Hace ya tiempo hablamos de una lista de tipos de números, en la cual se exponían un montón de tipos de números.
Hoy toca explicar uno que me he encontrado de casualidad en la wikipedia, el número de Dudeney.
Este es un número entero que es un cubo perfecto y, a su vez, la suma de los dígitos que componen dicho número da como resultado la raíz cúbica de dicho número. El nombre viene de Henry Dudeney, que observó la existencia de estos números en uno de sus rompecabezas.
En la siguiente tabla se muestran algunos, supongo que habrá más, de estos números:
Los números, esos fieles compañeros que nos acompañan en todos los momentos de nuestra vida. Conocemos muchos tipos de números, ya sea porque los usamos a diario o porque los hemos visto en algún documento libro (o, por qué no, en este blog): los naturales (0, 1, 2, 3,…), los enteros (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…), los racionales (todo número que puede ponerse en froma de fracción), los irracionales (todo número que no puede ponerse en forma de fracción), los reales (el conjunto de todos los anteriores), los complejos…
Pero podemos calificar a los números de muchas otras maneras. Hay muchas propiedades de los números que hacen que cuando alguno las cumple se le denomine de cierta forma. En este post vamos a ver unas cuantas:
Número primo: todo número natural mayor que 1 que cumple que sus únicos divisores son el 1 y el propio número. Ejemplos: 2, 3, 5,… Éste es el más grande que se conoce.
Número compuesto: todo número natural mayor que 1 que no es primo. Ejemplos: 4, 6, 10, …
Número primo probable: todo número del cual no se sabe si es primo o no pero que verifica alguna condición que verifican todos los números primos
Número pseudoprimo: todo primo probable que acaba siendo compuesto.
Número perfecto: todo número natural que es igual a la suma de sus divisores propios (es decir, todos sus divisores excepto el propio número). Por ejemplo, 6 es un número perfecto ya que sus divisores propios son 1, 2, y 3 y se cumple que 1+2+3=6. Los números 28, 496 y 8128 también son perfectos.
Número semiperfecto: todo número natural que cumple que es igual a la suma de algunos de sus divisores propios. Por ejemplo, 18 es semiperfecto ya que sus divisores son 1, 2, 3, 6, 9 y se cumple que 3+6+9=18.
En las matemáticas no todos los problemas están resueltos, como hemos comentado en Gaussianos más de una vez. De hecho hay unos problemas ya hablé hace tiempo sobre los problemas de Hilbert, 23 problemas que propusó David Hilbert en el congreso internacional de matemáticos de 1900 para ser resueltos en el siglo XX y ser influyentes en las matemáticas de ese siglo.
Si bien de esos 23 problemas, se resolvieron la mayoría en ese siglo, todavía quedan otros problemas que han ido surgiendo y que por su complejidad siguen sin ser resueltos, a estos problemas se les llamó los problemas del milenio.
Estos problemas en principio eran ocho, pero Andrew Wiles se adelantó resolviendo antes del fin del siglo XX el último teorema de fermat. Así los problemas del milenio al final sólo fueron siete, y se hicieron bastante famosos cuando el instituto Clay anunció que recompensaría con un millón de doláres por problema resuelto.
Los siete problemas del milenio son:
P vs NP
La conjetura de Hodge
La conjetura de Poincaré: Este problema lo explicamos en Gaussianos. (Explicación)
La hipótesis de Riemann
Existencia de Yang-Mills y del salto de masa
Las ecuaciones de Navier-Stokes: Parece ser que hay grandes avances. (Información)
La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer
Hace poco, este año, se resolvió uno de ellos, concretamente la conjetura de Poincaré. Este problema fue resuelto por Grigori Perelman, además como consecuencia de esto se le otorgó la medalla fields y el millón de doláres correspondiente, pero Perelman se negó a aceptarlos.
Quizá más adelante me atreva (o nos atrevamos) a explicar un poco cada uno de los seis problemas que quedan por explicar.
Un cuadrado mágico se obtiene colocando una serie de números naturales en una matriz cuadrada de tal forma que todas las filas, todas las columnas y las diagonales sumen el mismo número: la constante mágica. Generalmente suelen colocarse los números entre 1 y n2, siendo n el número de filas y columnas del cuadrado. A este número n se le denomina orden del cuadrado mágico.
Formando un cuadrado mágico de orden n de esta forma la suma de cada fila, cada columna y cada diagonal es:
Una pregunta bastante lógica en ese punto es: ¿cuántos cuadrados mágicos de cada orden se pueden formar? Muy sencillo: de orden 3 hay esencialmente sólo 1 cuadrado mágico (los demás que podríamos formar surgen de rotar o reflejar este), que es:
Para los de orden 4 Frenicle De Bessy estableció en 1693 que existen 880 cuadrados mágicos. Más adelante se ha demostrado que existen 275305224 cuadrados mágicos de orden 5. Para órdenes más grandes sólo se tienen estimaciones.
Para órdenes más pequeños es bastante sencillo: para orden uno sólo existe un cuadrado mágico: el formado únicamente por el número 1. Y para orden 2 no existe ningún cuadrado mágico (os dejo propuesta la demostración de este hecho; si a alguien no le sale que mire en el enlace de la Wikipedia al final del post).
Todos alguna vez de pequeño habremos contado con nuestros dedos, o incluso sumado números con ellos. Esto es un gran incoveniente ya que con los dedos puedes sumar hasta diez, y sumar hasta diez no te vale para nada.
Pero si cambiamos la manera de contar podremos contar con los dedos de las manos hasta 1023, todo gracias al magnífico sistema binario.
En esta imagen vemos como es posible contar en binario con los dedos, e incluso en tono humorístico dicen que si usaramos los dedos de los pies llegaríamos a la increíble cifra de 1.048.575 (un millón cuarenta y ocho mil quinientos setenta y cinco).
Lo que hoy os voy a contar es una paradoja (por llamarlo de alguna manera), que se da en las redes informáticas.
Una de las formas más comunes para transportar datos es usar medios de almacenamiento como cintas magnéticas, DVDs, … Estos medios, obviamente, se transportan físicamente, es decir, con camiones/aviones/barcos. Y aunque este método de transporte de datos parece anticuado respecto a las redes actuales con frecuencia es rentable, como para apliaciones con anchos de banda enormes o en el que el coste por bit transportado es un factor clave.
Y es que esto se demuestra con un cálculo sencillo:
Una cinta magnética estándar puede contener 200 Gigabits de información.
Una caja de 60×60x60 cm, puede contener aproximadamente 1000 cintas. Teniendo así cada caja, una capacidad total de 200 Terabytes, o 1600 Terabits.
Una caja de cintas puede enviarse a cualquier parte de EEUU en 24 horas por FedEx.
Con estos datos tenemos que el ancho de banda de esta transmisión es de 1600 Terabits/86400 seg, o lo que es lo mismo 19 Gigabits/seg. Si el destino estuviera a una hora el ancho de banda se incrementa a casi 400 Gigabits/seg. A este ancho de banda no llega ninguna red todavía, que yo sepa, aunque como es obvio la velocidad de las redes aumenta, pero también la de las cintas y discos duros, y la de los transportes.
Y con el coste ocurre igual:
Una cinta magnética cuesta aproxidamente 40$ (comprada al mayorista) y se puede usar 10 veces.
Cada caja cuesta, entonces, 4000$ por uso.
El envío cuesta 1000$, seguramente menos.
Y conseguimos un coste de 5000$ por 200 TB, o lo que es igual a 3 centavos por cada Gigabyte.
(Sacado del libro Redes de computadoras) (Los datos pueden estar desfasados, ya que mi edición del libro es del 2003)
Y antes de nada: Por favor niños no intentéis hacer esto en casa ni en ningún sitio.
En el vídeo aparecen dos cosas a mí juicio muy graves:
El concursante pide el comodín del público para una pregunta trivial.
El 56% del público contesta el Sol, ¿a quiénes llevan de espectadores al 50×15? Viendo esto uno no se puede fiar ya del público invitado.
Por cierto, si a Galileo le quemaron por decir lo que era y es correcto, a este tío y al 56% (bueno y al 2% que ha contestado Marte) del público asistente ¿qué habría que hacerles? Creo que Galileo se revolvió en su tumba.
Un día llegáis a clase algo tarde. Os sentáis y al mirar a la pizarra veis un par de ecuaciones escritas en ella. Como es normal suponéis que es trabajo mandado por el profesor y las apuntáis para trabajar en ellas al acabar las clases. Llegáis a casa y os ponéis con la tarea. Notáis que la dificultad de los ejercicios propuesto es algo mayor de lo habitual, pero eso no os echa para atrás y después de unos días conseguís terminar el trabajo. Al día siguiente de acabarlo se lo entregáis al profesor.
Días después recibís una llamada del mismo en la que os dice: ¿te das cuenta de lo que has hecho con tu trabajo?. Respondéis: vaya, realicé mal la tarea, ¿verdad?. Y vuestro profesor os dice: nada de eso. Has resuelto dos ecuaciones de las que todavía no se conocía la solución.
Es una historia de leyenda, algo soñado por, probablemente, todos los estudiantes de alguna carrera de ciencias. ¿Quién no ha deseado alguna vez resolver un problema que no tenía solución hasta ese momento?. Grandes genios como Andrew Wiles con el último teorema de Fermat o Grigori Perelman con la conjetura de Poincaré lo consiguieron. Pero la historia que os he planteado tiene un matiz que la hace distinta a estos dos casos: vosotros ni siquiera sabíais de antemano que esas ecuaciones no tenían solución. Matiz que le da más importancia si cabe al asunto.
Pues esta historia que tiene toda la pinta de leyenda ocurrió en realidad. Comencemos a poner nombres y apellidos a los protagonistas:
George Bernard Dantzig fue un matemático ruso considerado como el padre de la programación lineal. Entre sus trabajos podemos destacar el desarrollo del método simplex para resolución de problemas de esta rama de las Matemáticas.
Un día Dantzig llegó tarde a una clase del profesor Jerzy Neyman (quien haya tenido contacto con test de hipótesis de Estadística en la Universidad probablemente lo conozca por el lema de Neyman-Pearson). Al sentarse vio dos problemas escritos en la pizarra y consideró que eran trabajo para casa. Según las propias palabras de Dantzig “le parecieron ser un poco más difíciles de lo normal”, pero de todas formas días después consiguió las soluciones completas de los mismos. Seis semanas después Dantzig recibió la inesperada visita de su profesor Neyman, el cual le comunicó su hallazgo: había resuelto dos problemas estadísticos que hasta ese momento carecían de solución. Además le informó de que había preparado la resolución de uno de los problemas para su publicación en una revista matemática. Años despues Abraham Wald fue informado de que las conclusiones a las que había llegado en un trabajo que iba a publicar eran las mismas a las que había llegado Dantzig al resolver el otro problema. Por esta razón Wald incluyó a Dantzig como coautor de ese trabajo.
Durante mucho tiempo esta historia tuvo la categoría de leyenda urbana. Al parecer la razón por la cual se creía falsa fue la aparición de una exageración de la misma en un libro sobre pensamiento positivo. Por suerte Dantzig vivió lo suficiente (falleció en 2005) como para poder aclarar que la historia era verdadera.
Como podéis ver ningún problema es imposible. Solamente hay que creerse capaz. A Dantzig le ayudó no saber que esos problemas permanecían sin solución, y probablemente no los hubiera resuelto de haber conocido ese hecho. En todo caso historias como estas nos hacen ver lo que acabo de decir: si nos creemos capaces de resolver una situación tendremos más posibilidades de conseguirlo.
Y para terminar una curiosidad. No conozco a nadie que haya resuelto un problema en las condiciones de Dantzig, pero sí sé que en mi Facultad se demostró algún que otro resultado que hasta ese momento no tenía demostración (una pena no saber qué teoremas fueron ni quiénes lo consiguieron). ¿Conoceís vosotros a alguien que haya conseguido resolver algo parecido?. Contadnos.
Seguramente todos los que nos leeis, habéis jugado con LEGO alguna vez y habéis hecho diferentes figuras/esculturas con las piezas, es más hay gente que trata al LEGO como una forma de arte. (Es cierto hay mucho friki suelto)
Pero y parafraseando a mí querido Homer Simpson:
Siempre habrá alguién que haga cualquier cosa mejor que tú.
Y bajo este lema tenemos a Andrew Lipson, un hombre que mezcla las matemáticas y las figuras de LEGO de una forma brillante, creando unas esculturas que a nadie en su sano juicio se le ocurrirían. Están desde la cinta de Moëbius hasta una botella de Klein, hay muchas de ellas que no conozco al no ser experto en la materia.
Sin más dilación os muestro una escultura, concretamente la cinta de Moëbius:
El Triángulo de Pascal (también conocido como triángulo de Tartaglia) es un triángulo formado por números enteros que es bien conocido por gran cantidad de gente al aparecer en los libros de texto desde secundaria en adelante. De todas formas vamos a ver cómo se construye:
Construcción del Triángulo de Pascal
Colocamos un 1 en el vértice superior del triángulo. Despues, en la fila inferior, colocamos un 1 a la derecha y un 1 a la izquierda del 1 de arriba. En la inferior colocamos un 1 a cada extremo y entre los dos unos colocamos un 2 (1 + 1). En la inferior un 1 en cada extremo y en medio un 3 entre el 1 y el 2 (1 + 2) y otro 3 entre el 2 y el 1 (2 + 1). Y así sucesivamente: en los extremos un 1 a cada lado y en las posiciones intermedias colocamos la suma de los números de arriba. Queda una cosa así:
Su aplicación más importante es la siguiente: cada fila del triángulo representa los coeficientes de los monomios que aparecen en el desarrollo del binomio (a + b)n (tomando el 1 de arriba como la potencia n = 0), o lo que es lo mismo, los coeficientes que aparecen en el binomio de Newton coinciden con los elementos que aparecen en cada fila del triángulo de Pascal. Una propiedad realmente interesante. En la Wikipedia podéis ver más información.
Pero en el título del post aparece también la sucesión de Fibonacci, que ya se nombró en este post sobre el número de Oro. Este número y la sucesión de Fibonacci están íntimamente relacionados, ya que es el límite de la sucesión formada por los cocientes de cada elemento de la sucesión y el inmediatamente anterior.
Construcción de la sucesión de Fibonacci
La sucesión de Fibonacci se construye de la siguiente forma:
Es decir, su primer elemento es el 0, el siguiente el 1, y de ahí en adelante cada elemento es la suma de los dos anteriores. Por tanto los primeros elementos son:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…
También en la Wikipedia podéis ampliar información sobre esta sucesión: propiedades de ella misma y del número de Oro, situaciones del arte y la naturaleza donde aparece…
Relación entre ellos
Y bueno, en principio estos dos objetos matemáticos no tienen demasiada relación. Pero en realidad sí la tienen. Tanto la sucesión de Fibonacci como el número de Oro aparecen en multitud de lugares, tanto matemáticos como reales. Y el triángulo de Pascal no iba a ser una excepción. ¿Cómo encontrar los elementos de la sucesión de Fibonacci en el triángulo de Pascal?. Pues de esta forma:
Realmente sorprendente cómo dos cosas que en principio no tienen mucha relación pueden converger de esta manera.
Y para terminar os dejo algunas de las propiedades que tiene el triángulo de Pascal:
Si sumamos los elementos de cada fila obtenemos las potencias de 2: 1, 2, 4, 8, 16,…
Si tomamos cada fila como un número obtenemos los múltiplos de 11: 1, 11, 121, 1331, 14641,…
Si sumamos dos elementos consecutivos de la diagonal 1-3-6-10-15-… obtenemos un cuadrado perfecto: 1, 4, 9, 16, 25,…
Si en una fila el primer número después del 1 es un número primo se cumple que todos los demás números son divisibles por ese número primo (excluyendo los 1 claro está). Por ejemplo, en la fila 1-7-21-35-35-21-7-1 el primer número después del 1 es el 7, que es primo. Si nos fijamos en el resto de número, 35, 21 y 7, todos son divisibles por 7.
(La imagen anterior y esta información ha sido sacada de aquí)
