Independientemente de los conocimientos o de la capacidad de comprensión que uno pueda tener, en ocasiones las matemáticas pueden dejarte bastante sorprendido. Y no hay que irse a temáticas poco conocidas dentro de esta ciencia, o a un nivel de conocimientos tan alto que sólo sea alcanzable por unas pocas personas en el mundo. Resultados que nos sorprendan pueden encontrarse mucho más cerca y mucho más al alcance de todo. Hoy os traigo uno de ellos: el teorema clausura-complemento de Kuratowski.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 10 de January de 2012
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Categorías: Demostraciones, Teoremas, Topología
Hace unas semanas, en una de mis múltiples incursiones por las entrañas del internet matemático, me topé con un resultado geométrico del que no había oído hablar. Dicho teorema respondía al nombre de teorema de Van Aubel y su enunciado es cuanto menos sorprendente. Ahí va:
Teorema de Van Aubel: Dado un cuadrilátero cualquiera en un plano, a partir de cada lado dibujamos un cuadrado apoyado en él. Entonces los segmentos que unen los centros de cuadrados situados en lados opuestos tienen la misma longitud y además son perpendiculares.
El hecho de que el cuadrilátero inicial no tenga ningún tipo de restricción es uno de los detalles que otorgan a este resultado la capacidad de dejar con la boca abierta a cualquiera que no lo conozca. Aquí tenéis una imagen para que podáis visualizarlo:
No me negareis que es ciertamente sorprendente, al menos en primera instancia, ¿verdad? Pero podemos ir más lejos…
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 19 de December de 2011
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Categorías: Carnaval de matematicas, Demostraciones, Geometría, Teoremas
Pues eso, lo que dice el título. Una única imagen. Una demostración clara, concisa e irrefutable de la fórmula para calcular el área de un círculo a partir de la expresión de la longitud de su circunferencia. Ahí va:
Ha quedado claro, ¿a que sí?
La imagen corresponde a este pdf de la MAA, del cual tuve conocimiento gracias a @MathUpdate.
Bueno, por si no ha quedado suficientemente claro vamos a ponerle alguna palabra a esta demostración. Partimos de un círculo de radio 
, por lo que la longitud de la circunferencia exterior es 
. Para cada punto representamos círculos concéntricos dentro del círculo inicial, y después cortamos por un radio y abrimos el círculo hasta que la circunferencia exterior quede como una línea recta. Lo que nos queda es que nuestro círculo se ha convertido en un triángulo, del cual podemos calcular el área, que es 
.
Pero realizar este cálculo es sencillo. ¿Cuál es la base? Pues , la longitud de la circunferencia exterior inicial. ¿Cuál es la altura? Pues , el radio del círculo inicial. Por tanto tenemos que el área de ese triángulo, que es precisamente el área del círculo inicial, es
que es precisamente la fórmula que conocemos.
Bonita demostración, ¿verdad?
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 15 de December de 2011
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Categorías: Demostraciones
Hace ya un tiempo (más de cuatro años, casi nada) describí en el blog una construcción con regla y compás del heptadecágono, polígono regular de 17 lados. Podéis verla en este enlace.
Recuerdo que fue Gauss quien demostró, cuando tenía 19 años, que el heptadecágono era construible con regla y compás. Según sus propias palabras:
“Fue el día 29 de marzo de 1796, durante unas vacaciones en Brunswick, y la casualidad no tuvo la menor participación en ello ya que fue fruto de esforzadas meditaciones; en la mañana del citado día, antes de levantarme de la cama, tuve la suerte de ver con la mayor claridad toda esta correlación, de forma que en el mismo sitio e inmediatamente apliqué al heptadecágono la correspondiente confirmación numérica.”
Pero no fue él quien dio una construcción explícita del heptadecágono, sino Johannes Erchinger. Esta forma de construir el polígono regular de 17 lados fue la descrita en aquel post. Hoy os traigo la misma construcción, pero realizada con GeoGebra.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 12 de December de 2011
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Categorías: Aprenda como, Demostraciones, Geometría
Hace unos meses, concretamente en junio de este año 2011, el matemático español Carlos Beltrán recibió el Premio José Luis Rubio de Francia 2010, que entrega la RSME, por la resolución junto a Luis Miguel Pardo (su director de tesis) del problema 17 de la lista de Smale, de la que hablábamos el martes en este post.
Carlos Beltrán, Premio José Luis Rubio de Francia 2010
La noticia apareció en multitud de medios de comunicación, al menos en sus ediciones online (pueden encontrarse muchos de esos artículos de forma sencilla utilizando cualquier buscador). Y en ellas se explicaba muy por encima en qué consiste este problema 17 y qué había hecho Carlos en relación con él, pero, como es normal, no se profundizaba demasiado.
Por ello me puse en contacto con Carlos durante este verano, invitándole a colaborar con Gaussianos en este sentido. Lo que hice fue pedirle una colaboración en forma de artículo en el que nos explicara en qué consiste este problema 17 de la lista de Smale y qué es exactamente lo que habían conseguido Luis Miguel Pardo y él mismo. Y la verdad es que desde el primer momento mostró una muy buena predisposición a dicha colaboración. Aquí tenéis el artículo en cuestión.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 19 de October de 2011
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Categorías: Carnaval de matematicas, Demostraciones, Matemáticos, Noticias
ProofWiki es un compendio online de demostraciones matemáticas. El objetivo de este proyecto es recopilar la mayor cantidad de demostraciones matemáticas y agruparlas bajo los distintos temas a los que pertenecen para que puedan consultarse con mayor comodidad.
En ProofWiki podemos encontrar definiciones (poco más de 3000 hasta el momento de escribir este post) y demostraciones (casi 4000 en el momento en que se escribe esta entrada). Respecto a estas últimas, las hay correspondientes a una gran cantidad de temas: Análisis, Teoría de Números, Teoría de Conjuntos, Topología…
Por poner algunos ejemplos, podemos encontrar demostraciones del teorema del punto fijo de Banach, del pequeño teorema de Fermat, de la paradoja de Banach-Tarski (de la que hablamos por aquí hace ya un tiempo) o del teorema de Bayes. Bueno, y muchas más. Y al estar montado en un wiki, podemos crearnos una cuenta y participar en la elaboración de este catálogo de demostraciones. Si alguien se anima a ello estaría bien que nos lo contara en los comentarios.
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 8 de September de 2011
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Categorías: Demostraciones, Utilidades
Ya hemos visto en Gaussianos que las demostraciones visuales tienen una belleza especial, además de ser tremendamente descriptivas del resultado que se quiere demostrar.
Lo hemos visto con el teorema de Pitágoras, aquí y aquí, con las potencias de un binomio, con algunas sumas infinitas o con segmentos y rectas hace bien poco.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 17 de August de 2011
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Categorías: Curiosidades, Demostraciones, Geometría
La respuesta a la pregunta que aparece en el título de este post es bastante conocida, y por internet se puede encontrar gran cantidad de información al respecto. Muchos de nosotros sabemos que solamente existen cinco poliedros regulares (hablamos de poliedros convexos) y que las demostraciones de este hecho son tan sencillas como variadas.
En este blog ya apareció una en este comentario de nuestro lector Dani, en el post sobre la fórmula de Euler. Lo primero que vamos a hacer en este post es dar esta demostración, pero escrita de manera diferente intentando que se entienda lo mejor posible.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 16 de August de 2011
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Categorías: Demostraciones, Geometría
Pues eso, lo que dice el título. Una única imagen. Una demostración clara, concisa e irrefutable de que un segmento tiene tantos puntos como toda la recta real:
Nada que objetar, ¿verdad?
Imagen tomada de este hilo de mathoverflow, donde aparecen muchas más demostraciones sin palabras, algunas de ellas también muy interesantes.
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 11 de August de 2011
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Categorías: Demostraciones
Que 
es un número irracional (es decir, que no puede escribirse como una fracción donde el numerador y el denominador sean números enteros) es de sobra conocido por todos. De hecho existen muchas demostraciones de este resultado. Hay una muy conocida que utiliza reducción al absurdo y que es muy sencilla de comprender, y otra, quizás menos conocida, que utiliza descenso infinito. Las dos pueden consultarse en Dos demostraciones de la irracionalidad de raíz de 2.
Estas dos demostraciones son algebraicas: en ellas se utilizan propiedades de los conjuntos numéricos, números primos, factorización, divisibilidad…Lo que os traigo hoy es una demostración geométrica de la irracionalidad de que en cierto modo es equivalente a la que acabamos de citar que usa descenso infinito, pero que podría considerarse mucho más bella, por ser esencialmente geométrica, y más sencilla de comprender.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 2 de August de 2011
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Categorías: Demostraciones, Otras constantes, Teoremas
