Demostración visual de la relación entre media aritmética y media geométrica

Es bien sabido que la media aritmética de dos números positivos es siempre mayor o igual que la media geométrica de los mismos, es decir:

\sqrt{x y} \leq \cfrac{x+y}{2}

Una forma sencilla de demostrarlo consiste en partir de dicha desigualdad y realizarle transformaciones correctas a la misma con el objetivo de llegar a una expresión que sepamos con seguridad que es cierta. Después, por tanto, podemos recorrer el desarrollo obtenido en sentido inverso y tendríamos demostrada la desigualdad. Veámoslo en este caso:
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“Euclid: The Game”: el juego de las construcciones con regla y compás

Euclid: The Game es un juego en el que podemos demostrar nuestra habilidad con las construcciones con regla y compás.
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¿Cómo meter una barra de 1 km de longitud en un cubo de 1 cm de arista?

Este artículo es una colaboración de Fernando Etayo Gordejuela, profesor del Departamento de Matemáticas, Estadística y Computación de la Universidad de Cantabria y uno de los organizadores de los talleres Matemáticas en Acción, ciclo en el que tuve el placer de participar en enero de 2011. Desde aquí le agradezco mucho su predisposición a la hora de colaborar con Gaussianos con este interesante artículo. Y es posible que no sea la última vez que lo veamos por aquí. por ahora disfrutemos de esta interesante entrada.


Con esta pregunta empecé una clase de inglés para profesores que organiza mi universidad y en la que cada alumno debe exponer un tema cada día. Mis compañeros de clase, un físico, un ingeniero de telecomunicaciones y una ingeniero de minas, me dieron como primera respuesta la de que es imposible. Pero sabedores de que los matemáticos somos los “magos de la ciencia”, pensaron que habría algún truco y me bombardearon con cuestiones como las siguientes:

  • ¿Qué anchura tiene la barra? Ninguna –respondí- es una barra matemática, ideal.
  • ¿Se puede doblar? Tampoco. Es una barra firme, un segmento.

Se centraron en saber qué se entiende por barra. En saber qué definición manejaba yo de barra, pero no pusieron en duda el concepto de cubo. Y ahí es donde está el truco.

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Geometría rica en fibra

Hoy escribe en Gaussianos Enrique Fernández Borja, creador y autor de Cuentos Cuánticos, que se presenta de la siguiente forma:

Soy el que escribe, junto con otros, en Cuentos Cuánticos. De vez en cuando hago algo de física si las ganas, la motivación y la burocracia me lo permiten. Me saqué un par de diplomas de esos que dan en las universidades y ahora doy clases a gente que también quiere uno de esos diplomas. La gente se cree que soy un gato.

Es para mí un placer y una responsabilidad escribir esta entrada en este blog de matemáticas de mi amigo @gaussianos. Antes de meternos en harina he de aclarar un detalle, esta entrada únicamente pretende presentar un concepto ciertamente abstracto, pero intentaré hacerlo de la forma más visual posible intentando no incurrir en errores formales. El principal objetivo es el de mostrar este concepto, que no es muy conocido fuera de los ámbitos técnicos, y alguna de sus aplicaciones en física. Cualquier dislate, incorrección o tontería que aquí se exponga es de mi estricta responsabilidad y agradeceré cualquier comentario o crítica al respecto.

Hoy nos toca hablar de fibrados. Este constructo matemático es de gran riqueza y utilidad tanto en matemática fundamental como en física (lo siento pero no, no ayudan mucho al tránsito intestinal). Usualmente, cuando pensamos en la relación entre física y geometría siempre recurrimos a la Relatividad General para ponerla de manifiesto, sin embargo, la geometría inunda la física de múltiples y hermosas maneras. Uno de los conceptos ubicuos en la formulación geométrica de las teorías físicas es el de fibrado.

Evidentemente no hay espacio, ni es el momento ni el lugar, para escribir un tratado sobre fibrados, pero sí que me gustaría dar la idea esencial de dicha construcción y alguna de sus particularidades y del por qué es tan útil en física. Allá vamos.
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(Vídeo) Solución en 3D para el enigma de los azulejos que aparecen y desaparecen

Seguro que muchos de vosotros conocéis el caso de los azulejos que aparecen y desaparecen (que también se vio con tabletas de chocolate) que se hizo famoso hace unos meses. En la red se podían ver vídeos y animaciones de todo tipo en los que al eliminar algunas piezas de una cuadrícula (de azulejos o de chocolate) la propia cuadrícula parecía quedar tal cual estaba al principio. ¿Llegasteis a ver alguna solución que explicara por qué ocurría aquello?
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Nueva imagen del poliedro de Császár: Ángel

Vuelve el poliedro de Császár a Gaussianos. En esta ocasión lo hace con una imagen que nos ha enviado Angel de su creación:
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Lo que se puede hacer con GeoGebra (IX): Demostración visual del teorema de Pitágoras

Nueva entrega de nuestra sección dedicada a mostrar applets de ese gran programa de geometría llamado GeoGebra. En esta ocasión se trata de un applet de nuestro amigo Ignacio Larrosa, que podéis encontrar aquí, en el que se nos muestra una demostración visual del teorema de Pitágoras. Ahí va:
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¿Cuál es la manera más efectiva de construir un triángulo equilátero en la práctica?

En los últimos días hemos estado hablando sobre construcciones con regla y compás como en la Grecia clásica y sobre trisección suavizando un poco las reglas de aquella época.

Uno de los desafíos de la aplicación de la que os hablé el domingo pasado era dibujar con regla y compás un triángulo equilátero, construcción que es muy fácil de hacer:

Partimos de dos puntos distintos, A y B, cuya distancia será el lado del triángulo equilátero. Trazamos una circunferencia con centro en A que pase por B y otra con centro B que pase por A. Esas dos circunferencias se cortan en dos puntos, C y D. Tomando uno de ellos, por ejemplo C, tenemos que el triángulo cuyos vértices son A, B y C es un triángulo equilátero:

Imaginemos ahora que tuviéramos que construirlo de verdad. ¿Sería ésta la manera más efectiva de hacerlo?
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¿Quién dijo que la trisección del ángulo era imposible?

La trisección del ángulo es uno de los problemas clásicos de la geometría griega (consistente en construir un ángulo que mida un tercio de la medida de otro ángulo dad) que no se puede realizar, en general, con regla y compás. Y digo “en general” porque la cuestión es que algunos ángulos sí son “trisecables” con regla y compás y otros no (depende de si el coseno de dicho ángulo es o no raíz de un polinomio de grado una potencia de 2).

El caso es que los ángulos que no cumplen la condición anterior no son “trisecables” con regla y compás, siempre que respetemos totalmente las normas de las construcciones de la antigua Grecia, pero sí lo son si suavizamos un poco nuestras exigencias. Vamos a ver cómo.
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“Ancient Greek Geometry”, desafíos y entretenimiento con regla y compás

¿Os gustan las construcciones con regla y compás? ¿Sabríais realizar construcciones sencillas usando solamente regla y compás y las normas de la antigua Grecia? Desafíos de este tipo son los que nos plantean en Ancient Greek Geometry, una aplicación creada por Nico Disseldorp en la que partiendo de dos puntos podemos realizar construcciones como si tuviéramos en nuestro poder una regla y un compás, pero sin saltarnos las normas de la geometría clásica griega.
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