Podríamos decir que la mayor parte de los científicos de la historia (si no todos), ya sean matemáticos, físicos, químicos, biólogos o de cualquier otra rama, han soñado/sueñan con realizar un descubrimiento brillante, que rompa los esquemas de la ciencia de su tiempo. Pero también es cierto que cuando esto ocurre la situación no suele ser del todo cómoda para la persona en cuestión. Bueno, en la actualidad quizás el tema es algo más suave, pero si nos damos una vuelta por la Historia de la Ciencia muchos han sido los casos en los que no se ha tratado demasiado bien a los científicos rompedores, a los que han desmontado las teorías de su tiempo. Generalmente ha sido la propia Historia quien les ha dado credibilidad frente a la burla y el mal trato que les dieron sus coetáneos. Cierto es también que en ocasiones este hecho se ha producido por razones de índole religiosas (en muchas épocas la Iglesia tuvo tanto poder que remar en contra de sus ideas era prácticamente un suicidio), y podemos encontrar ejemplos tremendamente famosos (seguro que todos conocéis el famoso Y sin embargo se mueve), pero, como decíamos antes, por suerte la Historia terminó por dar la razón a quien de verdad la merecía.
El asunto que nos ocupará en este post trata sobre uno de estos personajes, un científico que fue tan poco considerado en vida por su descubrimiento que pagó con ella su sacrilegio.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 9 de August de 2010 | 3 Comentarios
Categorías: Historia
Introducción
Pierre de Fermat
Tras la muerte de
Pierre de Fermat, muchas de sus conjeturas quedaron sin resolver. Como ya sabemos, Fermat no era muy dado a publicar las demostraciones de sus resultados, por lo que debían ser demostrados por otros para confirmar su validez o falsedad. El caso más famoso, por lo que se tardó en confirmar y por la gran cantidad de matemáticos que se dedicaron a ello, es el denominado
último teorema de Fermat, demostrado finalmente por Andrew Wiles en 1995, pero ni mucho menos fue el único.
La afirmación de Fermat sobre la primalidad de todos los números enteros positivos 
, llamados números de Fermat, fue otra de sus más famosas conjeturas, refutada finalmente por Euler en 1732 al encontrar la factorización de 
:
De hecho no se ha vuelto a encontrar ningún número de Fermat que sea primo.
Y el llamado pequeño teorema de Fermat constituye otro caso del mismo tipo que los anteriores. Dicho teorema afirma lo siguiente:
Si 
es un número primo y 
es un número natural que no es divisible por , entonces 
Euler demostró este resultado y dio además la demostración de una generalización del mismo. En esta historia la conocida como función 
de Euler ejerce un papel de suma importancia.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 28 de June de 2010 | 8 Comentarios
Categorías: Historia, Números enteros, Números primos
Introducción
La tradición nos cuenta que Hipócrates de Quíos, en la segunda mitad del siglo V a.C., redujo el problema de duplicar el cubo, o el de duplicar un volumen dado manteniendo la misma forma, al problema más general de construir dos medias proporcionales entre dos magnitudes dadas, es decir, al problema de, dados y 
, obtener 
e 
tales que
o, lo que es lo mismo, encontrar e tales que 
formen una progresión geométrica.
Si tenemos un cubo con aristas de longitud 1, por ejemplo, y construimos una progresión geométrica 
entonces ![x =\sqrt[3]{2}](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=x%20%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B2%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "x =\sqrt[3]{2}")
y el cubo cuya arista es tiene volumen doble del cubo cuya arista es 1.
En los comentarios de Eutocio de Ascalón (siglo VI) a los tratados de Arquímedes1 se dan doce soluciones (y se menciona otra más) al problema de construir dos medias proporcionales entre dos magnitudes dadas.
La primera solución cronológicamente se debe a Arquitas de Tarento (principios del siglo IV a.C.), y es uno de los resultados más antiguos que tenemos en la historia de la geometría griega.
Arquitas fue, entre otras cosas, el fundador de la mecánica matemática, inventor de juguetes y elegido “strategos” (jefe militar) por los tarentinos en siete ocasiones.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 12 de May de 2010 | 6 Comentarios
Categorías: Colaboraciones, Geometría, Historia
Una de las ilustraciones originales de la primera edición de Alicia
Hoy, día 16 de abril de 2010, se estrena
Alicia en el país de las maravillas, después de algunos retrasos. Esta película, dirigida por
Tim Burton (no podía ser otro), es una adaptación del libro
Alicia en el país de las maravillas, de
Charles Lutwidge Dogdson, más conocido como
Lewis Carroll, cuya primera edición fue publicada en 1865. Conociendo al escritor de la obra y al director del film seguro que no nos decepcionará.
Sobre el libro se cuentan muchas historias y anécdotas. Por ejemplo, que la obra comenzó a gestarse a partir de un cuento que Carroll contó a unas niñas (Lorina, Alice y Edith) y que fueron ellas mismas, al quedar maravilladas por el cuento, quienes pidieron a Lewis que escribiera la historia. O que en realidad es una crítica a la sociedad de la época en general y en concreto a la reina Victoria. Vamos, que es un cuento muy particular.
¿Pero de verdad es sólo un cuento para niños?
Alicia en el país de las maravillas no es solamente un cuento infantil. De hecho una lectura profunda y razonada de la misma puede hacernos ver que es cualquier cosa menos un cuento dirigido a niños. La condición de matemático de Carroll ejerce una influencia tremenda en esta obra. Alicia en el país de las maravillas está lleno de guiños matemáticos, entre los que podemos encontrar referencias al álgebra, a la teoría de números, a la lógica, al análisis…En esta presentación podéis encontrar alusiones a las propiedades reflexiva y simétrica de una relación, máximos y mínimos de una función, propiedades de la circunferencia y sobre rectas y segmentos, lógica y razonamiento deductivo…
Pero la cosa no queda aquí. Hay otros muchos detalles del libro que sugieren conceptos matemáticos. Aquí os dejo algunos de ellos:
- En el capítulo 1, Por la madriguera del conejo, ciertos comentarios de Alicia mientras sufre una caída interminable por la madriguera recuerdan al concepto de límite.
- En el capítulo 2, El charco de lágrimas, Alicia dice:
Veamos, cuatro por cinco son doce, cuatro por seis son trece y cuatro por siete…¡Ay, Dios mío! ¡Así no llegaré nunca a veinte!
Esas operaciones no están bien hechas…si usamos el sistema de numeración decimal. Usando otros sistemas de numeración las operaciones son correctas. Concretamente, 
en base 
y 
en base 
. Siguiendo la línea, tenemos que 
en, como se podría imaginar, base 
.
- En el capítulo 5. Consejos de una oruga, la paloma afirma que las niñas pequeñas son un cierto tipo de serpiente, ya que las dos comen huevo. Esta deducción recuerda al cambio de variables que se utiliza en multitud de ocasiones en matemáticas.
- En el capítulo 7. Una merienda de locos, Alicia toma como iguales las acciones “digo lo que pienso” y “pienso lo que digo”, a lo que el sombrerero responde que eso sería lo mismo que decir que “veo cuanto como” es lo mismo que “como cuanto veo”. Esto recuerda en cierta medida a una función y su inversa.
- La curiosa característica que posee el Gato de Cheshire, a saber, desaparecer casi totalmente, dejando únicamente su sonrisa, hace ver a Alicia que muchas veces ha visto un gato sin sonrisa, pero ninguna ha visto una sonrisa sin gato. Este tipo de abstracción profunda es muy usada en matemáticas, y en concreto fue objeto de ciertos acontecimientos matemáticos de la época en la que Carroll escribió su libro.
Pero, como no podía ser de otra forma, existen multitud de interpretaciones del texto escrito por Carroll. Una de las más interesantes en lo que a las matemáticas se refiere es la de Keith Devlin. Afirma que la versión inicial de Alicia no contenía nada relacionado con matemáticas y que Carroll añadió todas estas referencias con el objetivo de satirizar las matemáticas que estaban emergiendo en aquella época, concretamente a mediados del siglo XIX. Según parece, la visión de las matemáticas que tenía Carroll era, digamos, tradicional, por lo que los revolucionarios avances que se produjeron en esta época no le convencían demasiado. Por ejemplo, con el Sombrerero, la Liebre de Marzo y el Lirón tomando el té, donde el tiempo está ausente, que Devlin interpreta como una crítica a los cuaterniones de Hamilton (al parecer Carroll no era precisamente un apasionado del trabajo de Hamilton). También podemos encontrar críticas encubiertas a las geometrías no euclídeas.
Las matemáticas del siglo XIX
William Rowan Hamilton
La verdad es que este período tiene mucha tela que cortar en lo que a matemáticas se refiere. Analizando la historia de las matemáticas, el siglo XIX ha sido una de las épocas más prolíficas en descubrimientos matemáticos, en creación de nuevos conceptos o en desarrollo de teorías revolucionaria, especialmente en álgebra.
Fue en este siglo cuando las geometrías no euclídeas comenzaron su andadura (Lobachevsky fue uno de los principales culpables), provocando una auténtica revolución. También en esta época los trabajos de Cantor conmocionaban a los matemáticos del momento.
Por otra parte, Hamilton utilizó la misma idea que Lobachevsky para crear sus cuaterniones. Lobachevsky prescindió del postulado de las paralelas y desarrolló así una nueva geometrías mientras que Hamilton prescindió de la conmutatividad de la multiplicación desarrollando así una nueva álgebra.
También en esta época Cayley creó el álgebra matricial, en cuyo desarrollo también tuvieron importancia Benjamin Peirce y su hijo, Charles S. Peirce.
Pero posiblemente uno de los mayores avances en el álgebra de la época fue la teoría de Galois, desarrollada por Evariste Galois a lo largo de sus ¡¡21 años de vida!!. Sus trabajos sirvieron para estructurar todos los avances y creaciones que se produjeron en el campo del álgebra en este siglo.
Por último, el matemático italiano Peano intentó con sus axiomas formalizar todas las ramas matemáticas. Estos axiomas de Peano han sido objeto de múltiples debates, pero este es otro tema del que hablaremos otro día.
Notas históricas:
- Historia de la matemática, de Carl B. Boyer.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 16 de April de 2010 | 24 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Historia, Noticias
Como hemos comentado alguna vez Leonhard Euler ha sido el matemático más prolífico de la historia en lo que a publicaciones se refiere. Por ello sus aportaciones se extienden por todas las ramas de las matemáticas (hasta creó alguna), tanto pura como aplicada.
Lo que puede que no todo el mundo conozca es la multitud de aportaciones que dejó Euler a la notación matemática. Ningún otro matemático ha contribuido a ello tanto como el gran Leonhard. Euler popularizó algunas notaciones y creó otras que se siguen utilizando a día de hoy. Vamos con ellas:
(Leer el resto del post)
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 10 de December de 2009 | Comments Off
Categorías: Historia
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Introducción
La invención y posterior desarrollo del Cálculo ha sido y sigue siendo objeto de trifulca entre Inglaterra y Alemania. Inglaterra por Newton y Alemania por Leibniz. A los dos se les considera precursores y desarrolladores de las primeras nociones del Cálculo. A pesar de que los dos lo desarrollaron de forma independiente (los hechos históricos lo confirman), la autoría de su descubrimiento/invención, como decíamos antes, sigue siendo tema de conversación y de discusión.
Pero si atendemos a la Historia esta eterna guerra anglo-alemana nunca debería haber comenzado, al menos no debería haberse desarrollado de esta manera. Sí, es cierto que fueron Newton y Leibniz quienes de manera independiente sentaron las bases del Cálculo, pero ni mucho menos fueron los primeros en desarrollar las nociones iniciales de esta rama de las matemáticas. El precursor de dichas ideas fue nada más y nada menos que Pierre de Fermat.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 4 de December de 2009 | Comments Off
Categorías: Cálculo, Historia
Introducción
El pasado lunes presentábamos un método de resolución de ecuaciones diofánticas lineales. También vimos que no sólo existen este tipo de ecuaciones diofánticas: dependen de los exponentes de sus variables. Por desgracia cuando los exponentes no son 1 (es decir, cuando no son lineales) no tenemos un procedimiento general para resolverlas. Esto lo sabemos desde 1970, cuando Yuri Matiyasévich consiguió demostrar (después de 20 años de trabajo) que no es posible encontrar un algoritmo que nos diga si una ecuación diofántica tiene soluciones o no las tiene. Este fue uno de los 23 problemas, concretamente el décimo, que David Hilbert propuso en el año 1900.
Después de este mazazo vamos a alegrar un poco el asunto: aunque no tengamos un procedimiento para todas las ecuaciones diofánticas sí que sabemos resolver algunos casos particulares de ellas. El artículo de hoy trata sobre uno de estos casos: la ecuación de Pell.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 1 de October de 2009 | Comments Off
Categorías: Historia, Números enteros
Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.
Introducción
El 8 de abril de 1810, estando Brianchon en Toledo (como teniente de artillería del ejército francés) escribe a Hachette lo siguiente que traduzco literalmente de aquí:
El azar habiéndome hecho caer entre las manos una edición latina del Almagesto de Ptolomeo (Almagestum, Venecia 1515), he extraido y traducido el pasaje siguiente, relativo a la Teoría de las Transversales, y que incluso contiene su principio fundamental. Como la sabia exposición de esta nueva rama de la geometría acaba de hacer época en la historia del progreso de la ciencia que, por ello, se ha enriquecido con un nuevo elemento, he pensado que sería curioso mostrar que los antiguos griegos conocieron los primeros lineamientos de esta teoría de la que hacían uso para resolver algunos problemas astronómicos.
Y sigue la traducción del pasaje del Almagesto. Cabe preguntarse qué sucedió con ese ejemplar de la primera edición impresa del Almagesto (por cierto, también en Toledo el Almagesto fue traducido por primera vez al latín, en 1175, por Gerardo de Cremona).
El principio fundamental que se menciona no es otro que el llamado teorema de Menelao, y la sabia exposicion de la teoria de las transversales sólo puede referirse a la obra de Lazare Carnot, en cuyo Ensayo sobre la teoría de las transversales se adjudica al teorema de Menelao (sin mencionar este nombre) el título de principio fundamental de la teoría.
El texto de Brianchon parece indicar que no conocía previamente la relación del Almagesto (ni de Menelao) con el teorema de Menelao, y parece que no era muy conocida entre los matemáticos de aquellos años.
Teoría.
Llamamos configuración de Menelao a la figura formada por dos segmentos (exteriores, en azul) que se unen en un vértice 
, entre los que se sitúan otros dos (interiores, en verde), que parten de los extremos de los anteriores y se cortan en un punto 
.
En el capítulo 13, que traduce Brianchon, del libro I del Almagesto (hacia 150 d.C.) se demuestra que:
En una configuración de Menelao, usando las letras de la figura para designar a los segmentos, y 
(igual para 
y 
), se cumple que:
Esta proposición es el teorema de Menelao, aplicado en uno y otro caso a los triángulos 
cortado por la transversal 
y 
cortado por la transversal 
.
Pero en lugar de un triángulo cortado por una transversal, Ptolomeo ve relaciones que dan las razones entre los segmentos de una linea exterior(/interior) en función de las razones entre los segmentos de las dos lineas interiores(/exteriores) en una configuración de Menelao.
La demostración de Ptolomeo del resultado anterior es esencialmente idéntica a la primera prueba que se da en este sitio,
A continuación, Ptolomeo demuestra el lema:
Si una cuerda 
(ver figura) es cortada en el punto 
por un radio 
,
y usa este resultado junto con el teorema de Menelao (en el plano) para demostrar el teorema de Menelao en la esfera:
Si tenemos una una configuración de Menelao sobre la superficie de una esfera, es decir, si 
son arcos (menores que una semicircunferencia) de círculos máximos de una esfera, entonces:
-
-
Obviamente Ptolomeo no usa la expresión el seno de m, que no se había inventado, sino la cuerda del doble del arco m. Pero como 
, podemos traducir las razones de cuerdas de ángulos dobles como razones de senos.
Este resultado es también la proposición I del libro III de las Esféricas (hacia 100 d.C.) de Menelao de Alejandría.
Menelao asume el teorema de Menelao para el plano como conocido y lo demuestra para la esfera de la misma forma que Ptolomeo.
Las Esféricas de Menelao, traducidas por Halley del árabe al latín en 1758, es el texto más antiguo que nos ha llegado donde se usa el que desde finales del siglo XIX se denomina teorema de Menelao, que se supone que era conocido ya por Hiparco (unos 250 años antes de Menelao) y, en su versión plana, por Euclides (400 años antes de Menelao).
Aplicación
La anterior es toda la teoría de trigonometría esférica que se usa en el Almagesto.
Además Ptolomeo ha construido previamente una tabla de cuerdas (es decir, de senos) calculando la cuerda de la suma y diferencia de dos ángulos usando el teorema de Ptolomeo.
Ptolomeo necesita la tabla de cuerdas para aplicar el teorema de Menelao sobre la esfera con valores concretos de arcos.
En el Almagesto, Ptolomeo solo necesita resolver triángulos rectángulos esféricos.
Para resolver un 
, con ángulo recto en , Ptolomeo prolonga los lados 
del triángulo como en la figura hasta completar arcos 
de 
.
Entonces 
es el polo del círculo máximo que pasa por 
y , y uniendo 
con un arco los ángulos en y serán rectos y el arco será igual al ángulo 
de .
Como los ángulos en y son rectos, las prolongaciones de 
y 
se cortarán en un punto 
, polo de 
, y los arcos 
y 
serán de .
Se obtiene entonces una configuración de Menelao con vértice sobre la esfera.Y si, por ejemplo, queremos hallar la hipotenusa , dados los catetos 
, usamos el teorema de Menelao para obtener las razón entre los segmentos de 
en función del producto de las razones entre los segmentos de 
y 
y tenemos:
, es decir, 
,
que es el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos esféricos.
De la misma forma, aplicando directamente el teorema de Menelao a los otros segmentos, obtenemos las fórmulas
, 
y 
y de estas ultimas, por simetría
, 
y 
.
Ptolomeo se limita a las fórmulas anteriores, o mejor dicho a aplicar en cada caso el teorema de Menelao con valores de arco concretos, para obtener los resultados que nosotros obtendríamos usando las fórmulas anteriores.
La regla mnemotécnica de Neper
Las anteriores son 7 de las 
fórmulas que relacionan cada subconjunto de 3 elementos del conjunto 
de variables del triángulo.
Las otras 3 fórmulas se derivan de las anteriores (1)-(7) (dejamos esto al lector) y son:
, 
y 
.
Estas 10 fórmulas vienen dadas por la regla mnemotécnica de Neper que dice que:
Si disponemos en un pentágono los elementos del triángulo rectángulo esférico, en el mismo orden en que aparecen en el triángulo, sustituyendo los catetos b,c por sus complementarios 90º-b,90º-c, el coseno de un elemento en el pentágono es
- el producto de las cotangentes de los elementos adyacentes
- el producto de los senos de los elementos opuestos.
A partir de las fórmulas para el triángulo rectángulo se pueden obtener, en no muchos pasos, otras fórmulas de la trigonometría esférica para cualquier triángulo, como el teorema del coseno para la esfera:
o la fórmula que nos permite obtener los lados en fúnción de los ángulos:
.
El lector puede deducir estas últimas a partir de (1)-(10), dividiendo el triángulo en dos triángulos rectángulos mediante una altura.
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 24 de August de 2009 | Comments Off
Categorías: Colaboraciones, Geometría, Historia
Si las universidades quieren que aumente su producción científica
que se preocupen de que que haya buenas cafeterías cerca de ellas…
…y de que el profesorado las frecuente.
Introducción
El barrio parisino Montmartre es conocido por ser uno de los grandes centros artísticos de París desde mediados del siglo XIX hasta bien entrado el siglo XX. Artistas como Picasso, Van Gogh o Matisse vivieron, trabajaron y crearon algunas de sus mejores obras en ese lugar. Seguro que respirar ambiente artístico fomentó el espiritu creativo de todos los que frecuentaban Montmartre. La historia que hoy os traigo tiene ciertas similitudes. Casi de la nada aparece un grupo de excelentes matemáticos que celebran reuniones informales, finalizando éstas en una obra maestra. Pero vayamos por partes.
El florecimiento matemático de Polonia
Hasta que Polonia recuperó su independencia en 1918, la educación no fue precisamente una prioridad para las potencias ocupantes, a saber, Prusia, Rusia y Austria. En la zona prusiana la educación universitaria brillaba por su ausencia; en la zona rusa podíamos encontrar una universidad en Varsovia cuyas enseñanzas se impartían (hasta poco antes de 1918) en ruso; y en la austriaca, aunque se tenía situación algo mejor (universidades en Cracovia y en Lwów y una escuela politécnica en esta última ciudad) tampoco era para tirar cohetes. Con estos antecedentes extraña encontrar un elenco de matemáticos como el que apareció en dicha zona en la primera mitad del siglo XX.
Lwów
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 6 de August de 2009 | Comments Off
Categorías: Historia, Matemáticos
Introducción
Como comentamos en la historia de la resolución de la cúbica, Tartaglia reveló, después de mucha insistencia, su método de resolución de los distintos tipos de ecuaciones cúbicas reducidas a Cardano. Pero no lo hizo de una manera convencional, sino que lo hizo en verso. Concretamente así:
Quando che’l cubo con le cose appresso
se agguaglia a qualche numero discreto:
trovan dui altri, diferente in esso.
Dapoi terrai, questo per consueto,
che’l loro produtto, sempre sia eguale
al terzo cubo della cose neto;
el residuo poi suo generale,
delli lor lati cubi, ben sottratti
varra la tua cosa principale.
In el secondo, de cotesti atti;
quando che’l cubo restasse lui solo,
tu osserverai quest’altri contratti,
del numer farai due tal part’a volo,
che l’una, in l’altra, si produca schietto,
el terzo cubo delle cose in stolo;
delle quali poi, per commun precetto,
torrai li lati cubi, insieme gionti,
et co tal somma, sará ii tuo concetto;
el terzio, poi de questi nostri cónti,
se solve col segundo, se ben guardi
che per natura son quasi congionti.
Questi trovai, et non con pasi tardi
nell mille cinquecent’e quatro e trenta;
con fondamenti ben saldi, e gagliardi;
nella cittá del mar’intorno centa.
Los nueve primeros corresponden a la resolución de la ecuación 
, los nueve siguientes son para el tipo 
, los siguientes tres para 
y los cuatro últimos indican el lugar y la fecha en la que Tartaglia los descubrió. Vamos a comenzar esta resolución haciendo un análisis de parte de estos versos.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 25 de June de 2009 | Comments Off
Categorías: Aprenda como, Historia
