Desde siempre, el mundo del arte ha sabido aprovechar y sacar partido a lo que las matemáticas le brindaban, repercutiendo por tanto en nuestro propio beneficio. El buen uso de la perspectiva y de las proporciones o la utilización de la razón áurea son algunos buenos ejemplos.
Pero también encontramos casos en los que lo reseñable no es la utilización de las matemáticas en el arte, sino que las matemáticas están plasmadas en el propio arte. Tenemos ejemplos de arte matemático “vanguardista”, como los que os mostraba ayer en esta entrada, y también hay casos que tienen más tiempo. Hoy os traigo uno donde el protagonista es un cuadrado mágico.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 2 de February de 2012
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Categorías: Curiosidades
Desde el cierre de Megaupload las webs de descargas se han puesto las pilas y pretenden dificultar al máximo el acceso a cierto tipo de usuarios. O al menos eso parece a la vista de este captcha aparecido en RapidShare:
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 31 de January de 2012
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Categorías: Curiosidades, Humor matemático
¿Recordáis la paradoja de Ruperto? Sí, la que estaba relacionada con el hecho de que se puede hacer un agujero en un cubo (sin cargárselo) tal que por él pueda entrar un cubo del mismo tamaño que el inicial (de hecho se puede llegar a meter un cubo un pelín más grande).
¿Que cómo se podía hacer un agujero con estas características? Pues, por ejemplo, así:
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 31 de January de 2012
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Categorías: Curiosidades
Hace algo menos de un mes, en este post de Genbeta Dev nos mostraban una pregunta que se había hecho en Stack Overflow donde se comentaba, agarraos a la silla, si sería posible encontrar a Wally con el programa Mathematica.
¿Cómo? ¿Usar Mathematica para encontrar a Wally (Waldo en inglés) en una de sus famosísimas láminas? Cierto es que Mathematica tiene una potencia bestial como software matemático, pero de ahí a poder usarlo para encontrar a Wally…
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 19 de January de 2012
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Categorías: Curiosidades, Utilidades
Hoy 31 de diciembre de 2011 aprovecho para desearos
Que este año 2012 (en decimal), par (múltiplo de 2) y compuesto (no primo), sea para vosotros abundante en salud y felicidad, aunque en realidad sea un número deficiente (la suma de sus divisores, excepto él mismo, es menor que el propio número). En resumen, que el hecho de que 2012 sea una potencia apocalíptica (ya que 
contiene la secuencia 666) y un número malvado (ya que su expresión en binario, 
, tiene un número par de unos) no signifiquen que sea un mal año para vosotros, sino todo lo contrario.
De corazón, os deseo todo lo mejor en este 2012, número de Ulam1. Como siempre, muchas gracias por seguir ahí. Y lo dicho:
FELIZ AÑO 2012=(9*8*7 – 6 + 5)*4 – 3 + 2 + 1 + 0
(Vía Números y Hojas de Cálculo)
Los datos de 2012 los he sacado de Number Gossip.
1: Vamos a construir una sucesión de números enteros positivos que llamaremos 
. El primero de ellos será el 1, 
, y el segundo el 2, 
. A partir de aquí, el siguiente número en casa caso, , será el menor número entero positivo que se puede escribir de una única forma como suma de dos elementos distintos que estén ya en la propia sucesión. Por tanto, el 3=1+2 será el siguiente elemento, 
, y el 4=1+3 el siguiente, 
. Ahora, el 5 no está en la sucesión, ya que 5=1+4=2+3, es decir, se puede expresar como suma de elementos distintos de la sucesión de dos formas distintas (y estamos buscando los que pueden expresarse así de una única manera). Pero el 6=2+4 sí que está, por lo que 
. Los primeros términos de esta sucesión, esto es, los primeros números de Ulam, son los siguientes:
En la OEIS podemos encontrar información sobre la sucesión de números de Ulam (A002858). Por ejemplo, un listado con los 10000 términos de esta sucesión donde se puede ver que 2012 es un número de Ulam, concretamente el 218.
La pregunta típica: ¿cuántos términos tiene esta secuencia? Pues es más o menos evidente que existen infinitos números de Ulam. Lo vemos por reducción al absurdo:
Supongamos que la secuencia de Ulam tiene un número finito de términos, digamos 
, y sean 
dichos términos.
Realicemos ahora la suma 
(la suma de los dos últimos números de Ulam). Es claro que 
es mayor que todos los números de Ulam, por lo que no está en la secuencia. Pero también es claro que solamente puede expresarse como suma de números de Ulam precisamente de esa forma, 
(ya que si tomáramos un término menor que 
necesitaríamos uno mayor que , que no está en la serie). De hecho, entre y podría haber algún otro número que se pudiera representar de una única manera como suma de números de Ulam. Por tanto hay más números de Ulam que los que habíamos supuesto (el propio o alguno que hubiera entre y ), hecho que contradice la suposición inicial.
Por tanto el conjunto de números de Ulam es infinito.
Como comentario a la demostración anterior, aclarar que dados los primeros números de Ulam, , se tiene que no tiene por qué ser un número de Ulam. Por ejemplo, tomando los cuatro primeros términos, 
, se tiene que 
no es un número de Ulam. La razón es que hay uno entre 4 y 7, el 
, que sí lo es, y el hecho de añadir el 6 descarta al 7, ya que 
. Pero lo que sí tenemos seguro es que siempre habrá alguno mayor que , para todo .
Y, como en mucho otros casos, existen generalizaciones de este curioso conjunto de números. A la sucesión de Ulam que hemos descrito se la suele denominar (1,2)-Ulam, por tener como primeros elementos al 1 y al 2. En general, podemos construir la sucesión (u,v)-Ulam, para cualesquiera 
.
Fuentes y enlaces relacionados:
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 31 de December de 2011
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Categorías: Curiosidades
Marilyn vos Savant, nacida en 1946, debe ser una persona bastante interesante. No en vano posee el gran honor de figurar en el Libro Guinness de los Récords por ser la persona con el Cociente Intelectual (CI) más elevado del mundo, con 228. Es, entre otras cosas, columnista, escritora y dramaturga. Pertenece a Mensa y Prometheus, y está casada con Robert Jarvik, famoso por desarrollar el corazón artificial Jarvik-7. Da conferencias con cierta frecuencia y tiene un doctorado Honoris Causa por la Universidad de Nueva Jersey.
Como podéis intuir, lo que dio a Marilyn fama a nivel mundial fue el tema de su CI. No se conoce todos los días a alguien con semejante barbaridad de Cociente Intelectual, ¿verdad? El caso es que su inclusión en 1986 en el Libro Guinness por este hecho llevó a la revista Parade a publicar una selección de preguntas con respuestas de la propia Marilyn que terminó por convertirse en la columna semanal Ask Marilyn, donde resuelve problemas matemáticos y lógicos y responde a preguntas de temáticas diversas.
Y en esta columna es donde comienza nuestra historia de hoy.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 22 de December de 2011
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Categorías: Carnaval de matematicas, Curiosidades, Estadística, Historia
Futurama está lleno de detalles relacionados con la Ciencia en general y con las Matemáticas en particular. Hoy os traigo un vídeo con el último del que he tenido conocimiento. Pertenece al capítulo Benderama, el número 15 de la sexta temporada. Ahí va:
Analicemos el momento matemático. Ésta es la imagen:
En el capítulo se ve que hay un montón de clones de Bender y en esta imagen el profesor Farnsworth muestra una serie infinita que representa la masa de las generaciones sucesivas de Bender’s. Al verla, varios de los personajes se asustan, y ante la ignorancia de Fry, el profesor dice:
¡Es divergente!
Bueno, en realidad dice No es convergente, pero en este caso eso es lo mismo que decir que es divergente. Eso significaría que si les dejan seguir clonándose, los Bender’s acabarán ocupando el planeta entero.
Bien, ¿por qué es divergente? Si nos fijamos en la serie
![M=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} 2^n \cdot \left [\cfrac{M_0}{2^n (n+1)} \right ]}](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=M%3D%5Cdisplaystyle%7B%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%202%5En%20%5Ccdot%20%5Cleft%20%5B%5Ccfrac%7BM_0%7D%7B2%5En%20%28n%2B1%29%7D%20%5Cright%20%5D%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "M=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} 2^n \cdot \left [\cfrac{M_0}{2^n (n+1)} \right ]}")
tenemos que simplificando los factores 
y sacando la constante 
de la suma nos queda lo siguiente:
Os suena esta serie, ¿verdad? Efectivamente, es la serie armónica, que ya sabemos que es divergente. Por eso el miedo de los presentes en esa reunión, por eso la preocupación del profesor: una inmensa cantidad de Bender’s ocuparían el mundo. Qué pesadilla…o no.
Por si alguien no conoce otros guiños científicos y matemáticos de Futurama y tiene curiosidad por verlos, mi antiguo compañero de blog Fran (Neok) nos habló de unos cuantos en una serie de cinco posts: I, II, III, IV y V.
Por cierto, el vídeo lo he sacado de aquí.
Autor: gaussianos | Publicado el 8 de December de 2011
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Categorías: Curiosidades, Vídeos
Mira que en matemáticas hay teoremas curiosos, extraños, intuitivamente paradójicos,…(podéis añadir aquí multitud de adjetivos que indiquen sorpresa), y todavía, después de conocer muchos de ellos, podemos encontrar alguno que nos llame la atención por lo interesante y sugerente del resultado. A mí me ocurrió cuando supe de la existencia del denominado teorema de Bolyai-Gerwien.
Vamos a introducir el resultado con un caso particular. Imaginad que tenemos un cuadrado de lado 2 y un triángulo rectángulo de catetos 2 y 4, como los que aparecen en la figura:
El área del cuadrado es 
, y la del triángulo es 
. Vamos, que tienen áreas iguales. Y aquí viene la pregunta:
¿Se os ocurre alguna forma de cortar el triángulo en un número (finito) de piezas tal que puedan reordenarse para forma el cuadrado?
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 14 de November de 2011
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Categorías: Curiosidades, Geometría
Como todos sabéis mañana es 1 de noviembre, por lo que esta noche es la temida noche de Halloween, fiesta eminentemente norteamericana (Estados Unidos, Canadá y norte de México) que desde hace un tiempo también se celebra en otros países, como España, aunque no con el mismo significado exactamente. Bueno, no me extiendo más, en la entrada de Halloween de la Wikipedia (en español) podéis encontrar más información sobre esta celebración.
Lo que es indudable es que la calabaza es el objeto decorativo más típico y más común de Halloween. Todos hemos visto calabazas de Halloween, en las que se tallan caras siniestras. Y la verdad es que algunas de ellas son muy elaboradas y representan trabajos muy buenos.
¿Y si no somos buenos en esto de tallar calabazas? ¿No tenemos derecho a nuestra calabaza de Halloween en ese caso? Pues sí, aunque sea de manera virtual vamos a ver en este post una manera de crear una calabaza de Halloween sin necesidad de ser un crack del tallado de este tipo de planta. De hecho ni siquiera vamos a necesitar una calabaza, lo vamos a hacer con Mathematica. Vi cómo hacerlo en este post del blog de Wolfram Research hace unos días y no me he podido resistir a rehacerlo yo y a enseñarlo aquí.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 31 de October de 2011
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Categorías: Curiosidades
…el número 381654729 es polidivisible (en base 10, que es la base que vamos a usar en todo el post)?
Bien, ¿y qué es un número polidivisible? Pues muy sencillo:
Un número cuyas cifras son 
es polidivisible si cumple las siguientes condiciones:
es múltiplo de 2
es múltiplo de 3
es múltiplo de 4- …
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 13 de October de 2011
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Categorías: Curiosidades, Números enteros
