Existe una sencilla regla para comprobar si un número natural es divisible entre 7, que es la siguiente:
Separamos la cifra de las unidades del número inicial, la multiplicamos por 2 y se la restamos al resto del número (lo que quedó sin las unidades). Si obtenemos un múltiplo de 7 entonces el número inicial es múltiplo de 7, y si obtenemos un número que no es múltiplo de 7 pues el inicial tampoco lo es. Si obtenemos un número demasiado grande y no sabemos si es múltiplo de 7 o no, repetimos el proceso anterior las veces necesarias hasta que lleguemos a un número del que sepamos si es o no múltiplo de 7.
Pongamos un ejemplo:
- Número:
- Como
no es múltiplo de 7 entonces no es múltiplo de 7
Particularmente veo que este algoritmo es algo lento si el número es demasiado grande, pero bueno, al menos tenemos uno, ¿no?
Uhmmm…¿no habrá alguna otra forma? Pues sí, el mundo de la divisibilidad nos tiene guardada una sorpresa en lo que al 7 se refiere…
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 19 de August de 2010 | 21 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Números enteros
Tomemos un número natural cualquiera, por ejemplo el 75. Invirtamos ahora el orden de sus cifras y sumemos al propio 75 el número resultante:
Volvamos a hacer lo mismo con el 
:
Vaya, en dos pasos hemos llegado a un número capicúa. Probemos con otro mayor, el 
:
En este caso sólo hemos necesitado un paso. Otro ejemplo más, ahora con el 
:
; 
; 
Ahora hemos necesitado tres pasos. Un último ejemplo, esta vez con el 
:
; 
; 
; 
Parece que con el la cosa se alarga más que con los anteriores. ¿Cuánto? Ahora lo veremos.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 2 de August de 2010 | 23 Comentarios
Categorías: Curiosidades
Todos estos están entre 0 y 1
Estoy seguro de que desde donde estáis ahora mismo podéis ver un libro, ya sea encima de una mesa, en una estantería, en las manos de alguien o calzando un mueble (espero que esta última opción no sea la más extendida). Bien, ¿y cómo os quedáis si os digo que podemos encontrar una codificación numérica de ese libro entre el número 0 y el número 1? Sí, sí, de ese libro que tenéis en la mano o que habéis localizado con la vista hace un momento.
Lector: Pero bueno, cada uno de los lectores de este artículo ha tomado o visto un libro y, aunque es posible que para algunos lectores el libro coincida, lo normal es que haya muchos distintos. Y no creo que estén todos entre el 0 y el 1.
Pues sí, todos están entre el 0 y el 1. ¿No me crees? Lo vas a ver ahora mismo.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 29 de July de 2010 | 23 Comentarios
Categorías: Curiosidades
Existe una especie de teoría que dice que en los equipos de cualquier deporte, en particular de fútbol, los dorsales que corresponden a números primos son los que se asignan a los jugadores más importantes. Hasta donde yo sé, este artículo de Marcus du Sautoy es el máximo exponente de esta creencia (aunque en el artículo también se habla del género de cada tipo de número). Uno de los casos más llamativos de los últimos años es el Real Madrid que montó Florentino Pérez en su primera etapa en la presidencia del club de Concha Espina. En él los pesos pesados portaban números primos en su dorsal. A saber:
- 3: Roberto Carlos
- 5: Zidane
- 7: Raúl
- 11: Ronaldo
- 23: Beckham
- 1: Casillas (éste lo añado yo, ya que aunque el 1 no es un número primo sí que puede considerarse como la base los números naturales)
En cierto modo tiene sentido. Los números primos son los ladrillos a partir de los cuales se construyen todos los números naturales, por lo que sería razonable asignar dorsales primos a los jugadores en torno a los que se construye el equipo. Y la verdad es que, en general, no les salió mal.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 11 de July de 2010 | 68 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Mundial 2010, Números primos
En matemáticas es muy peligroso trabajar con lo que yo llamo el piloto automático, es decir, trabajar de forma mecánica sin pensar si los pasos que estamos siguiendo son correctos, hacer un ejercicio siguiendo el mismo camino que se siguió en otros ejercicios similares sin tener en cuenta si el ejercicio en cuestión tiene alguna particularidad que lo hace esencialmente distinto a los que estamos usando de base.
Y es muy peligroso porque nos hace cometer errores. Y lo peor es que son errores de los que no nos damos cuenta, por lo que no tenemos posibilidad de rectificar. En este artículo voy a poner un par de ejemplos de situaciones típicas en las que puede ocurrirnos esto.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 8 de July de 2010 | 29 Comentarios
Categorías: Curiosidades
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En ocasiones puede resultar paradójico que la respuesta a una pregunta suponga la aparición de muchas otras preguntas, pero en matemáticas esto ocurre constantemente. Es habitual que la demostración de un hecho traiga consigo la formulación de muchas preguntas relacionadas con este hecho.
Edward Waring
Precisamente esto es lo que ocurrió en 1909. Ese año David Hilbert daba una demostración de una conjetura conocida como
problema de Waring, formulada por el matemático inglés
Edward Waring más de cien años antes, en 1770.
En concreto, Waring conjeturó en su obra Meditationes Algebraicae que
Todo entero positivo puede expresarse como suma de a lo sumo 
potencias 
-ésimas positivas, siendo dependiente de (se entiende que es un número entero positivo).
Esto quiere decir que dado un exponente entero positivo , todo número entero positivo que tomemos necesitará de, como mucho, un número concreto de potencias con ese exponente . Waring conjeturó que todo entero positivo puede expresarse como suma de, a lo sumo, 4 cuadrados, 9 cubos y 19 potencias cuartas. Vamos, que si expresáramos todos los enteros positivo como suma de números al cuadrado, no haría falta usar 5 de ellos para expresar así ningún número.
Al parecer no se considera que Waring tuviera la suficiente capacidad para probar su propia conjetura, de hecho ni siquiera para probar alguno de los casos particulares (
) que él mismo conjeturó. Pero ahí quedó la cosa, como un reto al igual que cualquier otra conjetura, para quien la quisiera tomar.
El mismo año 1770 en el que se formuló la conjetura, el caso 
queda demostrado por Lagrange dando como resultado que Waring tenía razón: todo entero positivo puede expresarse como suma de, a lo sumo, 4 cuadrados. Como no podía ser de otra forma, este resultado se denomina teorema de los cuatro cuadrados y, aunque Fermat ya pensaba que era cierto, fue Lagrange el primero en dar una demostración. Un punto para Waring. Pequeño, sí, pero ahí queda.
David Hilbert
La traca final llegó en 1909 cuando Hilbert demuestra el caso general. Es decir, dado cualquier entero positivo
, el número
de potencias
-ésimas que hay que sumar para obtener cualquier entero positivo está acotado, tiene un máximo, un
tope,
sea cual sea el número entero positivo que queramos expresar así.
El pero de todo esto (sí, siempre tiene que haber un pero) es que la demostración de Hilbert no da ningún procedimiento para calcular ese número máximo de sumandos. Por poner un ejemplo, esto quiere decir que sabemos que todo número natural puede ser expresado como, a lo sumo, un cierto número concreto de potencias de exponente 
, pero la demostración de ello no nos dice cuál es ese número concreto de ellas.
Dado que no tenemos una fórmula explícita para, dado , calcular el valor de , la única opción que nos queda es estudiar caso por caso: cuadrados por un lado, cubos por otro, potencias cuartas, etc.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 14 de June de 2010 | 9 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Números enteros
Una de las ilustraciones originales de la primera edición de Alicia
Hoy, día 16 de abril de 2010, se estrena
Alicia en el país de las maravillas, después de algunos retrasos. Esta película, dirigida por
Tim Burton (no podía ser otro), es una adaptación del libro
Alicia en el país de las maravillas, de
Charles Lutwidge Dogdson, más conocido como
Lewis Carroll, cuya primera edición fue publicada en 1865. Conociendo al escritor de la obra y al director del film seguro que no nos decepcionará.
Sobre el libro se cuentan muchas historias y anécdotas. Por ejemplo, que la obra comenzó a gestarse a partir de un cuento que Carroll contó a unas niñas (Lorina, Alice y Edith) y que fueron ellas mismas, al quedar maravilladas por el cuento, quienes pidieron a Lewis que escribiera la historia. O que en realidad es una crítica a la sociedad de la época en general y en concreto a la reina Victoria. Vamos, que es un cuento muy particular.
¿Pero de verdad es sólo un cuento para niños?
Alicia en el país de las maravillas no es solamente un cuento infantil. De hecho una lectura profunda y razonada de la misma puede hacernos ver que es cualquier cosa menos un cuento dirigido a niños. La condición de matemático de Carroll ejerce una influencia tremenda en esta obra. Alicia en el país de las maravillas está lleno de guiños matemáticos, entre los que podemos encontrar referencias al álgebra, a la teoría de números, a la lógica, al análisis…En esta presentación podéis encontrar alusiones a las propiedades reflexiva y simétrica de una relación, máximos y mínimos de una función, propiedades de la circunferencia y sobre rectas y segmentos, lógica y razonamiento deductivo…
Pero la cosa no queda aquí. Hay otros muchos detalles del libro que sugieren conceptos matemáticos. Aquí os dejo algunos de ellos:
- En el capítulo 1, Por la madriguera del conejo, ciertos comentarios de Alicia mientras sufre una caída interminable por la madriguera recuerdan al concepto de límite.
- En el capítulo 2, El charco de lágrimas, Alicia dice:
Veamos, cuatro por cinco son doce, cuatro por seis son trece y cuatro por siete…¡Ay, Dios mío! ¡Así no llegaré nunca a veinte!
Esas operaciones no están bien hechas…si usamos el sistema de numeración decimal. Usando otros sistemas de numeración las operaciones son correctas. Concretamente, 
en base 
y 
en base 
. Siguiendo la línea, tenemos que 
en, como se podría imaginar, base 
.
- En el capítulo 5. Consejos de una oruga, la paloma afirma que las niñas pequeñas son un cierto tipo de serpiente, ya que las dos comen huevo. Esta deducción recuerda al cambio de variables que se utiliza en multitud de ocasiones en matemáticas.
- En el capítulo 7. Una merienda de locos, Alicia toma como iguales las acciones “digo lo que pienso” y “pienso lo que digo”, a lo que el sombrerero responde que eso sería lo mismo que decir que “veo cuanto como” es lo mismo que “como cuanto veo”. Esto recuerda en cierta medida a una función y su inversa.
- La curiosa característica que posee el Gato de Cheshire, a saber, desaparecer casi totalmente, dejando únicamente su sonrisa, hace ver a Alicia que muchas veces ha visto un gato sin sonrisa, pero ninguna ha visto una sonrisa sin gato. Este tipo de abstracción profunda es muy usada en matemáticas, y en concreto fue objeto de ciertos acontecimientos matemáticos de la época en la que Carroll escribió su libro.
Pero, como no podía ser de otra forma, existen multitud de interpretaciones del texto escrito por Carroll. Una de las más interesantes en lo que a las matemáticas se refiere es la de Keith Devlin. Afirma que la versión inicial de Alicia no contenía nada relacionado con matemáticas y que Carroll añadió todas estas referencias con el objetivo de satirizar las matemáticas que estaban emergiendo en aquella época, concretamente a mediados del siglo XIX. Según parece, la visión de las matemáticas que tenía Carroll era, digamos, tradicional, por lo que los revolucionarios avances que se produjeron en esta época no le convencían demasiado. Por ejemplo, con el Sombrerero, la Liebre de Marzo y el Lirón tomando el té, donde el tiempo está ausente, que Devlin interpreta como una crítica a los cuaterniones de Hamilton (al parecer Carroll no era precisamente un apasionado del trabajo de Hamilton). También podemos encontrar críticas encubiertas a las geometrías no euclídeas.
Las matemáticas del siglo XIX
William Rowan Hamilton
La verdad es que este período tiene mucha tela que cortar en lo que a matemáticas se refiere. Analizando la historia de las matemáticas, el siglo XIX ha sido una de las épocas más prolíficas en descubrimientos matemáticos, en creación de nuevos conceptos o en desarrollo de teorías revolucionaria, especialmente en álgebra.
Fue en este siglo cuando las geometrías no euclídeas comenzaron su andadura (Lobachevsky fue uno de los principales culpables), provocando una auténtica revolución. También en esta época los trabajos de Cantor conmocionaban a los matemáticos del momento.
Por otra parte, Hamilton utilizó la misma idea que Lobachevsky para crear sus cuaterniones. Lobachevsky prescindió del postulado de las paralelas y desarrolló así una nueva geometrías mientras que Hamilton prescindió de la conmutatividad de la multiplicación desarrollando así una nueva álgebra.
También en esta época Cayley creó el álgebra matricial, en cuyo desarrollo también tuvieron importancia Benjamin Peirce y su hijo, Charles S. Peirce.
Pero posiblemente uno de los mayores avances en el álgebra de la época fue la teoría de Galois, desarrollada por Evariste Galois a lo largo de sus ¡¡21 años de vida!!. Sus trabajos sirvieron para estructurar todos los avances y creaciones que se produjeron en el campo del álgebra en este siglo.
Por último, el matemático italiano Peano intentó con sus axiomas formalizar todas las ramas matemáticas. Estos axiomas de Peano han sido objeto de múltiples debates, pero este es otro tema del que hablaremos otro día.
Notas históricas:
- Historia de la matemática, de Carl B. Boyer.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 16 de April de 2010 | 24 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Historia, Noticias
En multitud de ocasiones, en cualquier ámbito de nuestra vida, matamos moscas a cañonazos. Es decir, hacemos algo utilizando muchos más recursos (ya sean físicos, económicos…) de los que en realidad hacen falta. Como encender una vela con un lanzallamas, por poner un ejemplo.
La cuestión es que en matemáticas esto también ocurre. De hecho ocurre de manera relativamente frecuente. Seguro que muchos de vosotros conocéis algún resultado matemático para el que existe una demostración que utiliza algún otro resultado mucho más potente que el que se quiere demostrar pero que por otra parte posee alguna manera mucho más sencilla de demostrarse. Algo así como acudir a la Topología para demostrar la infinitud de los números primos cuando poseemos este sencillo argumento de Euclides para ello.
Lo que os traigo hoy es otro ejemplo de este fenómeno, otro caso en el que matamos un teorema sencillo con una demostración cañón.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 5 de April de 2010 | 18 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Demostraciones
Hoy os voy a hablar de un tipo de números curioso, tanto por la propiedad que cumplen como la cantidad de los mismos que podemos encontrar. Son los números de Munchausen.
¿Qué es un número de Munchausen?
Vamos a comenzar definiendo este tipo de números. Sea 
un número natural que representará lo sucesivo una base de numeración (por tanto 
). Entonces, dado un numero natural , su representación en base es de la siguiente forma:
para cierto coeficientes 
todos, evidentemente, menores que .
Para un número natural como el descrito antes definimos lo siguiente:
En este punto surge una pregunta: ¿qué ocurre si alguno de los coeficientes es cero? Obtendríamos un término 
en la expresión de 
. ¿Qué hacemos en este caso? Pues tomar 
, que ya sabemos que es la manera más razonable de definirlo.
Bien, ya tenemos todo lo que necesitamos para presentar a este tipo de número:
Diremos que un número natural es un número de Munchausen en una base si 
, esto es, tal número es igual a la suma de los coeficientes de su representación en base elevados a ellos mismos, o lo que es lo mismo:
Parece que la curiosa denominación de este tipo de números proviene del Barón de Munchausen, personaje a caballo entre la realidad y la ficción que poseía la capacidad de elevarse a si mismo.
¿Cuántos números de Munchausen existen?
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 22 de March de 2010 | 5 Comentarios
Categorías: Curiosidades
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Introducción
Como ya hemos comentado alguna vez, Leonhard Euler es el matemático más prolífico de la historia. Podemos encontrar su nombre en casi todas las ramas de las matemáticas, desde álgebra hasta análisis complejo, pasando por geometría y topología. Pero cuanto más indaga uno en sus trabajos más se sorprende. Por más que pensemos que conocemos los trabajos de Euler siempre aparece por sorpresa con un tema nuevo que nos era ajeno. Esto mismo es lo que me ha pasado a mí hace unos días. Y, cómo no, os lo voy a contar.
Numeri idonei
En una carta dirigida al físico suizo Nicolas Béguelin, Euler comentaba lo siguiente:
Todos los números contenidos de una sola forma en 
son primos o dobles de primos donde 
e 
son primos entre sí. He observado que otras expresiones similares de la forma 
gozan de la misma propiedad dando a la letra valores convenientes.
Esto es, todo número que puede expresarse de una única forma como 
, para e primos relativos, es primo o el doble de un primo. En particular, todo número impar que pueda expresarse de una única forma en el sentido anterior es primo.
Pero aún hay más. No sólo sirve una expresión del tipo , sino que existen ciertos valores de tales que una expresión del tipo 
cumple la misma propiedad. A estos valores de es a los que se les llama numeri idonei (números convenientes o números idóneos en español y suitable numbers o idoneal numbers en inglés).
Al menos esta era la definición inicial de número idóneo. Pero esta forma de definir este tipo de números presenta algunos problemas. Por ejemplo, 
es un número idóneo (lo veremos más adelante) y para él se cumple que:
es la única representación del número 9 como 
. Pero como todos sabemos 9 no es primo, aunque sí es potencia de un primo, ya que 
. Por tanto deberíamos decir que es un número idóneo si todo número impar que pueda expresarse de una única forma como es primo o potencia de un primo, pero se puede afinar un poco más para eliminar esta nueva posibilidad, esto es, que el número sea una potencia de un número primo (en el primer enlace de las fuentes podéis ver algunas de las condiciones que se podemos añadir a la definición para evitar esto).
Conociendo un poco la forma de trabajar de Euler cualquiera puede imaginar que no se quedó ahí, que sus investigaciones sobre este tema no terminaron en el establecimiento de la definición de este tipo de números. Sabiendo de su carácter indagador uno tiende a pensar que intentó profundizar más en el asunto. Y teniendo un poco de información sobre sus logros no es difícil convencerse de que lo hizo, y muy profundamente. Pues sí, así fue. Euler elaboró una lista de números idóneos. Es la siguiente:
En total 65 números que Euler comprobó que eran idóneos (en el sentido comentado anteriormente). De hecho indagó más: utilizó esta lista para construir números primos hasta de ocho cifras.
Llegados a este punto lo más lógico es que nos hagamos la siguiente pregunta: ¿es infinito el conjunto de números idóneos? La respuesta es no. En 1934, el matemático Sarvadaman Chowla demostró que el conjunto de números idóneos es finito.
Sabiendo esto nos surge otra cuestión: ¿hay más números idóneos aparte de los encontrados por Euler? Por desgracia para esta pregunta todavía no hay respuesta, aunque sí se tienen datos. Concretamente se sabe que como mucho existe un número idóneo más, aparte de los que se encuentran en la lista. Y que si este último número idóneo en realidad existe, debe ser mayor que 100000000.
Mayor número primo encontrado con los números idóneos
Hemos comentado antes que Euler utilizó estos números para encontrar números primos relativamente grades (hasta ocho cifras). El mayor número primo que encontró Euler con esta téctica fue 
. Para demostrar que este número de ocho cifras es primo habría que comprobar que la única solución de la ecuación
es 
. ¿Alguien se atreve?
Fuentes:
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 25 de February de 2010 | 7 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Números enteros
