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Introducción
Como ya hemos comentado alguna vez, Leonhard Euler es el matemático más prolífico de la historia. Podemos encontrar su nombre en casi todas las ramas de las matemáticas, desde álgebra hasta análisis complejo, pasando por geometría y topología. Pero cuanto más indaga uno en sus trabajos más se sorprende. Por más que pensemos que conocemos los trabajos de Euler siempre aparece por sorpresa con un tema nuevo que nos era ajeno. Esto mismo es lo que me ha pasado a mí hace unos días. Y, cómo no, os lo voy a contar.
Numeri idonei
En una carta dirigida al físico suizo Nicolas Béguelin, Euler comentaba lo siguiente:
Todos los números contenidos de una sola forma en 
son primos o dobles de primos donde 
e 
son primos entre sí. He observado que otras expresiones similares de la forma 
gozan de la misma propiedad dando a la letra 
valores convenientes.
Esto es, todo número que puede expresarse de una única forma como 
, para e primos relativos, es primo o el doble de un primo. En particular, todo número impar que pueda expresarse de una única forma en el sentido anterior es primo.
Pero aún hay más. No sólo sirve una expresión del tipo , sino que existen ciertos valores de tales que una expresión del tipo 
cumple la misma propiedad. A estos valores de es a los que se les llama numeri idonei (números convenientes o números idóneos en español y suitable numbers o idoneal numbers en inglés).
Al menos esta era la definición inicial de número idóneo. Pero esta forma de definir este tipo de números presenta algunos problemas. Por ejemplo, 
es un número idóneo (lo veremos más adelante) y para él se cumple que:
es la única representación del número 9 como 
. Pero como todos sabemos 9 no es primo, aunque sí es potencia de un primo, ya que 
. Por tanto deberíamos decir que es un número idóneo si todo número impar que pueda expresarse de una única forma como es primo o potencia de un primo, pero se puede afinar un poco más para eliminar esta nueva posibilidad, esto es, que el número sea una potencia de un número primo (en el primer enlace de las fuentes podéis ver algunas de las condiciones que se podemos añadir a la definición para evitar esto).
Conociendo un poco la forma de trabajar de Euler cualquiera puede imaginar que no se quedó ahí, que sus investigaciones sobre este tema no terminaron en el establecimiento de la definición de este tipo de números. Sabiendo de su carácter indagador uno tiende a pensar que intentó profundizar más en el asunto. Y teniendo un poco de información sobre sus logros no es difícil convencerse de que lo hizo, y muy profundamente. Pues sí, así fue. Euler elaboró una lista de números idóneos. Es la siguiente:
En total 65 números que Euler comprobó que eran idóneos (en el sentido comentado anteriormente). De hecho indagó más: utilizó esta lista para construir números primos hasta de ocho cifras.
Llegados a este punto lo más lógico es que nos hagamos la siguiente pregunta: ¿es infinito el conjunto de números idóneos? La respuesta es no. En 1934, el matemático Sarvadaman Chowla demostró que el conjunto de números idóneos es finito.
Sabiendo esto nos surge otra cuestión: ¿hay más números idóneos aparte de los encontrados por Euler? Por desgracia para esta pregunta todavía no hay respuesta, aunque sí se tienen datos. Concretamente se sabe que como mucho existe un número idóneo más, aparte de los que se encuentran en la lista. Y que si este último número idóneo en realidad existe, debe ser mayor que 100000000.
Mayor número primo encontrado con los números idóneos
Hemos comentado antes que Euler utilizó estos números para encontrar números primos relativamente grades (hasta ocho cifras). El mayor número primo que encontró Euler con esta téctica fue 
. Para demostrar que este número de ocho cifras es primo habría que comprobar que la única solución de la ecuación
es 
. ¿Alguien se atreve?
Fuentes:
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 25 de Febrero de 2010 | 7 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Números enteros
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Introducción
La tercera dimensión, 
, o como lo queramos llamar, es un lugar complicado de manejar. Es donde hacemos nuestra vida diaria (al menos a nuestra escala) pero matemáticamente es un espacio que con cierta frecuencia produce auténticos quebraderos de cabeza. El salto de dos a tres dimensiones es sencillo en algunas ocasiones y tremendamente difícil en otras. No son pocos los problemas cuya respuesta es relativamente fácil de encontrar en dos dimensiones, pero que entrañan una suprema dificultad cuando aumentamos en uno la dimensión de la situación.
El problema que nos ocupa es uno de ellos. Es muy sencillo encontrar la solución del mismo para dimensión uno y dimensión dos. Hasta para ciertas dimensiones mayores el problema es fácil de resolver. Pero en dimensión tres no es ni mucho menos trivial. De hecho es ciertamente complicado. Veremos en el transcurso de este artículo por qué es razonable dudar sobre la solución de este problema y cómo la dificultad que posee el mismo motivó una disputa entre dos grandes matemáticos.
(Leer el resto del post)
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 15 de Febrero de 2010 | 15 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Geometría
Este artículo es mi aportación a la primera edición de Carnaval de Matemáticas organizado por Tito Eliatron.
Motivación
Un polígono convexo es un polígono que cumple que todos sus ángulos interiores miden menos de 180º. De forma más intuitiva, un polígono es convexo cuando todos sus vértices están apuntando hacia el exterior del polígono. Por ejemplo, el siguiente polígono es convexo
pero éste no lo es
Según esta definición es evidente que todos los polígonos regulares (triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular…) son convexos.
Bien, aclarado este punto vamos a realizar un experimento con estos polígonos regulares. Lo que vamos a hacer es dividir cada uno de ellos en triángulos trazando diagonales que no se corten entre si. Y vamos a contar de cuántas formas podemos hacer esa subdivisión para cada uno de los polígonos.
Tomemos el primer polígono regular en lo que a número de lados se refiere, el triángulo equilátero. Está claro que en un triángulo equilátero no se puede trazar ninguna diagonal, pero como la propia figura es un triángulo digamos que ya tendríamos el polígono dividido en triángulos. Esto es, el número de formas en las que podemos dividir un triángulo equilátero en triángulos trazando diagonales de la forma descrita antes es 
.
Pasamos al siguiente, el cuadrado. En él podemos trazar dos diagonales que lo dividen en triángulos
Por ello, el número de formas en las que podemos dividir el cuadrado en triángulos como se comentó antes es .
El siguiente es el pentágono. En este caso cada forma de dividirlo en triángulos así consiste en trazar dos diagonales que no se corten. Estas son las 
formas.
Con el hexágono el número de diagonales a trazar es tres por vez. Nos quedan las siguientes 
formas de dividir un hexágono regular como hemos dicho antes:
Con un heptágono obtendríamos 
formas, con un octógono 
, y así sucesivamente…Un momento, ¿cómo que y así sucesivamente? Hemos obtenido la siguiente sucesión de números:
A la vista de estos elementos no parece que sea muy evidente cómo encontrar el siguiente término. La sucesión de números obtenida más bien parece aleatoria, casual, sin ningún interés…
La pregunta está clara:
¿Aparecen estos números en algún otro sitio? ¿Tienen algo de interés?
Pues va a ser que sí…
(Leer el resto del post)
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 11 de Febrero de 2010 | 26 Comentarios
Categorías: Carnaval de matematicas, Curiosidades, Números enteros
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Introducción
La familia de los números naturales es muy grande, inmensa. En ella conviven infinitos (y numerables, es decir, contables) miembros que, aunque pueda parecer curioso tratándose de una familia, nunca nacieron y nunca morirán. Siempre han estado ahí y ahí continuarán.
Todos ellos son importantes y también todos ellos pueden ser útiles en cierto momento. En el transcurso de nuestro viaje por este camino temporal llamado vida nos encontramos (y nos seguiremos encontrando) con muchos de ellos. Bien es cierto que habitualmente toparemos con miembros más bien pequeños, de bajo valor númerico (aunque esto no significa que tengan poco valor). Pero de vez en cuando asistiremos a la aparición de algún miembro cuyo peso como número tiene cierta entidad.
Pero al fin y al cabo nuestra existencia es finita, terminará. Este hecho unido al carácter infinito de los números naturales hace que resulte imposible encontrarse con todos, que sea inviable conocer a todos los miembros de esta familia.
Uniendo estos dos hechos (generalmente nos encontraremos con números relativamente pequeños y nos es imposible conocerlos a todos en persona) es evidente que muchos números grandes quedarán fuera de nuestro alcance en el sentido de que no tendremos el placer de tenerlos delante.
Posiblemente los tres números que os voy a presentar hoy pertenezcan a estos últimos. Bueno, puede que el primero de ellos, por estar relacionado con un juego de mesa muy popular, sí sea conocido por vosotros, pero estoy convencido de que muchos de los que leáis este artículo añadiréis al menos dos números más a vuestra lista mental de miembros conocidos de la familia de los números naturales.
(Leer el resto del post)
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 28 de Enero de 2010 | 67 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Números enteros
Introducción
Los seres humanos tenemos 2 ojos, 5 dedos en cada mano y cada pie y la esperanza de vida en España ronda los 80 años actualmente. Un euro tiene 100 céntimos y un mileurista cobra 1000 euros mensuales. Podemos tener un coche de 12000 euros y una vivienda que nos cueste 200000 y ha habido semanas en las que el premio para la primera categoría del Euromillón ha rondado los 70 millones de euros (70000000 €).
Todas esas cantidades pueden ser escritas utilizando la notación habitual. Pero es evidente que cuanto mayor es el número esta forma de escribirlos se hace cada vez más engorrosa. Por suerte tenemos la potencias, gran arma para simplificar la escritura de ciertos números grandes.
Por ejemplo, si quisiéramos escribir la edad de la Tierra deberíamos escribir este número:
que es la cantidad (en años) que se estima como edad de nuestro planeta. Utilizando las potencias la forma de escribirlo es más corta:
Para esta cantidad puede que todavía no se perciba en toda su magnitud la utilidad de las potencias para esta tarea. Probemos con otra. Para escribir el número de átomos que se estima que hay en la Tierra tendríamos que escribir un 1 seguido de 51 ceros. Es decir, un número que ya tiene una cierta magnitud y, por qué no decirlo, bastante engorroso de escribir de la manera habitual. Nuestras amigas las potencias nos ayudan a simplificar esta tarea:
Hemos escrito el mismo número pero, como es evidente, de una forma bastante más cómoda.
Otro ejemplo más. A estas alturas casi todo sabréis qué es un googol. Sí, exacto, un 1 seguido de cien ceros. Escribir este número con la notación habitual alcanza ya el nivel de tarea insufrible. Otra vez las potencias nos ayudan con ella:
Pero, ¿qué ocurre si queremos escribir el número googelplex? Este número es un 1 seguidos de un googol de ceros y tiene ya unas dimensiones inimaginables para el ser humano. Bueno, os echo una mano:
Para representarlo hemos necesitado no sólo una potencia, sino dos. Vamos, una torre de potencias.
Con la ayuda de estas torres de potencias podemos representar número enormes que, como dije antes, escapan a nuestra percepción. La pregunta es: ¿podemos necesitar en algún momento escribir algún número cuya representación no pueda hacerse de forma sencilla con estas notaciones? La respuesta es sí. Y la notación de Knuth es una de las opciones más recomendables.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 26 de Enero de 2010 | 14 Comentarios
Categorías: Curiosidades
El grueso de este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.
Introducción
Una fracción continua es una expresión del tipo:
donde 
es un número entero y los demás 
son enteros positivos.
La representación de un número real de este tipo en fracción continua tiene varias propiedades que hacen que dicha representación sea más interesante que la representación decimal habitual:
- La representación en fracción continua de un número es finita si y solo si ese número es racional.
- La representación en fracción continua de un racional simple es generalmente corta.
- La representación en fracción continua de un racional es única siempre que no acabe en 1.
- Los términos de una fracción continua se repetirán si y solo si representa a un irracional cuadrático, es decir, si es solución de una ecuación cuadrática con coeficientes enteros. Por ejemplo, la fracción continua
![[1, 1, 1, \ldots ]](http://www.codecogs.com/eq.latex?[1, 1, 1, \ldots ])
representa al número áureo y ![[1, 2, 2, 2, \ldots ]](http://www.codecogs.com/eq.latex?[1, 2, 2, 2, \ldots ])
a 
.
- El truncado de la representación en fracción continua de un número da una aproximación racional que es, en cierto sentido, la mejor posible.
Todo número real puede representarse como fracción continua, pero en este artículo vamos a centrarnos en la representación continua de ciertos números racionales.
Fracción continua de un número racional
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 14 de Diciembre de 2009 | 8 Comentarios
Categorías: Colaboraciones, Curiosidades
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Introducción
Comenzamos la semana con un tema bastante curioso que vamos a introducir mediante un juego. Supongamos que tenemos a nuestra disposición los siguientes dados:
El juego en cuestión consiste en lo siguiente:
Vosotros tomáis uno de los tres dados y después yo tomo uno de los dos que quedan. A continuación tiráis vuestro dado y yo el mío. Gana la tirada quien saque mayor puntuación.
Juego sencillo y además elegís primero. La pregunta es:
¿Qué dado escogeríais para tener mayor probabilidad de ganar el juego a la larga, es decir, después de un número grande de tiradas?
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 30 de Noviembre de 2009 | 13 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Estadística
Este artículo es una colaboración de daniel enviada a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.
Introducción
Hace ya un tiempo os hablé de algunas funciones extrañas. Entre ellas estaba la función de Weierstrass, continua en todos los números reales pero no derivable en ninguno de ellos. La demostración sobre la continuidad es sencilla, pero la de la no derivabilidad no lo es tanto. Nuestro amigo Daniel se ha encargado de enviarme una basada en la original de Weierstrass y yo me voy a encargar de mostrarla.
La función de Weierstrass
Para empezar vamos a recordar la definición de la función de Weierstrass:
= \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b^n cos(a^n \pi x)}, \; \forall x\in\mathbb{R})
(1)
donde 
con 
y 
.
No es difícil ver que esta función es continua en todos los números reales (lo podéis intentar como ejercicio y escribirlo en los comentarios), pero:
Teorema:
La función 
definida anteriormente no es derivable en ningún punto de su dominio.
(Leer el resto del post)
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 26 de Octubre de 2009 | 6 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Cálculo
Hoy os traigo un tipo de números curiosos tanto por su definición como por la historia de su denominación: los números de Smith.
Vamos con la definición de este tipo de números:
Un número de Smith es un número natural compuesto que cumple que la suma de sus dígitos es igual a la suma de los dígitos de todos sus factores primos (si tenemos algún factor primo repetido lo sumamos tantas veces como aparezca).
Con esta definición es sencillo ver que el primer número de Smith es el 
:
Y el siguiente es el 
:
Pero hay muchos más, de hecho hay infinitos números de Smith. Otro ejemplo, esta vez con un número más grande, 
:
Los números de Smith fueron presentados por el matemático Albert Wilanski en 1982. Pero, ¿por qué no llevan su nombre? Muy sencillo. Al parecer el número de teléfono de teléfono del cuñado de Wilanski era 493-7775 y Albert se dio cuenta de que el número 
es un número de este tipo:
El nombre de este tipo de números se debe a que el cuñado de Wilanski (que no tenía nada que ver con las matemáticas) se llamaba Harold Smith. Se vuelve a cumplir la sentencia de Klein.
En el momento en el que aparecieron los números de Smith éste era el mayor número de este tipo conocido. Pero a partir de aquí comenzaron a aparecer artículos dando propiedades y ejemplos mayores que el citado . Por ejemplo, en 1983 Oltikar y Wayland descubrieron que si 
es un número primo repuit (es decir, con todos sus dígitos iguales a uno), entonces el número 
es un número de Smith. Pero no es el único caso. Descubrieron muchos más números tales que multiplicados por un repunit primo dan siempre un número de Smith. Por ejemplo los números $1540, 1720, 2170, 2440, 5590$ y 
también tienen esa propiedad. En la sucesión-pedia tenéis la lista de los mismos.
En 1984 Pat Costello encontró 75 nuevos números de Smith de la forma 
, siendo un primo pequeño y 
un primo de Mersenne. El mayor de ellos (con 65319 dígitos) fue el siguiente:
 \cdot 10^{266})
En 1986 se presentó otro método distinto para generar números de Smith con el que se encontró, por ejemplo, el siguiente número de Smith:
^5=555055055055500000)
Pero no fue el único Se encontraron números realmente colosales, por ejemplo un número de Smith con 2592699 dígitos.
Pero fue en 1987 cuando se produjo el descubrimiento más importante sobre este tipo de número. Wayne Mc Daniel descubrió que hay infinitos números de Smith. De hecho descubrió más cosas. Introdujo los k-números de Smith, que son los que cumplen que la suma de los dígitos de los factores primos es el producto de 
por la suma de los dígitos del número y demostró que los k-números de Smith son infinitos, para todo .
En este mismo año también se definieron los números de Smith palindrómicos (es decir, capicúas), como el 
, o los hermanos de Smith, que son parejas de números de Smith consecutivos, como el 
y el 
o el 
y el 
. A partir de esto se han descubierto tripletes de Smith (por ejemplo, 
y 
), conjuntos de cuatro consecutivos (el más pequeño de este tipo es el formado por los números 
y 
), y así sucesivamente.
Para terminar os dejo la lista de números de Smith de la sucesión-pedia y el mayor número de Smith conocido hasta la fecha:
^{1476} \cdot 10^{3913210})
donde 
es el primo repunit compuesto por 1031 unos.
Fuentes:
- La maravilla de los números, de Clifford A. Pickover.
- Fascinating Smith Numbers: Sección de la web de Shyam Sunder Gupta con mucha información sobre los números de Smith.
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 19 de Octubre de 2009 | 3 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Números enteros
Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.
Este post sobre una curiosa propiedad de determinadas particiones en dos conjuntos de algunos conjuntos finitos de números me recordó una curiosa propiedad de cualquier partición en dos conjuntos infinitos del conjunto de todos los números naturales que leí en algún libro de Honsberger.
Sea 
una secuencia cualquiera no decreciente,esto es, , \ n \ge 0)
, de enteros no negativos.
La función )
que da el número de términos de la secuencia )
que son menores o iguales que 
, define una nueva secuencia no decreciente de enteros no negativos que para la secuencia anterior 
resulta ser 
A esta segunda secuencia, cuyos términos cuentan los términos de la primera menores o iguales que 
, la llamamos secuencia contadora de la primera secuencia.
Como la secuencia contadora es una secuencia no decreciente de no negativos, podemos obtener a su vez la secuencia contadora de esta secuencia contadora y así sucesivamente.
Pero sucede que:
Dada cualquier secuencia no decreciente de enteros no negativos, la secuencia contadora de la secuencia contadora es la secuencia inicial.
La curiosa conexión con las particiones de números está en:
Si tomamos dos secuencias de forma que una sea la secuencia contadora de la otra, y sumamos vectorialmente a cada una de ellas la secuencia de todos los naturales 
, resulta una partición 
de los números naturales.
En el caso de las secuencias anteriores y 
resulta la partición:
Recíprocamente, si partimos en dos subconjuntos infinitos el conjunto de todos los naturales y restamos la secuencia de los naturales de las dos secuencias resultantes de la partición, obtenemos dos secuencias no decrecientes de enteros no negativos que son cada una contadora de la otra.
Los resultados anteriores tienen una demostración visual sin palabras, debida a Dijkstra.
Si busca, el lector encontrará representadas en la figura adjunta las 4 secuencias que hemos usado como ejemplo:
y la secuencia
, de los números naturales.
Y, tras unos momentos de reflexión, verá que la posibilidad de construir una figura análoga para cualquier partición en dos de los naturales da una demostración de los hechos anteriormente expuestos.
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 8 de Octubre de 2009 | 9 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Números enteros
