Los Elementos de Euclides (aunque en realidad no sabemos qué partes de los Elementos son originales de Euclides, si hay alguna) culminan en el libro XIII y último con la construcción de los 5 poliedros regulares.
Presentamos aquí la construcción del dodecaedro que aparece en la proposición 17 del libro XIII.
Los antiguos griegos no utilizaban el término razón áurea, porque el dorado se le dio en el siglo XIX, ni tampoco el término divina proporción que usó Luca Pacioli en el siglo XV, sino el término más técnico razón extrema y media, definido al principio del libro VI de los Elementos.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 7 de February de 2011
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Categorías: Geometría, Historia, Otras constantes
En las matemáticas, como en cualquier otra rama del conocimiento, podemos encontrar multitud de historias. Algunas tratan sobre resultados revolucionarios, otras sobre teoremas cuya resolución se resistió durante mucho tiempo, o sobre avances tremendo con técnicas rudimentarias, por poner algunos ejemplo. Pero las que tratan de los propios matemáticos, de las personas y sus propias circunstancias, suelen tener mucha miga. Y de eso versa la historia de hoy, de un supuesto “matemático” que resultó ser más que eso. Un “matemático” con varias ramificaciones. Un “matemático” con muchos tentáculos. Estamos hablando de Nicolas Bourbaki.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 14 de December de 2010
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Categorías: Carnaval de matematicas, Historia, Matemáticos
Hemos comentado muchas veces la importancia de las matemáticas en nuestras vidas, pero también es cierto que en muchas ocasiones es complicado ver la influencia de una rama de las matemáticas en aspectos de la vida real.
En otras ocasiones esta influencia aparece de forma clara, como por ejemplo ocurría en los radares de Lagrange. De hecho hay ocasiones en las que un campo relacionado con las matemáticas determina totalmente el desarrollo de una actividad, pudiendo llegar a ser el punto clave del futuro de toda la humanidad. En este artículo vamos a hablar sobre uno de estos casos: la historia del telegrama Zimmermann.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 26 de November de 2010
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Categorías: Historia
Kurt Gödel
Es evidente que los genios tienen algo especial. Claro, no se es un genio por nada, algo hay que tener. De hecho posiblemente haya que tener muchas cosas, pero bueno, la cuestión es que si uno estudia la vida de muchos genios de la ciencia en general y de las matemáticas en particular seguro que encontrará detalles que le permitirán clasificarlos como
personas especiales.
Una característica que suele presentarse con cierta frecuencia es la rareza (no se entienda este calificativo como peyorativo). Un genio es raro, extraño. No digo que lo sean todos, pero bien es cierto que muchos de ellos han tenido una personalidad bastante peculiar en comparación con sus semejantes. Quizás de entre los más cercanos a nosotros en el tiempo el genio Albert Einstein sea uno de los que no poseían dicha característica. Einstein era un tipo agradable, sociable, con sentido del humor. Y es posible que uno de sus mejores amigos sea precisamente lo contrario: uno de los máximos exponentes de los últimos tiempos en lo que a personalidad extraña se refiere (posiblemente compartiendo podio con John Nash, o al menos con el Nash que se nos muestra en la película Una mente maravillosa). Nos referimos a otro genio, Kurt Gödel, el mayor exponente de la lógica del siglo XX (y uno de los mayores de la historia, si no el que más).
No voy a realizar una reseña biográfica de Gödel, ni hablar de sus teoremas de incompletitud, todo eso quedará para ocasiones posteriores. Lo que quiero hacer en esta entrada es contar una anécdota de su vida que puede ejemplificar esa característica de rareza que sin duda Kurt poseía.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 9 de September de 2010
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Categorías: Historia, Matemáticos
Podríamos decir que la mayor parte de los científicos de la historia (si no todos), ya sean matemáticos, físicos, químicos, biólogos o de cualquier otra rama, han soñado/sueñan con realizar un descubrimiento brillante, que rompa los esquemas de la ciencia de su tiempo. Pero también es cierto que cuando esto ocurre la situación no suele ser del todo cómoda para la persona en cuestión. Bueno, en la actualidad quizás el tema es algo más suave, pero si nos damos una vuelta por la Historia de la Ciencia muchos han sido los casos en los que no se ha tratado demasiado bien a los científicos rompedores, a los que han desmontado las teorías de su tiempo. Generalmente ha sido la propia Historia quien les ha dado credibilidad frente a la burla y el mal trato que les dieron sus coetáneos. Cierto es también que en ocasiones este hecho se ha producido por razones de índole religiosas (en muchas épocas la Iglesia tuvo tanto poder que remar en contra de sus ideas era prácticamente un suicidio), y podemos encontrar ejemplos tremendamente famosos (seguro que todos conocéis el famoso Y sin embargo se mueve), pero, como decíamos antes, por suerte la Historia terminó por dar la razón a quien de verdad la merecía.
El asunto que nos ocupará en este post trata sobre uno de estos personajes, un científico que fue tan poco considerado en vida por su descubrimiento que pagó con ella su sacrilegio.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 9 de August de 2010
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Categorías: Historia
Introducción
Tras la muerte de Pierre de Fermat, muchas de sus conjeturas quedaron sin resolver. Como ya sabemos, Fermat no era muy dado a publicar las demostraciones de sus resultados, por lo que debían ser demostrados por otros para confirmar su validez o falsedad. El caso más famoso, por lo que se tardó en confirmar y por la gran cantidad de matemáticos que se dedicaron a ello, es el denominado último teorema de Fermat, demostrado finalmente por Andrew Wiles en 1995, pero ni mucho menos fue el único.
La afirmación de Fermat sobre la primalidad de todos los números enteros positivos 
, llamados números de Fermat, fue otra de sus más famosas conjeturas, refutada finalmente por Euler en 1732 al encontrar la factorización de 
:
De hecho no se ha vuelto a encontrar ningún número de Fermat que sea primo.
Y el llamado pequeño teorema de Fermat constituye otro caso del mismo tipo que los anteriores. Dicho teorema afirma lo siguiente:
Si 
es un número primo y 
es un número natural que no es divisible por , entonces 
Euler demostró este resultado y dio además la demostración de una generalización del mismo. En esta historia la conocida como función 
de Euler ejerce un papel de suma importancia.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 28 de June de 2010
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Categorías: Historia, Números enteros, Números primos
Introducción
La tradición nos cuenta que Hipócrates de Quíos, en la segunda mitad del siglo V a.C., redujo el problema de duplicar el cubo, o el de duplicar un volumen dado manteniendo la misma forma, al problema más general de construir dos medias proporcionales entre dos magnitudes dadas, es decir, al problema de, dados y 
, obtener 
e 
tales que
o, lo que es lo mismo, encontrar e tales que 
formen una progresión geométrica.
Si tenemos un cubo con aristas de longitud 1, por ejemplo, y construimos una progresión geométrica 
entonces ![x =\sqrt[3]{2}](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=x%20%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B2%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "x =\sqrt[3]{2}")
y el cubo cuya arista es tiene volumen doble del cubo cuya arista es 1.
En los comentarios de Eutocio de Ascalón (siglo VI) a los tratados de Arquímedes1 se dan doce soluciones (y se menciona otra más) al problema de construir dos medias proporcionales entre dos magnitudes dadas.
La primera solución cronológicamente se debe a Arquitas de Tarento (principios del siglo IV a.C.), y es uno de los resultados más antiguos que tenemos en la historia de la geometría griega.
Arquitas fue, entre otras cosas, el fundador de la mecánica matemática, inventor de juguetes y elegido “strategos” (jefe militar) por los tarentinos en siete ocasiones.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 12 de May de 2010
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Categorías: Carnaval de matematicas, Colaboraciones, Geometría, Historia
Una de las ilustraciones originales de la primera edición de Alicia
Hoy, día 16 de abril de 2010, se estrena
Alicia en el país de las maravillas, después de algunos retrasos. Esta película, dirigida por
Tim Burton (no podía ser otro), es una adaptación del libro
Alicia en el país de las maravillas, de
Charles Lutwidge Dogdson, más conocido como
Lewis Carroll, cuya primera edición fue publicada en 1865. Conociendo al escritor de la obra y al director del film seguro que no nos decepcionará.
Sobre el libro se cuentan muchas historias y anécdotas. Por ejemplo, que la obra comenzó a gestarse a partir de un cuento que Carroll contó a unas niñas (Lorina, Alice y Edith) y que fueron ellas mismas, al quedar maravilladas por el cuento, quienes pidieron a Lewis que escribiera la historia. O que en realidad es una crítica a la sociedad de la época en general y en concreto a la reina Victoria. Vamos, que es un cuento muy particular.
¿Pero de verdad es sólo un cuento para niños?
Alicia en el país de las maravillas no es solamente un cuento infantil. De hecho una lectura profunda y razonada de la misma puede hacernos ver que es cualquier cosa menos un cuento dirigido a niños. La condición de matemático de Carroll ejerce una influencia tremenda en esta obra. Alicia en el país de las maravillas está lleno de guiños matemáticos, entre los que podemos encontrar referencias al álgebra, a la teoría de números, a la lógica, al análisis…En esta presentación podéis encontrar alusiones a las propiedades reflexiva y simétrica de una relación, máximos y mínimos de una función, propiedades de la circunferencia y sobre rectas y segmentos, lógica y razonamiento deductivo…
Pero la cosa no queda aquí. Hay otros muchos detalles del libro que sugieren conceptos matemáticos. Aquí os dejo algunos de ellos:
- En el capítulo 1, Por la madriguera del conejo, ciertos comentarios de Alicia mientras sufre una caída interminable por la madriguera recuerdan al concepto de límite.
- En el capítulo 2, El charco de lágrimas, Alicia dice:
Veamos, cuatro por cinco son doce, cuatro por seis son trece y cuatro por siete…¡Ay, Dios mío! ¡Así no llegaré nunca a veinte!
Esas operaciones no están bien hechas…si usamos el sistema de numeración decimal. Usando otros sistemas de numeración las operaciones son correctas. Concretamente, 
en base 
y 
en base 
. Siguiendo la línea, tenemos que 
en, como se podría imaginar, base 
.
- En el capítulo 5. Consejos de una oruga, la paloma afirma que las niñas pequeñas son un cierto tipo de serpiente, ya que las dos comen huevo. Esta deducción recuerda al cambio de variables que se utiliza en multitud de ocasiones en matemáticas.
- En el capítulo 7. Una merienda de locos, Alicia toma como iguales las acciones “digo lo que pienso” y “pienso lo que digo”, a lo que el sombrerero responde que eso sería lo mismo que decir que “veo cuanto como” es lo mismo que “como cuanto veo”. Esto recuerda en cierta medida a una función y su inversa.
- La curiosa característica que posee el Gato de Cheshire, a saber, desaparecer casi totalmente, dejando únicamente su sonrisa, hace ver a Alicia que muchas veces ha visto un gato sin sonrisa, pero ninguna ha visto una sonrisa sin gato. Este tipo de abstracción profunda es muy usada en matemáticas, y en concreto fue objeto de ciertos acontecimientos matemáticos de la época en la que Carroll escribió su libro.
Pero, como no podía ser de otra forma, existen multitud de interpretaciones del texto escrito por Carroll. Una de las más interesantes en lo que a las matemáticas se refiere es la de Keith Devlin. Afirma que la versión inicial de Alicia no contenía nada relacionado con matemáticas y que Carroll añadió todas estas referencias con el objetivo de satirizar las matemáticas que estaban emergiendo en aquella época, concretamente a mediados del siglo XIX. Según parece, la visión de las matemáticas que tenía Carroll era, digamos, tradicional, por lo que los revolucionarios avances que se produjeron en esta época no le convencían demasiado. Por ejemplo, con el Sombrerero, la Liebre de Marzo y el Lirón tomando el té, donde el tiempo está ausente, que Devlin interpreta como una crítica a los cuaterniones de Hamilton (al parecer Carroll no era precisamente un apasionado del trabajo de Hamilton). También podemos encontrar críticas encubiertas a las geometrías no euclídeas.
Las matemáticas del siglo XIX
William Rowan Hamilton
La verdad es que este período tiene mucha tela que cortar en lo que a matemáticas se refiere. Analizando la historia de las matemáticas, el siglo XIX ha sido una de las épocas más prolíficas en descubrimientos matemáticos, en creación de nuevos conceptos o en desarrollo de teorías revolucionaria, especialmente en álgebra.
Fue en este siglo cuando las geometrías no euclídeas comenzaron su andadura (Lobachevsky fue uno de los principales culpables), provocando una auténtica revolución. También en esta época los trabajos de Cantor conmocionaban a los matemáticos del momento.
Por otra parte, Hamilton utilizó la misma idea que Lobachevsky para crear sus cuaterniones. Lobachevsky prescindió del postulado de las paralelas y desarrolló así una nueva geometrías mientras que Hamilton prescindió de la conmutatividad de la multiplicación desarrollando así una nueva álgebra.
También en esta época Cayley creó el álgebra matricial, en cuyo desarrollo también tuvieron importancia Benjamin Peirce y su hijo, Charles S. Peirce.
Pero posiblemente uno de los mayores avances en el álgebra de la época fue la teoría de Galois, desarrollada por Evariste Galois a lo largo de sus ¡¡21 años de vida!!. Sus trabajos sirvieron para estructurar todos los avances y creaciones que se produjeron en el campo del álgebra en este siglo.
Por último, el matemático italiano Peano intentó con sus axiomas formalizar todas las ramas matemáticas. Estos axiomas de Peano han sido objeto de múltiples debates, pero este es otro tema del que hablaremos otro día.
Notas históricas:
- Historia de la matemática, de Carl B. Boyer.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 16 de April de 2010
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Categorías: Curiosidades, Historia, Noticias
Como hemos comentado alguna vez Leonhard Euler ha sido el matemático más prolífico de la historia en lo que a publicaciones se refiere. Por ello sus aportaciones se extienden por todas las ramas de las matemáticas (hasta creó alguna), tanto pura como aplicada.
Lo que puede que no todo el mundo conozca es la multitud de aportaciones que dejó Euler a la notación matemática. Ningún otro matemático ha contribuido a ello tanto como el gran Leonhard. Euler popularizó algunas notaciones y creó otras que se siguen utilizando a día de hoy. Vamos con ellas:
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 10 de December de 2009
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Categorías: Historia
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Introducción
La invención y posterior desarrollo del Cálculo ha sido y sigue siendo objeto de trifulca entre Inglaterra y Alemania. Inglaterra por Newton y Alemania por Leibniz. A los dos se les considera precursores y desarrolladores de las primeras nociones del Cálculo. A pesar de que los dos lo desarrollaron de forma independiente (los hechos históricos lo confirman), la autoría de su descubrimiento/invención, como decíamos antes, sigue siendo tema de conversación y de discusión.
Pero si atendemos a la Historia esta eterna guerra anglo-alemana nunca debería haber comenzado, al menos no debería haberse desarrollado de esta manera. Sí, es cierto que fueron Newton y Leibniz quienes de manera independiente sentaron las bases del Cálculo, pero ni mucho menos fueron los primeros en desarrollar las nociones iniciales de esta rama de las matemáticas. El precursor de dichas ideas fue nada más y nada menos que Pierre de Fermat.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 4 de December de 2009
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Categorías: Cálculo, Historia
