Colaboraciones - 2/3 - Gaussianos

La cadena de Pappus

Introducción

GeoGebra-Java no se puede ejecutar.

Pappus de Alejandría dice en el libro IV de su Colección Matemática:

En algunas obras antiguas aparece la siguiente proposición:
Dados tres semicírculos tangentes entre sí, inscribamos en el espacio comprendido entre sus arcos, que se llama arbelos, tantos círculos como se quiera tangentes entre sí y a los semicírculos, como los descritos en la figura.
Digo que la perpendicular a la base trazada desde el centro del primer círculo inscrito es igual al diámetro de ese círculo, que la trazada desde el segundo círculo es doble del diámetro del círculo, que la trazada desde el tercero es el triple, e inscribiendo así infinitos círculos, las sucesivas perpendiculares son múltiplos de los respectivos diámetros según números consecutivos…

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 25 de April de 2011
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Categorías: Colaboraciones, Geometría

La definición de la parábola de Apolonio

Apolonio de Perga (hacia 220 a.C), en la proposición 11 del libro I de Las Cónicas, llama parábolas a las curvas que desde entonces se conocen con ese nombre.

En esa proposición deduce el symptoma (o propiedad característica) de la parábola, equivalente a lo que para nosotros, desde el siglo XVII, es la ecuación de la curva.

Si cada paralela a una dirección dada corta a una curva en 2 puntos y los puntos medios de los segmentos entre esos 2 puntos están en una misma recta, Apolonio llama a esa recta un diámetro de la curva. Si es perpendicular a las paralelas, esa recta es llamada eje de la curva.

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 1 de March de 2011
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Categorías: Colaboraciones, Geometría, Historia

La solución de Arquitas al problema délico

Introducción

La tradición nos cuenta que Hipócrates de Quíos, en la segunda mitad del siglo V a.C., redujo el problema de duplicar el cubo, o el de duplicar un volumen dado manteniendo la misma forma, al problema más general de construir dos medias proporcionales entre dos magnitudes dadas, es decir, al problema de, dados $a$ y $b$ , obtener $x$ e $y$ tales que

$\dfrac{b}{x} = \dfrac{x}{y} = \dfrac{y}{a}$

o, lo que es lo mismo, encontrar $x$ e $y$ tales que $b, x, y, a$ formen una progresión geométrica.

Si tenemos un cubo con aristas de longitud 1, por ejemplo, y construimos una progresión geométrica $1,x,y,2$ entonces $x =\sqrt[3]{2}$ y el cubo cuya arista es $x$ tiene volumen doble del cubo cuya arista es 1.

En los comentarios de Eutocio de Ascalón (siglo VI) a los tratados de Arquímedes¹ se dan doce soluciones (y se menciona otra más) al problema de construir dos medias proporcionales entre dos magnitudes dadas.

La primera solución cronológicamente se debe a Arquitas de Tarento (principios del siglo IV a.C.), y es uno de los resultados más antiguos que tenemos en la historia de la geometría griega.

Arquitas fue, entre otras cosas, el fundador de la mecánica matemática, inventor de juguetes y elegido “strategos” (jefe militar) por los tarentinos en siete ocasiones.

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 12 de May de 2010
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Categorías: Carnaval de matematicas, Colaboraciones, Geometría, Historia

Las lúnulas de Hipócrates

Introducción

Hipócrates de Quíos fue un matemático griego que vivió en el siglo V a.c. Es famoso en la historia de la geometría por los siguientes hechos:

Proclo en el llamado sumario de Eudemo dice que fue el primero en escribir unos Elementos.
Redujo el problema de la duplicación del cubo al problema de hallar dos medias proporcionales.
Redujo el problema de la cuadratura del círculo al problema de cuadrar determinadas lúnulas y demostró que determinadas lúnulas son cuadrables.

Una lúnula es la superficie que queda al quitar de un segmento de círculo otro con la misma base, es decir la superficie entre dos arcos de circunferencia cuando éstos están situados formando una figura no convexa. Llamamos arco exterior al arco de mayor longitud.

Las proposiciones y demostraciones de Hipócrates nos han llegado a través de la transcripción por Simplicio de pasajes de Eudemo de Rodas y Alejandro de Afrodisias. Esos resultados son los expuestos a continuación, sin las demostraciones (y con una lúnula añadida):

Lúnulas con arco exterior igual a una semicircunferencia

Alejandro de Afrodisias expone los siguientes resultados.

Figura 1. La lúnula que se obtiene al dibujar una semicircunferencia sobre un lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia es igual a la cuarta parte del cuadrado.

Figura 2. La lúnula que se obtiene al dibujar una semicircunferencia sobre un lado de un hexágono regular inscrito en una circunferencia es igual a la sexta parte de la diferencia entre el hexágono y un círculo cuyo diámetro es uno de los lados del hexágono.

Lúnulas con arco exterior mayor que una semicircunferencia

Eudemo de Rodas, después de la lúnula 1 anterior, nos da la siguiente:

Figura 3. Construimos un trapecio con razón $\sqrt{3}:1$ entre la base y los otros lados. Circunscribimos una circunferencia al trapecio y sobre la base construimos un segmento de círculo semejante a los segmentos sobre los otros lados. Entonces la lúnula que resulta es igual al trapecio.

Figura 4. Este caso no aparece en Simplicio. La lúnula obtenida al reflejar sobre un lado uno de los segmentos del círculo circunscrito a un triángulo equilátero es la tercera parte del la suma del círculo y dos veces el triángulo.

Lúnulas con arco exterior menor que una semicircunferencia

El fragmento de Eudemo concluye con la exposición de los resultados de Hipócrates sobre dos lúnulas con arco exterior menor que una circunferencia.

Figura 5. Sea una circunferencia con centro B y radio BA. Trazamos por el punto medio de BA una perpendicular GD y por A una recta que corte a esa perpendicular en D y a la circunferencia en C de forma que $DC:AB = \sqrt{3}:\sqrt{2}$ .
Sea E el simétrico de C respecto a GD.

La lúnula que se obtiene formando los arcos CBAE, CDE es igual a la figura pentagonal rectilínea ABCDEA.

Figura 6. Sean M,L,N vértices consecutivos de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de centro O. Prolongamos ON hasta OS de forma que $OS:ON = \sqrt{6}:1$ . Prolongamos OM, OL hasta U, T, en la circunferencia de centro O y radio OS.
Construimos sobre US un segmento de círculo semejante al segmento ML del círculo circunstrito.

La lùnula entre el arco UTS y ese segmento es igual al triángulo UTS más el hexágono MLN menos el círculo circunscrito a ese hexágono.

Conclusiones e historia posterior

Las lúnulas 1,3,5 son equivalentes a figuras rectilíneas construibles. (Con regla y compás, aunque la figura 5 es construida por Hipócrates como se ha expuesto).Y como las figuras rectilíneas son cuadrables, existen lúnulas cuadrables.

Por otro lado las lúnulas 2,4,6 son la suma o diferencia de un círculo y figuras rectilíneas. Por tanto si podemos cuadrar una de esas lúnulas podemos cuadrar el círculo, y viceversa. Podemos llamar a esas lúnulas cuadradoras. (De éstas, el fragmento de Eudemo solo atribuye a Hipócrates la lúnula 6)

Hoy sabemos que no puede haber una lúnula a la vez cuadradora y cuadrable, como pudo pensarse hace más de 2400 años.

El comentario de Simplicio con los resultados de Hipócrates pasó desapercibido hasta 1870 y solo se conocía de Hipócrates la lúnula de la figura 1.

En el siglo XVIII se redescubrieron las lúnulas de las figuras 3 y 5 y otras dos lúnulas cuadrables, haciendo un total de 5 lúnulas cuadrables, descritas en “Recreations in Mathematics…” de Montucla-Ozanam, o en Mathpages

Y finalmente en el siglo XX se demostró que esas 5 son las únicas lúnulas cuadrables.

Este artículo es una colaboración enviada por Fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Si estás interesado en colaborar con Gaussianos envíanos tu propuesta a estas dirección de email.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 19 de April de 2010
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Categorías: Colaboraciones, Geometría

La línea de Nagel

Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Breve reseña biográfica de Nagel

Christian Heinrich von Nagel, geómetra alemán, nació el 28 de febrero de 1803 en Stuttgart, Alemania, y murió el 27 de octubre de 1882 en la también alemana Ulm.

En 1821 Nagel comenzó a estudiar Teología, terminando sus estudios en 1825. Pero durante esos cuatro años sus intereses también se dirigieron hacia las matemáticas y la física.

Tanto fue así que llegó a ser profesor de matemáticas de secundaria en la ciudad alemana de Tübingen. Pero la cosa no quedó ahí. En 1826 Nagel se doctora gracias a su trabajo De triangulis rectangulis ex algebraica aequatione construendis (Sobre triángulos rectángulos construibles desde una ecuación algebraica). Más tarde, en 1830, Nagel se traslada a Ulm donde trabaja en el Gymnasium (escuela de secundaria preparatoria para estudios superiores) de esa localidad.

Su principal contribución a las matemáticas se encuadra en la geometría del triángulo. En este artículo vamos a ver, entre otras cosas, dos construcciones relacionadas con el triángulo que llevan su nombre: el punto de Nagel y la línea de Nagel.

Introducción

Como la distancia del baricentro $G$ a un vértice es el doble de la distancia de $G$ al punto medio del lado opuesto, la homotecia con centro $G$ y razón -1/2 transforma el triangulo $\triangle A_0B_0C_0$ , antimedial o anticomplementario de $\triangle ABC$ , en el triángulo $\triangle ABC$ , y éste en su triángulo medial o complementario $\triangle A_1B_1C_1$ .

El applet GeoGebra-Java no ha podido ejecutarse.

En geometría del triángulo se llama a veces complemento de un punto $P$ a su imagen $P_1$ en la homotecia $\mathcal{H}_{G,-1/2}$ y anticomplemento de $P$ a su imagen $P_0$ en la homotecia $\mathcal{H}_{G,-2}$

El punto $G$ , un punto $P$ , su complemento $P_1$ , y su anticomplemento $P_0$ están alineados, y situados de forma que $P_1$ es el punto medio de $PP_0$ y $P_0G = 2PG$ .

Si en la figura colocamos el punto $P$ en el circuncentro $O$ de $\triangle ABC$ , el punto $P_0$ es el circuncentro del triángulo antimedial (que es el ortocentro de $\triangle ABC$ ), el punto $P_1$ es el circuncentro del triángulo medial (es decir el centro del círculo de 9 puntos), y la linea $PP_0$ es la linea de Euler del triángulo.

En cambio si colocamos el punto $P$ en el incentro $I$ de $\triangle ABC$ , el punto $P_0$ es el incentro del triángulo antimedial, el punto $P_1$ el incentro del triángulo medial, y la linea $PP_0$ es la linea que en Wolfram MathWorld han decidido llamar un tanto arbitrariamente línea de Nagel, por el hecho de que el incentro del triángulo antimedial es el punto de Nagel $M$ , como demostraremos a continuación.

Por otro lado el punto de Spieker $S$ es por definición el incentro del triángulo medial, y de las observaciones anteriores se concluye que el incentro $I$ , el baricentro $G$ , el punto de Spieker $S$ y el punto de Nagel $M$ están alineados, $S$ es el punto medio del segmento $IM$ y $GM = 2IG$ .

El punto de Nagel

Llamamos ceviana de Nagel a la línea, $AE$ en la figura, que une un vértice con el punto de tangencia de la circunferencia exinscrita opuesta al vértice con el lado opuesto.

El punto $A$ , al ser la intersección de una tangente común a las circunferencias inscrita y exinscrita opuesta a $A$ con la linea que une los centros de estas circunferencias es centro de una homotecia que transforma la circunferencia exinscrita en la circunferencia inscrita. Esa homotecia lleva el radio $I_AE$ al radio $IF$ , paralelo a $I_AE$ y por tanto perpendicular a $BC$ .

Por tanto la ceviana $AE$ pasa por el punto $F$ , diametralmente opuesto en el círculo inscrito al punto de tangencia de ese círculo con el lado opuesto a $A$ .

Como vimos en el post sobre los círculos tritangentes $CD=EB$ y por tanto si $A_1$ es el punto medio de $BC$ , $DA_1 = A_1E$ .

Como también $DI=IF$ , resulta que las líneas $A_1I$ y $AE$ son paralelas.

Y como la homotecia $\mathcal{H}_{G,-2}$ , que transforma el triángulo en su antimedial, transforma la linea $A_1I$ en una línea que pasa por $A$ paralela a $A_1I$ , es decir en la ceviana de Nagel $AE$, resulta que las cevianas de Nagel concurren en un punto, el punto de Nagel $M$ y ese punto es el incentro del triángulo antimedial.

Del post sobre círculos tritangentes concluimos también que las cevianas de Nagel bisecan el perímetro del triángulo, es decir las dos partes del perímetro del triángulo situadas a uno y otro lado de cada ceviana de Nagel tienen igual longitud.

El punto de Spieker

El punto de Spieker es el centro del circulo inscrito en el triangulo medial, o circulo de Spieker, y tiene algunas propiedades bastante interesantes.

Si en la figura $A_1$ es el punto medio de $BC$ y prolongamos el lado $CA$ hasta $E$ de forma que $AE=AB$ , y $F$ es el punto medio de $CE$ , $BE$ y $A_1F$ son paralelas y $A_1B + BA + AF = A_1C+CF$ .

Camo $BE$ es perpendicular a $AH$ , y esta línea es la bisectriz exterior de $\angle BAC$ , $A_1F$ es paralela a la bisectriz interior de $\angle BAC$ , y por tanto es una bisectriz del triángulo medial.

Por tanto las lineas que unen el punto medio de cada lado con el punto de Spieker, es decir las bisectrices del triángulo medial, bisecan el perímetro del triángulo, como las cevianas de Nagel.

Si $FK=FA$ , los segmentos $FK, KC, CA_1$ son respectivamente iguales a los segmentos $FA, AB, BA_1$ , y los puntos medios de esos segmentos iguales están situados a la misma distancia de la recta $A_1F$ .

Entonces el centro de gravedad de una masa distribuida uniformemente por el perímetro del triángulo está en la linea $A_1F$ . Como también está en las otras bisectrices del triángulo medial, resulta que el punto de Spieker es el centro de gravedad del perímetro del triángulo.

El punto medio de $BC$ es equidistante de los puntos de tangencia de las circunferencias exinscritas opuestas a $B$ y $C$ con el lado $BC$ , y por tanto está en el eje radical de esas circunferencias.

Como el eje radical es perpendicular a la línea que une los centros, que es la bisectriz exterior del ángulo en $A$ , resulta que el eje radical de las dos circunferencias exinscritas es la bisectriz del triángulo medial, y por tanto el punto de Spieker es el centro radical de las tres circunferencias exinscritas, es decir las tangentes desde el punto de Spieker a las circunferencias exinscritas tienen la misma longitud.

Las circunferencias de Jenkins de $\triangle ABC$ son las tres circunferencias tangentes interiormente a una circunferencia exinscrita y exteriormente a las otras dos.

Las tres circunferencias de Jenkins se cortan en el punto de Spieker, puesto que la inversión respecto al círculo ortogonal a las tres circunferencias exinscritas, cuyo centro es el punto de Spieker, transforma los lados del triángulo en las circunferencias de Jenkins.

Y además si el punto de Spieker está sobre la circunferencia inscrita en $\triangle ABC$ , las tres circunferencias de Jenkins son tangentes a una recta perpendicular a la línea de Nagel, y en otro caso el centro $J$ de la circunferencia tangente a las tres circunferencias de Jenkins está en la línea de Nagel, porque esa circunferencia es inversa de la circunferencia inscrita.

Por cierto este último punto $J$ no está, me parece, en la ETC. ¿Será nuevo? Según Geogebra su primera coordenada trilineal para (6,9,13) es 166.495..y no se encuentra en la página de búsqueda de la ETC.

La siguiente figura intenta ilustrar las propiedades anteriores.

El applet GeoGebra-Java no ha podido ejecutarse.

Fuentes utilizadas para la reseña biográfica:

Página personal de Clark Kimberling, de la Universidad de Evansville, de donde también he sacado la imagen de Nagel que ilustra el comienzo del artículo.
Christian Heinrich von Nagel en la Wikipedia inglesa.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 15 de March de 2010
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Categorías: Colaboraciones, Geometría

Las propiedades de la inversión (geométrica)

Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

La inversión en el plano

Si tenemos una circunferencia $k$ de radio $r$ en un plano $p$ , y $e$ es la esfera que tiene a $k$ por circulo máximo, la proyección estereográfica desde un polo de $k$ asocia a cada punto del plano un punto de la esfera distinto del centro de proyección $N$ , y viceversa.

La simetría de la esfera respecto al plano $p$ , es decir la transformación que intercambia cada punto $E$ de la esfera con su simétrico $E^{\prime}$ respecto al plano $p$ , induce, mediante la proyección estereográfica, una transformación en el plano $p$ , que intercambia el interior de la circunferencia $k$ , excepto su centro $O$ , con el exterior de esa circunferencia.

En la figura, $\angle ONP^{\prime}$ subtiende en la esfera un arco $SE^{\prime} = NE$ . y $\angle ONP$ subtiende el arco $ES$ . Entonces $\angle ONP^{\prime}$ es complementario de $\angle ONP$ y los triángulos rectángulos $\triangle OP^{\prime}N$ y $\triangle ONP$ son semejantes. Por tanto $\dfrac{ON}{OP^{\prime}} = \dfrac{OP}{ON}$ , es decir $OP\cdot OP^{\prime} = r^2$ .

La inversión de centro $O$ y potencia $k$ es la transformación del plano que hace corresponder a cada punto $P$ distinto de $O$ , el punto $P^{\prime}$ situado en la recta $OP$ y tal que $OP \cdot OP^{\prime} = k$ .

Si $k$ es negativo, $O$ está entre $P$ y $P^{\prime}$ , y la transformación es equivalente a una inversión de centro $O$ y potencia $|k|$ seguida de un giro de 180º con centro $O$ .

En lo que sigue asumiremos que la potencia $k$ es positiva. Entonces los puntos de la circunferencia de centro $O$ y radio $\sqrt{k}$ son los únicos puntos fijos de la inversión, y ésta se denomina también inversión o reflexión respecto a la circunferencia de centro $O$ y radio $\sqrt{k}$
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 22 de February de 2010
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Categorías: Colaboraciones, Geometría

Fracciones continuas y combinatoria

El grueso de este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Introducción

Una fracción continua es una expresión del tipo:

$x=a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cfrac{1}{\ddots}}}}$

donde $a_0$ es un número entero y los demás $a_i$ son enteros positivos.

La representación de un número real de este tipo en fracción continua tiene varias propiedades que hacen que dicha representación sea más interesante que la representación decimal habitual:

La representación en fracción continua de un número es finita si y solo si ese número es racional.
La representación en fracción continua de un racional simple es generalmente corta.
La representación en fracción continua de un racional es única siempre que no acabe en 1.
Los términos de una fracción continua se repetirán si y solo si representa a un irracional cuadrático, es decir, si es solución de una ecuación cuadrática con coeficientes enteros. Por ejemplo, la fracción continua $[1, 1, 1, \ldots ]$ representa al número áureo y $[1, 2, 2, 2, \ldots ]$ a $\sqrt{2}$ .
El truncado de la representación en fracción continua de un número $x$ da una aproximación racional que es, en cierto sentido, la mejor posible.

Todo número real puede representarse como fracción continua, pero en este artículo vamos a centrarnos en la representación continua de ciertos números racionales.

Fracción continua de un número racional

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 14 de December de 2009
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Trigonometría esférica en el Almagesto

Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Introducción

El 8 de abril de 1810, estando Brianchon en Toledo (como teniente de artillería del ejército francés) escribe a Hachette lo siguiente que traduzco literalmente de aquí:

El azar habiéndome hecho caer entre las manos una edición latina del Almagesto de Ptolomeo (Almagestum, Venecia 1515), he extraido y traducido el pasaje siguiente, relativo a la Teoría de las Transversales, y que incluso contiene su principio fundamental. Como la sabia exposición de esta nueva rama de la geometría acaba de hacer época en la historia del progreso de la ciencia que, por ello, se ha enriquecido con un nuevo elemento, he pensado que sería curioso mostrar que los antiguos griegos conocieron los primeros lineamientos de esta teoría de la que hacían uso para resolver algunos problemas astronómicos.

Y sigue la traducción del pasaje del Almagesto. Cabe preguntarse qué sucedió con ese ejemplar de la primera edición impresa del Almagesto (por cierto, también en Toledo el Almagesto fue traducido por primera vez al latín, en 1175, por Gerardo de Cremona).

El principio fundamental que se menciona no es otro que el llamado teorema de Menelao, y la sabia exposicion de la teoria de las transversales sólo puede referirse a la obra de Lazare Carnot, en cuyo Ensayo sobre la teoría de las transversales se adjudica al teorema de Menelao (sin mencionar este nombre) el título de principio fundamental de la teoría.

El texto de Brianchon parece indicar que no conocía previamente la relación del Almagesto (ni de Menelao) con el teorema de Menelao, y parece que no era muy conocida entre los matemáticos de aquellos años.

Teoría.

Llamamos configuración de Menelao a la figura formada por dos segmentos (exteriores, en azul) que se unen en un vértice $A$ , entre los que se sitúan otros dos (interiores, en verde), que parten de los extremos de los anteriores y se cortan en un punto $F$ .

En el capítulo 13, que traduce Brianchon, del libro I del Almagesto (hacia 150 d.C.) se demuestra que:

En una configuración de Menelao, usando las letras de la figura para designar a los segmentos, y $m=m_1+m_2$ (igual para $r_i, s_i$ y $n_i$ ), se cumple que:

$\dfrac{m}{m_1} = \dfrac{r}{r_1} \cdot \dfrac{s_2}{s}$

$\dfrac{r_2}{r_1} = \dfrac{m_2}{m_1} \cdot \dfrac{n}{n_2}$

Esta proposición es el teorema de Menelao, aplicado en uno y otro caso a los triángulos $\triangle ABD$ cortado por la transversal $EFC$ y $\triangle EBF$ cortado por la transversal $ADC$ .

Pero en lugar de un triángulo cortado por una transversal, Ptolomeo ve relaciones que dan las razones entre los segmentos de una linea exterior(/interior) en función de las razones entre los segmentos de las dos lineas interiores(/exteriores) en una configuración de Menelao.

La demostración de Ptolomeo del resultado anterior es esencialmente idéntica a la primera prueba que se da en este sitio,

A continuación, Ptolomeo demuestra el lema:

Si una cuerda $GH$ (ver figura) es cortada en el punto $K$ por un radio $OP$ ,
$\dfrac{GK}{KH} = \dfrac{\mathrm{sen } \ GP}{\mathrm{sen } \ PH}$

y usa este resultado junto con el teorema de Menelao (en el plano) para demostrar el teorema de Menelao en la esfera:

Si tenemos una una configuración de Menelao sobre la superficie de una esfera, es decir, si $m,n,r,s$ son arcos (menores que una semicircunferencia) de círculos máximos de una esfera, entonces:

$\dfrac{\mathrm{sen} \ m}{\mathrm{sen} \ m_1} = \dfrac{\mathrm{sen} r}{\mathrm{sen} \ r_1} \cdot \dfrac{\mathrm{sen} \ s_2}{\mathrm{sen} \ s}$

$\dfrac{\mathrm{sen} \ r_2}{\mathrm{sen} \ r_1} = \dfrac{\mathrm{sen} \ m_2}{\mathrm{sen} \ m_1} \cdot \dfrac{\mathrm{sen} \ n}{\mathrm{sen} \ n_2}$

Obviamente Ptolomeo no usa la expresión el seno de m, que no se había inventado, sino la cuerda del doble del arco m. Pero como $\textrm{cuerda } 2m = 2\ \mathrm{sen } \ m$ , podemos traducir las razones de cuerdas de ángulos dobles como razones de senos.

Este resultado es también la proposición I del libro III de las Esféricas (hacia 100 d.C.) de Menelao de Alejandría.

Menelao asume el teorema de Menelao para el plano como conocido y lo demuestra para la esfera de la misma forma que Ptolomeo.

Las Esféricas de Menelao, traducidas por Halley del árabe al latín en 1758, es el texto más antiguo que nos ha llegado donde se usa el que desde finales del siglo XIX se denomina teorema de Menelao, que se supone que era conocido ya por Hiparco (unos 250 años antes de Menelao) y, en su versión plana, por Euclides (400 años antes de Menelao).

Aplicación

La anterior es toda la teoría de trigonometría esférica que se usa en el Almagesto.
Además Ptolomeo ha construido previamente una tabla de cuerdas (es decir, de senos) calculando la cuerda de la suma y diferencia de dos ángulos usando el teorema de Ptolomeo.

Ptolomeo necesita la tabla de cuerdas para aplicar el teorema de Menelao sobre la esfera con valores concretos de arcos.

En el Almagesto, Ptolomeo solo necesita resolver triángulos rectángulos esféricos.

Para resolver un $\triangle ABC$ , con ángulo recto en $A$ , Ptolomeo prolonga los lados $a,b$ del triángulo como en la figura hasta completar arcos $CE, CF$ de $90^{\circ}$ .

Entonces $C$ es el polo del círculo máximo que pasa por $E$ y $F$ , y uniendo $EF$ con un arco los ángulos en $E$ y $F$ serán rectos y el arco $EF$ será igual al ángulo $\gamma$ de $\triangle ABC$ .

Como los ángulos en $F$ y $A$ son rectos, las prolongaciones de $FE$ y $AB$ se cortarán en un punto $D$ , polo de $FAC$ , y los arcos $FD$ y $AD$ serán de $90^{\circ}$ .

Se obtiene entonces una configuración de Menelao con vértice $F$ sobre la esfera.Y si, por ejemplo, queremos hallar la hipotenusa $a$ , dados los catetos $b,c$ , usamos el teorema de Menelao para obtener las razón entre los segmentos de $FC$ en función del producto de las razones entre los segmentos de $DA$ y $CD$ y tenemos:

$\dfrac{\mathrm{sen } (90)}{\mathrm{sen } (90-b)} = \dfrac{\mathrm{sen } (90)}{\mathrm{sen } (90-a)} \cdot \dfrac{\mathrm{sen }(90-c)}{\mathrm{sen }(90)}$ , es decir, $\cos a = \cos b \cdot \cos c \ (1)$ ,

que es el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos esféricos.

De la misma forma, aplicando directamente el teorema de Menelao a los otros segmentos, obtenemos las fórmulas

$\mathrm{sen } \ c = \mathrm{sen } \ a \cdot \mathrm{sen } \gamma \ (2)$ , $\mathrm{sen } \ b = \cot \gamma \cdot \tan c \ (3)$ y $\cos \gamma = \tan b \cdot \cot a \ (4)$

y de estas ultimas, por simetría

$\mathrm{sen } \ b = \mathrm{sen } \ a \cdot \mathrm{sen } \beta \ (5)$ , $\mathrm{sen } \ c = \cot \beta \cdot \tan b \ (6)$ y $\cos \beta = \tan c \cdot \cot a \ (7)$ .

Ptolomeo se limita a las fórmulas anteriores, o mejor dicho a aplicar en cada caso el teorema de Menelao con valores de arco concretos, para obtener los resultados que nosotros obtendríamos usando las fórmulas anteriores.

La regla mnemotécnica de Neper

Las anteriores son 7 de las $\dbinom{5}{3} = 10$ fórmulas que relacionan cada subconjunto de 3 elementos del conjunto $\{ a,b,c,\beta,\gamma \}$ de variables del triángulo.

Las otras 3 fórmulas se derivan de las anteriores (1)-(7) (dejamos esto al lector) y son:

$\cos a = \cot \beta \ a \cdot \cot \gamma \ (8)$ , $\cos \beta = \cos b \cdot \mathrm{sen}\ \gamma \ (9)$ y $\cos \gamma = \cos c \cdot \mathrm{sen}\ \beta \ (10)$ .

Estas 10 fórmulas vienen dadas por la regla mnemotécnica de Neper que dice que:

Si disponemos en un pentágono los elementos del triángulo rectángulo esférico, en el mismo orden en que aparecen en el triángulo, sustituyendo los catetos b,c por sus complementarios 90º-b,90º-c, el coseno de un elemento en el pentágono es

el producto de las cotangentes de los elementos adyacentes

el producto de los senos de los elementos opuestos.

A partir de las fórmulas para el triángulo rectángulo se pueden obtener, en no muchos pasos, otras fórmulas de la trigonometría esférica para cualquier triángulo, como el teorema del coseno para la esfera:

$\cos a = \cos b \cdot \cos c + \mathrm{sen}\ b \cdot \mathrm{sen}\ c \cdot \cos \alpha$

o la fórmula que nos permite obtener los lados en fúnción de los ángulos:

$\cos \alpha = - \cos \beta \cdot \cos \gamma + \mathrm{sen}\ \beta \cdot \mathrm{sen}\ \gamma \cdot \cos a$ .

El lector puede deducir estas últimas a partir de (1)-(10), dividiendo el triángulo en dos triángulos rectángulos mediante una altura.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 24 de August de 2009
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Categorías: Colaboraciones, Geometría, Historia

Una demostración de Monge del Teorema de Reciprocidad Polar

Este artículo es una colaboración de fede enviada por mail a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

En su Geometría Descriptiva (art.39), Gaspard Monge enuncia la proposición que traduzco a continuación, de la que da una demostración muy asequible que creo que no es demasiado conocida.

Lo siento, el applet de GeoGebra no ha podido cargarse. Asegúrate de que tienes instalado Java 1.4.2 o superior y de que está activado en tu navegador.

Sean en un plano una círcunferencia y una recta $n$ . Trazamos desde un punto cualquiera $P$ de esa recta las dos tangentes a la circunferencia y la recta $p$ que pasa por los dos puntos de contacto.

Si el punto $P$ se mueve sobre la recta $n$ , arrastrando con él las dos tangentes sin que dejen de tocar a la circunferencia, los dos puntos de contacto cambiarán de posición, así como la recta $p$ que los une.

Pero esta recta pasará siempre por un mismo punto $N$ , que se encuentra sobre la perpendicular trazada desde el centro de la circunferencia a la recta $n$ .

Recíprocamente, si $N$ es un punto en el plano de la circunferencia, los puntos de intersección de las dos tangentes a la circunferencia por los extremos de las cuerdas que pasan por $N$ , están en una linea recta $n$ .

Este resultado, formulado de otra forma, es el teorema de reciprocidad polar:

Si $P$ está en la polar de $N$ , $N$ está en la polar de $P$ .

El argumento que Monge da para el caso en que la recta $n$ por la que se mueve $P$ no corta a la circunferencia, es el siguiente:

Generamos una esfera mediante la revolución de la circunferencia alrededor de cualquiera de sus diámetros.

Llamamos plano base a nuestro plano de partida, que contiene el centro de la esfera y la recta $n$ .

Hay dos planos que pasan por la recta $n$ y son tangentes a la esfera. Esos planos tocan a la esfera en dos puntos, $S$ y $T$ , simétricos respecto al plano base.

Uno de esos dos planos pasa por $S$ y $n$ y por tanto contiene las lineas que pasan por $S$ y por un punto cualquiera situado en $n$ , que serán tangentes a la esfera en $S$ ,

El conjunto de las lineas que pasan por un punto $P$ situado en $n$ y que son tangentes a la esfera forma un cono que toca a la esfera en una circunferencia de contacto determinada.

La linea $PS$ es una tangente a la esfera que pasa por $P$ , y por tanto es una de las lineas que forman el cono de tangentes.

También está en el plano que pasa por $S$ y $n$ , y es entonces la línea de contacto entre el cono y ese plano.

Por tanto todas las circunferencias de contacto de los conos cuyo vértice $P$ esté en $n$ pasan por $S$ .

También pasarán por su simétrico $T$ respecto al plano base, y entonces $ST$ es una cuerda común a todas las circunferencias de contacto de los conos tangentes a la esfera, cuyos vértices estén en $n$ .

La proyección ortogonal sobre el plano base proyecta las circunferencias de contacto sobre cuerdas de la circunferencia de partida, y $ST$ se proyecta en un punto $N$ , el mismo para todas las puntos $P$ de $n$ , que es la proposición que queríamos demostrar, en el caso de que $n$ sea exterior a la esfera.

La proposición enunciada al principio es proyectiva y sigue siendo cierta si sustituimos la palabra ‘circunferencia’ por ‘sección cónica’ (quitando la frase ‘que se encuentra sobre la perpendicular….’). Porque podemos proyectar desde un punto el plano de la sección cónica sobre otro plano en que la cónica se transforme en un círculo, y las proyecciones preservan tangencias e incidencias.

Como podéis ver fede se ha aficionado a GeoGebra. No es el único, yo también le estoy cogiendo el gustillo poco a poco. Seguro que éste no será el último artículo en el que se use este interesante programa.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 13 de August de 2009
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Categorías: Colaboraciones, Demostraciones, Geometría, Teoremas

El baricentro inmóvil de Pappus

Este artículo es una colaboración de fede enviada por mail a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Aprovecho unas prácticas con GeoGebra para exponer la proposición 2 del libro VIII de la Colección Matemática de Pappus de Alejandría.

El matemático Michel Chasles formuló esa proposición de la siguiente forma (Aperçu historique, pag 44):

Si tres móviles situados en los vértices de un triángulo parten al mismo tiempo en el mismo sentido recorriendo los lados del triángulo con velocidades proporcionales a la longitud de esos lados, su centro de gravedad permanecerá inmóvil.

En la formulación de Pappus el enunciado quedaría así:

Si tenemos tres puntos $A_1, B_1, C_1$ en los lados de $\triangle ABC$ , como en la figura, de forma que

$\dfrac{A_1B}{A_1C} = \dfrac{B_1C}{B_1A} = \dfrac {C_1A}{C_1B}$

entonces

El baricentro de $\triangle A_1B_1C_1$ es el mismo que el de $\triangle ABC$ .

Los puntos medios de los lados de $\triangle A_1B_1C_1$ , están siempre en los lados de $\triangle A^\prime B^\prime C^\prime$ , cuyos vértices son los puntos medios de los lados de $\triangle ABC$ .

Lo siento, el applet de GeoGebra no ha podido cargarse. Asegúrate de que tienes instalado Java 1.4.2 o superior y de que está activado en tu navegador.

La proposición también se cumple en el caso de que los tres puntos $A_1, B_1, C_1$ estén en las prolongaciones de los lados de $\triangle ABC$ .

Si está activado Java en vuestro navegador, en el applet de GeoGebra de la derecha podéis mover, arrastrando con el ratón, los vértices y los lados de $\triangle ABC$ , además del botón del deslizador.

El interés histórico de la demostración de Pappus está en que es la única que tenemos de la antigüedad que utiliza el hoy conocido como teorema de Menelao para obtener un resultado de geometría plana (Menelao y Ptolomeo lo usan para demostrar una proposición de trigonometría esférica).

La idea de la demostración de Pappus es la siguiente:
Si $B_1^\prime$ es el punto de intersección de $C^\prime A^\prime$ y $C_1A_1$ , aplicando el teorema de Menelao a $\triangle C_1A_1B$ cortado por la transversal $A^\prime B_1^\prime C^\prime$ , tenemos $\dfrac {B_1^\prime C_1}{B_1^\prime A_1} = \dfrac {C^\prime C_1}{C^\prime B} \cdot \dfrac{A^\prime B}{A^\prime A_1}$ , y como $\dfrac{A^\prime B}{A^\prime A_1} = \dfrac{C^\prime A}{C^\prime C_1} = \dfrac{C^\prime B}{C^\prime C_1}$ , resulta que $\dfrac {B_1^\prime C_1}{B_1^\prime A_1} = 1$ y, por tanto, $B_1^\prime$ es el punto medio de $A_1C_1$ .

Por otro lado aplicando el teorema de Menelao a $\triangle C^\prime A^\prime B$ cortado por la transversal $A_1B_1^\prime C_1$ , tenemos $\dfrac {B_1^\prime C^\prime }{B_1^\prime A^\prime } = \dfrac {C_1C^\prime }{C_1B} \cdot \dfrac{A_1B}{A_1A^\prime }$ y, como $\dfrac {C_1C^\prime }{C_1B} = \dfrac {A_1A^\prime }{A_1C}$ , resulta que $\dfrac {B_1^\prime C^\prime }{B_1^\prime A^\prime } = \dfrac {A_1B}{A_1C} = \dfrac {B_1C}{B_1A}$ .

De donde obtenemos que si $G$ es el punto de intersección de $AA^\prime$ y $CC^\prime$ , baricentro de $\triangle ABC$ , como $AC$ y $A^\prime C^\prime$ son paralelas, $B_1$ , $G$ y $B_1^\prime$ están alineados y como $AG = 2\cdot GA^\prime$ , también $B_1G = 2 \cdot GB_1^\prime$ .
Entonces $G$ es también el baricentro de $\triangle A_1B_1C_1$ .

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 3 de August de 2009
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Categorías: Colaboraciones, Geometría

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