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Curiosidades del número 252

En Gaussianos ya hemos visto alguna vez que ciertos números poseen cualidades, digamos, curiosas (por ejemplo el 142857 y el 153). Vamos a ver algunas del número $252$ que nos comenta merfat en Tres Decas y a contestar a alguna de sus preguntas:

Es un número palíndromo o capicúa
Escrito en una calculadora o en un reloj digital se lee igual si lo giramos 180º
Es el menor número que puede escribirse a la vez como suma de 3, de 7, de 8 y de 9 números naturales consecutivos:
$252=83+84+85$
$252=33+34+35+36+37+38+39$
$252=28+29+30+31+32+33+34+35$
$252=24+25+26+27+28+29+30+31+32$
Es suma de 6 números primos consecutivos:
$252=31+37+41+43+47+53$
Su cuadrado es también muy curioso:
$252 \cdot 252=63504=144 \cdot 441=12^2 \cdot 21^2$
En el post original merfat nos reta a que escribamos el $252$ como suma de 4 cuadrados de dos formas distintas. Vamos a expresarlo como suma de 4 cuadrados de varias formas más:
$252=1^2+7^2+9^2+11^2$
$252=2^2+4^2+6^2+14^2$
$252=2^2+2^2+10^2+12^2$
$252=1^2+1^2+9^2+13^2$
$252=1^2+1^2+5^2+15^2$
$252=4^2+6^2+10^2+10^2$
$252=6^2+6^2+6^2+12^2$

Así a bote pronto no se me ocurren más. Si tenéis alguna vosotros escribidla en un comentario.

Y dejo una de las preguntas de merfat para vosotros: ¿qué ángulo forman las manecillas del reloj cuando éste marca las 2:52?

Escrito por ^DiAmOnD^, 10 de Septiembre de 2007 en Curiosidades, Números enteros
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Cadaeic Cadenza

El usuario 2pir ha propuesto este artículo en Menéame. Si queréis menearlo entrad aquí: Cadaeic Cadenza en Menéame.

Este artículo me lo inspiró agcp26 en este comentario en el post Mnemotecnia y Pi.

No, no me he equivocado en el título. ¿Qué es el Cadaeic Cadenza? Para empezar vamos a ver una cosa curiosa:

Mediante la asociación A=1, B=2, C=3, D=4, E=5, F=6, G=7, H=8, I=9 obtenemos lo siguiente:

C A D A E I C
3 1 4 1 5 9 3

Poniendo una coma decimal después del primer 3 tenemos… $3,141593$ . Es decir, obtenemos el número $\pi$ redondeado a seis decimales. Curioso, ¿verdad? ¿Casualidad? Veremos más adelante que no.

Para la palabra cadenza he encontrado esta posible explicación: Cadenza en MSN Encarta.

(Sigue leyendo …)

Escrito por ^DiAmOnD^, 6 de Septiembre de 2007 en Curiosidades, Pi
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Pirámides de números primos

Os dejo tres pirámides de números primos que he visto en un post de Futility Closet que me ha enviado homero. En cada una de ellas todos los números son primos y cada uno se obtiene de añadir una cifra al anterior.

Primera pirámide

Partimos del 7 y añadimos números convenientes a la derecha:

7
73
739
7393
73939
739391
7393913
73939133

Segunda pirámide

Partimos del 7 y vamos añadiendo números convenientes a la izquierda:

7
37
137
9137
29137
629137
7629137
67629137
567629137
6567629137
16567629137
216567629137
6216567629137
46216567629137
646216567629137
2646216567629137
12646216567629137
312646216567629137
6312646216567629137
86312646216567629137
686312646216567629137
7686312646216567629137
57686312646216567629137
357686312646216567629137

Tercera pirámide

También en el mismo blog encuentro esta otra:

31
331
3331
33331
333331
3333331
33333331

Pero el siguiente no lo es, ya que 333333331 = 17 × 19607843.

Escrito por ^DiAmOnD^, 7 de Agosto de 2007 en Curiosidades, Números primos
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Funciones “extrañas”

El campo de las funciones es un tema muy estudiado en Matemáticas, tanto en Bachillerato como en Universidad. En general podemos decir que conocemos la manera de calcular sus máximos y sus mínimos, el crecimiento o decrecimiento de las mimas en un cierto intervalo, dónde son derivables y dónde no lo son y muchos otros detalles. En Bachillerato no se suele ahondar mucho en funciones raras, es decir, funciones que suelen salirse de la generalidad en el sentido del estudio de sus características. En la Universidad sí que se comienzan a ver funciones que se salen de los patrones marcados en épocas de estudio anteriores. En este post vamos a ver tres funciones bastante curiosas al tener propiedades poco comunes.

Función de Dirichlet

La función de Dirichlet es una función real de variable real que no es continua en ningún punto de la recta. Se define de la siguiente forma:

$\displaystyle f(x) = \begin{cases} 1,\mbox{ si }x\in\mathbb{Q} \\ 0,\mbox{ si }x\in\mathbb{R-Q}\end{cases}$

Otra forma de definir esta función es la siguiente:

$\displaystyle f(x)=\lim_{k\to\infty}\left(\lim_{j\to\infty}\left(\cos(k!\pi x)^{2j}\right)\right)$

Vamos a demostrar que esta función no es continua en ningún punto usando la caracterización de continuidad por sucesiones, que dice lo siguiente:

Sea $f:A\subseteq\mathbb{R}\Longrightarrow\mathbb{R}$ una función real de variable real y sea $a\in A$ . Entonces f es continua en a si $\forall x_n\subset A$ sucesión de elementos de A tal que $x_n \rightarrow a$ se tiene que $f(x_n) \rightarrow f(a)$

Por tanto f no es continua en a si $\exists x_n\subset A$ sucesión de elementos de A tal que $x_n \rightarrow a$ pero $f(x_n) \not\rightarrow f(a)$

Sea $a\in\mathbb{Q}$ . Por ser $\mathbb{R-Q}$ denso en $\mathbb{R}$ se tiene que existirá una sucesión $x_n\subset\mathbb{R-Q}$ tal que $x_n\rightarrow a$ . Y aquí está el problema: como $x_n\subset\mathbb{R-Q}$ se tiene que $f(x_n)=0,\forall n\in\mathbb{N}$ y como $a\in\mathbb{Q}$ se tiene que $f(a)=1$ . Por tanto $f(x) \not\rightarrow f(a)$ .

Al ser $\mathbb{Q}$ también denso en $\mathbb{R}$ la demostración para el caso $a\in\mathbb{R-Q}$ es análoga a la anterior. Por tanto f(x) no es continua en ningún punto.

En general, si en vez de tomar $\mathbb{Q}$ tomamos cualquier subconjunto $A\subset\mathbb{R}$ que sea denso en $\mathbb{R}$ tenemos una función que no es continua en ningún valor real.

Función popcorn

La función popcorn es una función real de variable real que es continua en los irracionales y discontinua en los racionales. Conocía la existencia de la misma pero no sabía que se denominaba así (¿alguien sabe por qué tiene ese nombre tan cinéfilo?). Se define de la siguiente forma:

$\displaystyle f(x)=\begin{cases} \cfrac{1}{q},\mbox{ si }x=\cfrac{p}{q}\in\mathbb{Q} \\ 0,\mbox{ si }x\in\mathbb{R-Q} \end{cases}$

Se asume que $\frac{p}{q}$ es irreducible y que $q>0$ .

La demostración de este hecho es sencilla: como $\displaystyle\lim_{x \to a}f(x)=0,\forall a\in\mathbb{R}$ (a ver quién nos cuenta con un poco de rigor por qué es así), se tiene que $\displaystyle\lim_{x \to a}f(x)=f(a)\Leftrightarrow a\in\mathbb{R-Q}$ , y por tanto que f(x) es continua en $x\in\mathbb{R-Q}$ y no es continua en $x\in\mathbb{Q}$ .

Función de Weierstrass

La función de Weierstrass es una función real de variable real que es continua en todos los números reales pero no es derivable en ninguno de ellos. Su expresión es la siguiente:

$\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x)$

con $0<a<1, b\in\mathbb{Z}\mbox{ impar y }ab > 1+\frac{3}{2} \pi$

La demostración de que es continua es todo punto es sencilla (otro ejercicio para vosotros). El tema de la no derivabilidad en ningún punto se complica algo más.

En su momento esta función fue muy importante ya que sirvió para que se dejara de creer que todas las funciones continuas eran derivables en todo punto excepto, a lo sumo, un conjunto de puntos aislados.

Conclusión

Como habéis podido ver con estos ejemplos nos podemos encontrar cualquier cosa en el estudio de las funciones. De todos modos estas tres seguro que no son las únicas. Por eso os pido que si tenéis conocimiento de alguna otra función concreta que sea famosa o interesante por alguna de las razones por las que éstas lo son lo comuniquéis mediante un comentario.

Fuentes:

Función de Dirichlet en la Wikipedia (Inglés)
Función Popcorn en la Wikipedia (Inglés)
Función de Weierstrass en la Wikipedia (Inglés)

Escrito por ^DiAmOnD^, 3 de Agosto de 2007 en Curiosidades, Cálculo
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La fórmula autorreferente de Tupper con Mathematica

Hace un tiempo os hablaba de la fórmula autorreferente de Tupper. En ese post os comentaba que había intentado representarla con Mathematica pero que no sabía cómo hacerlo. Hoy Xavi en un comentario nos deja este enlace donde podemos ver el código que hay que escribir en Mathematica para que nos la represente. Yo la he intentado representar pero no me sale nada. Dejo el código aquí escrito para ver si alguien la consigue representar y nos pasa una imagen:

k = 4858450636189713423582095962494202044581 4005879832445494830930850619347047088099 2845064476986552436484999724702491511911 0411605739177407856919754326571855442057 2104457358836818298237541396343382251994 5219165128434833290513119319995350241375 8765239264874613394906870130562295813219 4811136853395355652908500238750928568926 9455597428154638651073004910672305893358 6052544096664351265349363643957125565695 9368151843348576052669401612512669514215 5053955451915378545752575659074054015792 9001765967965480064427829131488548259914 721248506352686630476300; pp = 400; f[xx_,yy_]:=With[{x=SetPrecision[xx,600],y=SetPrecision[yy,600]},Floor[Mod[Floor[(y+k)/17]*2^(-17*Floor[x]-Mod[Floor[y+k],17]),2]]] cc=ContourPlot[1-f[x,y],{x,-1,107},{y,0,17},Contours->{0},PlotPoints->pp,Frame->True,AspectRatio->Automatic]

Quitadle los espacios a k. Y a ver si alguien me dice en qué me he equivocado, porque yo no veo el fallo.

Actualización: Gracias a jacityc, que nos avisa de un error en k, ya he podido representarla. El valor de k ya está modificado y el resultado es este:

Fórmula autorreferente de Tupper

Muy curioso el tema.

Escrito por ^DiAmOnD^, 3 de Julio de 2007 en Curiosidades
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La fórmula autorreferente de Tupper

Echémosle un vistazo a la siguiente inecuación:

Fórmula Autorreferente de Tupper

Los corchetes representan la función parte entera, es decir, la función que asigna a cada número real el número entero que hay justo antes de él. Y mod representa la función módulo, es decir, nos calcula el resto de la división entre el primer número (el enrevesado) y el segundo (en este caso 2). Es una inecuación extraña por los números que aparecen en ella y las funciones que se utilizan, pero en principio sin ninguna característica que la haga especial.

Tomemos ahora este pequeño número de 543 cifras:

n = 960939379918958884971672962127852754715004339660129306651505519 271702802395266424689642842174350718121267153782770623355993237 280874144307891325963941337723487857735749823926629715517173716 995165232890538221612403238855866184013235585136048828693337902 491454229288667081096184496091705183454067827731551705405381627 380967602565625016981482083418783163849115590225610003652351370 343874461848378737238198224849863465033159410054974700593138339 226497249461751545728366702369745461014655997933798537483143786
841806593422227898388722980000748404719

Y ahora dibujemos el conjunto (x,y), tomando x entre 0 y 105 y tomando y entre n y n+16, que cumplen la inecuación. Lo que obtenemos es lo siguiente:

Representación Gráfica de la fórmula autorreferente de Tupper

Es decir: la representación gráfica de los puntos que cumplen la ecuación estre esos valores es la propia inecuación. Esto sí que es curioso.

El hecho de que la representación gráfica de la fórmula en esas condiciones sea la propia fórmula hace que se la denomine fórmula autorreferente de Tupper (bueno, lo de Tupper es por Jeff Tupper, su descubridor).

En este enlace podéis ver la representación gráfica de la fórmula implementada en JavaScript. Yo he intentado dibujarla con el Mathematica pero no he podido, no sé exactamente cómo decirle que me dibuje un dicerto conjunto de puntos del plano. A ver si alguien sabe cómo hacerlo y nos lo comenta.

Fuentes:

Escrito por ^DiAmOnD^, 5 de Marzo de 2007 en Curiosidades
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Fracción egipcia

Se denomina fracción egipcia a la expresión de un número racional como suma de fracciones unitarias distintas, es decir, de fracciones de numerador 1 y cuyos denominadores sean enteros positivos distintos.

Se puede demostrar que cualquier número racional positivo puede escribirse como fracción egipcia. Esta demostración está relacionada con la divergencia de la serie armónica.

Vamos a ver un algoritmo mediante el cual podemos representar cualquier número racional R entre 0 y 1 como fracción egipcia. Supongamos que tenemos una fracción así:

Fracción R

El algoritmo consiste en lo siguiente:

1.- Encontrar la fracción unitaria más cercana a R pero menor que él. El numerador será siempre 1 y el denominador será el cociente de la división de b entre a más 1. Si en alguna de esas divisiones no hay resto R es que hemos llegado a una fracción unitaria y por tanto hemos terminado.
2.- Calcular la resta R menos esa fracción unitaria y aplicar de nuevo el paso 1 utilizando la diferencia entre las dos fracciones como el nuevo R.

Vamos a ver un ejemplo:

$Ejemplo de fracción egipcia$

La representación de un número racional entre 0 y 1 no es única. De hecho, por ejemplo, esta misma fracción se puede representar de una manera más sencilla:

Fracción más sencilla

Otro ejemplo de esta falta de unicidad es el siguiente:

- Mediante este método obtenemos

Otro ejemplo con el método

- Pero de otras formas podemos obtener una expresión más sencilla de esta fracción

El otro ejemplo más sencillo

Las fracciones unitarias ya aparecían en el Papiro de Rhind. Por ello se le denominan fracciones egipcias.

Y para terminar un reto: encontrar una fracción con una expresión sencilla como suma de fracciones unitarias pero que tenga una expresión ciertamente complicada con el método que hemos expuesto. Esto es, un ejemplo del estilo al último que hemos puesto.

Fuentes:

Escrito por ^DiAmOnD^, 26 de Febrero de 2007 en Curiosidades, Números enteros
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El teorema de Danica McKellar

Danica McKellar…¿quién es esa chica? A ver si con una foto la recordáis:

Danica McKellar

¡¡Exacto!! Es Winnie, de la serie Aquellos Maravillosos Años. Sí, la amiga/novia de Kevin (Fred Savage en la vida real). En la IMDB podéis encontrar más información sobre ella. Y en Stuff Magazine podéis recrearos algo más.

Sí, todo eso está muy bien, pero ¿qué hace Danica en Gaussianos? Pues muy sencillo: la señorita Danica McKellar es coautora de la demostración de un teorema matemático. Aquí tenéis un pdf con el teorema y su demostración: Percolation and Gibbs states multiplicity for ferromagnetic Ashkin–Teller models on Z². Siento no poder dar más información sobre el tema ya que por desgracia se sale de mis conocimientos.

En su web personal podéis encontrar, además de su filmografía, fotos, etc., una sección dedicada a su relación con las Matemáticas. En ella podéis ver que se graduó en la Univerdad de UCLA, que participó como coautora en la demostración de ese teorema sin ni siquiera haber terminado sus estudios y además algunas respuestas a problemas sobre Matemáticas que ha recibido. Entre ellas, por cierto, podemos encontrar algunas que ya hemos contestado nosotros, como la del post Camarero…¿dónde está el dinero? o la del post 0′999…=1.

Y otra curiosidad: Danica McKellar tiene número de Erdös-Bacon¹ igual a 6. Por tanto debe tener un número de Erdös bastante bajo.

Para que luego algunos digan que no hay chicas guapas relacionadas con las Matemáticas.

¹: El número de Erdös-Bacon es la suma del número de Erdös que explicamos hace un tiempo aquí y el número de Bacon, que está relacionado con el actor Kevin Bacon y se calcula de forma equivalente al anterior: 1 si has trabajado con él en una película, 2 si has trabajado en una película con alguien ue ha trabajado con él en otra, y así sucesivamente.

Escrito por ^DiAmOnD^, 24 de Enero de 2007 en Curiosidades, Teoremas
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¿Sabía que…

…si P es una pizza de radio z y grosor a, entonces su volumen viene dado por la fórmula:

pizza

¿Se entiende? Si no es así igual ayuda saber que el volumen de un cilindro (una pizza es un cilindro) de radio r y altura h es:

Volumen cilindro

Sustituyendo r por z y h por a nos queda el resultado comentado anteriormente.

Visto en Avalon

Escrito por ^DiAmOnD^, 22 de Enero de 2007 en Curiosidades, Geometría
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Premio Abel

Todos sabemos (o deberíamos) que las matemáticas no tienen premio nobel y que su equivalente es la medalla fields. Todo esto es correcto, aunque en Noruega existe un premio anual destinado a un matemático reconocido, que una vez quiso ser el equivalente a lo que sería el premio nobel de matemáticas.

El Premio Abel es un galardón anual otorgado por el Rey de Noruega a un matemático destacado. En concreto, el premio Abel se creó en honor al matemático noruego Niels Henrik Abel, en el año 2002, año del bicentenario del nacimiento de dicho matemático.

El premio lo otorga la Academina Noruega de las Ciencias y las Letras, aunque primero se hace una selección por un comité de cinco matemáticos de distintos países y tiene como remuneración económica 770.000 €, semejante a la que otorga un premio Nobel.

La historia de este premio es curiosa, ya que se propuso crear este premio en 1897 cuando Sophus Lie se enteró de que Alfred Nobel no tenía intención de crear un premio nobel para las matemáticas, pero el premio se quedo en el olvido cuando la Unión entre Suecia y Noruega se disolvió en 1905.

Así la idea del premio Abel resurgió en el año 2002, y el primer premiado fue Jean-Pierre Serre en el año 2003.

(Página oficial del premio Abel)

Escrito por Fran, 11 de Enero de 2007 en Curiosidades, Historia
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