Este artículo es mi aportación a la segunda edición del Carnaval de matemáticas organizada por Juan Pablo.
Introducción
El mundo de las curvas es un mundo realmente interesante. Podemos encontrarnos formas de muchos tipos, desde las más conocidas comoun segmento (sí, aunque a mucho les sorprenda un segmento es una curva en el sentido matemático del concepto) o una porción de circunferencia, hasta algunas la hipopede de Eudoxo o la cuadratriz.
Siento este mundo de las curvas tan extenso podemos encontrar muchas con características muy interesante. La cicloide es, sin lugar a dudas, una de ellas. Tiene unas propiedades muy curiosas que al ser vistas chocan con nuestra propia intuición. Esta curva va a ser la protagonista de este artículo.
¿Qué es la cicloide?
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 8 de Marzo de 2010 | 15 Comentarios
Categorías: Curvas famosas
Este artículo es una colaboración enviada por fede a nuestro mail gaussianos (arroba) gmail (punto) com.
Introducción
La cuadratriz es una curva descubierta por los antiguos matemáticos griegos que resuelve dos de los problemas famosos de la época: la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo. No sabemos quienes descubrieron sus propiedades, pero autores antiguos la asocian con Dinóstrato, Nicomedes e Hipias.
En el libro IV de la ‘Colección Matemática’ de Pappus de Alejandría nos ha llegado una demostración de la propiedad de la cuadratriz que permite cuadrar el círculo, que presentamos aquí.
Usamos la notación 
para expresar ‘
es a 
como 
es a 
’, en lugar de la notación de igualdad de fracciones, para intentar acercarnos a los conceptos de las antiguas matemáticas griegas.
Generación de la cuadratriz
Supongamos inscrito en el cuadrado 
un arco de circunferencia 
con centro . Sea un punto que parte de y se desplaza por el arco a velocidad uniforme. Sea 
un punto que parte de en el mismo momento que y se desplaza por el segmento 
a velocidad uniforme y de forma que el tiempo en que recorre es el mismo que el tiempo en que recorre el arco . Entonces, en cada instante, la longitud del segmento 
es a la longitud del segmento como la longitud del arco 
es a la longitud del arco , lo que expresamos con la notación 
. El punto 
, en que se cortan la perpendicular a 
por y la recta 
, describe la curva llamada cuadratriz.
Como con regla y compás podemos bisecar ángulos y obtener el punto medio de segmentos, podemos obtener con regla y compás puntos de la cuadratriz tan cercanos entre sí como queramos.
La división del ángulo
La cuadratriz permite inmediatamente dividir un ángulo en la misma proporción que un segmento y viceversa, es decir, reduce el problema de la división de un ángulo al de la división de un segmento. Se presume que éste fue el uso para el que se inventó en primer lugar la cuadratriz.
Si queremos dividir un ángulo 
según una razón dada 
, obtenemos el punto de intersección del ángulo con la cuadratriz, y a continuación el punto con 
perpendicular a . Obtenemos en 
un punto 
de forma que 
(Elementos VI.9) y a continuación el punto 
, intersección de la cuadratriz con la perpendicular a por . Por último obtenemos el punto 
, interseccion de 
con el arco .
Como por la definición de la cuadratriz y 
, resulta que 
, y hemos dividido el ángulo en la razón requerida.
La cuadratura del círculo
Si primero se concibió la cuadratriz para dividir ángulos, quizá fue una sorpresa descubrir que también resolvía el problema de la cuadratura del círculo. Para ello no hace falta la cuadratriz, sino solo el punto 
de intersección de la cuadratriz con la base 
. Ese punto no se produce como intersección de las rectas y 
en la primera figura, porque esas rectas coinciden cuando llegan a , y por tanto tenemos que definirlo como el punto límite al que tienden los puntos de la cuadratriz cuando y se acercan a .
La propiedad del punto que permite rectificar la circunferencia y cuadrar el círculo es que 
, o, dicho en palabras, la longitud del arco es a la longitud del segmento como la longitud del segmento es a la longitud del segmento 
.
Ello implica que si 
es la intersección de la paralela a 
que pasa por con la prolongación de , la longitud 
es igual a la longitud del arco (porque 
).
Entonces, puesto que el área de un sector circular es la mitad de la longitud del arco por el radio, si 
es el punto medio de , el área del sector circular 
es igual al área del rectángulo 
. Por tanto el área del círculo es 4 veces el área de ese rectángulo.
Y como podemos construir un cuadrado con área igual a un rectángulo dado (Elementos II.14), podemos cuadrar el círculo con regla y compás si nos dan el punto de la cuadratriz en el segmento .
Demostración
A continuación damos la demostración que da Pappus de la propiedad .
En existe un punto 
tal que 
.
Con centro y radio 
trazamos el arco de circunferencia 
. Entonces 
, porque las circunferencias son proporcionales a sus radios. Y como también 
, tenemos que es igual al arco .
Supongamos que el arco tiene un punto distinto de en la cuadratriz (figura de la izquierda). Por definición de la cuadratriz:
Como es igual a y es igual a , resulta que 
es igual a 
, lo que es absurdo. Por tanto
no tiene un punto en común con la cuadratriz, salvo quizá . Entonces no puede ser mayor que .
Supongamos ahora que la perpendicular a por tiene un punto distinto de en la cuadratriz (figura de la derecha).
Por definición de la cuadratriz, 
. Como es igual a y es igual a , resulta que 
es igual a 
, lo que es absurdo. Por tanto la perpendicular a por no tiene un punto en común con la cuadratriz, salvo quizá . Entonces no puede ser menor que .
Pero hemos visto que tampoco puede ser mayor, luego el punto es el punto , y entonces . como queríamos demostrar.
Obtener la ecuación de la cuadratriz en coordenadas polares y cartesianas no es difícil. A ver quién se atreve.
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 11 de Agosto de 2008 | 47 Comentarios
Categorías: Colaboraciones, Curvas famosas, Geometría
Inauguramos una nueva categoría en el blog llamada Curvas famosas con esta colaboración de fede enviada a gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Espero que os resulte interesante.
Eudoxo de Cnidos
Eudoxo de Cnidos fue un filósofo, astrónomo, matemático y médico griego, pupilo de Platón. Nada de su obra ha llegado a nuestros días; todas las referencias con las que contamos provienen de fuentes secundarias. Nació en Cnido, actualmente en Turquía, sobre el 400 a.C.
Sus aportaciones principales son la invención de la esfera astronómica y aportes para comprender el movimiento de los planetas (en astronomía) y su trabajo de la teoría de la proporción y cálculo de ciertos volúmenes mediante el método de exhaución creado por él mismo (en matemáticas). En este artículo vamos a hablar sobre una curva que él mismo introdujo: la hipopede.
La hipopede de Eudoxo
Supongamos una esfera con centro 
que gira alrededor de un eje 
. Sea un punto 
en esa esfera que gira y sea un punto de intersección de los círculos máximos perpendiculares a y 
. Si mientras gira la esfera un punto parte de y se mueve por el círculo máximo perpendicular a a la misma velocidad angular que la esfera y en sentido contrario, ese punto describe una curva con forma de 8 en el espacio.
Según cuenta Simplicio, comentarista de Aristóteles del siglo VI, e interpretó Schiaparelli, Eudoxo llamó hipopede a esa curva.
Si es el punto del espacio en que coinciden en su movimiento y , el ángulo 
es siempre igual al ángulo 
.
Schiaparelli observó que la hipopede es la intersección de la esfera con un cilindro tangente interiormente a la esfera en el punto y que también es la intersección de la esfera con un cono cuyo eje es tangente a la esfera por y paralelo a , y dio una demostración elemental de estos hechos, pero la prueba que sigue es más sencilla.
Suprimimos el giro de la esfera, pero dejamos que se siga moviendo por su círculo máximo (círculo 
de la figura), alejándose de . Si al mismo tiempo que sale de salen de dos puntos y 
moviéndose por el círculo máximo perpendicular a (círculo 
de la figura) en sentidos opuestos y a la misma velocidad angular que sobre su círculo, el plano en que están , y en cada instante será siempre paralelo al plano tangente a la esfera en .
Ese plano corta a la esfera en un círculo de diámetro 
y por tanto el ángulo 
es recto. Entonces el ángulo 
es complementario del ángulo 
. Si 
es perpendicular al plano , el ángulo 
también es complementario del ángulo , y entonces los ángulos y son iguales.
Pero el ángulo inscrito en el círculo de diámetro es la mitad del ángulo central para el mismo arco, que es el ángulo entre los planos y .
Por tanto el ángulo entre las rectas y 
es constante. Y como los triángulos , en sus diferentes posiciones, son semejantes, la razón 
es constante, donde es el pie de la perpendicular desde sobre .
Ahora, si hacemos girar la esfera alrededor del eje a la misma velocidad angular que el punto y en sentido contrario, el punto quedará fijo en el espacio en la posición que ocupaba y el punto describirá la hipopede. Como el ángulo entre y es constante, es generatriz de un cono con eje , y como es constante, el punto describe una curva que es el resultado de aplicar una homotecia con centro a la curva que describe el punto , es decir, describe un círculo. Y como la hipopede se proyecta sobre ese círculo, está en un cilindro.
Como corolario obtenemos que la curva intersección de un cilindro con un cono cuyo eje sea una generatriz del cilindro es una hipopede de Eudoxo y por tanto una curva esférica.
En la reconstrucción por Schiaparelli de la teoría astronómica de las esferas homocéntricas de Eudoxo, el movimiento del planeta sobre la hipopede que producen las dos esferas más interiores (de las 4 que usa para cada planeta) sirve para explicar las retrogradaciones planetarias, es decir los retrocesos transitorios que se observan en las trayectorias de los planetas vistos desde la Tierra moviéndose sobre el fondo de estrellas fijas.
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 28 de Abril de 2008 | 8 Comentarios
Categorías: Curvas famosas
