Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.
Introducción
Las construcciones con regla y compás constituyen un mundo tremendamente interesante. La serie de cuatro artículos que publiqué hace un tiempo sobre ello
es un buen comienzo para darse cuenta de ello. ¿Quién podría pensar que hay tantas cosas que se pueden hacer sólo con una regla y un compás? Y ¿quién podría haberse imaginado que cosas tan simples como un polígono regular de 7 lados no puede construirse con regla y compás? Lo que os decía, un mundo enormemente atractivo sobre el que recomiendo investigar con tiempo y paciencia.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 19 de Julio de 2010 | 7 Comentarios
Categorías: Geometría
Hace unos días publicaba una entrada sobre el sorprendente poliedro de Császár. En ella, además de comentar las interesantes y curiosas propiedades de esta figura, os proporcionaba dos plantillas del poliedro junto con instrucciones para construirlo. Y sobre ello va este post.
Lo que os propongo es un reto: Construir el poliedro de Császár. Da igual si lo hacéis a partir de alguna de esas dos plantillas o a partir de cualquier otra que podáis encontrar, la cuestión es que os hagáis vuestro propio poliedro de Császár.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 31 de Mayo de 2010 | 17 Comentarios
Categorías: Geometría, Topología
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La Fórmula de Euler, maravilla matemática que vimos hace unos días, sólo es válida para poliedros convexos. En este artículo vamos a presentar el poliedro de Császár, una curiosa figura que nos va a servir como ejemplo de por qué los poliedros no convexos no cumplen la igualdad propuesta por Euler.
¿Qué es el poliedro de Császár?
El poliedro de Császár es un poliedro no convexo que no tiene diagonales (comparte esta propiedad con el tetraedro), es decir, cada uno de sus vértices está conectado con todos los demás por una arista. Podemos verlo en la siguiente imagen (tomada de MathWorld):
En este enlace de la Wikipedia podéis ver una animación de este poliedro junto con la figura que queda al desplegarlo.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 14 de Mayo de 2010 | 14 Comentarios
Categorías: Geometría, Topología
Introducción
La tradición nos cuenta que Hipócrates de Quíos, en la segunda mitad del siglo V a.C., redujo el problema de duplicar el cubo, o el de duplicar un volumen dado manteniendo la misma forma, al problema más general de construir dos medias proporcionales entre dos magnitudes dadas, es decir, al problema de, dados 
y 
, obtener 
e 
tales que
o, lo que es lo mismo, encontrar e tales que 
formen una progresión geométrica.
Si tenemos un cubo con aristas de longitud 1, por ejemplo, y construimos una progresión geométrica 
entonces ![x =\sqrt[3]{2}](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=x%20%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B2%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "x =\sqrt[3]{2}")
y el cubo cuya arista es tiene volumen doble del cubo cuya arista es 1.
En los comentarios de Eutocio de Ascalón (siglo VI) a los tratados de Arquímedes1 se dan doce soluciones (y se menciona otra más) al problema de construir dos medias proporcionales entre dos magnitudes dadas.
La primera solución cronológicamente se debe a Arquitas de Tarento (principios del siglo IV a.C.), y es uno de los resultados más antiguos que tenemos en la historia de la geometría griega.
Arquitas fue, entre otras cosas, el fundador de la mecánica matemática, inventor de juguetes y elegido “strategos” (jefe militar) por los tarentinos en siete ocasiones.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 12 de Mayo de 2010 | 6 Comentarios
Categorías: Colaboraciones, Geometría, Historia
Introducción
Hipócrates de Quíos fue un matemático griego que vivió en el siglo V a.c. Es famoso en la historia de la geometría por los siguientes hechos:
- Proclo en el llamado sumario de Eudemo dice que fue el primero en escribir unos Elementos.
- Redujo el problema de la duplicación del cubo al problema de hallar dos medias proporcionales.
- Redujo el problema de la cuadratura del círculo al problema de cuadrar determinadas lúnulas y demostró que determinadas lúnulas son cuadrables.
Una lúnula es la superficie que queda al quitar de un segmento de círculo otro con la misma base, es decir la superficie entre dos arcos de circunferencia cuando éstos están situados formando una figura no convexa. Llamamos arco exterior al arco de mayor longitud.
Las proposiciones y demostraciones de Hipócrates nos han llegado a través de la transcripción por Simplicio de pasajes de Eudemo de Rodas y Alejandro de Afrodisias. Esos resultados son los expuestos a continuación, sin las demostraciones (y con una lúnula añadida):
Lúnulas con arco exterior igual a una semicircunferencia
Alejandro de Afrodisias expone los siguientes resultados.
Figura 1. La lúnula que se obtiene al dibujar una semicircunferencia sobre un lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia es igual a la cuarta parte del cuadrado.
Figura 2. La lúnula que se obtiene al dibujar una semicircunferencia sobre un lado de un hexágono regular inscrito en una circunferencia es igual a la sexta parte de la diferencia entre el hexágono y un círculo cuyo diámetro es uno de los lados del hexágono.
Lúnulas con arco exterior mayor que una semicircunferencia
Eudemo de Rodas, después de la lúnula 1 anterior, nos da la siguiente:
Figura 3. Construimos un trapecio con razón 
entre la base y los otros lados. Circunscribimos una circunferencia al trapecio y sobre la base construimos un segmento de círculo semejante a los segmentos sobre los otros lados. Entonces la lúnula que resulta es igual al trapecio.
Figura 4. Este caso no aparece en Simplicio. La lúnula obtenida al reflejar sobre un lado uno de los segmentos del círculo circunscrito a un triángulo equilátero es la tercera parte del la suma del círculo y dos veces el triángulo.
Lúnulas con arco exterior menor que una semicircunferencia
El fragmento de Eudemo concluye con la exposición de los resultados de Hipócrates sobre dos lúnulas con arco exterior menor que una circunferencia.
Figura 5. Sea una circunferencia con centro B y radio BA. Trazamos por el punto medio de BA una perpendicular GD y por A una recta que corte a esa perpendicular en D y a la circunferencia en C de forma que 
.
Sea E el simétrico de C respecto a GD.
La lúnula que se obtiene formando los arcos CBAE, CDE es igual a la figura pentagonal rectilínea ABCDEA.
Figura 6. Sean M,L,N vértices consecutivos de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de centro O. Prolongamos ON hasta OS de forma que 
. Prolongamos OM, OL hasta U, T, en la circunferencia de centro O y radio OS.
Construimos sobre US un segmento de círculo semejante al segmento ML del círculo circunstrito.
La lùnula entre el arco UTS y ese segmento es igual al triángulo UTS más el hexágono MLN menos el círculo circunscrito a ese hexágono.
Conclusiones e historia posterior
Las lúnulas 1,3,5 son equivalentes a figuras rectilíneas construibles. (Con regla y compás, aunque la figura 5 es construida por Hipócrates como se ha expuesto).Y como las figuras rectilíneas son cuadrables, existen lúnulas cuadrables.
Por otro lado las lúnulas 2,4,6 son la suma o diferencia de un círculo y figuras rectilíneas. Por tanto si podemos cuadrar una de esas lúnulas podemos cuadrar el círculo, y viceversa. Podemos llamar a esas lúnulas cuadradoras. (De éstas, el fragmento de Eudemo solo atribuye a Hipócrates la lúnula 6)
Hoy sabemos que no puede haber una lúnula a la vez cuadradora y cuadrable, como pudo pensarse hace más de 2400 años.
El comentario de Simplicio con los resultados de Hipócrates pasó desapercibido hasta 1870 y solo se conocía de Hipócrates la lúnula de la figura 1.
En el siglo XVIII se redescubrieron las lúnulas de las figuras 3 y 5 y otras dos lúnulas cuadrables, haciendo un total de 5 lúnulas cuadrables, descritas en “Recreations in Mathematics…” de Montucla-Ozanam, o en Mathpages
Y finalmente en el siglo XX se demostró que esas 5 son las únicas lúnulas cuadrables.
Este artículo es una colaboración enviada por Fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Si estás interesado en colaborar con Gaussianos envíanos tu propuesta a estas dirección de email.
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 19 de Abril de 2010 | 31 Comentarios
Categorías: Colaboraciones, Geometría
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Este artículo es mi aportación a la Tercera Edición del Carnaval de Matemáticas que en esta ocasión organiza Rafael Miranda, de Geometría Dinámica.
Introducción
Las matemáticas, esa ciencia abstracta, esa asignatura complicada, esa materia a veces incomprensible, esconden auténticas maravillas que algunos han olvidado y otros ni siquiera han conocido. Uno de los objetivos de este blog es mostraros esas perlas que en ocasiones permanecen ocultas a los ojos de la mayoría. Y este artículo os va a descubrir una de ellas: la fórmula de Euler.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 12 de Abril de 2010 | 31 Comentarios
Categorías: Geometría, Topología
El Instituto Clay de Matemáticas ha concedido un premio por valor de un millón de dólares a Grigory (Grisha) Perelman, matemático ruso que se ha hecho famoso por su demostración sobre la veracidad de la conjetura de Poincaré. Esta cantidad es la que instauró dicha institución para quien resolviera alguno de los siete problemas del milenio. La conjetura de Poincaré era uno de ellos, aparte de llevar casi 100 años sin demostración.
La concesión de este premio tiene una historia bastante peculiar. Perelman sube al arXiv unos artículos sirven para demostrar la veracidad de la conjetura de Poincaré, la medalla Fields, aunque al final rechaza dicho galardón. Después aparecen varias demostraciones publicadas que siguen la línea que marcan los artículos de Perelman. Éste no publica su demostración, digamos, oficialmente, pero es el primero que da en el clavo con ella.
La cuestión es que parece que este detalle es el que ha provocado que se le conceda este premio a Perelman con tanto retraso. Os recomiendo que leáis el artículo de Francis, (th) E mule Science’s news (el enlace está al final de esta entrada) sobre el tema.
Y la pregunta es: ¿aceptará Perelman este premio? Teniendo en cuenta que rechazó la medalla Fields no me extrañaría que también rechazara éste. Se verá.
Artículos relacionados:
Autor: gaussianos | Publicado el 22 de Marzo de 2010 | 10 Comentarios
Categorías: Geometría, Noticias, Teoremas
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 15 de Marzo de 2010 | 5 Comentarios
Categorías: Colaboraciones, Geometría
Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.
La inversión en el plano
Si tenemos una circunferencia 
de radio 
en un plano 
, y 
es la esfera que tiene a por circulo máximo, la proyección estereográfica desde un polo de asocia a cada punto del plano un punto de la esfera distinto del centro de proyección 
, y viceversa.
La simetría de la esfera respecto al plano , es decir la transformación que intercambia cada punto 
de la esfera con su simétrico 
respecto al plano , induce, mediante la proyección estereográfica, una transformación en el plano , que intercambia el interior de la circunferencia , excepto su centro 
, con el exterior de esa circunferencia.
En la figura, 
subtiende en la esfera un arco 
. y 
subtiende el arco 
. Entonces es complementario de y los triángulos rectángulos 
y 
son semejantes. Por tanto 
, es decir 
.
La inversión de centro y potencia es la transformación del plano que hace corresponder a cada punto 
distinto de , el punto 
situado en la recta 
y tal que 
.
Si es negativo, está entre y , y la transformación es equivalente a una inversión de centro y potencia 
seguida de un giro de 180º con centro .
En lo que sigue asumiremos que la potencia es positiva. Entonces los puntos de la circunferencia de centro y radio 
son los únicos puntos fijos de la inversión, y ésta se denomina también inversión o reflexión respecto a la circunferencia de centro y radio
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 22 de Febrero de 2010 | 3 Comentarios
Categorías: Colaboraciones, Geometría
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Introducción
La tercera dimensión, 
, o como lo queramos llamar, es un lugar complicado de manejar. Es donde hacemos nuestra vida diaria (al menos a nuestra escala) pero matemáticamente es un espacio que con cierta frecuencia produce auténticos quebraderos de cabeza. El salto de dos a tres dimensiones es sencillo en algunas ocasiones y tremendamente difícil en otras. No son pocos los problemas cuya respuesta es relativamente fácil de encontrar en dos dimensiones, pero que entrañan una suprema dificultad cuando aumentamos en uno la dimensión de la situación.
El problema que nos ocupa es uno de ellos. Es muy sencillo encontrar la solución del mismo para dimensión uno y dimensión dos. Hasta para ciertas dimensiones mayores el problema es fácil de resolver. Pero en dimensión tres no es ni mucho menos trivial. De hecho es ciertamente complicado. Veremos en el transcurso de este artículo por qué es razonable dudar sobre la solución de este problema y cómo la dificultad que posee el mismo motivó una disputa entre dos grandes matemáticos.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 15 de Febrero de 2010 | 15 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Geometría
