Euclides de Alejandría
Euclides de Alejandría fue un matemático griego que vivió sobre el 300 a.C. (se cree que desde el 325 a.C. al 265 a.C.). Se conoce poco de su vida y de hecho una de las hipótesis que se barajan es que ni siquiera existió como se le conoce actualmente.
Su libro Los Elementos es uno de los libros más importantes e influyentes de la historia de las Matemáticas (sino el que más). La obra se divide en XIII libros o capítulos que incluyen 132 definiciones, 5 axiomas, 5 postulados y cerca de 500 proposiciones y trata temas de álgebra, geometría elemental del plano y del espacio y teoría de números.
Postulados de Euclides
Según la RAE un postulado es una proposición cuya verdad se admite sin pruebas y que es necesaria para servir de base en ulteriores razonamientos. Vamos a deternernos en los cinco postulados de la teoría de Euclides:
1. Desde cualquier punto se puede trazar una recta a cualquier otro punto.
2. Toda recta se puede prolongar indefinidamente.
3. Con cualquier centro y cualquier distancia se puede trazar un círculo.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si una recta, cortando a otras dos, forma los ángulos internos a una misma parte menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán de la parte en que los dos ángulos son menores que dos rectos.
Entre otras muchas cosas de estos postulados podemos deducir que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º.
En principio los 5 postulados de Euclides son bastante evidentes en la geometría que conocemos, en la vida real. Fijándonos un poco más vemos que los 4 primeros tienen una formulación bastante clara y sencilla pero el quinto es algo más complejo. Existen muchos enunciados equivalentes a este quinto postulado, pero quizá el más conocido sea el siguiente (de hecho hay muchos libros en los que se dice que éste es el quinto postulado de Euclides):
Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a dicha recta (John Playfair)
Esta reformulación es más clara que la anterior y es consistente con la geometría que conocemos. Pero desde el principio este quinto postulado produjo bastante escepticismo por parte de la comunidad matemática. De hecho el mismo Euclides intentaba evitar su uso para la demostración de sus teoremas y proposiciones. Estos intentos de eludir su uso crearon corrientes cuya creencia era que este quinto postulado era independiente del resto (es decir, que se podía deducir como teorema de los otros cuatro). Los intentos de demostración a partir de los cuatro primeros postulados sólo condujeron a nuevos enunciados equivalentes pero sin conclusiones significativas. Esto motivó que el problema del quinto postulado se orientara en otra dirección: su negación.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 11 de Diciembre de 2006 | 7 Comentarios
Categorías: Geometría, Historia
Ya vimos en este post sobre el último teorema de Fermat que para n mayor que 2 la ecuación xn + yn = zn no tiene soluciones enteras positivas. Pero sabemos que para el caso n = 2 sí que las hay, de hecho hay infinitas. La proposición del libro Arithmetica de Diofanto que inspiró esta afirmación de Fermat fue precisamente esta, considerada como uno de los problemas más antiguos de las matemáticas
Escribir un cuadrado como suma de dos cuadrados
Es decir, el problema que consiste en encontrar tres números enteros positivos x, y, z que cumplan que x2 + y2 = z2. A cada terna de números enteros positivos que cumplan esta ecuación la llamaremos terna pitagórica. Por ejemplo, (3, 4, 5) es una terna pitagórica. Y todo triángulo que cumpla esta relación con sus tres lados números enteros positivos se denomina triángulo pitagórico.
Mediante el teorema de Pitágoras a partir de dos números enteros positivos x, y podemos encontrar un tercer número z que cumpla esa ecuación simplemente despejando de ella. Pero nada ni nadie nos asegura que ese z sea también entero positivo. Podría ser racional o incluso irracional. En este post vamos a ver un método para encontrar todas las ternas pitagóricas, denominado método analítico, y la demostración del mismo.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 30 de Noviembre de 2006 | 3 Comentarios
Categorías: Aprenda como, Demostraciones, Geometría, Historia
Dos puntos cualesquiera del plano determinan una única recta. Eso lo sabemos desde el colegio. Y también sabemos que tres puntos que no estén alineados determinan una única circunferencia. Vamos a buscar tres puntos:
Dibujamos un triángulo cualquiera y marcamos los puntos medios de cada uno de los lados:
Por lo que hemos dicho antes, como estos tres puntos no están alineados seguro que existe una única circunferencia que pasa por ellos. Eso no es ninguna sorpresa. Lo interesante del asunto comienza ahora:
Dibujamos las tres alturas del triángulo, es decir, trazamos un segmento desde cada vértice perpendicular al lado opuesto. Marcamos los puntos de corte en cada uno de los lados:
Pues curiosamente se cumple que esos tres puntos de corte con los lados también están en la misma circunferencia que los tres anteriores. Es decir, si trazamos la circunferencia que pasa por los tres primeros puntos y la que pasa por los tres que acabamos de calcular ahora resulta que son exactamente la misma.
Hemos visto que el hecho de que tres puntos cualesquiera pertenezcan a una circunferencia es evidente, pero que seis puntos cumplan esa condición comienza a ser muy interesante. Pero todavía hay más:
Las tres alturas se cortan en un punto que se llama ortocentro. Si ahora señalamos los puntos medios entre el ortocentro y cada uno de los vértices obtenemos tres nuevos puntos:
Como podemos ver en la figura estos tres nuevos puntos también pertenecen a la circunferencia que pasaba por los seis anteriores. Impresionante. Nueve puntos calculados a partir de un triángulo acaban perteneciendo a la misma circunferencia. Esta circunferencia se conoce como circunferencia de Feuerbach o como circunferencia de los nueve puntos.
Pero aún hay más: ¿cuál será el centro de esa circunferencia?
Si trazamos las mediatrices de cada uno de los lados (la mediatriz de un segmento es una recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio) nos encontramos con que las tres rectas se cortan también en un único punto, llamado circuncentro. Pues sorprendentemente el centro de la circunferencia de Feuerbach es el punto medio del segmento que une el ortocentro que calculamos anteriormente (punto M) con el circuncentro (punto Q):
En este enlace podéis ver la demostración de un resultado del que se deduce el de la circunferencia de los nueve puntos.
Fuentes:
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 24 de Octubre de 2006 | 10 Comentarios
Categorías: Geometría
Hace un tiempo me encontré con este teorema que me gustó por la forma de enunciarlo que tiene. Ahí va:
Supongamos que tenemos una loncha de jamón york, una loncha de queso y dos rebanadas de pan de molde. Entonces existe una manera de dividir todos los ingredientes en dos partes exactamente iguales con sólo un corte de cuchillo, independientemente de dónde coloquemos cada uno de ellos (las rebanadas de pan de molde van juntas).
Matemáticamente esto dice que si tenemos 3 cuerpos con volumen positivo existe un plano que los divide en dos partes exactamente iguales.
Hasta hay generalización a dimensión N: si tenemos N cuerpos con volumen positivo en un espacio N-dimensional existe un hiperplano1 que los divide a todos en dos partes exactamente iguales.
Hay demostraciones de este hecho, pero por desgracia no parece que haya ninguna constructiva, es decir, ninguna nos da la manera de calcular cuál es ese hiperplano. Una pena la verdad.
Fuentes:
1: Un hiperplano de un espacio de dimensión N es un subespacio suyo de dimensión N - 1
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 20 de Septiembre de 2006 | 13 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Geometría, Teoremas
Estoy seguro de que todos sabéis de que hablo si nombre el teorema de Pitágoras. Es uno de esos resultados que se nos quedan grabados a todos desde el colegio. Pero probablemente mucha gente no haya visto o no recuerde ninguna demostración de este hecho y no sepa cómo demostrarlo.
Hay muchísimas demostraciones de este teorema (en la Wikipedia podéis ver unas cuantas). Yo os quiero presentar en este post una que a mí particularmente me parece muy sencilla de comprender. Vamos con ella:
Supongamos que tenemos un cuadrado de lado r y en cada uno de sus lados colocamos un triángulo rectángulo de catetos x e y. Como en esta situación la hipotenusa de cada uno de los triángulos es r queremos probar que x2 + y2 = r2. La figura que hemos obtenido es la siguiente:
Es claro que la parte exterior en conjunto es un cuadrado de lado x + y. Por tanto el área de ese cuadrado es (x + y)2 (recordemos que el área de un cuadrado se calcula elevando al cuadrado lo que mide su lado). Por la misma razón el área del cuadrado que queda dentro es r2. Y el área de cada uno de los triángulos es xy/2 (recordemos que el área de un triángulo es base por altura partido por 2). Como el cuadrado exterior está formado por el cuadrado interior y los cuatro triángulos se tiene que el área de aquél es la suma de las áreas de éstos, es decir:
(x + y)2 = r2 + 4· xy/2 (1)
Desarrollamos la parte izquierda de la igualdad:
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
Sustituímos en (1):
x2 + 2xy + y2 = r2 + 2xy
Y ahora restamos a ambos lados de la igualdad 2xy, obteniedo así el resultado buscado:
x2 + y2 = r2
Espero que todos la hayáis entendido.
Fuente: Math Fun Facts
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 14 de Septiembre de 2006 | 12 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Geometría, Teoremas
Vamos a realizar un experimento:
Dibujemos un triángulo y numeremos sus vértices con los números 1, 2 y 3. Ahora subdividamos este triángulo en triángulos más pequeños. Con esto nos habrán aparecido nuevos vértices de triángulos que también vamos a numerar. Los vértices que hayan aparecido entre el vértice 1 y el 2 del grande los numeraremos con unos o doses a nuestro gusto, los que hayan aparecido entre el 2 y el 3 los numeraremos con doses o treses a nuestra elección, y lo mismo con el otro lado. Los vértices de los triángulos que hayan quedado dentro del grande los numeraremos como queramos, es decir, les asignaremos 1, 2 ó 3 según nos apetezca.
¿Todo hecho?. Bien. Pues yo os aseguro que al menos uno de los triángulos pequeños que han aparecido al subdividir cumple que sus vértices están numerados igual que el grande, es decir, uno de sus vértices tiene un 1, otro un 2 y el otro un 3 (de hecho parece ser que el número de triángulos pequeños que tienen esa numeración es siempre impar).
Aquí os dejo un ejemplo:
La razón por la que esto ocurre está en el lema de Sperner1, resultado equivalente al famosísimo teorema del punto fijo de Brouwer.
(Fuente: Math Fun Facts)
1: Emanuel Sperner fue un matemático alemán nacido en 1905 y fallecido en 1980. Sus aportaciones principales a las matemáticas fueron el teorema de Sperner y el lema de Sperner.
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 7 de Septiembre de 2006 | 7 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Geometría, Teoremas
…este teorema relacionado con triángulos (podéis ver su demostración aquí) se atribuye al mismísimo Napoleón Bonaparte?
Pero, como en otras muchas ocasiones, parece ser que ésto tiene más de leyenda que de realidad, ya que casi con toda seguridad el padre de este resultado no fue Napoleón sino Lorenzo Mascheroni.
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 30 de Agosto de 2006 | 8 Comentarios
Categorías: Geometría, ¿Sabía que ...?
