La circunferencia de Conway
Nov20

La circunferencia de Conway

En muchas ocasiones hemos visto que la geometría en general, y la del triángulo en particular, nos puede proporcionar resultado preciosos a la par que inesperados. Éste es el caso del que os voy a mostrar en esta entrada, que además de ser una maravilla geométrica nos da la forma de construir la que en la actualidad se conoce como circunferencia de Conway.

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Qué dice exactamente el primer teorema de incompletitud de Gödel
Oct23

Qué dice exactamente el primer teorema de incompletitud de Gödel

Hace un tiempo, sobre todo a raíz de algunos textos que leí acerca de la “aplicación” de los teoremas de incompletitud de Gödel a temas con los que no tienen ninguna relación, volvió a mi cabeza la idea de hablar sobre estos teoremas en el blog. Para ello preferí intentar contar con la colaboración de algún especialista en el tema, y casi automáticamente vino a mi mente el nombre de Gustavo Piñeiro, matemático argentino, autor junto a Guillermo Martínez del libro Gödel para Todos (editado en 2009 en Argentina y en 2010 en España y que ya os recomendé para el día del libro en 2012) y responsable del blog El Topo Lógico, dedicado a la divulgación de la matemática.

Gustavo accedió gustosamente a mi sugerencia de colaboración, y hoy, por fin, se publica el texto que escribió sobre el primer teorema de incompletitud de Gödel para Gaussianos. Espero que os aclare todas vuestras dudas sobre ello. Y si no es así ya sabéis que tenéis los comentarios de este post para plantearlas.


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Demostración visual de la relación entre media aritmética y media geométrica
Oct02

Demostración visual de la relación entre media aritmética y media geométrica

Es bien sabido que la media aritmética de dos números positivos es siempre mayor o igual que la media geométrica de los mismos, es decir:

\sqrt{x y} \leq \cfrac{x+y}{2}

Una forma sencilla de demostrarlo consiste en partir de dicha desigualdad y realizarle transformaciones correctas a la misma con el objetivo de llegar a una expresión que sepamos con seguridad que es cierta. Después, por tanto, podemos recorrer el desarrollo obtenido en sentido inverso y tendríamos demostrada la desigualdad. Veámoslo en este caso:

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Demostrando “directamente” la no numerabilidad de los números trascendentes

Que el conjunto de los números trascendentes es un conjunto no numerable es un hecho bastante conocido, y hasta diría que sencillo de demostrar. De hecho, en este mismo blog ya hemos publicado alguna demostración del mismo, aunque dicha prueba es, por decirlo de alguna manera, “indirecta” (en realidad se demuestra que el conjunto de los números algebraicos sí es numerable, por lo que el de los trascendentes no puede serlo). Hoy vamos a ver una prueba “directa” de la no numerabilidad de los trascendentes.

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¿Existen polinomios que den valores primos para todo número natural?
Dic20

¿Existen polinomios que den valores primos para todo número natural?

El polinomio n^2+n+41 es ampliamente conocido por una curiosa propiedad que tiene: da como resultado números primos para todos los valores naturales de n desde 0 a 39. Es decir, 40 valores primos en 40 números naturales consecutivos, una interesante característica sobre todo teniendo en cuenta la “simpleza” del polinomio, tanto por sus coeficientes como por su bajo grado.

Evidentemente este polinomio, descubierto por Leonhard Euler, no es el único que cumple una propiedad parecida. Por ejemplo, el polinomio 2n^2+29 toma 29 valores primos distintos para n de 0 a 28, y 36n^2-810n+2753 da 45 valores primos distintos para n de 0 a 44. Y, en general, mediante interpolación podemos construir polinomios que den valores primos distintos para la cantidad finita de valores naturales consecutivos que queramos (aunque tanto el grado como los coeficientes del polinomio resultante serán, posiblemente, mucho más grandes que los que hemos mostrados aquí). En este post hablo un poco más sobre este tema.

Es más o menos natural hacerse ahora la pregunta que titula este artículo: ¿existen polinomios que den valores primos para todo número natural? En aquella entrada comentaba lo siguiente:

Y, por qué no, ¿habrá algún polinomio que dé siempre números primos? Pues no, no lo hay. Goldbach (sí, sí, el de la conjetura de Goldbach) demostró que con coeficientes enteros no es posible encontrar un polinomio que dé números primos para todo número natural, y más tarde Legendre demostró lo mismo para funciones algebraicas racionales. Lástima.

O sea, que la respuesta a la pregunta es no: no hay polinomios que den valores primos para todos los números naturales (excluyendo, evidentemente, los polinomios constantes que sean igual a un número primo). Ahora, ¿cómo podemos demostrarlo?

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Harald Andrés Helfgott nos habla sobre su demostración de la conjetura débil de Goldbach
Oct23

Harald Andrés Helfgott nos habla sobre su demostración de la conjetura débil de Goldbach

Hace unos meses conocíamos la noticia de la demostración de la conjetura débil de Goldbach por parte de Harald Andrés Helfgott, matemático peruano especialista en teoría de números que en la actualidad es investigador del Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS) de Francia. Aquí tenéis su CV en francés y aquí una versión más breve en inglés (ambos en formato pdf).

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