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Introducción
La invención y posterior desarrollo del Cálculo ha sido y sigue siendo objeto de trifulca entre Inglaterra y Alemania. Inglaterra por Newton y Alemania por Leibniz. A los dos se les considera precursores y desarrolladores de las primeras nociones del Cálculo. A pesar de que los dos lo desarrollaron de forma independiente (los hechos históricos lo confirman), la autoría de su descubrimiento/invención, como decíamos antes, sigue siendo tema de conversación y de discusión.
Pero si atendemos a la Historia esta eterna guerra anglo-alemana nunca debería haber comenzado, al menos no debería haberse desarrollado de esta manera. Sí, es cierto que fueron Newton y Leibniz quienes de manera independiente sentaron las bases del Cálculo, pero ni mucho menos fueron los primeros en desarrollar las nociones iniciales de esta rama de las matemáticas. El precursor de dichas ideas fue nada más y nada menos que Pierre de Fermat.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 4 de Diciembre de 2009 | 19 Comentarios
Categorías: Cálculo, Historia
Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.
Introducción
El 8 de abril de 1810, estando Brianchon en Toledo (como teniente de artillería del ejército francés) escribe a Hachette lo siguiente que traduzco literalmente de aquí:
El azar habiéndome hecho caer entre las manos una edición latina del Almagesto de Ptolomeo (Almagestum, Venecia 1515), he extraido y traducido el pasaje siguiente, relativo a la Teoría de las Transversales, y que incluso contiene su principio fundamental. Como la sabia exposición de esta nueva rama de la geometría acaba de hacer época en la historia del progreso de la ciencia que, por ello, se ha enriquecido con un nuevo elemento, he pensado que sería curioso mostrar que los antiguos griegos conocieron los primeros lineamientos de esta teoría de la que hacían uso para resolver algunos problemas astronómicos.
Y sigue la traducción del pasaje del Almagesto. Cabe preguntarse qué sucedió con ese ejemplar de la primera edición impresa del Almagesto (por cierto, también en Toledo el Almagesto fue traducido por primera vez al latín, en 1175, por Gerardo de Cremona).
El principio fundamental que se menciona no es otro que el llamado teorema de Menelao, y la sabia exposicion de la teoria de las transversales sólo puede referirse a la obra de Lazare Carnot, en cuyo Ensayo sobre la teoría de las transversales se adjudica al teorema de Menelao (sin mencionar este nombre) el título de principio fundamental de la teoría.
El texto de Brianchon parece indicar que no conocía previamente la relación del Almagesto (ni de Menelao) con el teorema de Menelao, y parece que no era muy conocida entre los matemáticos de aquellos años.
Teoría.
Llamamos configuración de Menelao a la figura formada por dos segmentos (exteriores, en azul) que se unen en un vértice 
, entre los que se sitúan otros dos (interiores, en verde), que parten de los extremos de los anteriores y se cortan en un punto 
.
En el capítulo 13, que traduce Brianchon, del libro I del Almagesto (hacia 150 d.C.) se demuestra que:
En una configuración de Menelao, usando las letras de la figura para designar a los segmentos, y 
(igual para 
y 
), se cumple que:
Esta proposición es el teorema de Menelao, aplicado en uno y otro caso a los triángulos 
cortado por la transversal 
y 
cortado por la transversal 
.
Pero en lugar de un triángulo cortado por una transversal, Ptolomeo ve relaciones que dan las razones entre los segmentos de una linea exterior(/interior) en función de las razones entre los segmentos de las dos lineas interiores(/exteriores) en una configuración de Menelao.
La demostración de Ptolomeo del resultado anterior es esencialmente idéntica a la primera prueba que se da en este sitio,
A continuación, Ptolomeo demuestra el lema:
Si una cuerda 
(ver figura) es cortada en el punto 
por un radio 
,
y usa este resultado junto con el teorema de Menelao (en el plano) para demostrar el teorema de Menelao en la esfera:
Si tenemos una una configuración de Menelao sobre la superficie de una esfera, es decir, si 
son arcos (menores que una semicircunferencia) de círculos máximos de una esfera, entonces:
-
-
Obviamente Ptolomeo no usa la expresión el seno de m, que no se había inventado, sino la cuerda del doble del arco m. Pero como 
, podemos traducir las razones de cuerdas de ángulos dobles como razones de senos.
Este resultado es también la proposición I del libro III de las Esféricas (hacia 100 d.C.) de Menelao de Alejandría.
Menelao asume el teorema de Menelao para el plano como conocido y lo demuestra para la esfera de la misma forma que Ptolomeo.
Las Esféricas de Menelao, traducidas por Halley del árabe al latín en 1758, es el texto más antiguo que nos ha llegado donde se usa el que desde finales del siglo XIX se denomina teorema de Menelao, que se supone que era conocido ya por Hiparco (unos 250 años antes de Menelao) y, en su versión plana, por Euclides (400 años antes de Menelao).
Aplicación
La anterior es toda la teoría de trigonometría esférica que se usa en el Almagesto.
Además Ptolomeo ha construido previamente una tabla de cuerdas (es decir, de senos) calculando la cuerda de la suma y diferencia de dos ángulos usando el teorema de Ptolomeo.
Ptolomeo necesita la tabla de cuerdas para aplicar el teorema de Menelao sobre la esfera con valores concretos de arcos.
En el Almagesto, Ptolomeo solo necesita resolver triángulos rectángulos esféricos.
Para resolver un 
, con ángulo recto en , Ptolomeo prolonga los lados 
del triángulo como en la figura hasta completar arcos 
de 
.
Entonces 
es el polo del círculo máximo que pasa por 
y , y uniendo 
con un arco los ángulos en y serán rectos y el arco será igual al ángulo 
de .
Como los ángulos en y son rectos, las prolongaciones de 
y 
se cortarán en un punto 
, polo de 
, y los arcos 
y 
serán de .
Se obtiene entonces una configuración de Menelao con vértice sobre la esfera.Y si, por ejemplo, queremos hallar la hipotenusa 
, dados los catetos 
, usamos el teorema de Menelao para obtener las razón entre los segmentos de 
en función del producto de las razones entre los segmentos de 
y 
y tenemos:
}{\mathrm{sen } (90-b)} = \dfrac{\mathrm{sen } (90)}{\mathrm{sen } (90-a)} \cdot \dfrac{\mathrm{sen }(90-c)}{\mathrm{sen }(90)} )
, es decir, )
,
que es el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos esféricos.
De la misma forma, aplicando directamente el teorema de Menelao a los otros segmentos, obtenemos las fórmulas
)
, )
y )
y de estas ultimas, por simetría
)
, )
y )
.
Ptolomeo se limita a las fórmulas anteriores, o mejor dicho a aplicar en cada caso el teorema de Menelao con valores de arco concretos, para obtener los resultados que nosotros obtendríamos usando las fórmulas anteriores.
La regla mnemotécnica de Neper
Las anteriores son 7 de las 
fórmulas que relacionan cada subconjunto de 3 elementos del conjunto 
de variables del triángulo.
Las otras 3 fórmulas se derivan de las anteriores (1)-(7) (dejamos esto al lector) y son:
)
, )
y )
.
Estas 10 fórmulas vienen dadas por la regla mnemotécnica de Neper que dice que:
Si disponemos en un pentágono los elementos del triángulo rectángulo esférico, en el mismo orden en que aparecen en el triángulo, sustituyendo los catetos b,c por sus complementarios 90º-b,90º-c, el coseno de un elemento en el pentágono es
- el producto de las cotangentes de los elementos adyacentes
- el producto de los senos de los elementos opuestos.
A partir de las fórmulas para el triángulo rectángulo se pueden obtener, en no muchos pasos, otras fórmulas de la trigonometría esférica para cualquier triángulo, como el teorema del coseno para la esfera:
o la fórmula que nos permite obtener los lados en fúnción de los ángulos:
.
El lector puede deducir estas últimas a partir de (1)-(10), dividiendo el triángulo en dos triángulos rectángulos mediante una altura.
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 24 de Agosto de 2009 | 3 Comentarios
Categorías: Colaboraciones, Geometría, Historia
Si las universidades quieren que aumente su producción científica
que se preocupen de que que haya buenas cafeterías cerca de ellas…
…y de que el profesorado las frecuente.
Introducción
El barrio parisino Montmartre es conocido por ser uno de los grandes centros artísticos de París desde mediados del siglo XIX hasta bien entrado el siglo XX. Artistas como Picasso, Van Gogh o Matisse vivieron, trabajaron y crearon algunas de sus mejores obras en ese lugar. Seguro que respirar ambiente artístico fomentó el espiritu creativo de todos los que frecuentaban Montmartre. La historia que hoy os traigo tiene ciertas similitudes. Casi de la nada aparece un grupo de excelentes matemáticos que celebran reuniones informales, finalizando éstas en una obra maestra. Pero vayamos por partes.
El florecimiento matemático de Polonia
Hasta que Polonia recuperó su independencia en 1918, la educación no fue precisamente una prioridad para las potencias ocupantes, a saber, Prusia, Rusia y Austria. En la zona prusiana la educación universitaria brillaba por su ausencia; en la zona rusa podíamos encontrar una universidad en Varsovia cuyas enseñanzas se impartían (hasta poco antes de 1918) en ruso; y en la austriaca, aunque se tenía situación algo mejor (universidades en Cracovia y en Lwów y una escuela politécnica en esta última ciudad) tampoco era para tirar cohetes. Con estos antecedentes extraña encontrar un elenco de matemáticos como el que apareció en dicha zona en la primera mitad del siglo XX.
Lwów
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 6 de Agosto de 2009 | 10 Comentarios
Categorías: Historia, Matemáticos
Introducción
Como comentamos en la historia de la resolución de la cúbica, Tartaglia reveló, después de mucha insistencia, su método de resolución de los distintos tipos de ecuaciones cúbicas reducidas a Cardano. Pero no lo hizo de una manera convencional, sino que lo hizo en verso. Concretamente así:
Quando che’l cubo con le cose appresso
se agguaglia a qualche numero discreto:
trovan dui altri, diferente in esso.
Dapoi terrai, questo per consueto,
che’l loro produtto, sempre sia eguale
al terzo cubo della cose neto;
el residuo poi suo generale,
delli lor lati cubi, ben sottratti
varra la tua cosa principale.
In el secondo, de cotesti atti;
quando che’l cubo restasse lui solo,
tu osserverai quest’altri contratti,
del numer farai due tal part’a volo,
che l’una, in l’altra, si produca schietto,
el terzo cubo delle cose in stolo;
delle quali poi, per commun precetto,
torrai li lati cubi, insieme gionti,
et co tal somma, sará ii tuo concetto;
el terzio, poi de questi nostri cónti,
se solve col segundo, se ben guardi
che per natura son quasi congionti.
Questi trovai, et non con pasi tardi
nell mille cinquecent’e quatro e trenta;
con fondamenti ben saldi, e gagliardi;
nella cittá del mar’intorno centa.
Los nueve primeros corresponden a la resolución de la ecuación 
, los nueve siguientes son para el tipo 
, los siguientes tres para 
y los cuatro últimos indican el lugar y la fecha en la que Tartaglia los descubrió. Vamos a comenzar esta resolución haciendo un análisis de parte de estos versos.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 25 de Junio de 2009 | 4 Comentarios
Categorías: Aprenda como, Historia
Introducción
En todos los ámbitos del conocimiento se pueden encontrar episodios de controversia a la hora de atribuir un descubrimiento o una invención. El mundo de las matemáticas no está, ni mucho menos, a salvo de ello. Quizás uno de los más conocidos es la invención del cálculo, con el enfrentamiento entre Newton y Leibniz. Otro ejemplo también muy famoso fue la resolución de la ecuación cúbica, es decir, la solución general de la ecuación 
. La historia que rodea este hecho va a ser el eje central de este artículo.
La historia de la resolución de la cúbica
En el año 1545 Girolamo Cardano publica Ars Magna, en el que presenta la solución general de la ecuación cúbica y la de la cuártica. Dicha publicación causó tal impacto en el mundo del álgebra que generalmente se considera el año 1545 como el que marca el período moderno en matemáticas. Pero, ¿fue Cardano el verdadero descubridor de los métodos de resolución de dichos tipos de ecuaciones?
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 22 de Junio de 2009 | 9 Comentarios
Categorías: Historia
…las palabras algoritmo y guarismo se las debemos al matemático árabe al-Jwārizmī (en español al-Juarismi)? ¿Y que la palabra álgebra deriva del nombre de su obra más importante?
Muḥammad ibn Mūsā al-Jwārizmī (Abu Yā’far) (Mohamed, hijo de Moisés, padre de Jafar, el de Jwārizm) vivió a finales del primer milenio de nuestra era. No se sabe mucho sobre su biografía, aunque sí sabemos que fue el matemático más grande de su época. Se le considera el padre del álgebra (la propia palabra álgebra deriva de su gran obra Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala) y el que introdujo nuestro sistema de numeración.
Gracias Nadym.
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 18 de Junio de 2009 | 4 Comentarios
Categorías: Historia, ¿Sabía que ...?
Te pueden salvar…
Igor Tamm, físico soviético galardonado con el premio Nobel de física en 1958 por el descubrimiento y la interpretación del efecto Cherenkov, contaba en forma de anécdota una historia de la que él mismo fue protagonista.
En la época de la revolución rusa de 1917, Tamm estaba buscando comida en un pueblo cercano a Odessa cuando fue detenido por unos milicianos que le tomaron por un agitador antiucraniano. Sus captores decidieron llevarlo ante su jefe en vez de terminar con su vida.
Cuando lo tuvo delante le preguntó por su profesión y Tamm respondió que era matemático. El jefe, que posiblemente no le creyó, le propuso la siguiente prueba para que lo demostrara:
Calcúlame el error cometido al aproximar una función arbitraria por un polinomio de Taylor de 
términos. Si lo haces bien, te dejo ir. Si no lo sabes hacer, te fusilamos.
Tamm, posiblemente con más miedo que vergüenza, escribió sobre la arena la fórmula pedida y resolvió la pregunta. Cuando terminó el jefe guerrillero, al ver que la respuesta era correcta, ordenó que le dejaran marchar.
Años después, siendo ya premio Nobel, Tamm contó en persona esta anécdota. Nunca llegó a averiguar quién era aquel guerrillero con conocimientos matemáticos. Lo que sí hizo fue usar esta historia para mostrar a los alumnos un ejemplo bastante claro de la importancia que puede llegar a tener saber matemáticas.
…y te pueden matar
El cónsul romano Claudio Marcelo fue enviado a reconquistar Siracusa en el transcurso de la segunda guerra púnica. Dicha reconquista resultó bastante larga (tres años) y costosa, ya que la ciudad contaba con la ayuda de catapultas y de un sistema de espejos que incendiaba los barcos enemigos con la ayuda de los rayos del sol, ambos inventos de su ciudadano más ilustre: Arquímedes.
Pasado este tiempo las tropas de Marcelo tomaron la ciudad y éste permitió a sus tropas que saquearan la misma, pero también dio la siguiente orden: no matar a Arquímedes.
En el trascurso de los saqueos Arquímedes se encontraba en un jardín estudiando figuras geométricas dibujadas en el suelo ajeno totalmente a la toma de Siracusa. Estando el sabio en esta situación apareció en dicho jardín un miliciano que, según parece, se acercó demasiado a nuestro protagonista, que exclamó (según INFINITUM):
-¡No desordenes mis círculos!
El legionario romano, que no conocía a Arquímedes, debió ofenderse con el comentario y lo atravesó con su espada.
Fuentes:
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 21 de Mayo de 2009 | 7 Comentarios
Categorías: Historia
Como hemos comentado alguna vez Leonhard Euler ha sido el matemático más prolífico de la historia en lo que a publicaciones se refiere. Por ello sus aportaciones se extienden por todas las ramas de las matemáticas (hasta creó alguna), tanto pura como aplicada.
