Encontrando la suma a partir del divisor
Os dejo aquí el problema de la semana:
Sea
un número natural. Probar que existe otro número natural
tal que para todo natural
se verifica que:
.
A por él.
Producto con cosenos
Semanas difíciles estas últimas por varias cosas. De todas formas pronto volverán a aparecer con la frecuencia habitual artículos más largos y elaborados. Mientras tanto os dejo con el problema de la semana:
Para cada natural
calcular:
El límite superior del producto es la parte entera de 
A por él.
Sumando potencias
El problema de esta semana relaciona sumas de potencias enteras y números primos. Vamos con su enunciado:
Sea
. Probar que si
es un número primo distinto de 3, entonces
es múltiplo de
Ánimo y a por él.
Coseno irracional
El problema de esta semana es corto pero directo:
Demostrar que
es irracional.
Probablemente no os resulte demasiado complicado, pero quiero ver qué se os ocurre. Ánimo y suerte a todos y todas.
Sumando fracciones con radicales y dividiendo entre potencias
Esta semana os dejo dos ejercicios no demasiado difíciles pero que me han parecido curiosos. Vamos con ellos:
Problema 1
Consideramos la siguiente suma:
¿Para qué valores de
un número entero positivo?
Problema 2
Dado
que cumple que
es divisible entre
.
Ánimo y a por ellos.
Unas sucesiones algo caóticas
El problema de esta semana trata de unas sucesiones muy curiosas. Vamos con él:
Para cada
se considera la sucesión
definida por recurrencia del modo siguiente:
Diremos que la sucesión
, si existe
el menor natural verificando
.
1) Demostrar que para cada
natural existe al menos un valor
de modo que la sucesión
. En particular, existen infinitas sucesiones
2) Hallar la cantidad exacta de números
.
Espero vuestras respuestas.
Factores de los números de Fibonacci
El problema de la semana trata sobre factores de los números de Fibonacci. Está inspirado en este post del blog de nuestro comentarista J.H.S. y en uno de los comentarios del mismo. Aprovecho para recomendar su blog por los problemas que plantea:
Consideramos los números de Fibonacci
denotados por
, con
, y sea
un número natural cualquiera mayor o igual que
.
1) Demostrar que existe un número de Fibonacci
.
2) Demostrar que existen infinitos números de Fibonacci que son múltiplos de
Vamos a por él.
Suma de senos y cosenos
Hoy os traigo un problema que me mandó b1a23 al mail (recuerdo: gaussianos (arroba) gmail (punto) com) hace un tiempo:
Comprueba que todo triángulo
que verifique que
es rectángulo.
A por él.
Circunferencias tangentes y rectas perpendiculares
El problema de esta semana es una aportación que GNeras me mandó al mail hace mucho tiempo. Vamos con él:
Dos circunferencias son tangentes exteriores entre sí y a dos rectas perpendiculares como muestra la figura:
¿Cuál es el cociente de sus diámetros?
Naturales consecutivos
El problema de la semana es el siguiente:
Hallar todos los números naturales
se pueda dividir en dos subconjuntos tales que el producto de los números de cada subconjunto sea el mismo valor.
A por él.