Ramanujan, Nagell y la singularidad del 7

Los casos especiales han fascinado desde siempre a todos los que de una forma u otra han estado y están relacionados con las matemáticas. ¿Por qué cierta figura se sale de la normalidad cumpliendo alguna propiedad que no cumplen el resto de figuras de naturaleza similar? ¿O por qué tal o cual número es el único que tiene cierta característica que no tienen los demás números de su especie? Hoy hablamos sobre esto último, sobre números, y concretamente sobre una singularidad muy curiosa e interesante del número 7.
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Generalizando sobre sumas de cuadrados a partir de un cuadro ruso

En matemáticas es bien conocido el teorema de los cuatro cuadrados, que dice que todo número entero positivo puede expresarse como suma de los cuadrados de cuatro números enteros. La primera demostración conocida de este resultado se debe a Lagrange, y data de 1770, aunque después ha habido alguna mejora en dicha demostración, como la de Legendre en 1798 que fue terminada por Gauss, y algunas generalizaciones, como el teorema de los números poligonales de Fermat o una debida a Ramanujan.

El caso es que las sumas de cuadrados nos pueden dar más sorpresas aparte de la de este teorema, y una de ellas, de la que vamos a hablar hoy, tiene cierta relación con un cuadro de un artista ruso.
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Las tortitas de Gates

Bill GatesBill Gates es mundialmente conocido por, entre otras cosas, ser uno de los fundadores de Microsoft (y, por tanto, uno de los responsables de Windows) y por las donaciones millonarias que ha realizado a través de la Fundación Bill y Melinda Gates, que comparte con su esposa Melinda. Estas cuestiones y otras muchas de su vida relacionadas con la informática son de dominio público, y se puede encontrar información sobre ellas muy fácilmente a través de internet. Lo que posiblemente no sea muy conocido es su faceta investigadora en lo que se refiere a publicaciones científicas. Y es normal, ya que solamente hay una publicación de este tipo en la que Bill Gates aparezca como autor (coautor en este caso, junto con Christos H. Papadimitriou). Curiosamente, el contenido de dicho artículo tiene como temática central las matemáticas, y en esta entrada vamos a contar la historia del mismo. Matemáticas, tortitas y Bill Gates…ahhh, y Los Simpson, que parece que están en todos sitios. ¿Se puede pedir más?
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Cómo preparar el desayuno como un matemático

¿Quieres conocer una manera de preparar el desayuno que además de original es muy matemática? Pues compra un dónut, una rosquilla o un pan con esa forma y sigue la que nos propone George Hart en este vídeo:
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La intuición matemática de papá Keeler y la fórmula de Faulhaber

Seguro que la gran mayoría de vosotros sabréis quién es Ken Keeler, ¿verdad? Sí, Ken Keeler es…esto…es…¿quién es Ken Keeler?
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Títulos épicos de trabajos matemáticos

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En matemáticas, y en general supongo que en todos los campos, lo habitual es que el título de un trabajo sea descriptivo del contenido del mismo. Por ello, en la mayoría de las ocasiones los títulos de los papers matemáticos de alto nivel son “aburridos” en el sentido de que la búsqueda de la descripción del artículo a través de su título le resta originalidad al mismo. Nos hay más que darse una vuelta por arXiv para darse cuenta de ello.

Pero no siempre es así. También podemos encontrar artículos con títulos curiosos, extravagantes, raros… En lo que sigue vamos a ver algunos ejemplos.
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Cómo encontrar el número e en el triángulo de Pascal

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En el famosísimo triángulo de Pascal se puede encontrar de todo. Los números que aparecen en el triángulo corresponden a los números combinatorios, las sumas de las filas son las potencias de 2, podemos encontrar los términos de la sucesión de Fibonacci, los números triangulares… Como decía, de todo…

…bueno, de casi todo, tampoco vamos a exagerar. Por ejemplo, no conozco ninguna forma de encontrar el número \pi en el triángulo. Ahora, ¿y el número e? ¿Se os ocurre alguna forma de relacionar el triángulo de Pascal con el número e? Pues la hay, y además es bastante sencilla.

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Los reyes de la prueba de números de “Cifras y Letras”

Estoy seguro de que la mayoría conocéis el concurso Cifras y Letras, pero para quienes no lo conozcan explico su funcionamiento brevemente:

Dos concursantes se enfrentan a dos tipos de pruebas que se repiten varias veces durante el programa:

  • Cifras: se eligen al azar seis cantidades, que pueden ser 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 25, 50, 75 ó 100, y se escoge, también al azar, un número de tres cifras. El objetivo es conseguir dicho número utilizando las seis cantidades iniciales y las operaciones de sumas, resta, multiplicación y división, o, en su defecto, la mejor aproximación posible a tal número.
  • Letras: se eligen al azar nueve letras del abecedario y el objetivo de cada concursantes es formar con ellas la palabra más larga posible que aparezca en el diccionario de la RAE.

La prueba de letras tiene algún detalle más (los concursantes eligen alternativamente y dicen si quieren vocal o consonante, no valen los plurales ni los tiempos verbales excepto infinitivo, gerundio y participio, etc), pero como nos vamos a centrar en la de números tampoco nos importan demasiado ahora.

La cuestión es que la mayoría de las veces (al menos según mi propia experiencia) aparecen combinaciones de números que permiten encontrar el número exacto, aunque, evidentemente, no siempre tienen la misma dificultad. Los “fáciles” suelen encontrarlos la mayoría de los concursantes, pero hay algunos “difíciles” que se les suelen resistir. De todas formas, seguro que habéis visto a más de un concursante encontrar uno de esos “difíciles” de alguna forma bastante ocurrente, ¿verdad? Bien, pues seguro que no son nada comparables a las que os voy a mostrar aquí.
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Google dedica su doodle de hoy a Leonhard Euler

Google dedica hoy uno de sus famosos doodles a la figura de Leonhard Euler, justo 306 años después de su nacimiento.
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Cómo dividir un cuadrado en 50 triángulos semejantes

¿Recordáis la entrada sobre el problema 59, o cómo cuadrar un cuadrado? Sí, la entrada en la que se hablaba del problema 59 del Cuaderno Escocés, que trataba sobre dividir un cuadrado en una cierta cantidad de cuadrados todos ellos distintos.
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