Marilyn vos Savant, nacida en 1946, debe ser una persona bastante interesante. No en vano posee el gran honor de figurar en el Libro Guinness de los Récords por ser la persona con el Cociente Intelectual (CI) más elevado del mundo, con 228. Es, entre otras cosas, columnista, escritora y dramaturga. Pertenece a Mensa y Prometheus, y está casada con Robert Jarvik, famoso por desarrollar el corazón artificial Jarvik-7. Da conferencias con cierta frecuencia y tiene un doctorado Honoris Causa por la Universidad de Nueva Jersey.
Como podéis intuir, lo que dio a Marilyn fama a nivel mundial fue el tema de su CI. No se conoce todos los días a alguien con semejante barbaridad de Cociente Intelectual, ¿verdad? El caso es que su inclusión en 1986 en el Libro Guinness por este hecho llevó a la revista Parade a publicar una selección de preguntas con respuestas de la propia Marilyn que terminó por convertirse en la columna semanal Ask Marilyn, donde resuelve problemas matemáticos y lógicos y responde a preguntas de temáticas diversas.
Y en esta columna es donde comienza nuestra historia de hoy.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 22 de December de 2011
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Categorías: Carnaval de matematicas, Curiosidades, Estadística, Historia
Mañana día 22 de diciembre por la mañana muchos españoles estarán pendientes, como todos los años, del Sorteo de la Lotería de Navidad. Muchos de nosotros (sí, me incluyo, por qué no) tenemos ciertas esperanzas de sacar un dinerillo en este sorteo, aunque matemáticamente no sea demasiado razonable. El porqué ya lo vimos la semana pasada en este post. La probabilidad de acertar el Gordo de la Lotería de Navidad este año es
(Fuente: Agencia EFE)
y, como decíamos también en ese post, la esperanza de este juego es 
, ya que se reparte el 70% de la recaudación en premios. Eso significa que por cada euro jugado esperamos recuperar 70 céntimos. Es decir, se espera perder el 30% de lo que hayamos jugado. Evidentemente algunos ganan mucho dinero y otros no ganan nada, algunos pierden más del 30% de lo que han jugado y otros menos, pero de media todos perderemos el 30% del dinero invertido en este sorteo.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 21 de December de 2011
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Categorías: Estadística
Estamos a punto de abandonar la primera mitad del mes de diciembre, lo que entre otras cosas significa que la Navidad está más cerca. Y en esta época todos los españoles, tanto lo que juegan habitualmente a juegos de azar como los que no, tienen marcado el 22 de diciembre en el calendario, ya que este día es cuando se celebra el Sorteo Extraordinario de Navidad de la Lotería Nacional en España.
Este año el Gordo es más suculento que el año pasado, pasando de 300000€ por décimo a 400000€. Este sustancial aumento muy posiblemente animará aún más la compra de lotería de Navidad, que seguro también aumentará debido a la crisis económica que azota a nuestro país por aquello de encomendarse en mayor medida a los juegos de azar cuando peor situación económica se tiene.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 14 de December de 2011
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Categorías: Estadística
Segunda pregunta estadística de hoy (ésta es la primera, publicada recién comenzado el día). Seguro que habéis visto esta imagen en los últimos días:
En ella aparece un boleto de Euromillón, perteneciente a un portugués, en el que se aprecia que se quedó a una unidad de todos los números de la combinación ganadora.
La cuestión es bien sencilla: ¿cuál es la probabilidad de que eso ocurra? El profesor Letona, director de la Escuela de Pensamiento Matemático “Miguel de Guzmán”, piensa que es incluso menor que la de acertar la combinación ganadora. ¿Estás de acuerdo? Espero tu opinión en los comentarios.
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 29 de October de 2011
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Categorías: Estadística
Seguro que ya la habéis visto, ¿verdad? Yo la vi ayer, aunque parece que lleva una semana y algo online. Me refiero a una imagen con una autorreferente pregunta sobre Estadística que seguro ya ha dado unas cuantas vueltas a internet.
No sabía si publicarla aquí, dado que ya se ha difundido mucho, pero creo que puede ser interesante la conversación que se genere en los comentarios. Por ello os la dejo hoy sábado en este post. Ahí va (yo la he sacado de FlowingData):
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 29 de October de 2011
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Categorías: Estadística
El lunes pasado me acerqué a una administración de loterías a validar mi apuesta semanal del Euromillón y me encontré con que esta misma semana entraban en vigor algunos cambios en este sorteo. Recordé entonces este post de Microsiervos que leí el mes pasado sobre el tema. Pero antes de hablar de ellos comento rápidamente cómo funcionaba el Euromillón hasta la semana pasada:
Para validar una apuesta del Euromillón se tenían que elegir cinco números del 1 al 50 y después dos números del 1 al 9 (llamados estrellas). Se conseguía premio si se acertaban 5+2 (los cinco números y las dos estrellas), 5+1, 5+0, 4+2, 4+1, 4+0, 3+2, 3+1, 3+0, 2+2, 1+2 ó 2+1.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 13 de May de 2011
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Categorías: Curiosidades, Estadística
Pues…vamos a ser claros desde el principio…la probabilidad de que te toque el gordo de la Lotería de Navidad es bastante baja, eso no lo duda nadie. Aunque para ser justos hay que reconocer que este sorteo no es ni mucho menos el peor en lo que a probabilidad de acierto se refiere.
En el resto del artículo daremos algunos datos del sorteo de la Lotería de Navidad, con los que calcularemos algunas probabilidades. Además, comentaremos qué es, a grandes rasgos, la esperanza matemática.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 17 de December de 2010
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Categorías: Estadística
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Introducción
Comenzamos la semana con un tema bastante curioso que vamos a introducir mediante un juego. Supongamos que tenemos a nuestra disposición los siguientes dados:
El juego en cuestión consiste en lo siguiente:
Vosotros tomáis uno de los tres dados y después yo tomo uno de los dos que quedan. A continuación tiráis vuestro dado y yo el mío. Gana la tirada quien saque mayor puntuación.
Juego sencillo y además elegís primero. La pregunta es:
¿Qué dado escogeríais para tener mayor probabilidad de ganar el juego a la larga, es decir, después de un número grande de tiradas?
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 30 de November de 2009
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Categorías: Curiosidades, Estadística
Probablemente muchos de vosotros conoceréis la llamada paradoja del cumpleaños, pero para quienes no la conozcan la voy a explicar:
Introducción: enunciado de la paradoja
Imaginad que en un cierto momento estáis con un grupo de personas, por ejemplo en una reunión familiar o en un bar, cualquier grupo aleatorio de personas valdría. Digamos que hay 25 personas. Os planteo la siguiente cuestión: ¿cuál creéis que es la probabilidad de que en ese grupo de personas haya dos personas que cumplen los años el mismo día del mismo mes?? Quien no conozca este asunto probablemente responda algo como: No sé, pero seguro que muy pequeña. Al menos esa es básicamente la respuesta que yo me he encontrado siempre que he comentado el tema.
Pues la cosa es que ni mucho menos es pequeña. Vamos con lo que podríamos considerar el enunciado de la paradoja:
En una reunión de 23 personas escogidas aleatoriamente, la probabilidad de que dos de ellas cumplan los años el mismo día del mismo mes es de 
, es decir, hay un 
% de posibilidades de que haya dos personas que cumplan los años el mismo día del mismo mes.
Para las 25 personas de mi ejemplo la probabilidad es aproximadamente de 
, es decir, casi el 
%.
Básicamente lo que nos dice este resultado es que en una reunión de 23 o más personas es más sorprendente que no haya dos que coincidan en cumpleaños que el hecho de que sí las haya, algo que todo el mundo tiende a no creer en un primer momento.
Demostración matemática
El resultado no es una paradoja matemática, es algo comprobable (además fácilmente) matemáticamente. El calificativo de paradoja le viene por lo contrario que parece a la intuición.
Para calcular la probabilidad para cualquier número de personas 
(ya que si hay más de 
la probabilidad es 
) la idea es calcular la probabilidad de que no haya dos personas que cumplan los años el mismo día. A esa probabilidad la llamaremos 
. Después calculamos la probabilidad de que haya alguna realizando la operación 
. Calculemos (tomaremos el año con 365 días):
Tomamos una de las personas del grupo. Esa persona cumplirá los años un cierto día. Tomamos otra de las personas. La probabilidad de que esta nueva persona no coincida en cumpleaños con la primera es 
(casos favorables: todos los días del año excepto el del cumpleaños de la primera persona; casos posibles: todos los días del año). Si tomamos otra persona más, la probabilidad de que no coincida con ninguna de las anteriores es 
(por la misma razón que antes). Tomando otra más la probabilidad de que no coincida con ninguna de las anteriores es 
, y así sucesivamente. Al ser sucesos independientes, la probabilidad de que ocurran todos ellos (que nadie coincida) es el producto de todas esas probabilidades. Para 
personas nos queda la siguiente expresión:
Usando factoriales podemos excribir esa expresión así:
Si esta es la probabilidad de que no haya dos personas que coincidan en cumpleaños, la probabilidad de que al menos haya una pareja que sí coincida será . Es decir, la probabilidad de que en una reunión de personas haya dos que cumplen los años el mismo día y el mismo mes es:
Con 
obtenemos una probabilidad de 
. Con 
ya pasamos el 
%, exactamente obtenemos una probabilidad de 
. Con 
, el del ejemplo del principio, estamos ya en 
.
Y no os digo nada si aumentamos un poco más el número de personas del grupo. Os dejo unos cuantos resultados:
Para 
, la probabilidad es de 
, poco más del 
%.
Para 
, la probabilidad es de 
, poco más del 
%.
Para 
, la probabilidad es de 
, casi del 
%.
Para 
, la probabilidad es de 
, cerca del 
%.
Para 
, la probabilidad es de 
, más del 
%.
Para 
, la probabilidad es de 
, ¡¡más del 
%!!.
La cuestión es que generalmente cada persona tiende a imaginar la probabilidad de que, partiendo de una persona concreta, haya otra que coincida en cumpleaños con ella. La probabilidad de ésto es muy baja con 23 personas. La clave del tema es que hay multitud de posibles parejas que pueden formarse conforme vamos aumentando el número de personas del grupo. Por eso la probabilidad acaba siendo tan alta en un grupo tan pequeño.
Comprobación
Probablemente muchos de vosotros sigáis pensando algo así como eso es imposible, no puede ser tan alto. Si es así os invito a que realicéis vosotros mismos una comprobación experimental, es decir, que en un cierto momento en el que dispongáis de un grupo (lo más aleatorio posible) de unas 25/30 personas comencéis a preguntar fechas de cumpleaños. Eso mismo hice yo hace unos días en un bar donde mi Nadym y yo solemos ir mucho. En ese momento habría 30 personas en el bar. No sé ni por qué surgió el tema, pero al ver un grupo idóneo en número y aleatoriedad me puse a preguntar fechas de cumpleaños. La coincidencia se produjo al preguntar a la persona número 28. En ese momento, según la fórmula anterior, una probabilidad de 
de que así fuera, es decir, más del 
%. Por tanto no es tan raro, aunque casi todo el mundo que preguntó de qué iba el tema puso cara de sorpresa (excepto otro matemático que conocí en ese mismo momento, cosa curiosa).
Para terminar, una curiosidad de ese mismo día: hemos comentado antes que la probabilidad de que partiendo de una persona fija encontremos a otra que coincida exactamente con esa persona en fecha de cumpleaños es muy baja. Concretamente, para personas la probabilidad se calcula así:
Teniendo en cuenta que yo era quien comenzó el experimento, es razonable pensar que yo era en ese caso una persona destacada entre las demás. Es decir, que si podemos pensar en una persona fija en un experimento que estoy realizando yo sería normal pensar en mí mismo. Pues lo curioso fue que la coincidencia fue conmigo. Es decir, que la primera pareja de cumpleaños el mismo día que encontré fue la formada por una chica y yo. Encontrar una pareja no es nada sorprendente con 28 personas. Que la primera coincidencia se produjera conmigo sí que fue curioso por lo poco probable, exactamente 
, es decir, un 
%. Final curioso para un interesante experimento.
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 31 de January de 2008
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Categorías: Estadística
y 
obtenemos que esta función es la función de densidad de una variable aleatoria normal:
es una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media 
y desviación típica 
(suele escribirse también de la forma 
), entonces 
es una función de densidad debemos comprobar estas dos condiciones:
(por definición de desviación típica) y por ser la exponencial siempre positiva. La comprobación de la segunda condición consiste simplemente en el cálculo de esa integral impropia…¿Simplemente?
