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Calcular la suma

El problema de la semana trata del cálculo de la suma de una serie. Vamos con él:

Calcular el valor de la siguiente suma:
$\displaystyle{\sum_{n \geq 0} 3^n sen^3 \left (\cfrac{x}{3^n} \right )}$

A por él.

Escrito por ^DiAmOnD^, 13 de Mayo de 2008 en Juegos
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Conjetura sobre combinaciones lineales de enteros y números primos

Sebastián me manda por mail a gaussianos (arroba) gmail (punto) com una conjetura sobre números primos que se le ha ocurrido a él mismo. No sabe si es cierta o falsa. Os la propongo como problema para ver qué sacamos en claro:

Sea $n$ un número par. Para todo $k\in\mathbb{N}$ tal que $2 \le k \le \textstyle{\frac{n}{2}}$ existen una o más combinaciones lineales de enteros de la forma:

$a_1 \cdot p_1+a_2 \cdot p_2+ \ldots +a_m \cdot p_m=n$

con $a_i \ge 0$ , $a_1+a_2+ \ldots +a_m=k$ y $p_1,p_2, \dots ,p_m$ todos los números primos menores o iguales que $n$ .

Ejemplo:

$n=10, \cfrac{n}{2}=5$

$p_1=2,p_2=3,p_3=5,p_4=7$

$2 \cdot 5=10 \Rightarrow a_1=0,a_2=0,a_3=2,a_4=0, \displaystyle{\sum a_i=2}$

$1 \cdot 3+1 \cdot 7=10 \Rightarrow a_1=0,a_2=1,a_3=0,a_4=1, \displaystyle{\sum a_i=2}$

$1 \cdot 2+1 \cdot 3+1 \cdot 5=10 \Rightarrow a_1=1,a_ 2=1,a_3=1,a_4=0, \displaystyle{\sum a_i=3}$

$2 \cdot 2+2 \cdot 3=10 \Rightarrow a_1=2,a_2=2,a_3=0,a_4=0, \displaystyle{\sum a_i=4}$

$5 \cdot 2=10 \Rightarrow a_1=5,a_2=0,a_3=0,a_4=0, \displaystyle{\sum a_i=5}$

Pregunta 1: ¿Esta conjetura es cierta o es falsa?
Pregunta 2: ¿Podemos obtener la conjetura de Goldbach como caso particular de esta conjetura?

Vamos a ver si le sacamos jugo al asunto.

Escrito por ^DiAmOnD^, 6 de Mayo de 2008 en Juegos
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Encontrando la suma a partir del divisor

Os dejo aquí el problema de la semana:

Sea $a$ un número natural. Probar que existe otro número natural $b$ tal que para todo natural $n$ se verifica que:

$a$ divide a $1^n+2^n+3^n+ \ldots +b^n$ .

A por él.

Escrito por ^DiAmOnD^, 29 de Abril de 2008 en Juegos
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Producto con cosenos

Semanas difíciles estas últimas por varias cosas. De todas formas pronto volverán a aparecer con la frecuencia habitual artículos más largos y elaborados. Mientras tanto os dejo con el problema de la semana:

Para cada natural $n \ge 3$ calcular:

$\displaystyle{\prod_{k=1}^{\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor}} \left (3+2 cos(\cfrac{2k \pi}{n}) \right )$

El límite superior del producto es la parte entera de $\textstyle{\frac{n-1}{2}}$ .

A por él.

Escrito por ^DiAmOnD^, 22 de Abril de 2008 en Juegos
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Sumando potencias

El problema de esta semana relaciona sumas de potencias enteras y números primos. Vamos con su enunciado:

Sea $\displaystyle{f(n)=\sum_{i , j=1}^n i^j}$ . Probar que si $p$ es un número primo distinto de 3, entonces $f(p+1)$ es múltiplo de $p$ .

Ánimo y a por él.

Escrito por ^DiAmOnD^, 15 de Abril de 2008 en Juegos
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Coseno irracional

El problema de esta semana es corto pero directo:

Demostrar que $cos(1^\circ)$ es irracional.

Probablemente no os resulte demasiado complicado, pero quiero ver qué se os ocurre. Ánimo y suerte a todos y todas.

Escrito por ^DiAmOnD^, 8 de Abril de 2008 en Juegos
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Sumando fracciones con radicales y dividiendo entre potencias

Esta semana os dejo dos ejercicios no demasiado difíciles pero que me han parecido curiosos. Vamos con ellos:

Problema 1

Consideramos la siguiente suma:

$S(n)=\cfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\cfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+ \ldots + \cfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$

¿Para qué valores de $n$ es $S(n)$ un número entero positivo?

Problema 2

Dado $n$ un número entero positivo encontrar el valor más pequeño de $x$ que cumple que $x^x+1$ es divisible entre $2^n$ .

Ánimo y a por ellos.

Escrito por ^DiAmOnD^, 1 de Abril de 2008 en Juegos
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Unas sucesiones algo caóticas

El problema de esta semana trata de unas sucesiones muy curiosas. Vamos con él:

Para cada $\alpha\in \left [0,1 \right ]$ se considera la sucesión $S_{\alpha}$ definida por recurrencia del modo siguiente:

$\begin{matrix} x_0=\alpha \\ x_{n+1}=4x_n(1-x_n), n\ge 0 \end{matrix}$

Diremos que la sucesión $S_{\alpha}$ es periódica, con periodo $T\ge 1$ , si existe ${T}$ el menor natural verificando $x_T=x_0 \left (=\alpha \right )$ .

1) Demostrar que para cada $T\geq 1$ natural existe al menos un valor $\alpha \in \left [0,1 \right ]$ de modo que la sucesión $S_{\alpha}$ es periódica con periodo exacto igual a $T$ . En particular, existen infinitas sucesiones $S_{\alpha}$ que son periódicas.

2) Hallar la cantidad exacta de números $\alpha\in \left [0,1 \right ]$ cuyo periodo es exactamente $2008$ .

Espero vuestras respuestas.

Escrito por ^DiAmOnD^, 25 de Marzo de 2008 en Juegos
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Factores de los números de Fibonacci

El problema de la semana trata sobre factores de los números de Fibonacci. Está inspirado en este post del blog de nuestro comentarista J.H.S. y en uno de los comentarios del mismo. Aprovecho para recomendar su blog por los problemas que plantea:

Consideramos los números de Fibonacci $1,1,2,3,5,8,13,21,34, \ldots$ denotados por $F_n$ , con $n \ge 1$ , y sea $m$ un número natural cualquiera mayor o igual que $1$ .

1) Demostrar que existe un número de Fibonacci $F_n$ múltiplo de $m$ de tal modo que $1\le n \le m^2$ .
2) Demostrar que existen infinitos números de Fibonacci que son múltiplos de $m$ .