiende el arco $ES$ . Entonces $\angle ONP^{\prime}$ es complementario de $\angle ONP$ y los triángulos rectángulos $\triangle OP^{\prime}N$ y $\triangle ONP$ son semejantes. Por tanto $\dfrac{ON}{OP^{\prime}} = \dfrac{OP}{ON}$ , es decir $OP\cdot OP^{\prime} = r^2$ .

La inversión de centro $O$ y potencia $k$ es la transformación del plano que hace corresponder a cada punto $P$ distinto de $O$ , el punto $P^{\prime}$ situado en la recta $OP$ y tal que $OP \cdot OP^{\prime} = k$ .

Si $k$ es negativo, $O$ está entre $P$ y $P^{\prime}$ , y la transformación es equivalente a una inversión de centro $O$ y potencia $|k|$ seguida de un giro de 180º con centro $O$ .

En lo que sigue asumiremos que la potencia $k$ es positiva. Entonces los puntos de la circunferencia de centro $O$ y radio $\sqrt{k}$ son los únicos puntos fijos de la inversión, y ésta se denomina también inversión o reflexión respecto a la circunferencia de centro $O$ y radio $\sqrt{k}$
(Leer el resto del post)

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 22 de Febrero de 2010 | 2 Comentarios
Categorías: Colaboraciones, Geometría

Fracciones continuas y combinatoria

El grueso de este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Introducción

Una fracción continua es una expresión del tipo:

$x=a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cfrac{1}{\ddots}}}}$

donde $a_0$ es un número entero y los demás $a_i$ son enteros positivos.

La representación de un número real de este tipo en fracción continua tiene varias propiedades que hacen que dicha representación sea más interesante que la representación decimal habitual:

La representación en fracción continua de un número es finita si y solo si ese número es racional.
La representación en fracción continua de un racional simple es generalmente corta.
La representación en fracción continua de un racional es única siempre que no acabe en 1.
Los términos de una fracción continua se repetirán si y solo si representa a un irracional cuadrático, es decir, si es solución de una ecuación cuadrática con coeficientes enteros. Por ejemplo, la fracción continua $[1, 1, 1, \ldots ]$ representa al número áureo y $[1, 2, 2, 2, \ldots ]$ a $\sqrt{2}$ .
El truncado de la representación en fracción continua de un número $x$ da una aproximación racional que es, en cierto sentido, la mejor posible.

Todo número real puede representarse como fracción continua, pero en este artículo vamos a centrarnos en la representación continua de ciertos números racionales.

Fracción continua de un número racional

(Leer el resto del post)

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 14 de Diciembre de 2009 | 8 Comentarios
Categorías: Colaboraciones, Curiosidades

Trigonometría esférica en el Almagesto

Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Introducción

El 8 de abril de 1810, estando Brianchon en Toledo (como teniente de artillería del ejército francés) escribe a Hachette lo siguiente que traduzco literalmente de aquí:

El azar habiéndome hecho caer entre las manos una edición latina del Almagesto de Ptolomeo (Almagestum, Venecia 1515), he extraido y traducido el pasaje siguiente, relativo a la Teoría de las Transversales, y que incluso contiene su principio fundamental. Como la sabia exposición de esta nueva rama de la geometría acaba de hacer época en la historia del progreso de la ciencia que, por ello, se ha enriquecido con un nuevo elemento, he pensado que sería curioso mostrar que los antiguos griegos conocieron los primeros lineamientos de esta teoría de la que hacían uso para resolver algunos problemas astronómicos.

Y sigue la traducción del pasaje del Almagesto. Cabe preguntarse qué sucedió con ese ejemplar de la primera edición impresa del Almagesto (por cierto, también en Toledo el Almagesto fue traducido por primera vez al latín, en 1175, por Gerardo de Cremona).

El principio fundamental que se menciona no es otro que el llamado teorema de Menelao, y la sabia exposicion de la teoria de las transversales sólo puede referirse a la obra de Lazare Carnot, en cuyo Ensayo sobre la teoría de las transversales se adjudica al teorema de Menelao (sin mencionar este nombre) el título de principio fundamental de la teoría.

El texto de Brianchon parece indicar que no conocía previamente la relación del Almagesto (ni de Menelao) con el teorema de Menelao, y parece que no era muy conocida entre los matemáticos de aquellos años.

Teoría.

Llamamos configuración de Menelao a la figura formada por dos segmentos (exteriores, en azul) que se unen en un vértice $A$ , entre los que se sitúan otros dos (interiores, en verde), que parten de los extremos de los anteriores y se cortan en un punto $F$ .

En el capítulo 13, que traduce Brianchon, del libro I del Almagesto (hacia 150 d.C.) se demuestra que:

En una configuración de Menelao, usando las letras de la figura para designar a los segmentos, y $m=m_1+m_2$ (igual para $r_i, s_i$ y $n_i$ ), se cumple que:

$\dfrac{m}{m_1} = \dfrac{r}{r_1} \cdot \dfrac{s_2}{s}$

$\dfrac{r_2}{r_1} = \dfrac{m_2}{m_1} \cdot \dfrac{n}{n_2}$

Esta proposición es el teorema de Menelao, aplicado en uno y otro caso a los triángulos $\triangle ABD$ cortado por la transversal $EFC$ y $\triangle EBF$ cortado por la transversal $ADC$ .

Pero en lugar de un triángulo cortado por una transversal, Ptolomeo ve relaciones que dan las razones entre los segmentos de una linea exterior(/interior) en función de las razones entre los segmentos de las dos lineas interiores(/exteriores) en una configuración de Menelao.

La demostración de Ptolomeo del resultado anterior es esencialmente idéntica a la primera prueba que se da en este sitio,

A continuación, Ptolomeo demuestra el lema:

Si una cuerda $GH$ (ver figura) es cortada en el punto $K$ por un radio $OP$ ,

$\dfrac{GK}{KH} = \dfrac{\mathrm{sen } \ GP}{\mathrm{sen } \ PH}$

y usa este resultado junto con el teorema de Menelao (en el plano) para demostrar el teorema de Menelao en la esfera:

Si tenemos una una configuración de Menelao sobre la superficie de una esfera, es decir, si $m,n,r,s$ son arcos (menores que una semicircunferencia) de círculos máximos de una esfera, entonces:

$\dfrac{\mathrm{sen} \ m}{\mathrm{sen} \ m_1} = \dfrac{\mathrm{sen} r}{\mathrm{sen} \ r_1} \cdot \dfrac{\mathrm{sen} \ s_2}{\mathrm{sen} \ s}$

$\dfrac{\mathrm{sen} \ r_2}{\mathrm{sen} \ r_1} = \dfrac{\mathrm{sen} \ m_2}{\mathrm{sen} \ m_1} \cdot \dfrac{\mathrm{sen} \ n}{\mathrm{sen} \ n_2}$

Obviamente Ptolomeo no usa la expresión el seno de m, que no se había inventado, sino la cuerda del doble del arco m. Pero como $\textrm{cuerda } 2m = 2\ \mathrm{sen } \ m$ , podemos traducir las razones de cuerdas de ángulos dobles como razones de senos.

Este resultado es también la proposición I del libro III de las Esféricas (hacia 100 d.C.) de Menelao de Alejandría.

Menelao asume el teorema de Menelao para el plano como conocido y lo demuestra para la esfera de la misma forma que Ptolomeo.

Las Esféricas de Menelao, traducidas por Halley del árabe al latín en 1758, es el texto más antiguo que nos ha llegado donde se usa el que desde finales del siglo XIX se denomina teorema de Menelao, que se supone que era conocido ya por Hiparco (unos 250 años antes de Menelao) y, en su versión plana, por Euclides (400 años antes de Menelao).

Aplicación

La anterior es toda la teoría de trigonometría esférica que se usa en el Almagesto.
Además Ptolomeo ha construido previamente una tabla de cuerdas (es decir, de senos) calculando la cuerda de la suma y diferencia de dos ángulos usando el teorema de Ptolomeo.

Ptolomeo necesita la tabla de cuerdas para aplicar el teorema de Menelao sobre la esfera con valores concretos de arcos.

En el Almagesto, Ptolomeo solo necesita resolver triángulos rectángulos esféricos.

Para resolver un $\triangle ABC$ , con ángulo recto en $A$ , Ptolomeo prolonga los lados $a,b$ del triángulo como en la figura hasta completar arcos $CE, CF$ de $90^{\circ}$ .

Entonces $C$ es el polo del círculo máximo que pasa por $E$ y $F$ , y uniendo $EF$ con un arco los ángulos en $E$ y $F$ serán rectos y el arco $EF$ será igual al ángulo $\gamma$ de $\triangle ABC$ .

Como los ángulos en $F$ y $A$ son rectos, las prolongaciones de $FE$ y $AB$ se cortarán en un punto $D$ , polo de $FAC$ , y los arcos $FD$ y $AD$ serán de $90^{\circ}$ .

Se obtiene entonces una configuración de Menelao con vértice $F$ sobre la esfera.Y si, por ejemplo, queremos hallar la hipotenusa $a$ , dados los catetos $b,c$ , usamos el teorema de Menelao para obtener las razón entre los segmentos de $FC$ en función del producto de las razones entre los segmentos de $DA$ y $CD$ y tenemos:

$\dfrac{\mathrm{sen } (90)}{\mathrm{sen } (90-b)} = \dfrac{\mathrm{sen } (90)}{\mathrm{sen } (90-a)} \cdot \dfrac{\mathrm{sen }(90-c)}{\mathrm{sen }(90)}$ , es decir, $\cos a = \cos b \cdot \cos c \ (1)$ ,

que es el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos esféricos.

De la misma forma, aplicando directamente el teorema de Menelao a los otros segmentos, obtenemos las fórmulas

$\mathrm{sen } \ c = \mathrm{sen } \ a \cdot \mathrm{sen } \gamma \ (2)$ , $\mathrm{sen } \ b = \cot \gamma \cdot \tan c \ (3)$ y $\cos \gamma = \tan b \cdot \cot a \ (4)$

y de estas ultimas, por simetría

$\mathrm{sen } \ b = \mathrm{sen } \ a \cdot \mathrm{sen } \beta \ (5)$ , $\mathrm{sen } \ c = \cot \beta \cdot \tan b \ (6)$ y $\cos \beta = \tan c \cdot \cot a \ (7)$ .

Ptolomeo se limita a las fórmulas anteriores, o mejor dicho a aplicar en cada caso el teorema de Menelao con valores de arco concretos, para obtener los resultados que nosotros obtendríamos usando las fórmulas anteriores.

La regla mnemotécnica de Neper

Las anteriores son 7 de las $\dbinom{5}{3} = 10$ fórmulas que relacionan cada subconjunto de 3 elementos del conjunto $\{ a,b,c,\beta,\gamma \}$ de variables del triángulo.

Las otras 3 fórmulas se derivan de las anteriores (1)-(7) (dejamos esto al lector) y son:

$\cos a = \cot \beta \ a \cdot \cot \gamma \ (8)$ , $\cos \beta = \cos b \cdot \mathrm{sen}\ \gamma \ (9)$ y $\cos \gamma = \cos c \cdot \mathrm{sen}\ \beta \ (10)$ .

Estas 10 fórmulas vienen dadas por la regla mnemotécnica de Neper que dice que:

Si disponemos en un pentágono los elementos del triángulo rectángulo esférico, en el mismo orden en que aparecen en el triángulo, sustituyendo los catetos b,c por sus complementarios 90º-b,90º-c, el coseno de un elemento en el pentágono es

el producto de las cotangentes de los elementos adyacentes

el producto de los senos de los elementos opuestos.

A partir de las fórmulas para el triángulo rectángulo se pueden obtener, en no muchos pasos, otras fórmulas de la trigonometría esférica para cualquier triángulo, como el teorema del coseno para la esfera:

$\cos a = \cos b \cdot \cos c + \mathrm{sen}\ b \cdot \mathrm{sen}\ c \cdot \cos \alpha$

o la fórmula que nos permite obtener los lados en fúnción de los ángulos:

$\cos \alpha = - \cos \beta \cdot \cos \gamma + \mathrm{sen}\ \beta \cdot \mathrm{sen}\ \gamma \cdot \cos a$ .

El lector puede deducir estas últimas a partir de (1)-(10), dividiendo el triángulo en dos triángulos rectángulos mediante una altura.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 24 de Agosto de 2009 | 3 Comentarios
Categorías: Colaboraciones, Geometría, Historia

Una demostración de Monge del Teorema de Reciprocidad Polar

Este artículo es una colaboración de fede enviada por mail a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

En su Geometría Descriptiva (art.39), Gaspard Monge enuncia la proposición que traduzco a continuación, de la que da una demostración muy asequible que creo que no es demasiado conocida.

Lo siento, el applet de GeoGebra no ha podido cargarse. Asegúrate de que tienes instalado Java 1.4.2 o superior y de que está activado en tu navegador.

Sean en un plano una círcunferencia y una recta $n$ . Trazamos desde un punto cualquiera $P$ de esa recta las dos tangentes a la circunferencia y la recta $p$ que pasa por los dos puntos de contacto.

Si el punto $P$ se mueve sobre la recta $n$ , arrastrando con él las dos tangentes sin que dejen de tocar a la circunferencia, los dos puntos de contacto cambiarán de posición, así como la recta $p$ que los une.

Pero esta recta pasará siempre por un mismo punto $N$ , que se encuentra sobre la perpendicular trazada desde el centro de la circunferencia a la recta $n$ .

Recíprocamente, si $N$ es un punto en el plano de la circunferencia, los puntos de intersección de las dos tangentes a la circunferencia por los extremos de las cuerdas que pasan por $N$ , están en una linea recta $n$ .

Este resultado, formulado de otra forma, es el teorema de reciprocidad polar:

Si $P$ está en la polar de $N$ , $N$ está en la polar de $P$ .

El argumento que Monge da para el caso en que la recta $n$ por la que se mueve $P$ no corta a la circunferencia, es el siguiente:

Generamos una esfera mediante la revolución de la circunferencia alrededor de cualquiera de sus diámetros.

Llamamos plano base a nuestro plano de partida, que contiene el centro de la esfera y la recta $n$ .

Hay dos planos que pasan por la recta $n$ y son tangentes a la esfera. Esos planos tocan a la esfera en dos puntos, $S$ y $T$ , simétricos respecto al plano base.

Uno de esos dos planos pasa por $S$ y $n$ y por tanto contiene las lineas que pasan por $S$ y por un punto cualquiera situado en $n$ , que serán tangentes a la esfera en $S$ ,

El conjunto de las lineas que pasan por un punto $P$ situado en $n$ y que son tangentes a la esfera forma un cono que toca a la esfera en una circunferencia de contacto determinada.

La linea $PS$ es una tangente a la esfera que pasa por $P$ , y por tanto es una de las lineas que forman el cono de tangentes.

También está en el plano que pasa por $S$ y $n$ , y es entonces la línea de contacto entre el cono y ese plano.

Por tanto todas las circunferencias de contacto de los conos cuyo vértice $P$ esté en $n$ pasan por $S$ .

También pasarán por su simétrico $T$ respecto al plano base, y entonces $ST$ es una cuerda común a todas las circunferencias de contacto de los conos tangentes a la esfera, cuyos vértices estén en $n$ .

La proyección ortogonal sobre el plano base proyecta las circunferencias de contacto sobre cuerdas de la circunferencia de partida, y $ST$ se proyecta en un punto $N$ , el mismo para todas las puntos $P$ de $n$ , que es la proposición que queríamos demostrar, en el caso de que $n$ sea exterior a la esfera.

La proposición enunciada al principio es proyectiva y sigue siendo cierta si sustituimos la palabra ‘circunferencia’ por ’sección cónica’ (quitando la frase ‘que se encuentra sobre la perpendicular….’). Porque podemos proyectar desde un punto el plano de la sección cónica sobre otro plano en que la cónica se transforme en un círculo, y las proyecciones preservan tangencias e incidencias.

Como podéis ver fede se ha aficionado a GeoGebra. No es el único, yo también le estoy cogiendo el gustillo poco a poco. Seguro que éste no será el último artículo en el que se use este interesante programa.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 13 de Agosto de 2009 | 1 Comentario
Categorías: Colaboraciones, Demostraciones, Geometría, Teoremas

El baricentro inmóvil de Pappus

Este artículo es una colaboración de fede enviada por mail a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Aprovecho unas prácticas con GeoGebra para exponer la proposición 2 del libro VIII de la Colección Matemática de Pappus de Alejandría.

El matemático Michel Chasles formuló esa proposición de la siguiente forma (Aperçu historique, pag 44):

Si tres móviles situados en los vértices de un triángulo parten al mismo tiempo en el mismo sentido recorriendo los lados del triángulo con velocidades proporcionales a la longitud de esos lados, su centro de gravedad permanecerá inmóvil.

En la formulación de Pappus el enunciado quedaría así:

Si tenemos tres puntos $A_1, B_1, C_1$ en los lados de $\triangle ABC$ , como en la figura, de forma que

$\dfrac{A_1B}{A_1C} = \dfrac{B_1C}{B_1A} = \dfrac {C_1A}{C_1B}$

entonces

El baricentro de $\triangle A_1B_1C_1$ es el mismo que el de $\triangle ABC$ .

Los puntos medios de los lados de $\triangle A_1B_1C_1$ , están siempre en los lados de $\triangle A^\prime B^\prime C^\prime$ , cuyos vértices son los puntos medios de los lados de $\triangle ABC$ .

Lo siento, el applet de GeoGebra no ha podido cargarse. Asegúrate de que tienes instalado Java 1.4.2 o superior y de que está activado en tu navegador.

La proposición también se cumple en el caso de que los tres puntos $A_1, B_1, C_1$ estén en las prolongaciones de los lados de $\triangle ABC$ .

Si está activado Java en vuestro navegador, en el applet de GeoGebra de la derecha podéis mover, arrastrando con el ratón, los vértices y los lados de $\triangle ABC$ , además del botón del deslizador.

El interés histórico de la demostración de Pappus está en que es la única que tenemos de la antigüedad que utiliza el hoy conocido como teorema de Menelao para obtener un resultado de geometría plana (Menelao y Ptolomeo lo usan para demostrar una proposición de trigonometría esférica).

La idea de la demostración de Pappus es la siguiente:
Si $B_1^\prime$ es el punto de intersección de $C^\prime A^\prime$ y $C_1A_1$ , aplicando el teorema de Menelao a $\triangle C_1A_1B$ cortado por la transversal $A^\prime B_1^\prime C^\prime$ , tenemos $\dfrac {B_1^\prime C_1}{B_1^\prime A_1} = \dfrac {C^\prime C_1}{C^\prime B} \cdot \dfrac{A^\prime B}{A^\prime A_1}$ , y como $\dfrac{A^\prime B}{A^\prime A_1} = \dfrac{C^\prime A}{C^\prime C_1} = \dfrac{C^\prime B}{C^\prime C_1}$ , resulta que $\dfrac {B_1^\prime C_1}{B_1^\prime A_1} = 1$ y, por tanto, $B_1^\prime$ es el punto medio de $A_1C_1$ .

Por otro lado aplicando el teorema de Menelao a $\triangle C^\prime A^\prime B$ cortado por la transversal $A_1B_1^\prime C_1$ , tenemos $\dfrac {B_1^\prime C^\prime }{B_1^\prime A^\prime } = \dfrac {C_1C^\prime }{C_1B} \cdot \dfrac{A_1B}{A_1A^\prime }$ y, como $\dfrac {C_1C^\prime }{C_1B} = \dfrac {A_1A^\prime }{A_1C}$ , resulta que $\dfrac {B_1^\prime C^\prime }{B_1^\prime A^\prime } = \dfrac {A_1B}{A_1C} = \dfrac {B_1C}{B_1A}$ .

De donde obtenemos que si $G$ es el punto de intersección de $AA^\prime$ y $CC^\prime$ , baricentro de $\triangle ABC$ , como $AC$ y $A^\prime C^\prime$ son paralelas, $B_1$ , $G$ y $B_1^\prime$ están alineados y como $AG = 2\cdot GA^\prime$ , también $B_1G = 2 \cdot GB_1^\prime$ .
Entonces $G$ es también el baricentro de $\triangle A_1B_1C_1$ .

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 3 de Agosto de 2009 | 10 Comentarios
Categorías: Colaboraciones, Geometría

La cuadratriz

Este artículo es una colaboración enviada por fede a nuestro mail gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Introducción

La cuadratriz es una curva descubierta por los antiguos matemáticos griegos que resuelve dos de los problemas famosos de la época: la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo. No sabemos quienes descubrieron sus propiedades, pero autores antiguos la asocian con Dinóstrato, Nicomedes e Hipias.
En el libro IV de la ‘Colección Matemática’ de Pappus de Alejandría nos ha llegado una demostración de la propiedad de la cuadratriz que permite cuadrar el círculo, que presentamos aquí.

Usamos la notación $A:B::C:D$ para expresar ‘ $A$ es a $B$ como $C$ es a $D$ ’, en lugar de la notación de igualdad de fracciones, para intentar acercarnos a los conceptos de las antiguas matemáticas griegas.

Generación de la cuadratriz

Generacion de la cuadratriz

Supongamos inscrito en el cuadrado $CABF$ un arco de circunferencia $\overset{\frown}{CB}$ con centro $A$ . Sea $D$ un punto que parte de $C$ y se desplaza por el arco $\overset{\frown}{CB}$ a velocidad uniforme. Sea $E$ un punto que parte de $C$ en el mismo momento que $D$ y se desplaza por el segmento $CA$ a velocidad uniforme y de forma que el tiempo en que $E$ recorre $CA$ es el mismo que el tiempo en que $D$ recorre el arco $\overset{\frown}{CB}$ . Entonces, en cada instante, la longitud del segmento $EA$ es a la longitud del segmento $CA$ como la longitud del arco $\overset{\frown}{DB}$ es a la longitud del arco $\overset{\frown}{CB}$ , lo que expresamos con la notación $EA:CA::\overset{\frown}{DB}:\overset{\frown}{CB}$ . El punto $H$ , en que se cortan la perpendicular a $AC$ por $E$ y la recta $AD$ , describe la curva llamada cuadratriz.

Como con regla y compás podemos bisecar ángulos y obtener el punto medio de segmentos, podemos obtener con regla y compás puntos de la cuadratriz tan cercanos entre sí como queramos.

La división del ángulo

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La cuadratriz permite inmediatamente dividir un ángulo en la misma proporción que un segmento y viceversa, es decir, reduce el problema de la división de un ángulo al de la división de un segmento. Se presume que éste fue el uso para el que se inventó en primer lugar la cuadratriz.

Si queremos dividir un ángulo $DAB$ según una razón dada $u:v$ , obtenemos el punto $H$ de intersección del ángulo con la cuadratriz, y a continuación el punto $E$ con $HE$ perpendicular a $AC$ . Obtenemos en $AE$ un punto $L$ de forma que $AL:AE::u:v$ (Elementos VI.9) y a continuación el punto $Q$ , intersección de la cuadratriz con la perpendicular a $AC$ por $L$ . Por último obtenemos el punto $J$ , interseccion de $AQ$ con el arco $\overset{\frown}{CB}$ .
Como por la definición de la cuadratriz $EA:CA::\overset{\frown}{DB}:\overset{\frown}{CB}$ y $LA:CA::\overset{\frown}{JB}:\overset{\frown}{CB}$ , resulta que $\overset{\frown}{JB}:\overset{\frown}{DB}::LA:EA::u:v$ , y hemos dividido el ángulo $DAB$ en la razón $u:v$ requerida.

La cuadratura del círculo

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Si primero se concibió la cuadratriz para dividir ángulos, quizá fue una sorpresa descubrir que también resolvía el problema de la cuadratura del círculo. Para ello no hace falta la cuadratriz, sino solo el punto $I$ de intersección de la cuadratriz con la base $AB$ . Ese punto $I$ no se produce como intersección de las rectas $AD$ y $EG$ en la primera figura, porque esas rectas coinciden cuando llegan a $I$ , y por tanto tenemos que definirlo como el punto límite al que tienden los puntos de la cuadratriz cuando $AD$ y $EG$ se acercan a $AB$ .

La propiedad del punto $I$ que permite rectificar la circunferencia y cuadrar el círculo es que $\overset{\frown}{CB}:AB::AB:AI$ , o, dicho en palabras, la longitud del arco $\overset{\frown}{CB}$ es a la longitud del segmento $AB$ como la longitud del segmento $AB$ es a la longitud del segmento $AI$ .

Ello implica que si $R$ es la intersección de la paralela a $CI$ que pasa por $B$ con la prolongación de $AC$ , la longitud $AR$ es igual a la longitud del arco $\overset{\frown}{CB}$ (porque $AR:AB::AB:AI$ ).

Entonces, puesto que el área de un sector circular es la mitad de la longitud del arco por el radio, si $S$ es el punto medio de $AR$ , el área del sector circular $ACB$ es igual al área del rectángulo $SABT$ . Por tanto el área del círculo es 4 veces el área de ese rectángulo.

Y como podemos construir un cuadrado con área igual a un rectángulo dado (Elementos II.14), podemos cuadrar el círculo con regla y compás si nos dan el punto $I$ de la cuadratriz en el segmento $AB$ .

Demostración

A continuación damos la demostración que da Pappus de la propiedad $\overset{\frown}{CB}:AB::AB:AI$ .

En $AB$ existe un punto $P$ tal que $\overset{\frown}{CB}:AB::AB:AP$ .

Con centro $A$ y radio $AP$ trazamos el arco de circunferencia $\overset{\frown}{KP}$ . Entonces $AB:AP::\overset{\frown}{CB}:\overset{\frown}{KP}$ , porque las circunferencias son proporcionales a sus radios. Y como también $AB:AP::\overset{\frown}{CB}:AB$ , tenemos que $AB$ es igual al arco $\overset{\frown}{KP}$ .
cuadratriz4a
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Supongamos que el arco $\overset{\frown}{KP}$ tiene un punto $H$ distinto de $P$ en la cuadratriz (figura de la izquierda). Por definición de la cuadratriz:
$\begin{matrix} CA:HL::\overset{\frown}{CB}: \\ :\overset{\frown}{DB}::\overset{\frown}{KP}::\overset{\frown}{HP} \end{matrix}$
Como $CA$ es igual a $AB$ y $AB$ es igual a $\overset{\frown}{KP}$ , resulta que $HL$ es igual a $\overset{\frown}{HP}$ , lo que es absurdo. Por tanto
$\overset{\frown}{KP}$ no tiene un punto en común con la cuadratriz, salvo quizá $P$ . Entonces $AP$ no puede ser mayor que $AI$ .
Supongamos ahora que la perpendicular a $AB$ por $P$ tiene un punto $H$ distinto de $P$ en la cuadratriz (figura de la derecha).

Por definición de la cuadratriz, $CA:HP::\overset{\frown}{CB}:\overset{\frown}{DB}::\overset{\frown}{KP}:\overset{\frown}{MP}$ . Como $CA$ es igual a $AB$ y $AB$ es igual a $\overset{\frown}{KP}$ , resulta que $HP$ es igual a $\overset{\frown}{MP}$ , lo que es absurdo. Por tanto la perpendicular a $AB$ por $P$ no tiene un punto en común con la cuadratriz, salvo quizá $P$ . Entonces $AP$ no puede ser menor que $AI$ .
Pero hemos visto que tampoco puede ser mayor, luego el punto $P$ es el punto $I$ , y entonces $\overset{\frown}{CB}:AB::AB:AI$ . como queríamos demostrar.

Obtener la ecuación de la cuadratriz en coordenadas polares y cartesianas no es difícil. A ver quién se atreve.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 11 de Agosto de 2008 | 46 Comentarios
Categorías: Colaboraciones, Curvas famosas, Geometría

El teorema de Morley

Este artículo es una colaboración de Fede enviada por mail a gaussianos (arroba) gmail (punto) com

Tenemos en la figura un triángulo ABC en negro, con los trisectores interiores de cada ángulo en gris y los trisectores exteriores de cada ángulo en verde.

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En 1899 Frank Morley descubrió el resultado que ahora se conoce como teorema de Morley:

Los puntos de intersección de los trisectores de los ángulos de cualquier triángulo ABC determinan triángulos equiláteros

En la imagen podemos verlos en azul:

- Los trisectores interiores adyacentes a cada lado se cortan en 3 puntos D, E y F que son los vértices de un triángulo equilátero.

- Los trisectores exteriores adyacentes a cada lado se cortan en 3 puntos G, H y I que son los vértices de un triángulo equilátero.

- El trisector interior por A adyacente al lado AB y el trisector exterior por B adyacente al lado AB se cortan en punto J. El trisector interior por A adyacente al lado AC y el trisector exterior por C adyacente al lado AC se cortan en punto K. Los trisectores exteriores por B y C adyacentes al lado BC se cortan en un punto G. Los puntos J, K y G son los vértices de un triángulo equilátero. Análogamente para los otros ángulos.

Podemos encontrar demostraciones del teorema de Morley en esta revista o en este sitio.

Como esas demostraciones son para el triángulo formado por las intersecciones de los trisectores interiores, damos una aquí para el triángulo formado por las intersecciones de los trisectores exteriores.

Si $\angle CBA = 3b$ , el ángulo entre los lados y los trisectores interiores y entre éstos es igual a $b$ y el ángulo entre los lados y los trisectores exteriores y entre éstos es igual a $\ 60^{\circ} - b$ .

Trisectores exteriores

morleylema2-r2

Demostramos que el triángulo formado por los trisectores exteriores adyacentes a cada lado es equilátero. Para ello usamos el siguiente lema:

Lema:

Sobre dos lados $PQ$ y $PR$ de un triángulo equilátero $PQR$ construimos hacia el exterior triángulos $PQH$ y $PRG$ como en la figura, de forma que $\angle PQH = \angle PRG = a,\ \ \angle RPG = b$ y $\ \angle QPH = c$ .
Reflejamos el triángulo $PQH$ sobre $PH$ para obtener el triángulo $PQ^\prime H$ y el triángulo $PRG$ sobre $PG$ para obtener el triángulo $PR^\prime G$ .

Lema:

En la construcción anterior, si $a + b + c = 60^{\circ}$ , los puntos $G$ y $H$ están en la recta $R^\prime Q^\prime$ y $\angle PGH = a + b$ .

Porque como $\angle R^\prime PQ^\prime = 2b + 60^{\circ} + 2c < 180^{\circ}$ y el triángulo $R^\prime PQ^\prime$ es isósceles, porque $PR^\prime$ y $PQ^\prime$ son iguales al lado del triángulo equilátero, tenemos que $\angle PR^\prime Q^\prime = \angle PQ^\prime R^\prime = a$ , porque $2a + 2b + 2c + 60^{\circ} = 180^{\circ}$ . Pero por construcción también $\angle PR^\prime G = \angle PQ^\prime H = a$ , luego los puntos $G$ y $H$ están en la recta $R^\prime Q^\prime$ .

Y por tanto $\angle PGH = 180^{\circ} - \angle PGR^\prime = 180^{\circ} - \angle PGR = a+b = 60^{\circ} - c$ .

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Ahora, si tenemos un triángulo cualquiera $ABC$ , con $\ \angle BAC = 3a,\ \angle ABC = 3b,\ \angle BCA = 3c$ , construimos sobre los lados de un triángulo equilátero $PQR$ , triángulos $PRG$ , $PQF$ y $QPH$ haciendo ángulos $a,\ b,\ c,\ a,\ b,\ c$ con los lados del triángulo equilátero como en la figura.

Entonces, por el lema anterior, como $a + b + c = 60^{\circ}, \ \angle PGH = 60^{\circ}-c$ , $\ \angle RGF = 60^{\circ} - c$ . Pero como $\ \angle RGP = 120^{\circ} + c$ , resulta que $\begin{matrix} \ \angle FGH = \angle RGP - \angle PGH - \angle RGF = \\ = 120^{\circ} + c - (60^{\circ}-c) - (60^{\circ}-c) = 3c \end{matrix}$ .

De la misma forma obtenemos $\angle GFH = 3a$ y $\angle FHG = 3b$ . Por lo tanto el triángulo $FHG$ es semejante al triángulo $ABC$ . Pero como $\angle PGH = \angle RGF = 60^{\circ}-c$ , las lineas $GP$ y $GR$ son trisectores exteriores de $FHG$ , y también $FR$ , $FQ$ , $HQ$ y $HF$ . Y estos trisectores exteriores se cortan en $P$ , $Q$ y $R$ que son los vértices de un triángulo equilátero. Y como la semejanza preserva los ángulos, y $ABC$ es semejante a $FHG$ , en nuestro triángulo original $ABC$ también los puntos se intersección de los trisectores exteriores serán vértices de un triángulo equilátero, como queríamos demostrar.

Trigonométricamente se demuestra que el lado del triángulo equilátero formado por la intersección de los trisectores exteriores es $8R \ \mathrm{sen}(a+120^{\circ})\ \mathrm{sen}(b+120^{\circ})\ \mathrm{sen}(c+120^{\circ}),$ donde $R$ es el radio del círculo circunscrito.

La importancia de este teorema radica en que la trisección de un ángulo no es resoluble con regla y compás. Esta es la razón principal por la cual se cree que el enunciado y demostración de este teorema tan sencillo e intuitivo se le escapó a los griegos, ya que ellos no consideraban los resultados relacionados con operaciones que no pudieran hacerse con regla y compás, y no se publicó hasta finales del siglo XIX, cuando los matemáticos se atreven a considerar propiedades de figuras no construibles con estas normas.

Como última curiosidad, al parecer el propio Morley no estaba demasiado contento con el descubrimiento de este teorema, ya que los matemáticos del momento se centraron en él por su sencillez y por lo inesperado del resultado y dejaron a un lado el resto de sus trabajos.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 28 de Enero de 2008 | 5 Comentarios
Categorías: Colaboraciones, Demostraciones, Geometría, Teoremas

El seno y el coseno de la suma de ángulos

Este artículo es una colaboración enviada por fede

Introducción

Haciendo uso del hecho de que a cada punto del plano le corresponde un vector y de que los vectores se suman según la regla del paralelogramo, vamos a demostrar las fórmulas para el seno y el coseno de la suma de dos ángulos en función de los senos y cosenos de cada uno de ellos. Concretamente vamos a demostrar las siguientes igualdades:

$sen(a+b)=sen(a)cos(b)+cos(a)sen(b)$

$cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)$

Demostración

Seno y coseno de la suma de ángulos

La recta por el origen que hace un ángulo $a$ con el eje $X$ corta al círculo con centro en el origen y radio unidad en un punto de coordenadas $(\cos(a), \mathrm{sen}(a) ) = \cos(a)(1,0) + \mathrm{sen}(a)(0,1)$ , por definición de seno y coseno.

Si rotamos los puntos del plano alrededor del origen un ángulo $b$ , el punto $(1,0)$ se mueve a la posición $(\cos(b), \mathrm{sen}(b) )$ , y el punto $(0,1)$ se mueve a la posición $(-\mathrm{sen}(b) , \cos(b))$ (ver figura).

Por lo tanto un punto cualquiera $(x,y) = x \cdot (1,0) + y \cdot (0,1)$ se mueve a la posición $x \cdot (\cos(b), \mathrm{sen}(b) ) + y \cdot (-\mathrm{sen}(b) , \cos(b))$ .

En particular el punto $(\cos(a), \mathrm{sen}(a))$ se mueve a la posición $cos(a) \cdot (cos(b), sen(b)) + sen(a) \cdot (-sen(b),cos(b))$

que al multiplicar nos queda:

$(cos(a) cos(b) - sen(a)sen(b) , cos(a) sen(b) + sen(a)cos(b))$ .

Pero el punto $(\cos(a), \mathrm{sen}(a) )$ se mueve claramente con la rotación a la posición $(\cos(a+b), \mathrm{sen}(a+b) )$ . De donde, igualando coordenadas, resultan las dos fórmulas:

$\begin{matrix} \cos(a+b) = \cos(a) \cos(b) - \mathrm{sen}(a)\mathrm{sen}(b) \\ \mathrm{sen}(a+b) = \mathrm{sen}(a)\cos(b) + \cos(a) \mathrm{sen}(b) \end{matrix}$

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 17 de Diciembre de 2007 | 4 Comentarios
Categorías: Colaboraciones, Demostraciones, Geometría

Algoritmos HASH (II): Atacando MD5 y SHA-1

Este artículo es una colaboración enviada por LordHASH

Algunos de los algoritmos de HASH más utilizados, que son sobre los que trabajaremos, son los siguientes:

MD5 (Message-Digest Algorithm 5 o Algoritmo de Firma de Mensajes 5): Desarrollado por Ron Rivest, ha sido hasta los últimos años el algoritmo hash más usado. Procesa mensajes de una longitud arbitraria en bloques de 512 bits generando un compendio de 128 bits. Debido a la capacidad de procesamiento actual esos 128 bits son insuficientes, además de que una serie de ataques criptoanalíticos han puesto de manifiesto algunas vulnerabilidades del algoritmo. Puede ser útil para comprobar la integridad de un fichero tras una descarga, por ejemplo, pero ya no es aceptable desde el punto de vista del criptoanálisis.
SHA-1 (Secure Hash Algorithm 1 o Algorimo de Hash Seguro 1): El SHA-1 toma como entrada un mensaje de longitud máxima 2⁶⁴ bits (más de dos mil millones de Gigabytes) y produce como salida un resumen de 160 bits. Este número es mayor que el que se utilizaba en el algoritmo SHA original, 128 bits. Ya existen nuevas versiones de SHA que trabajan con resúmenes de 224,256,384 e incluso 512 bits.

En realidad, lo seguros o inseguros que estos algoritmos sean no depende de los conocimientos informáticos o telemáticos que uno tenga, sino de sus conocimientos matemáticos. Nuestra intención es demostrar por dónde cojean los algoritmos de HASH, la dificultad computacional que presentan, y qué soluciones se dan a los posibles ataques que puedan sufrir por parte de individuos malintencionados.

Desde el año 2004 aproximadamente, cuando saltaron las primeras noticias escandalosas sobre la ruptura de MD5, la seguridad que ofrecen los algoritmos de HASH a nuestros esquemas de cifrado ha sido una cuestión que se ha puesto en entredicho. ¿Qué seguridad ofrecen estos algoritmos? ¿Resulta computacionalmente complejo romper uno de estos algoritmos? ¿Qué solución se debe adoptar? Intentaremos resolver estas cuestiones.

Intentemos dar una descripción algo más matemática de lo que es una función HASH. Supongamos que tenemos un mensaje a, al que aplicamos una función resumen a la que llamaremos h. Decimos entonces que el resultado de esta operación, al que llamaremos b es el HASH de a. Es decir:

h(a)=b

Esta función debe ser sencilla de realizar para un computador, pero debe ser computacionalmente imposible realizar la operación inversa, al menos para usuarios normales.

Además, esta función tiene otra característica: el tamaño de la entrada no es de longitud fija, puede ser de longitud variable. Esto tiene la siguiente consecuencia, que no demostraremos matemáticamente, pero que asumiremos por estar razonado en otros artículos publicados en Internet (al final se indican): es posible que dos mensajes de entrada a produzcan el mismo mensaje de salida b. Es decir, es posible encontrar un mensaje c, tal que:

h(c)=b

Sin embargo, encontrar ese mensaje debe ser, al igual que la particularidad antes mencionada, muy complejo desde el punto de vista computacional. Para los algoritmos de HASH esto es lo que se conoce como colisión: que dos mensajes de entrada produzcan el mismo mensaje de salida.

Así, a priori, podemos establecer dos posibles vulnerabilidades de las funciones HASH:

Que sea posible realizar la operación:
h^-1(b)=a

Habitualmente, a la operación de invertir la función HASH comprobando todas las posibilidades para los bits de salida se le llama ataque de fuerza bruta. Esto es lo que debe ser computacionalmente impracticable. Supondría aplicar la función HASH 2ⁿ veces hasta encontrar la coincidencia (n es el número de bits de salida de la función).
Que se hallen colisiones:
h(a)=b y h(c)=b, a distinto de c

Lo que antes hemos denominado colisión.

Estas dos posibles debilidades dan lugar a cuatro tipos de ataques:

Ataque Tipo 1: El atacante es capaz de encontrar dos mensajes al azar que colisionan pero es incapaz de hacerlo de forma sistemática. Si es capaz de dar sólo con dos mensajes que provocan colisión, esta no es razón suficiente para tildar el algoritmo de ineficiente. Índice de peligrosidad: *
Ataque Tipo 2: El atacante es capaz de generar dos mensajes distintos de forma que sus HASH colisionen, pero sin saber a priori qué hash resultará. Es decir, el atacante no podría generar “queriendo” el HASH que necesite para fines maliciosos. Índice de peligrosidad: **
Ataque Tipo 3: El atacante es capaz de construir un mensaje sin sentido de forma que su HASH colisione con el de un mensaje con sentido. Si éste es el caso, el agente malicioso puede atacar algoritmos de encriptación asimétricos con firma digital, haciendo que se firmen mensajes sin sentido, y que el destinatario los acepte como fidedignos. Índice de peligrosidad: ***
Ataque Tipo 4: El atacante es capaz de crear un segundo mensaje falso que tiene sentido y cuyo hash colisiona con el del mensaje verdadero. En este caso, el atacante puede actuar con total impunidad, puede falsificar certificados, firmar mensajes…El resultado sería desastroso. Índice de peligrosidad: ****.

El problema entonces es el siguiente: ¿cómo de difícil es encontrar una solución? ¿Qué ataques reales son practicables? ¿Qué se gana incrementando el número de bits de salida del algoritmo?

En primer lugar, responderemos a la última pregunta. Si aumentamos el número de bits de salida del algoritmo, el ataque de fuerza bruta será más impracticable y también lo será encontrar los mensajes que colisionen, pues teóricamente se cumple que para confiar en que podemos encontrar dos mensajes que colisionen no hay que realizar 2ⁿ operaciones, si no sólo 2^n/2.

Realicemos algunos cálculos para realizar ataques de fuerza bruta:

Para una clave de 12 dígitos, escrita con un teclado con 97 caracteres (base 97), habría que realizar (esto no tiene nada que ver con los algoritmos de HASH):
97¹² = 693.842.360.995.438.000.295.041 comprobaciones.
Para MD5, la salida es de 128 bits, sería necesario realizar:
2¹²⁸=3′402823669 * 10³⁸ operaciones.

Trabajemos ahora con los ataques basados en búsqueda de colisiones:

Para MD5, la salida es de 128 bits, luego hay que operar sobre la mitad de bits, y sería necesario realizar:
2⁶⁴=18.446.744.073.709.551.616 operaciones.
Para el algoritmo SHA 1, cuya salida es de 160 bits:
2⁸⁰=1.208.925.819.614.629.174.706.176 operaciones.

Curiosidad: 1.000.000 de ordenadores capaces de procesar en 1 µs cada operación tardarían más de 38.000 años en las 2⁸⁰ operaciones.

Y para los más desconfiados e incluso paranoicos: ¿qué hay de las supercomputadoras y de la gente que sí dispone de los medios necesarios? Cuando saltaron las primeras alarmas sobre estos algoritmos, hace unos dos años, las cifras eran las siguientes:

Para romper el SHA-0 completo se ha requerido un supercomputador de BULL de 256 procesadores durante unos 9 años de proceso, pero al supercomputador que está instalando IBM en la UPC (Barcelona) sólo le costaría del orden de 1 año.
Otro grupo de investigadores, Wang, Feng, Lai, y Yu han reportado haberlo conseguido con una complejidad aproximadamente 2000 veces menor (240 en vez de 251). Esta reducción equivaldría a una necesidad de cálculo de algo menos de 1 día, si la relación fuese lineal, pero los mismos investigadores han reportado necesitar sólo 1 día con un IBM P690 en cluster, para romper el MD5, que tiene una complejidad equivalente.

Por tanto, lo habitual no es que nos ataque desde uno de estos grandes usuarios (tienen cosas más interesantes que hacer, diría yo…) si no que nos ataque un cracker o similares (ACLARACIÓN: No incluyamos a los señores programadores en esto, los hackers. Gracias a Richard Stallman).

Lo habitual es que este tipo de usuarios realicen ataques basados en diccionarios, como la aplicación para Ñu/Linux John the Ripper. Este tipo de aplicaciones tiene una base de datos con claves comunes, que prueban sobre los sistemas a los que queremos acceder (por ejemplo Sistemas basados en UNIX donde se almacenan los resúmenes HASH de el nombre de usuario y su clave para autenticar). Ante esto sólo hay una solución: EVITAR LAS PASSWORDS ABSURDAS. No sirve (marta -tkm ni maria-secreto) ok??

Concluyendo, dependiendo de su nivel de paranoia críptica y de la aplicación que estén utilizando…escojan su algoritmo de HASH, pero no acepten menos de SHA-1. Cuando un algoritmo empieza a presentar vulnerabilidades no tarda mucho en ser aniquilado, así que a algunos de estos les queda poco tiempo de vida.

Fuentes:

Ir a Algoritmos HASH (I): Introducción

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 18 de Abril de 2007 | 8 Comentarios
Categorías: Colaboraciones, Criptografía, Informática

La línea de Nagel

Breve reseña biográfica de Nagel

Introducción

El punto de Nagel

El punto de Spieker

Las propiedades de la inversión (geométrica)

La inversión en el plano

Fracciones continuas y combinatoria

Introducción

Fracción continua de un número racional

Trigonometría esférica en el Almagesto

Introducción

Teoría.

Aplicación

La regla mnemotécnica de Neper

Una demostración de Monge del Teorema de Reciprocidad Polar

El baricentro inmóvil de Pappus

La cuadratriz

Introducción

Generación de la cuadratriz

La división del ángulo

La cuadratura del círculo

Demostración

El teorema de Morley

Trisectores exteriores

El seno y el coseno de la suma de ángulos

Introducción

Demostración

Algoritmos HASH (II): Atacando MD5 y SHA-1

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