Gaussianos

Porque todo tiende a infinito

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Calcular la suma

El problema de la semana trata del cálculo de la suma de una serie. Vamos con él:

Calcular el valor de la siguiente suma:
\displaystyle{\sum_{n \geq 0} 3^n sen^3 \left (\cfrac{x}{3^n} \right )}

A por él.

Escrito por ^DiAmOnD^, 13 de Mayo de 2008 en Juegos
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Conjetura sobre combinaciones lineales de enteros y números primos

Sebastián me manda por mail a gaussianos (arroba) gmail (punto) com una conjetura sobre números primos que se le ha ocurrido a él mismo. No sabe si es cierta o falsa. Os la propongo como problema para ver qué sacamos en claro:

Sea n un número par. Para todo k\in\mathbb{N} tal que 2 \le k \le \textstyle{\frac{n}{2}} existen una o más combinaciones lineales de enteros de la forma:

a_1 \cdot p_1+a_2 \cdot p_2+ \ldots +a_m \cdot p_m=n

con a_i \ge 0, a_1+a_2+ \ldots +a_m=k y p_1,p_2, \dots ,p_m todos los números primos menores o iguales que n.

Ejemplo:

n=10, \cfrac{n}{2}=5

p_1=2,p_2=3,p_3=5,p_4=7

2 \cdot 5=10 \Rightarrow a_1=0,a_2=0,a_3=2,a_4=0, \displaystyle{\sum a_i=2}

1 \cdot 3+1 \cdot 7=10 \Rightarrow a_1=0,a_2=1,a_3=0,a_4=1, \displaystyle{\sum a_i=2}

1 \cdot 2+1 \cdot 3+1 \cdot 5=10 \Rightarrow a_1=1,a_ 2=1,a_3=1,a_4=0, \displaystyle{\sum a_i=3}

2 \cdot 2+2 \cdot 3=10 \Rightarrow a_1=2,a_2=2,a_3=0,a_4=0, \displaystyle{\sum a_i=4}

5 \cdot 2=10 \Rightarrow a_1=5,a_2=0,a_3=0,a_4=0, \displaystyle{\sum a_i=5}

Pregunta 1: ¿Esta conjetura es cierta o es falsa?
Pregunta 2: ¿Podemos obtener la conjetura de Goldbach como caso particular de esta conjetura?

Vamos a ver si le sacamos jugo al asunto.

Escrito por ^DiAmOnD^, 6 de Mayo de 2008 en Juegos
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Encontrando la suma a partir del divisor

Os dejo aquí el problema de la semana:

Sea a un número natural. Probar que existe otro número natural b tal que para todo natural n se verifica que:

a divide a 1^n+2^n+3^n+ \ldots +b^n.

A por él.

Escrito por ^DiAmOnD^, 29 de Abril de 2008 en Juegos
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Producto con cosenos

Semanas difíciles estas últimas por varias cosas. De todas formas pronto volverán a aparecer con la frecuencia habitual artículos más largos y elaborados. Mientras tanto os dejo con el problema de la semana:

Para cada natural n \ge 3 calcular:

\displaystyle{\prod_{k=1}^{\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor}} \left (3+2 cos(\cfrac{2k \pi}{n}) \right )

El límite superior del producto es la parte entera de \textstyle{\frac{n-1}{2}}.

A por él.

Escrito por ^DiAmOnD^, 22 de Abril de 2008 en Juegos
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Sumando potencias

El problema de esta semana relaciona sumas de potencias enteras y números primos. Vamos con su enunciado:

Sea \displaystyle{f(n)=\sum_{i , j=1}^n i^j}. Probar que si p es un número primo distinto de 3, entonces f(p+1) es múltiplo de p.

Ánimo y a por él.

Escrito por ^DiAmOnD^, 15 de Abril de 2008 en Juegos
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Coseno irracional

El problema de esta semana es corto pero directo:

Demostrar que cos(1^\circ) es irracional.

Probablemente no os resulte demasiado complicado, pero quiero ver qué se os ocurre. Ánimo y suerte a todos y todas.

Escrito por ^DiAmOnD^, 8 de Abril de 2008 en Juegos
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Sumando fracciones con radicales y dividiendo entre potencias

Esta semana os dejo dos ejercicios no demasiado difíciles pero que me han parecido curiosos. Vamos con ellos:

Problema 1

Consideramos la siguiente suma:

S(n)=\cfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\cfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+ \ldots + \cfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}

¿Para qué valores de n es S(n) un número entero positivo?

Problema 2

Dado n un número entero positivo encontrar el valor más pequeño de x que cumple que x^x+1 es divisible entre 2^n.

Ánimo y a por ellos.

Escrito por ^DiAmOnD^, 1 de Abril de 2008 en Juegos
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Unas sucesiones algo caóticas

El problema de esta semana trata de unas sucesiones muy curiosas. Vamos con él:

Para cada \alpha\in \left [0,1 \right ] se considera la sucesión S_{\alpha} definida por recurrencia del modo siguiente:

\begin{matrix} x_0=\alpha \\ x_{n+1}=4x_n(1-x_n),  n\ge 0 \end{matrix}

Diremos que la sucesión S_{\alpha} es periódica, con periodo T\ge 1, si existe {T} el menor natural verificando x_T=x_0 \left (=\alpha \right ).

1) Demostrar que para cada T\geq 1 natural existe al menos un valor \alpha \in \left [0,1 \right ] de modo que la sucesión S_{\alpha} es periódica con periodo exacto igual a T. En particular, existen infinitas sucesiones S_{\alpha} que son periódicas.

2) Hallar la cantidad exacta de números \alpha\in \left [0,1 \right ] cuyo periodo es exactamente 2008.

Espero vuestras respuestas.

Escrito por ^DiAmOnD^, 25 de Marzo de 2008 en Juegos
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Factores de los números de Fibonacci

El problema de la semana trata sobre factores de los números de Fibonacci. Está inspirado en este post del blog de nuestro comentarista J.H.S. y en uno de los comentarios del mismo. Aprovecho para recomendar su blog por los problemas que plantea:

Consideramos los números de Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21,34, \ldots denotados por F_n, con n \ge 1, y sea m un número natural cualquiera mayor o igual que 1.

1) Demostrar que existe un número de Fibonacci F_n múltiplo de m de tal modo que 1\le n \le m^2.
2) Demostrar que existen infinitos números de Fibonacci que son múltiplos de m.

Vamos a por él.

Escrito por ^DiAmOnD^, 18 de Marzo de 2008 en Juegos
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Suma de senos y cosenos

Hoy os traigo un problema que me mandó b1a23 al mail (recuerdo: gaussianos (arroba) gmail (punto) com) hace un tiempo:

Comprueba que todo triángulo ABC que verifique que

sen(B) + sen(C) = cos(B) + cos(C)

es rectángulo.

A por él.

Escrito por ^DiAmOnD^, 11 de Marzo de 2008 en Juegos
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