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La prueba de Fermat

Introducción

Quien conozca un poco la vida y, sobre todo, la obra de Pierre de Fermat (los lectores más antiguos de Gaussianos seguro que están en este grupo de personas) sabrá que, entre otras cosas, no solía publicar ni comunicar a sus colegas las demostraciones de los resultados que descubría. Es evidente que no podía haber demostración de que todos los números de Fermat son primos ya que no es cierto; y es bastante probable que la demostración que Fermat dice tener en su anotación en el margen del libro de Diofanto sobre el denominado último teorema de Fermat fuera errónea, si es que existía. El caso es que, quitando estos dos problemas, Fermat no publicó las demostraciones de sus resultados. Sin embargo, en las anotaciones que dejó y que fueron recopiladas por su hijo después de su muerte se encontró una demostración rigurosa de uno de sus resultados. Esta es la historia que nos ocupa hoy: La prueba de Fermat.

Teorema

El resultado que vamos a probar es el siguiente:

El área de un triángulo rectángulo cuyos lados sean números enteros no puede ser un cuadrado

Esto es, en notación simbólica, no existe una terna pitagórica $x^2 + y^2 = z^2$ tal que $\frac{1}{2} xy$ es un cuadrado (según lo que vimos en este post sobre ternas pitagóricas $x$ e $y$ no pueden ser ambos impares por lo que $xy$ es par y en consecuencia $\frac{1}{2} xy$ es un entero).

Demostración

Como ya vimos en este artículo, la fórmula más general de las ternas pitagóricas es $x=(2pq)d$ , $y=(p^2-q^2)d$ y $z=(p^2+q^2)d$ , con $p$ y $q$ enteros positivos primos relativos de paridad opuesta con $p > q$ y $d$ un entero positivo. El problema es hacer que $\frac{1}{2} xy = pq(p^2 - q^2)d^2$ sea un cuadrado. Esto es posible si y sólo si $pq(p^2 - q^2)$ es un cuadrado. Pero como $p$ y $q$ son primos relativos entonces ambos deben ser primos relativos con $p^2 - q^2$ . Por tanto $pq(p^2 - q^2)$ es un cuadrado si y sólo si $p$ , $q$ y $p^2 - q^2$ son todos cuadrados. En otras palabras, un triángulo cuya área es un cuadrado nos lleva a un par de enteros primos relativos $p$ y $q$ de paridad opuesta tal que $p$ , $q$ y $p^2 - q^2$ son todos cuadrados. Como $p$ y $q$ son cuadrados, entonces $p^2 - q^2$ es la diferencia de dos potencias cuartas. Además, $p^2 - q^2 = (p - q)(p + q)$ es una descomposición de $p^2 - q^2$ en factores primos relativos entre si, ya que cada factor que tuvieran en común $p - q$ y $p + q$ también sería un factor común de $(p - q) + (p + q) = 2p$ y de $(p + q) - (p - q) = 2q$ y por tanto, como $p$ y $q$ son primos relativos, el posible factor sólo podría ser $2$ ó $1$ . Pero $p$ y $q$ tiene paridad opuesta y por tanto $p - q$ y $p + q$ son ambos impares. En consecuencia $2$ no puede ser un factor común de los dos y en consecuencia son primos relativos. Entonces suponer que $p^2 - q^2$ es un cuadrado implica que $p - q$ y $p + q$ sean ambos cuadrados.

A partir de este hecho supongamos que $p + q = r^2$ y $p - q = s^2$ . En su exposición Fermat dice que $r$ puede ser escrito de la forma $r = u + v$ , donde uno de los dos es un cuadrado y el otro es el doble de un cuadrado, y que además $u$ y $v$ son los catetos de un triángulo rectángulo, es decir, $u^2 + v^2$ es también un cuadrado. Fermat dice que el segundo hecho es consecuencia del primero pero no da ninguna indicación para demostrar el primero, simplemente dice que él lo ha probado fácilmente. En este artículo vamos a dar una demostración de los dos hechos, aunque no se sabe si la manera en que se va a hacer está relacionada con la idea que tenía Fermat.

Como $p$ y $q$ son de paridad opuesta, $p + q = r^2$ y $p - q = s^2$ son ambos impares y por tanto $r$ y $s$ son ambos impares. Además, $r$ y $s$ son primos relativos porque, como se vio antes, $p - q$ y $p + q$ son primos relativos. Ahora definimos dos enteros positivos así:

$u=\cfrac{r-s}{2},v=\cfrac{r+s}{2}$

Entonces $u$ y $v$ son primos relativos, ya que cualquier factor común de $u$ y $v$ lo sería de su suma, $u + v = r$ , y de su diferencia, $v - u = s$ , pero hemos visto que $r$ y $s$ son primos relativos. Además:

$uv=\cfrac{r^2-s^2}{4}=\cfrac{(p+q)-(p-q)}{4}=\cfrac{q}{2}$

Ya que $q$ es un cuadrado, $\frac{1}{2}q$ puede ser un entero sólo si es un entero par. Por tanto $\frac{1}{2}uv = \frac{1}{4}q$ será un entero y, como es cociente de cuadrados, será un cuadrado. Ahora, $u$ o $v$ debe ser par (porque la mitad de su producto es un entero), pero no pueden serlo ambos a la vez (porque son primos relativos). Pero la mitad del par y el impar son primos relativos, y su producto $\frac{1}{2}uv$ es un cuadrado. Por tanto los factores son cuadrados, y entonces el par es dos veces un cuadrado y el impar es un cuadrado. Así $r = u + v$ es una expresión de $r$ como suma de un cuadrado y dos veces un cuadrado, como queríamos demostrar. Además:

$u^2+v^2=\cfrac{r^2-2rs+s^2}{4}+\cfrac{r^2+2rs+s^2}{4}=\cfrac{r^2+s^2}{2}=\cfrac{(p+q)+(p-q)}{2}=p$

Como teníamos que $p$ era un cuadrado se tiene que $u^2 + v^2$ es un cuadrado.

El resto de la demostración es sencillo a partir de aquí. La terna pitagórica con lados $u$ y $v$ es primitiva, porque $u$ y $v$ son primos relativos. Entonces es de la forma $2PQ$ , $P^2 - Q^2$ y $P^2 + Q^2$ , donde $P$ y $Q$ son primos relativos de paridad opuesta y $P > Q$ .

Como $\frac{1}{2}uv = PQ(P^2 - Q^2)$ es un cuadrado, se sigue como antes que $P$ , $Q$ , $P - Q$ y $P + Q$ son todos cuadrados. Pero:

$P+Q \le (P+Q)PQ(P-Q) = \cfrac{1}{2}uv = \cfrac{q}{4} < q < p + q$

y el proceso puede ser repetido indefinidamente obteniendo al final una secuencia infinita y decreciente de enteros positivos con esas propiedades. Por el método del descenso infinito esto es imposible, y en consecuencia es imposible encontrar un triángulo pitagórico cuya área sea un cuadrado.

Conclusión

Teniendo en cuenta, como ya dijimos al principio, las reticencias de Fermat a dar a conocer las demostraciones de sus resultados esta demostración cobra aún más valor histórico. Exceptuando el punto oscuro comentado (la parte que Fermat deja sin demostrar) la demostración es suya.

Por otro lado con este artículo tenemos la oportunidad de ver otro ejemplo de la potencia que tiene el método del descenso infinito para demostrar ciertos tipos de resultados. Teniendo en cuenta lo poco conocido y lo poco usado que es este método no nos viene nada mal como posible herramienta para otros problemas.

Escrito por ^DiAmOnD^, 19 de Noviembre de 2007 en Historia, Números enteros
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Demostrando el teorema de Pitágoras con la fórmula de Herón

El teorema de Pitágoras es uno de esos resultados matemáticos que no necesitan presentación. Todos conocemos este teorema y muchos lo aplicamos continuamente. Pero ¿cuánta gente es capaz de recordar así a bote pronto una demostración de este hecho? Bueno, sí, tenemos la que publicamos hace un tiempo en este blog. Pero hay muchas más.

Probablemente la fórmula de Herón sea menos conocida para el público en general. En este artículo vamos a ver una demostración del teorema de Pitágoras a partir de la fórmula de Herón.

(Sigue leyendo …)

Escrito por ^DiAmOnD^, 16 de Octubre de 2007 en Aprenda como, Demostraciones, Geometría, Historia, Teoremas
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La factorización de Fermat

Hace unos días veo este post en Futility Closet:

Mersenne once wrote to Fermat asking whether $100895598169$ were a prime number.

Fermat replied immediately that it’s the product of $898423$ and $112303$ , both of which are prime.

To this day, no one knows how he knew this. Has a powerful factoring technique been lost?

Traducido quedaría algo así:

Mersenne escribió una vez a Fermat preguntándole si $100895598169$ era un número primo.

Fermat respondió inmediatamente que es el producto de $898423$ por $112303$ , ambos primos.

A día de hoy nadie sabe cómo lo supo. ¿Se ha perdido una potente técnica de factorización?

Pues sí, al parecer no se sabe a ciencia cierta cómo factorizó ese número tan grande en tan poco tiempo. Lo que sí se conoce es un método de factorización ideado por Fermat, aunque yo dudo que fuera el que usó para este caso. Pasemos a explicarlo.

El método de factorización de Fermat

La cuestión es factorizar un cierto número $n$ . La idea de Fermat es la siguiente:

Si $n$ es igual a la diferencia de dos cuadrados, digamos $n=x^2-y^2$ , entonces $n$ puede factorizarse de forma muy sencilla de forma evidente: $n=(x+y)(x-y)$ .

Como $x^2$ debe ser mayor que $n$ se tiene que $x$ debe ser mayor que $\sqrt{n}$ . A partir de ésto ya podemos adentrarnos en el método de factorización de Fermat:

Dado un número entero positivo $n$ que queremos factorizar tomamos un entero positivo $x$ mayor que $\sqrt{n}$ (podemos calcular una aproximación de esa raíz cuadrada a ojo o con el método normal y después elegir $x$ ). Calculamos $x^2$ y le restamos $n$ . Si obtenemos un cuadrado hemos terminado. Si no es así tomamos $x+1$ , calculamos $(x+1)^2$ , restamos $n$ y si hemos obtenido un cuadrado se acaba. Procedemos de la misma forma hasta encontrar un cuadrado.

Vamos a ver un par de ejemplos de aplicación del método:

Vamos a factorizar el número $13837$ . Su raíz cuadrada está entre $117$ y $118$ . Tomamos $x=118$ . Pero $118^2-13837=87$ , que no es un cuadrado. Tomamos ahora $x=119$ . Ahora $119^2-13837=324=18^2$ . Por tanto despejando $n=13837$ de esta expresión tenemos su factorización:
$13837=119^2-18^2=(119+18)(119-18)=137 \cdot 101$
Vamos ahora con un número más grande, el que utilizó Fermat para probar la efectividad de su método: $2027651281$ . Su raíz cuadrada está entre $45029$ y $45030$ . Comenzamos con $x=45030$ . Veamos qué resultados obtenemos:
$45030^2-2027651281=49619$ , que no es un cuadrado.
$45031^2-2027651281=139680$ , que no es un cuadrado.
$45032^2-2027651281=229743$ , que no es un cuadrado.
$45033^2-2027651281=319808$ , que no es un cuadrado.
$45034^2-2027651281=409875$ , que no es un cuadrado.
$45035^2-2027651281=499944$ , que no es un cuadrado.
$45036^2-2027651281=590015$ , que no es un cuadrado.
$45037^2-2027651281=680088$ , que no es un cuadrado.
$45038^2-2027651281=770163$ , que no es un cuadrado.
$45039^2-2027651281=860240$ , que no es un cuadrado.
$45040^2-2027651281=950319$ , que no es un cuadrado.
$45041^2-2027651281=1040400=1020^2$ .

Por tanto ya tenemos la factorización:

$2027651281=45041^2-1020^2=(45041+1020)(45041-1020)=44021 \cdot 46061$

Como podemos ver el método está muy bien si la diferencia entre los factores del número no es muy grande pero no es demasiado eficiente si los dos factores están muy alejados el uno del otro, ya que en ese caso la cantidad de cálculos que deberíamos realizar sería enorme. Esa es la razón por la que yo pienso que Fermat no usó este método para factorizar el número $100895598169$ y me temo que siempre nos quedará la duda de qué método utilizó Fermat para realizar esta factorización. De todas formas el método es interesante ya que hasta en nuestros tiempos ha servido como motivación para la búsqueda de nuevos métodos de factorización.

Escrito por ^DiAmOnD^, 5 de Octubre de 2007 en Aprenda como, Curiosidades, Historia, Números enteros
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La fotografía más famosa de la historia de la Ciencia: la Conferencia Solvay

A lo largo de la historia de la Ciencia ha habido muchas reuniones de científicos de todas las ramas que la componen. De entre todas ellas ha habido muchas en las que han coincidido grandes genios y muchas de ellas han pasado o pasarán a la historia. Un buen ejemplo de ello es el ICM 2006 celebrado en Madrid el año pasado. En él se produjo la consagración definitiva de Terence Tao, entre otros, como matemático de talla mundial. Pero probablemente el hecho que hará que este congreso pase a la historia de la Ciencia sea la confirmación de la demostración de la conjetura de Poincaré por parte de Grigori Perelman y el rechazo de la medalla Fields por parte del matemático ruso.

Pero aun con estos condicionantes esta reunión de matemáticos no es la que podríamos considerar como la más importante de la historia de la Ciencia. De hecho podemos decir sin miedo a equivocarnos que, al menos hasta al día de hoy, la reunión de científicos que ostenta esa posición de privilegio es la quinta Conferencia Solvay, organizada, al igual que las cuatro anteriores, por el químico belga Ernest Solvay.

Las conferencias Solvay comenzaron en 1911 y la última de ellas tuvo lugar en 2005. La quinta conferencia, la que ocupa este post, data de octubre de 1927. Su temática fue Electrones y fotones. En esta reunión podemos encontrar a Albert Einstein, a Niels Bohr o a los padres de la recién nacida en aquellos tiempos mecánica cuántica, entre los que podemos destacar a Werner Heisenberg y a Erwin Schrödinger. Simplemente con estos asistentes la reunión ya habría pasado a la historia como una de las más importantes de todos los tiempos, pero aún hay más. A ella asistieron 29 científicos, de los cuales 17 habían sido o acabaron siendo premios Nobel.

De ella se conserva esta foto en la que aparecen todos los asistentes. Dada la importancia de todos ellos esta foto está considerada como la fotografía más importante y famosa de la historia de la Ciencia:

Quinta conferencia Solvay

Asistentes:

Fila superior: A. Piccard, E. Henriot, P. Ehrenfest, Ed. Herzen, Th. De Donder, E. Schrödinger, J.E. Verschaffelt, W. Pauli, W. Heisenberg, R.H. Fowler, L. Brillouin

Fila intermedia: P. Debye, M. Knudsen, W.L. Bragg, H.A. Kramers, P.A.M. Dirac, A.H. Compton, L. de Broglie, M. Born, N. Bohr

Fila inferior: I. Langmuir, M. Planck, Mme. Curie, H.A. Lorentz, A. Einstein, P. Langevin, Ch. E. Guye, C.T.R. Wilson, O.W. Richardson

Como podréis comprobar a tenor de los genios que podemos ver en la fotografía no exageramos para nada cuando decimos que se considera esta reunión como la más importante de la historia.

Pero hay más. Irving Langmuir, premio Nobel de Química 5 años años después, en 1932, grabó imágenes de este acontecimientos. El vídeo se conserva y lo podéis ver en Youtube en este enlace. Por si alguien lo quiere lo puede descargar en formato de Real Player aquí.

Y como no podía ser de otra forma terminamos el artículo comentando una anécdota de esta reunión. Aquí está:

La anécdota de aquel encuentro la protagonizaron las dos figuras de la época: Einstein y Bohr. Cuando ambos discutían sobre el principio de incertidumbre de Heisenberg, el primero hizo su famosa objeción:

“Dios no juega a los dados”

a lo que Bohr replicó:

“Einstein, deja de decirle a Dios lo que debe hacer”

Fuentes:

Conferencia Solvay en Astroseti
Solvay Conference en la Wikipedia (Inglés)
Ernest Solvay en la Wikipedia

Escrito por ^DiAmOnD^, 28 de Febrero de 2007 en Ciencia, Historia
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La conjetura de Euler

En Gaussianos ya hemos hablado unas cuantas veces de Leonhard Euler (véanse, por ejemplo, la identidad de Euler y el problema de Basilea). Es uno de los matemáticos más grandes de la historia, y el que más publicaciones matemáticas tiene a su nombre. Se interesó por muchas de las ramas de las matemáticas y realizó aportaciones a muchas de ellas. Pero todo esto no le da fiabilidad total. Veamos cómo los genios también se equivocan.

Esta conjetura de Euler está inspirada en el último teorema de Fermat. Este resultado dice que xⁿ+yⁿ=zⁿ no tiene soluciones enteras positivas cuando n > 2. El resultado que Euler propuso en 1769 puede formularse de la siguiente forma:

No existen n-1 números tal que sus potencias n-ésimas suman otra potencia n-ésima

Esta afirmación dice que, por ejemplo, las siguientes ecuaciones no tienen soluciones enteras positivas:

a⁴+b⁴+c⁴=d⁴

a⁵+b⁵+c⁵+d⁵=e⁵

La relación con el último teorema de Fermat se ve claramente…pero a diferencia de éste la conjetura es falsa. En 1966 Lander y Parkin encontraron el siguiente contraejemplo:

27⁵+84⁵+110⁵+133⁵=144⁵

Es decir, la conjetura es falsa ya que hemos encontrado un contraejemplo para un cierto n, n=5 concretamente. Pero podría ser cierta para n=4. En 1986 Noam Elkies se encargó de refutar la conjetura también para este n encontrando el siguiente contraejemplo mediante un método construido por él mismo:

2682440⁴+15365639⁴+18796760⁴=20615673⁴

En 1988 Roger Frye, usando las técnicas sugeridas por Elkies, encontró el contraejemplo más pequeño para n=4:

95800⁴+217519⁴+414560⁴=422481⁴

En esta página se publican los ejemplos que van encontrando que cumplen alguna de las ecuaciones de este tipo. En esta sección podéis ver algunos. Son los que tienen delante un (n,1, n-1).
Por ejemplo, en marzo de 2006 encontraron el siguiente contraejemplo bestial:

22495595284040⁴+7592431981391⁴+27239791692640⁴=29999857938609⁴

Por tanto aquí tenemos otro ejemplo de conjetura que tiempo después acaba resultando falsa (véase la conjetura de Polya).

Fuente: Math is Good For You

Escrito por ^DiAmOnD^, 16 de Enero de 2007 en Historia, Números enteros
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Premio Abel

Todos sabemos (o deberíamos) que las matemáticas no tienen premio nobel y que su equivalente es la medalla fields. Todo esto es correcto, aunque en Noruega existe un premio anual destinado a un matemático reconocido, que una vez quiso ser el equivalente a lo que sería el premio nobel de matemáticas.

El Premio Abel es un galardón anual otorgado por el Rey de Noruega a un matemático destacado. En concreto, el premio Abel se creó en honor al matemático noruego Niels Henrik Abel, en el año 2002, año del bicentenario del nacimiento de dicho matemático.

El premio lo otorga la Academina Noruega de las Ciencias y las Letras, aunque primero se hace una selección por un comité de cinco matemáticos de distintos países y tiene como remuneración económica 770.000 €, semejante a la que otorga un premio Nobel.

La historia de este premio es curiosa, ya que se propuso crear este premio en 1897 cuando Sophus Lie se enteró de que Alfred Nobel no tenía intención de crear un premio nobel para las matemáticas, pero el premio se quedo en el olvido cuando la Unión entre Suecia y Noruega se disolvió en 1905.

Así la idea del premio Abel resurgió en el año 2002, y el primer premiado fue Jean-Pierre Serre en el año 2003.

(Página oficial del premio Abel)

Escrito por Fran, 11 de Enero de 2007 en Curiosidades, Historia
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El volumen de la esfera

Como todo el mundo sabe (o debería saber ya que se estudia en el colegio) el volumen de una esfera de radio R es:

Volumen de una esfera de radio R

Esta fórmula se debe al genial Arquímedes, y fue uno de sus grandes descubrimientos y del cual estaba muy orgulloso. Vamos a ver cómo lo consiguió.
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Escrito por ^DiAmOnD^, 26 de Diciembre de 2006 en Aprenda como, Geometría, Historia, Pi
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Los problemas del millón de doláres

En las matemáticas no todos los problemas están resueltos, como hemos comentado en Gaussianos más de una vez. De hecho hay unos problemas ya hablé hace tiempo sobre los problemas de Hilbert, 23 problemas que propusó David Hilbert en el congreso internacional de matemáticos de 1900 para ser resueltos en el siglo XX y ser influyentes en las matemáticas de ese siglo.

Si bien de esos 23 problemas, se resolvieron la mayoría en ese siglo, todavía quedan otros problemas que han ido surgiendo y que por su complejidad siguen sin ser resueltos, a estos problemas se les llamó los problemas del milenio.

Estos problemas en principio eran ocho, pero Andrew Wiles se adelantó resolviendo antes del fin del siglo XX el último teorema de fermat. Así los problemas del milenio al final sólo fueron siete, y se hicieron bastante famosos cuando el instituto Clay anunció que recompensaría con un millón de doláres por problema resuelto.

Los siete problemas del milenio son:

P vs NP
La conjetura de Hodge
La conjetura de Poincaré: Este problema lo explicamos en Gaussianos. (Explicación)
La hipótesis de Riemann
Existencia de Yang-Mills y del salto de masa
Las ecuaciones de Navier-Stokes: Parece ser que hay grandes avances. (Información)
La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

Hace poco, este año, se resolvió uno de ellos, concretamente la conjetura de Poincaré. Este problema fue resuelto por Grigori Perelman, además como consecuencia de esto se le otorgó la medalla fields y el millón de doláres correspondiente, pero Perelman se negó a aceptarlos.

Quizá más adelante me atreva (o nos atrevamos) a explicar un poco cada uno de los seis problemas que quedan por explicar.

(Más información en Wikipedia)

Escrito por Fran, 12 de Diciembre de 2006 en Curiosidades, Historia, Matemáticas
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El quinto postulado

Euclides de Alejandría

Euclides de Alejandría fue un matemático griego que vivió sobre el 300 a.C. (se cree que desde el 325 a.C. al 265 a.C.). Se conoce poco de su vida y de hecho una de las hipótesis que se barajan es que ni siquiera existió como se le conoce actualmente.

Su libro Los Elementos es uno de los libros más importantes e influyentes de la historia de las Matemáticas (sino el que más). La obra se divide en XIII libros o capítulos que incluyen 132 definiciones, 5 axiomas, 5 postulados y cerca de 500 proposiciones y trata temas de álgebra, geometría elemental del plano y del espacio y teoría de números.

Postulados de Euclides

Según la RAE un postulado es una proposición cuya verdad se admite sin pruebas y que es necesaria para servir de base en ulteriores razonamientos. Vamos a deternernos en los cinco postulados de la teoría de Euclides:

1. Desde cualquier punto se puede trazar una recta a cualquier otro punto.
2. Toda recta se puede prolongar indefinidamente.
3. Con cualquier centro y cualquier distancia se puede trazar un círculo.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Si una recta, cortando a otras dos, forma los ángulos internos a una misma parte menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán de la parte en que los dos ángulos son menores que dos rectos.

Entre otras muchas cosas de estos postulados podemos deducir que la suma de los ángulos de un triángulo es 180º.

En principio los 5 postulados de Euclides son bastante evidentes en la geometría que conocemos, en la vida real. Fijándonos un poco más vemos que los 4 primeros tienen una formulación bastante clara y sencilla pero el quinto es algo más complejo. Existen muchos enunciados equivalentes a este quinto postulado, pero quizá el más conocido sea el siguiente (de hecho hay muchos libros en los que se dice que éste es el quinto postulado de Euclides):

Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a dicha recta (John Playfair)

Esta reformulación es más clara que la anterior y es consistente con la geometría que conocemos. Pero desde el principio este quinto postulado produjo bastante escepticismo por parte de la comunidad matemática. De hecho el mismo Euclides intentaba evitar su uso para la demostración de sus teoremas y proposiciones. Estos intentos de eludir su uso crearon corrientes cuya creencia era que este quinto postulado era independiente del resto (es decir, que se podía deducir como teorema de los otros cuatro). Los intentos de demostración a partir de los cuatro primeros postulados sólo condujeron a nuevos enunciados equivalentes pero sin conclusiones significativas. Esto motivó que el problema del quinto postulado se orientara en otra dirección: su negación.

(Sigue leyendo …)

Escrito por ^DiAmOnD^, 11 de Diciembre de 2006 en Geometría, Historia
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Cómo contruir triángulos pitagóricos

Ya vimos en este post sobre el último teorema de Fermat que para n mayor que 2 la ecuación xⁿ + yⁿ = zⁿ no tiene soluciones enteras positivas. Pero sabemos que para el caso n = 2 sí que las hay, de hecho hay infinitas. La proposición del libro Arithmetica de Diofanto que inspiró esta afirmación de Fermat fue precisamente esta, considerada como uno de los problemas más antiguos de las matemáticas

Escribir un cuadrado como suma de dos cuadrados

Es decir, el problema que consiste en encontrar tres números enteros positivos x, y, z que cumplan que x² + y² = z². A cada terna de números enteros positivos que cumplan esta ecuación la llamaremos terna pitagórica. Por ejemplo, (3, 4, 5) es una terna pitagórica. Y todo triángulo que cumpla esta relación con sus tres lados números enteros positivos se denomina triángulo pitagórico.

Mediante el teorema de Pitágoras a partir de dos números enteros positivos x, y podemos encontrar un tercer número z que cumpla esa ecuación simplemente despejando de ella. Pero nada ni nadie nos asegura que ese z sea también entero positivo. Podría ser racional o incluso irracional. En este post vamos a ver un método para encontrar todas las ternas pitagóricas, denominado método analítico, y la demostración del mismo.

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Escrito por ^DiAmOnD^, 30 de Noviembre de 2006 en Aprenda como, Demostraciones, Geometría, Historia
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Teorema

Demostración

Conclusión

El método de factorización de Fermat

a4+b4+c4=d4

a5+b5+c5+d5=e5

Euclides de Alejandría

Postulados de Euclides

a⁴+b⁴+c⁴=d⁴

a⁵+b⁵+c⁵+d⁵=e⁵