Este artículo es una colaboración de Fede enviada por mail a gaussianos (arroba) gmail (punto) com
Tenemos en la figura un triángulo ABC en negro, con los trisectores interiores de cada ángulo en gris y los trisectores exteriores de cada ángulo en verde.
En 1899 Frank Morley descubrió el resultado que ahora se conoce como teorema de Morley:
Los puntos de intersección de los trisectores de los ángulos de cualquier triángulo ABC determinan triángulos equiláteros
En la imagen podemos verlos en azul:
- Los trisectores interiores adyacentes a cada lado se cortan en 3 puntos D, E y F que son los vértices de un triángulo equilátero.
- Los trisectores exteriores adyacentes a cada lado se cortan en 3 puntos G, H y I que son los vértices de un triángulo equilátero.
- El trisector interior por A adyacente al lado AB y el trisector exterior por B adyacente al lado AB se cortan en punto J. El trisector interior por A adyacente al lado AC y el trisector exterior por C adyacente al lado AC se cortan en punto K. Los trisectores exteriores por B y C adyacentes al lado BC se cortan en un punto G. Los puntos J, K y G son los vértices de un triángulo equilátero. Análogamente para los otros ángulos.
Como esas demostraciones son para el triángulo formado por las intersecciones de los trisectores interiores, damos una aquí para el triángulo formado por las intersecciones de los trisectores exteriores.
Si , el ángulo entre los lados y los trisectores interiores y entre éstos es igual a y el ángulo entre los lados y los trisectores exteriores y entre éstos es igual a .
Trisectores exteriores
Demostramos que el triángulo formado por los trisectores exteriores adyacentes a cada lado es equilátero. Para ello usamos el siguiente lema:
Lema:
Sobre dos lados y de un triángulo equilátero construimos hacia el exterior triángulos y como en la figura, de forma que y .
Reflejamos el triángulo sobre para obtener el triángulo y el triángulo sobre para obtener el triángulo .
Lema:
En la construcción anterior, si , los puntos y están en la recta y .
Porque como y el triángulo es isósceles, porque y son iguales al lado del triángulo equilátero, tenemos que , porque . Pero por construcción también , luego los puntos y están en la recta .
Y por tanto .
Ahora, si tenemos un triángulo cualquiera , con , construimos sobre los lados de un triángulo equilátero , triángulos , y haciendo ángulos con los lados del triángulo equilátero como en la figura.
Entonces, por el lema anterior, como , . Pero como , resulta que .
De la misma forma obtenemos y . Por lo tanto el triángulo es semejante al triángulo . Pero como , las lineas y son trisectores exteriores de , y también , , y . Y estos trisectores exteriores se cortan en , y que son los vértices de un triángulo equilátero. Y como la semejanza preserva los ángulos, y es semejante a , en nuestro triángulo original también los puntos se intersección de los trisectores exteriores serán vértices de un triángulo equilátero, como queríamos demostrar.
Trigonométricamente se demuestra que el lado del triángulo equilátero formado por la intersección de los trisectores exteriores es donde es el radio del círculo circunscrito.
La importancia de este teorema radica en que la trisección de un ángulo no es resoluble con regla y compás. Esta es la razón principal por la cual se cree que el enunciado y demostración de este teorema tan sencillo e intuitivo se le escapó a los griegos, ya que ellos no consideraban los resultados relacionados con operaciones que no pudieran hacerse con regla y compás, y no se publicó hasta finales del siglo XIX, cuando los matemáticos se atreven a considerar propiedades de figuras no construibles con estas normas.
Como última curiosidad, al parecer el propio Morley no estaba demasiado contento con el descubrimiento de este teorema, ya que los matemáticos del momento se centraron en él por su sencillez y por lo inesperado del resultado y dejaron a un lado el resto de sus trabajos.
Este artículo es una colaboración enviada por fede
Introducción
Haciendo uso del hecho de que a cada punto del plano le corresponde un vector y de que los vectores se suman según la regla del paralelogramo, vamos a demostrar las fórmulas para el seno y el coseno de la suma de dos ángulos en función de los senos y cosenos de cada uno de ellos. Concretamente vamos a demostrar las siguientes igualdades:
Demostración
La recta por el origen que hace un ángulo con el eje corta al círculo con centro en el origen y radio unidad en un punto de coordenadas , por definición de seno y coseno.
Si rotamos los puntos del plano alrededor del origen un ángulo , el punto se mueve a la posición , y el punto se mueve a la posición (ver figura).
Por lo tanto un punto cualquiera se mueve a la posición .
En particular el punto se mueve a la posición
que al multiplicar nos queda:
.
Pero el punto se mueve claramente con la rotación a la posición . De donde, igualando coordenadas, resultan las dos fórmulas:
El problema de esta semana es otro aporte de Domingo (muchísimas gracias otra vez) a esta sección. Y la verdad es que es muy original. Paso si más dilación a explicarlo y dejo además una imagen descriptiva del asunto que también me ha enviado Domingo:
Consideramos la sucesión de circunferencias concéntricas definida de forma recurrente del siguiente modo:
Partimos de una circunferencia de radio 1 a la que llamamos . Inscribimos en esta circunferencia un triángulo equilátero.
En el triángulo equilátero anterior se construye su circunferencia inscrita, que llamaremos ; y en esta circunferencia inscribimos un cuadrado.
En el cuadrado inscribimos otra circunferencia, que llamamos , y después inscribimos en ésta un pentágono regular.
En el pentágono regular se inscribe otra circunferencia, llamada , y ahora se le inscribe a esta circunferencia un hexágono regular.
Continuamos este proceso hasta el infinito.
Las circunferencias así obtenidas son concéntricas (tienen el mismo centro) y sus radios son cada vez más pequeños. Es decir, tomando los radios de las mismas obtenemos una sucesión decreciente de números reales estrictamente positivos.La pregunta es la siguiente:
¿Cuál es la circunferencia límite a la que tiende el proceso? Es decir, ¿Cuál es el límite del radio de las circunferencias cuando el proceso se hace hasta el infinito? ¿Vale cero dicho radio (es decir, la circunferencia límite es un punto) o tiende a algún número positivo (esto es, la circunferencia límite es una circunferencia con radio positivo)?
Adjuntamos imagen:
Según Domingo “este problema es más sencillo que el del producto de senos“. Vamos con esas aportaciones.
La topología diferencial es una rama de las Matemáticas complicada pero muy interesante. Probablemente la principal razón por lo que es complicada es porque trata temas poco intuitivos, difíciles de ver. Y bajo mi punto de vista puede llegar a ser interesante precisamente por la misma razón: nos demuestra que ciertas cosas que en principio creeríamos imposibles son matemáticamente ciertas.
El artículo que nos ocupa trata precisamente de uno de estos temas: la paradoja de Smale. Esta paradoja dice algo así:
Es posible evertir (dar la vuelta a) una esfera homeomorfa a (es decir, una esfera en tres dimensiones, la de toda la vida) sin romperla. Es decir, partiendo de una esfera es posible transformarla en otra que cumple que la parte interior del borde de la primera es la exterior de la segunda, y viceversa, sin necesidad de efectuar ningún corte en la superficie de la misma.
Vamos, que podemos darle la vuelta a la superficie de una esfera sin tener que romperla.
Sorprendente, ¿no? Uno intenta pensar cómo puede ser el tema y no ve manera de hacerlo sin hacer algún corte. Como dije antes, no es nada intuitivo el asunto. Esa es la razón por la que se le llama paradoja: aun cuando físicamente parece imposible matemáticamente sí es posible.
Hemos dicho que no podemos cortar la esfera, pero sí podemos estirarla todo lo que queramos y además se permite que la esfera se interseque a sí misma. Teniendo en cuenta esto la primera opción que se nos podría ocurrir es empujar el hemisferio sur de la esfera hacia arriba para que atraviese el hemisferio norte, quedando entonces del revés. Pero esto no soluciona el tema, ya que la cosa quedaría más o menos así:
Como vemos no queda como nosotros queríamos. Obtenemos un saliente en el ecuador de la esfera que es imposible eliminar sin cortar la misma. Intento fallido.
Bueno, entonces…¿cómo se hace? Pues esta es una solución:
Impresionante, ¿verdad? Yo me quede boquiabierto la primera vez que vi este vídeo.
Bueno, ¿y a quién se le ocurrió todo esto? Pues la primera persona que consiguió demostrar que se puede evertir una esfera fue Steve Smale en su tesis doctoral en 1957 El problema de su demostración (como de muchas otras) es que sólo era de existencia, esto es, sólo aseguraba que se podía hacer, pero no era constructiva. En 1961 se publicaba el primer método de construcción por parte de Arnold Shapiro y a mediados de los 70 William Thurston (¿os acordáis de la conjetura de geometrización?) daba un método distinto y más general.
De todas formas hemos dejado el asunto todavía en el aire. En el vídeo que aparece anteriormente se ve la eversión pero es cierto que no queda demasiado claro. En el vídeo que aparece a continuación se aclaran bastantes cosas. La explicación está bastante bien (está en inglés, pero es muy visual y se entiende más o menos; de todas formas si queréis el guión lo podéis encontrar aquí) y, entre otras cosas, explican por qué es imposible evertir la esfera (es decir, una circunferencia en dos dimensiones) pero si es perfectamente factible hacerlo con . Aquí os lo dejo:
Y si todavía queréis más información, en The Optiverse podéis encontrarla. Tenéis imágenes, vídeos, explicaciones y respuesta a preguntas sobre el tema. El vídeo principal, The Optiverse, fue galardonado con el primer premio del VideoMath Festival, concurso de vídeos relacionados con las Matemáticas, organizado por el ICM’98, en Berlín. Muestra un nuevo método de la eversión de la esfera y sus creadores son John M. Sullivan, George Francis y Stuart Levy.
Y aún más. En este enlace podéis descargar un programa mediante el cual podéis ver la eversión de una esfera mediante el método de Thurston. Moviendo el ratón de izquierda a derecha y viceversa se ve cómo se pasa de un estado a otro; combinando con las teclas Alt y Shift podéis girar la esfera, acercarla o alejarla; y con otras combinaciones de teclas y ratón podéis ver la esfera desde dentro, quitarle trozos para verla mejor…Muy completo.
Para terminar, muchas gracias a La Singularidad Desnuda, que al publicar el otro día un post sobre el tema me recordó que yo tenía información sobre el mismo y me animó a hablar de ello.
A partir de esta sugerencia de Domingo he decidido ampliar la serie sobre Construcciones con regla y compás con un artículo más donde voy a explicar paso a paso la construcción del Heptadecágono, el polígono regular de 17 lados. (Sigue leyendo …)
El teorema de Pitágoras es uno de esos resultados matemáticos que no necesitan presentación. Todos conocemos este teorema y muchos lo aplicamos continuamente. Pero ¿cuánta gente es capaz de recordar así a bote pronto una demostración de este hecho? Bueno, sí, tenemos la que publicamos hace un tiempo en este blog. Pero hay muchas más.
Probablemente la fórmula de Herón sea menos conocida para el público en general. En este artículo vamos a ver una demostración del teorema de Pitágoras a partir de la fórmula de Herón.
Terminamos esta serie dedicada a las construcciones con regla y compás con un artículo sobre la relación de éstas con los polígonos regulares.
La pregunta es sencilla: ¿se pueden construir todos los polígonos regulares con regla y compás siguiendo las reglas que hemos establecido para estas construcciones? Vamos a ver la construcción de los mismos partiendo de unos ejes coordenados y dos puntos y :
Los problemas délicos son un grupo de tres problemas relacionados con las construcciones con regla y compás conocidos desde la época de la antigua Grecia. Concretamente son la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo utilizando solamente regla y compás con las reglas que vimos en el artículo anterior. Desde la Grecia clásica hasta nuestros días muchos matemáticos han intentado resolverlos. De hecho muchos han creído haberlo conseguido. El problema es que ninguna de las tres construcciones es posible en general usando sólo regla y compás en el sentido expuesto. En este artículo vamos a comentar cada uno de los problemas y a dar las razones por las que estas construcciones no son posibles.
Con este post comienza una serie de tres artículos relacionados con las construcciones ideales con regla y compás.
Introducción
Podemos decir que la construcción con regla y compás consiste en la determinación de puntos, rectas (o segmentos de ellas) y circunferencia (o arcos de las mismas) a partir de una regla y un compás ideales. ¿Qué queremos decir con ideales? Muy sencillo:
La regla tiene longitud infinita, no tiene marcas que permitan medir o trasladar distancias y tiene sólo un borde. Puede usarse solamente para trazar un segmento de recta entre dos puntos ya dados o para prolongar un segmento dado todo lo que queramos.
El compás se cierra cuando lo levantamos del papel. Es decir, después de utilizarlo olvida la distancia que tenía entre sus puntas. Puede usarse solamente para trazar circunferencias (o arcos de ellas) tomando como centro un punto ya dado y como radio la distancia entre ese punto y otro también dado de antemano.
En principio puede parecer que las normas que hemos impuesto para nuestras herramientas de trabajo son demasiado restrictivas, que podremos hacer poco con ellas, pero en realidad no es así. Estos instrumentos con estas características dan muchísimo juego, como podremos comprobar de aquí en adelante.
Si tomamos la esfera S2 (es decir, una esfera en el espacio) de radio 1 maciza es posible dividirla en 8 partes tal que aplicando movimientos rígidos oportunos a 5 de ellas por un lado y las otras 3 por otro podemos construir dos esferas de radio 1 iguales a la de partida:
De hecho el número de piezas puede reducirse hasta 5 y se puede demostrar que con 4 es imposible.
Uno lee esto y lo primero que piensa es que le están engañando. Que en la demostración de este hecho hay alguna falacia, que mediante algún razonamiento matemático erróneo pero oculto conseguimos demostrar algo totalmente imposible. Nada más lejos de la realidad. Este hecho tiene una demostración totalmente rigurosa y sin ningún error ni engaño matemático. Por esta razón el apelativo de paradoja no es adecuado matemáticamente hablando, aunque sí lo es si atendemos a nuestra intuición.
Por un lado, si conseguimos asumir como cierto el resultado podemos pensar en realizarlo. Es decir, en tomar una esfera material de radio 1 y dividirla en las partes correspondientes para a partir de ellas formar las otras dos esferas. Quitémonos esa idea de la cabeza. No se puede hacer en el mondo real, ya que una de las piezas está formada sólo por un punto y físicamente hablando el concepto geométrico de punto no es real.
Por otro lado uno podría decir: no puede ser, el volumen final dobla al inicial. Vamos, que en el caso de que las esferas sean materiales nos estaríamos saltando a la torera el principio de conservación de la materia. Acabamos de decir que el resultado no se puede comprobar en la realidad, pero de todas formas el tema del volumen matemáticamente hablando parece que sigue siendo un problema ya que los movimientos rígidos deben conservar el volumen. Para darse cuenta de que tal problema no existe tenemos que recurrir a la teoría de medida. Digamos que esta teoría es la que se encarga de asociar una medida a cada conjunto, en este caso el volumen. La cuestión en este caso es que las partes en las que dividimos la esfera son conjuntos no-medibles (que también los hay). No es que tengan medida 0, sino que no se pueden medir. Es decir, no se les puede asociar una medida y por tanto no podemos apelar a la conservación de la medida por movimientos rígidos. Intuitivamente es complicado de entender pero matemáticamente es totalmente cierto. La existencia de estos conjuntos no-medibles se prueba utilizando el famoso y controvertido históricamente axioma de elección.
La demostración del resultado está basada en las propiedades de los giros del espacio y utiliza varios resultados, entre ellos uno de Hausdorff relativo a los giros y el axioma de elección comentado anteriormente. Es bastante engorrosa para el lector poco iniciado y me atrevería a decir que hasta para el iniciado. Pero lo bueno que tiene es que es constructiva, es decir, no nos demuestra que el resultado es cierto mediante razonamientos que nada tienen que ver con el mismo sino que nos dice exactamente cómo tenemos que dividir la esfera. Algo es algo.
Otra conclusión que podemos sacar a partir de este resultado es la siguiente:
Podemos tomar una esfera maciza del tamaño de la Tierra, dividirla en un cierto número finito de partes y después de aplicarle movimientos rígidos oportunos a las mismas formar una esfera maciza del tamaño del Sol
Increible pero cierto, aunque sólo sea matemáticamente hablando.
Fuentes:
con el eje 
corta al círculo con centro en el origen y radio unidad en un punto de coordenadas 
, por definición de seno y coseno.
se mueve a la posición 
, y el punto 
se mueve a la posición 
(ver figura).
se mueve a la posición 
.
se mueve a la posición 
.
se mueve claramente con la rotación a la posición 
. De donde, igualando coordenadas, resultan las dos fórmulas:
. Inscribimos en esta circunferencia un triángulo equilátero.
; y en esta circunferencia inscribimos un cuadrado.
, y después inscribimos en ésta un pentágono regular.
, y ahora se le inscribe a esta circunferencia un hexágono regular.
(es decir, una esfera en tres dimensiones, la de toda la vida) sin romperla. Es decir, partiendo de una esfera es posible transformarla en otra que cumple que la parte interior del borde de la primera es la exterior de la segunda, y viceversa, sin necesidad de efectuar ningún corte en la superficie de la misma.
(es decir, una circunferencia en dos dimensiones) pero si es perfectamente factible hacerlo con 
y 
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